Процесс распространения гармонических волн расширения и сдвига в окрестности кругового отверстия
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
Содержание
Введение
1. Решение скалярного и векторного волновых уравнений в круговой цилиндрической системе координат
. Дифракция упругих волн на круговом отверстии
.1 Плоская волна расширения
.2 Плоская волна сдвига
. Реализация на ЭВМ
Заключение
Список литературы
Приложение
ВВЕДЕНИЕ
Развитие различных областей техники и создание новых конструкций, работающих при динамических нагрузках, разработка новых композитных материалов и внедрение их при создании новых инженерных сооружений, современные задачи геофизики и сейсмологии, а так же ряд других тенденций научно-технического характера способствовали повышения актуальности проблем динамики деформируемых тел.
К числу наиболее сложных и актуальных с точки зрения приложений проблем динамики деформируемых тел относится проблема дифракции упругих волн на различного типа неоднородностях. В то же время задачи дифракции упругих волн на неоднородностях входят в состав классических задач динамики деформируемых тел, а их решение требует привлечения сложного математического аппарата.
Задача дифракции упругих волн на круговом отверстии является одним из простейших видов описанных видов задач.
1. Решение скалярного и векторного волновых уравнений в круговой цилиндрической системе координат
Ниже приведены решения скалярных и векторных волновых уравнений для установившихся волновых движений в цилиндрической системе координат, в которой допустимо разделение переменных и которые используются в последующем при изучении дифракционного процесса. Даны основные свойства используемых специальных функций. Рассмотрим решение скалярного и векторного волновых уравнений в круговой цилиндрической системе координат ( r, q, x3 ). Скалярное уравнение для установившихся волн имеет вид
(1.1)
.(1.2)
Решая это уравнение методом разделения переменных, получаем его однозначное частное решение
(1.3)
где h - постоянная разделения.
В решении (1.3) через bn обозначена одна из цилиндрических функций: In - функция Бесселя I рода; Nn - функция Неймана; Hn(1)(2) = In iNn - функция Ханкеля I и II рода. Если волновое число a мнимое, то в решение входят модифицированные функции Бесселя In или функции Макдональда Kn. Суммируя частные решения (1.3) и учитывая линейность уравнения (1.2), приходи к общему решению уравнения
,(1.4)
В котором An(h) - произвольная величина, зависящая от постоянной разделения. Когда j периодично по оси Ox3, то решение (1.4) принимает вид
В двумерном случае, когда j = j ( r, q ), уравнение (1.2) представляется в виде
,(1.5)
Где An - произвольные постоянные.
При использовании цилиндрической функции In получаем регулярные на оси Ox3 решения (1.4), (1.5). В случае бесконечной двумерной области для получения единственности решения уравнения (1.1) необходимо выполнение условий излучения
;
.
В случае векторного уравнения
(1.6)
векторное поле можно представить в виде суммы трех векторных полей
(1.7)
в которой L - продольная часть вектора Y, M и N - косательная и нормальная части вектора Y к поверхности x3 = const. При этом
(1.8)(1.9)(1.10)
Из соотношений (1.6) - (1.10) следует, что векторное поле Y определяется через три скалярные функции y1, y2, y3, каждая из которых удовлетворяет скалярному волновому уравнению
.
Остановимся кратко на свойствах цилиндрических функций bn, входящих в решение (1.4), (1.5). Они удовлетворяют рекуррентным соотношениям
;
;
,
.
При n для | z | << | n | имеют место асимптотики
;
,
а также
;
.(1.11)
Выражения (1.11) справедливы также при любом фиксированном n 0, когда z 0.
Если n = 0, то
;
.
Для функции Бесселя In(z) при любых порядках n 0 и аргументах выполняется неравенство
.
Функция Ханкеля для x > 0 с увеличением индекса n монотонно возрастает по модулю
.
Для функций Макдональда Kn(x) справедливо неравенство
из которого следует, что
Для функции Ханкеля при x >> n справедливы асимптотические представления
;
.
В случае, когда зависимость от времени задается множителем , условиям излучения ( со знаком минус ) удовлетворяют решения (1.4), (1.5) с Hn(1), и они представляют волну, уходящую на бесконечность.
Пусть имеются две различные полярные системы координат (rq, qq) и (rk, qk), у которых полярные оси одинаково направлены. Координаты Ok в q-й системе будут Rkq, qkq, так что выполняется равенство
.
Тогда теоремы сложения имеют вид
;
.(1.12)
Формулу (1.12) дают возможность преобразовать решение волнового уравнения из одной системы координат в другую.
Приведем для определения перемещений и напряжений через F и Y в трехмерном случае
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
; (1.13)
Если упругое тело находится в условиях плоской деформации, то напряженно-деформированное состояние определяется по формулам
;
;