Программирование в Delphi математических процессов
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
записывать одной формулой:
(3)
Таким образом, число действительных корней квадратного уравнения зависит от знака дискриминанта D.
Мною созданная программа (рисунок 3.2.) находит корни квадратного уравнения.
Чтобы посчитать корни квадратного уравнения нужно ввести данные три коэффициента, после нажатия на кнопку Посчитать корни программа выводит результат. Для ввода коэффициентов использованы компоненты SpinEdit, кнопка Посчитать корни использован компонент Button и для вывода результатов компоненты Label.
.2.3 Программа Интеграл
Интегрирование функции (математическое значение).
Существуют различные методы нахождения определённого интеграла.
Рассмотрим некоторые из них:
метод средних прямоугольников;
метод трапеций;
метод Симпсона (парабол).
В своей созданной программе я как раз рассмотрела эти три метода при нахождении определенного интеграла. Ниже приведены математические понятия трех этих методов.
.2.4 Метод прямоугольников
Для вычисления приближённого значения определённого интеграла отрезок [a, b] делят на n равных частей точками a=x0<x1<x2<…<xn=b так, что xi+1-xi= (b-a) /n (I=0,1,2,…,n-1). Тогда длина каждого частичного отрезка определяется как h= (b-a) /n, а точки разбиения x0=a, x1=x0+h, x2=x1+h,…, xn=xn-1+h. Эти точки называются узлами, а h-шагом интегрирования. В узлах вычисляются ординаты y0, y1,…, yn, т.е. yi=f (xi). На частичных отрезках [xi; xi+1] строятся прямоугольники, высота которых равна значению f (x) в какой-либо точке каждого частичного отрезка. Произведение f (xi) *h определяет площадь частичного прямоугольника, а сумма таких произведений - площадь ступенчатой фигуры, представляющей собой приближённое значение интеграла.
Если f (xi) вычисляется в левых концах отрезков [xi; xi+1], то получается формула левых прямоугольников:
Iл= (y0+y1+…+yn-1) = .
Если f (xi) вычисляется в правых концах отрезков [xi; xi+1], то получится формула правых прямоугольников:
Iп= (y1+y2+…+yn) = .
Если функция f вычисляется в точках xi+h/2 [xi;; xi+1], то получается формула средних прямоугольников:
(1)
.2.5 Метод трапеции
Метод трапеций аналогичен методу прямоугольников, с той лишь разницей, что на каждом частичном отрезке строится трапеция.
Приближенное значение интеграла равно сумме всех площадей частичных трапеций:
I= (2)
.2.6 Метод Симпсона
Если на частичном отрезке длиной 2h функции заменяется дугой параболы, то можно получить формулу парабол или обобщенную формулу Симпсона:
= (h/3) * (y0+y2n+ (3)
где 1 при i - нечетном;
Ci = 1 при i - чётном.
С автоматическим выбором шага.
Точность вычисления определенного интеграла зависит от величины шага интегрирования. Ошибка в выборе величины шага интегрирования либо не обеспечит нужной точности, либо приведет к необоснованным затратам машинного времени.
Заданную точность при рациональных затратах времени на вычисления обеспечивают алгоритмы интегрирования с автоматическим выбором шага. Идея метода автоматического выбора шага интегрирования для достижения заданной точности заключается в следующем:
а) выбирается начальное n и вычисляется шаг h= (b-a) /n;
б) рассчитывается значение интеграла I1 для этого шага h;
в) шаг h уменьшается в два раза, т.е. h=h/2 и вычисляется значение интеграла I2;
г) оценивается погрешность между двумя значениями r=I1-I2; если погрешность r меньше или равна заданной точности, т.е. re, то точность не достигнута и величине I1 присваивается более точное значение I2;
д) теперь повторяются этапы в) и г) до выполнения условия r<=e.
Программа Интегралы имеет следующий вид:
Данная программа вычисляет значение интеграла функции тремя методами. Интервал интегрирования, и параметр функции вводятся пользователем. Программа вычислит результат и выдаст его в числовом виде.
В строке Функция набираете какую-нибудь функцию, далее указываете Промежуток интегрирования от а до b, указываете число-n выбираете метод интегрирования и нажимаете на кнопку Вычислить, после того программа выдаст ответ в строке Результат.
.2.7 Программа График функций
Наверное, всем приходилось иметь дело с графиками функций. Как выглядит, скажем, парабола или синусоида представляет себе каждый. А вот как выглядит график функции f(x)=Sin(x)+Cos(x), представит уже не всякий, хотя это тоже будет синусоида. Тем более никто сразу не скажет: как выглядит график функции f(x)=4*Sin(x)+3*Cos(7*x). Но, если Вы хорошо знаете математику, точнее математический анализ, то Вам не составит труда найти экстремумы функции, наибольшее и наименьшее значения функции. Тем самым вы сможете построить график функции. Но, к примеру, та, же функция f(x)= 4*Sin(x)+3*Cos(7*x) только на промежутке от 0 до пи имеет 7 экстремумов, построения ее графика у Вас уйдет немало времени.
Программный продукт График функций позволяет строить графики любых функций. Диалог пользователя с программой, а именно введение параметров, осуществляется посредством диалоговых окон программы.
Программа изучения графиков вводимых функций. y(x). В формуле могут быть использованы арифметические операции +-*/ , скобки, константы, а также набор пользовательских функций (sin, cos, tg, min, max, power, pi, Ln, e). При минимальном изменении модуля functions список пользователских функций может быть расширен. Количество параметров у пользовательски