Разработка алгоритмов для оптимизации пространственных структур РНК
Дипломная работа - Биология
Другие дипломы по предмету Биология
х тонких упругих однородных стержней, которые имеют форму кривой линии в пространстве, параметризованной своей длиной. В точках, соответствующих координатам нуклеотидов, от каждого стержня отходят перемычки, которые соответствуют Уотсон-Криковским связям, геометрические параметры которых известны из свободного состояния. Все перемычки считаются одинаковыми (то есть их форма не меняется при изменении третичной структуры молекулы).
каждый однонитевый участок петли будем представлять в виде тонкого упругого однородного стержня, который также имеет форму кривой линии в трёхмерном пространстве, параметризованной своей длиной.
При параметризации кривой своей длиной, мы будем отсчитывать её от точки, соответствующей координатам того нуклеотида, которому мы дали первый номер (как на рисунках 4-6).
Для каждой из таких кривых (для петель) в дальнейшем будут задаваться краевые условия - исходя из условий на координаты, соответствующих начальной и конечной точкам петли. То есть, оптимальная по упругой энергии пространственная форма каждой петли вычисляется с таким расчётом, чтобы её начальная и конечная точки совпали с точками другого элемента вторичной структуры, на которые и "крепится" эта петля (под "элементом вторичной структуры" в данной работе будем понимать либо каждый однонитевый участок каждой петли, либо каждый стебель). Для указанной на рисунке 6 шпилечной петли это будут точки 6 и 14, расстояние между которыми равно длине одной Уотсон-Криковской связей.
3. Упругая энергия для одного элемента вторичной структуры напряжённого состояния РНК
Рассмоного элемента вторичной структуры напряжённого состояния РНК
Рассмотрим тонкий упругий однородный стержень длины L, который находится в равновесии, а осевая линия которого принимает форму некоторой плоской кривой в трёхмерном пространстве:
x = x(s); y = y(s); z = z(s);
где - натуральный параметр на кривой, т.е. длина дуги кривой, измеряемая от начальной точки до текущей точки (x(s), y(s), z(s)). Произведём малые деформации стержня, что позволит вывести формулу расчёта функционала упругой энергии для стержня общего вида из аксиом линейной теории упругости (см [2]).
3.1 Аксиомы линейной теории упругости
Упругая энергия W стержня потенциальна - она зависит только от его формы и не зависит от последовательности деформаций, которые привели его к этой форме.
Упругая энергия W аддитивна (то есть упругая энергия всего стержня равна сумме упругих энергий его частей), и для каждой формы стержня существует неотрицательная функция (плотность упругой энергии) такая, что .
Для тонкого упругого стержня общего вида выполняются следующие уравнения: существует функция , независимая от формы стержня, такая, что
,
где k(s) - кривизна кривой в точке (x(s), y(s), z(s)) в напряжённом состоянии, а k0(s) - кривизна стержня в этой же точке в свободном состоянии.
Тогда полная упругая энергия W вычисляется следующим образом:
Величина называется коэффициентом упругости в точке стержня. Так как в нашей постановке задачи стержни предполагаются однородными, то для всех точек этот коэффициент будет одинаков (константа). Тогда:
В проекциях на координатные оси:
где p, q, r и p0, q0, r0 - функции, зависящие от s, а именно:
, , ,
то есть это компоненты векторов кривизны и кручения линии стержня. A, B и C - это два главных изгибных и один крутильный коэффициенты упругости стержня. В нашей модели, у винтовой линии изгибные жёсткости A и B будут одинаковыми (из-за симметрии винтовой линии). В положении равновесия этот функционал упругой энергии W достигает минимума, с помощью чего мы и найдём оптимальную по энергии пространственную структуру РНК - при помощи методов оптимизации функций многих переменных.
Таким образом:
где x', y', z' относятся к новой винтовой линии, соответствующей напряжённому состоянию молекулы.
.2 Общая формула функционала упругой энергии
Теперь вычислим упругую энергию уже не просто для стержня, а для элемента вторичной структуры молекулы РНК, в поставленной выше математической модели. Так как свободное состояние молекулы в ней моделируется винтовой линией, то для неё (см. [3]):
где a и b - геометрические параметры винтовой линии (радиус и подъём винтовой линии), s - расстояние от начала винтовой линии свободного состояния молекулы до данной точки.
Исходя из того, что:
где L1 - длина предыдущего участка винтовой линии свободного состояния молекулы (от начала этой винтовой линии до точки, соответствующей началу данного элемента вторичной структуры), а s - уже расстояние от начальной точки элемента вторичной структуры до текущей точки, функционал упругой энергии примет вид:
где - кривизна винтовой линии свободного состояния молекулы (винтовая линия обладает свойством постоянства значения кривизны в каждой своей точке), L1 - длина предыдущего участка винтовой линии свободного состояния молекулы.
3.3 Формула функционала упругой энергии для поставленной модели:
Будем вычислять упругую энергию для построенной математической модели пространственной структуры напряжённого состояния для элемента вторичной структуры РНК (кривой в трёхмерном пространстве). Эта зада