Процесс распространения гармонических волн расширения и сдвига в окрестности кругового отверстия
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
>; (1.13)
2. Дифракция упругих волн на круговом отверстии
В данном разделе изложены результаты исследования напряженно-деформированного состояния в окрестности кругового отверстия. Рассматриваются установившиеся волновые движения упругого тела. В качестве действующих нагрузок рассмотрены плоские волны расширения и сдвига. Исследования ведутся в рамках плоской задачи теории упругости ( плоская деформация, обобщенное плоское напряженное состояние ). Переход от уравнений плоской деформации к уравнениям обобщенного плоского напряженного состояния осуществляется посредствам замены постоянной Ламме l и m на величины
,
.
Отметим, что в случае обобщенного плоского напряженного состояния компоненты упругого перемещения принимаются не зависящими от координаты пластины по толщине. Это означает, что уравнения обобщенного плоского напряженного состояния не содержат форм колебаний пластины по толщине, и, следовательно, рассматриваемые частоты, должны быть значительно ниже, чем частоты таких колебаний. Наиболее низкие круговые частоты колебаний растяжения по толщине и колебаний среза по толщине определяются формулами
;
,
где h - толщина пластины, r - плотность материала. Кроме того в следствии опущения сложных побочных видов колебаний требуется, что бы длина волны была велика по сравнению с толщиной пластины.
.1 Плоская волна расширения
Плоская гармоническая волна расширения с круговой частотой w движется в безграничной тонкой упругой пластине с круговым отверстием. Встречаясь с его поверхностью, падающая волна порождает отраженные волны расширения и сдвига. Совокупное волновое поле создает напряженно-деформированное состояние окрестности отверстия. Для его определения требуется найти решение уравнения Гельмгольца
(2.1)
при граничных условиях на поверхности отверстия
(2.2)(2.3)
На бесконечности должны выполняться условия излучения для потенциалов отраженных волн. Здесь F0 и Y - волновые потенциалы волн расширения и сдвига; - компоненты напряженного сотояния в падающей волне; - компоненты напряженного сотояния, обусловленного отраженными волнами; R - радиус отверстия; D - двумерный оператор Лапласа;
- скорости распространения волн расширения и сдвига в бесконечной тонкой упругой пластине. Смещения и напряжения выражаются через потенциалы F и Y формулами (1.13).
рис. 2.1.
Волновой потенциал плоской волны расширения имеет вид (рис. 2.1):
(2.4)
Здесь - волновое число; w - круговая частота; - длина волны.
Выражение (2.4) можно представить в полярных координатах отверстия r, q посредствам ряда
(2.5)
где In - функция Бесселя.
Общее решение волновых уравнений (2.1), представляющее отраженные волны ( их потенциалы удовлетворяют условиям излучения при r ), имеет вид
Здесь An, Bn - неопределенные коэффициенты; Hn(1) - функция Ханкеля первого рода.
Постоянные An, Bn - вычисляются из граничных условий (2.2). Суммарное волновое поле в пластине определяется потенциалами . Выражения для напряжений и смещений имеют вид
;;;;;
Здесь
,,,,,,,,,,,,,,,.
На контуре отверстия srr = srq = 0 и sqq является главным напряжением,
,(2.6)
где
,
.
Выражение (2.6) дает возможность исследовать напряжение sqq для длинных и коротких волн. Если длина падающей волны очень велика, то aa 0, ba 0.
Цилиндрические функции Ханкеля при малых значения аргумента имеют следующие математические представления:
.
Тогда в формулах (2.6)
,
,
Следовательно при очень больших длинах волн
.
Полученное выражение соответствует решению статической задачи. Отметим, что волновой потенциал падающей волны (2.4) обусловливает двухосное начальное напряженное состояние.
Короткие волны можно рассматривать, устремляя к бесконечности нормализованное волновое число aa. Можно убедиться, что при aa . Физически это вполне объяснимо, так как, когда радиус отверстия становится неограниченно большим по сравнению с длиной волны, граница отверстия приближается к плоской. В этом случае падающая волна отражается нормально, давая нулевые напряжения на поверхности.
Конкретные вычисления проводятся на базе суммирования ряда (2.6). Для напряжения получаем выражение
,
Действительная часть R дает напряжение при t = 0; в этот момент в точке напряжение в падающей волне достигает максимума. Мнимая часть I дает напряжение при , где - период колебаний в падающей волне; в этот момент напряжения, возбужденные падающей волной, равны нулю при . Абсолютное значение есть максимальное главное напряжение; g - фазовый угол.
Для приведенных ниже результатов в рассмотренном диапазоне частот достаточно удержания 16 членов ряда (2.6) для достижения точности 10-5.
Рис. 2.2.
Рис. 2.3.
Рис. 2.4.
Рис. 2.5.
На рис. (2.2.) - (2.4.) показана зависимость динамического напряжения ( здесь s0 = - b2mA - амплитуда напряжения sxx в падающей волне ) на контуре отверстия от волнового числа aa для значений коэффициента Пуассона v = 0,15; 0.45 при t = 0 (a) и (б). Графики построены для трех точек: q = 0 (рис. 2); (рис. 3); p (рис. 4).