Разложение рациональной дроби на простейшие.
Реферат - Математика и статистика
Другие рефераты по предмету Математика и статистика
альных дробей первого четвертого типов. Для разложения на простейшие дроби необходимо разложить знаменатель Qm(x) на линейные и квадратные множители, для чего надо решить уравнение:
- (5)
Теорема. Правильную рациональную дробь , где , можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей:
- (6)
(A1, A2, …, Ak, B1, B2, …, B1, M1, N1, M2, M2, …, Ms, Ns некоторые действительные числа).
Метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределенных коэффициентов состоит в следующем. Пусть дано разложение правильной рациональной дроби по формуле (6) на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Приведем простейшие дроби к общему знаменателю Qm(x) и приравняем многочлен, получившийся в числителе, многочлену Pn(x).
Метод частных значений. При нахождении неопределенных коэффициентов вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях х, можно дать переменной х несколько частных значений (по числу неопределенных коэффициентов) и получить таким образом систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Особенно выгодно применять этот метод в случае, корни знаменателя рациональной дроби просты и действительны. Тогда оказывается удобным последовательно полагать равным каждому из корней знаменателя.
Правило интегрирования рациональных дробей. Для того чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо выполнить следующие действия:
- если рассматриваемая рациональная дробь
- неправильная (k?m), представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:
где n < m; R(x) многочлен;
- если рассматриваемая рациональная дробь
- правильная (n < m), представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей по формуле (6);
- интеграл от рациональной дроби представить в виде суммы интегралов от целой части и от соответствующих простейших дробей и вычислить эти интегралы.
Интегрирование дробно-рациональных функций.
Пусть и некоторые полиномы степени m и n
Функция вида
называется дробно-рациональной функцией , или коротко-рациональной дробью.
При m<n эта рациональная дробь называется правильной.
Интегралы от дробно рациональных функций всегда вычисляются. Однако мы не будем рассматривать полную теорию интегрирования таких функций , а рассмотрим только два наиболее важных частных случая
Случай 1 Подынтегральная функция имеет вид
,
где все различны и m<n , т.е. рациональная дробь является правильной .
Основной результат который мы приведём без доказательства , утверждает , что f(x) в этом случае можно представить в виде:
Слагаемые вида называются простейшими , а само приведённое разложение называется “разложением рациональной дроби на простейшие”.
Рассмотрим вопрос о нахождении коэффициентов . Рассмотрим , например , вычисления . Для этого
а) Умножим обе части разложения на простейшие на
б) И положим x=b1 . Так как при этом (x-b1)=0 , то получи
(символ означает , что в написанном слева выражении надо положить )
Аналогично можно найти и все остальные . Этот метод получил название “метода вычёркивания “. Он формулируется так : чтобы вычислить коэффициент нужно
а) в выражении для f(x) вычеркнуть сомножитель
б) в оставшемся выражении положить .
Если все найдены, то дальнейшее очень просто
и получившиеся интегралы 1 типа легко вычисляются
Пример: Вычислить
а) Разложим подынтегральную функцию на простейшие. Имеем
Поэтому
б)Интегрируем
Случай 2. Подынтегральная функция имеет вид
т.е. сомножитель вида даёт группу слагаемых вида
Если теперь найти все коэффициенты Bij , то метод разложения приведёт к интегралам 1 и 2 типов которые легко вычисляются.
Для нахождения коэффициентов Bij можно использовать так называемый метод неопределённых коэффициентов.
Его алгоритм следующий.
а) пишут разложение рациональной дроби на простейшие с неопределёнными коэффициентами ;
б) написанное разложение на простейшие приводят к общему знаменателю и вновь сворачивают в правильную рациональную дробь ;
в) приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях исходной дроби и получившейся дроби;
г) решают полученную систему линейных уравнений и определяют Bij.
Продемонстрируем этот метод на примере .
Пример. Вычислить.
продемонстрируем алгоритм по пунктам
а) пишем разложение на простейшие с неопределёнными коэффициентами
б) приводим разложение на простейшие к общему знаменателю.
и раскрываем получившийся в числителе полином
в) сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x y исходной функции и получившегося выражения, получим
Решая эту систему, получим
A=2 B=3 C=-1 D=2
так что
г) интегрируем
Комбинированный метод
Метод неопределённых коэффициентов достаточно трудоёмок .Однако заметим что коэффициенты при старших степенях , т.е. при можно определять методом вычёркивания.
Поэтому реально комбинируют оба этих метода :коэффициенты при определяют методом вычёр?/p>