Процесс распространения гармонических волн расширения и сдвига в окрестности кругового отверстия
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
Если рассматривать начальное напряженное состояние в виде
;
И сложить его с напряженным состоянием, обусловленным падающей волной (2.5), получим суммарное начальное напряженное состояние, которое при сводится к статическому одноосному состоянию
;
Следовательно отношение есть динамический коэффициент концентрации напряжений для одноосного начального напряженного состояния. На рис. 2.5. показана его зависимость от волнового числа aa. Как видно из рисунка, наибольшее значение коэффициента концентрации напряжений достигается примерно при aa = 0,25 и его абсолютное значение равно примерно 3,30. Отношение максимального динамического коэффициента к статическому составляет примерно 1,10.
Приведенные результаты получены для бегущей волны (2.5). Если к волне (2.4) добавить волну той же амплитуды и длины, но движущуюся в противоположном направлении, то пластина будет возбуждаться стоячими волнами вида
,
.(2.7)Чтобы определить напряжение в пластине, разложим F0 из (2.7) в ряд, содержащий только действительную часть (2.5) или четные n. Тогда напряжение определяется уравнением (2.6), в котором n принимает четные значения. При напряжения, обусловленные стоячими волнами, будут такими же как и показано на рис. 2.2.
.2 Плоская волна сдвига
Плоская гармоническая волна сдвига движется в направлении оси Ox. Встречая на своем пути круговое отверстие в пластине (см. рис. 1), падающая волна порождает отраженные волны расширения и сдвига. Их совокупность обуславливает напряженно-деформированное состояние пластины.
Предполагается, что пластина находится в обобщенном плоском напряженном состоянии. Потенциал плавающей волны сдвига имеет вид
,(2.8)
где A - амплитуда волны; w - круговая частота; - волновое число сдвиговых волн. При прохождении волны (2.8) частицы среды испытывают перемещение в плоскости пластины в направлении, перпендикулярном направлению распространения заданной волны. Требуется найти решение уравнения Гельмгольца (2.1) при граничных условиях на контуре свободного отверстия радиуса a
(2.9)
и условиях излучения на бесконечности. Волновой потенциал падающей волны (2.8) может быть представлен в полярных координатах полости
Общее решение уравнений (2.1) с учетом условий излучения имеет вид
Произвольные постоянные An, Bn определяются из граничных условий (2.9). В результате, неравное нулю на контуре отверстия нормальное напряжение выражается следующей формулой
(2.10)
Где
.
Смещения u и v имеют вид
,
Если устремить ba к нулю и воспользоваться асимптотикой цилиндрических функций для малых значений аргумента, нетрудно убедиться в том, что с ростом длины волны решение (2.10) приближается к статическому решению для пластинки в состоянии чистого сдвига с напряжением .
Рис. 2.6.
Рис. 2.7.
Рис. 2.8.
Числовые результаты получены суммированием ряда (2.10) с прекращением вычислений по достижению точности 10-4. На рис. 2.6. показано распределение напряжения по поверхности отверстия для ba = 0,1; 1,0; 1,5 при v = 0,25. Следует отметить, что при ba = 0,1 распределение напряжений почти такое же, как и в статическом случае, тогда как при более высоких волновых числах распределение напряжений значительно отличается от статического случая. Напряжение sqq здесь и на последующих рисунках отнесено к t0 и таким образом является динамическим коэффициентом концентрации напряжений.
На рис. 2.7., 2.8. показано изменение sqq в зависимости от волнового числа и коэффициента для двух точек полости и . Из рис. 7 видно, что при значении волнового числа порядка 0.50 динамическое напряжение превышает статическое значение примерно на 20%.
3. Реализация на ЭВМ
Программный модуль вычисляет напряжения, в случае плоской волны расширения. Для расчетов используются формулы
;;;
Здесь
,,,,,,,,,,,,
Программный модуль позволяет находить значения напряжения в любой точке пластины, в произвольный момент времени t, для указанных характеристик плоской волны расширения и указанного радиуса кругового отверстия.
Текст программного модуля приведен в приложении 1, результаты работы - в приложении 2.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
уравнение волновой поле деформированный
В курсовой работе были рассмотрены уравнения, описывающие совокупное волновое поле, создающее напряженно-деформированное состояние в окрестности кругового отверстия на безграничной тонкой упругой пластине. Решение этих уравнений с краевыми условиями дает возможность выразить потенциалы, напряженности и смещения для плоских волн расширения и сдвига в виде бесконечного ряда, используя цилиндрические функции Бесселя и Ханкеля.
Список литературы
1.Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М. Дифракция упругих волн. К., Наук. думка, 1978. - 308 с.
2.Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. В 2-х т. Т. 1. М., Изд-во иностр. лит., 1958. - 930 с.
.Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. В 2-х т. Т. 2. М., Изд-во иностр. лит., 1960. - 886 с.
.Джонс Р., Стюарт Я. Программируем на Си. М.:Компьютер, ЮНИТИ, 1994. - 236 с.
Приложение 1
#include
#include
#include
#include
#define eps 0.00001
#define steps 10
#define Pi 3.14alpha,beta, mu, omega, A,R;G(int n)
{g=1;(int i=1;i<n;i++)*=i;g;
<