Применение дистанционного обучения при изучении курса сферической геометрии
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?той сферического треугольника называется большая окружность, проходящая через одну из его вершин и перпендикулярная к противолежащей стороне, а также одна из двух дуг этой большой окружности, имеющих своими концами данную вершину треугольника и точки пересечения с противолежащей стороной. Если углы сферического треугольника при двух других его вершинах оба острые или оба тупые, то за высоту естественно принять дугу, лежащую внутри треугольника. Если же из двух углов при двух других вершинах один острый, другой тупой, то обе дуги, о которых идёт речь, проходят вне сферического треугольника; в этом случае за высоту естественно принять дугу, меньшую квадранта. Наконец, понятие высоты сферического треугольника, выходящей из данной вершины, теряет смысл, если углы при двух других вершинах оба прямые: в этом случае всякая большая окружность, проходящая через данную вершину, перпендикулярна противолежащей стороне.
3.2. Полярные треугольники.
Всякому сферическому треугольнику АВС можно поставить в соответствие другой сферический треугольник АВС, вершины которого являются полюсами сторон ВС, СА, АВ сферического треугольника АВС, лежащими от этих сторон по ту же сторону, что и соответственно вершины А, В, С (рис. 19). Будем называть сферический треугольник АВС полярным по отношению к сферическому треугольнику АВС.
Рис 19
Если сферический треугольник АВС является полярным по отношению к сферическому треугольнику АВС, то и сферический треугольник АВС полярен по отношению к сферическому треугольнику АВС. В самом деле, так как точка В является полюсом стороны АС, то точка В полярно сопряжена с точками А и С (рис. 19). Так как точка С является полюсом стороны АВ, то точка С полярно сопряжена с точками А и В. Но так как точка А полярно сопряжена с точками В и С стороны ВС, то она является полюсом стороны ВС. При этом, так как точки А и А лежат по одну сторону от стороны ВС, то они лежат и по одну сторону и от стороны ВС. Также доказывается, что точки В и С тоже являются полюсами сторон СА и АВ и лежат по ту же сторону от этих сторон, что и точки ВС, т.е. сферический треугольник АВС полярен по отношению к сферическому треугольнику АВС.
Обозначим точки пересечения больших окружностей АВ и АС со стороной ВС через L и М, точки пересечения больших окружностей ВС и ВА со стороной АС через N и Р и точки пересечения больших окружностей СА и СВ со стороной АВ через Q и R (рис. 19). Тогда если величины углов САВ, АВС и ВСА обозначить через А, В и С, а радиус сферы через r, то дуги больших окружностей LM, NP и QR соответственно равны Аr, Br, Cr. Далее, так как дуги ВМ, LC, CP, NA, AR, QB соединяют полярно сопряжённые точки, то они равны . Поэтому, если все три угла А, В, С , то дуги BL и MC, CN и PA, AQ и RB, дополняющие дуги Аr, Br, Cr до , соответственно равны , , . Таким образом, стороны ВС, СА и АВ полярного треугольника в этом случае равны ,,. Тот же результат совершенно аналогично доказывается и для случаев, когда углы А, В или С больше . Поэтому стороны треугольника, полярного по отношению к сферическому треугольнику АВС, соответственно равны ,,. Отсюда, если мы обозначим эти стороны через а, b, с, мы получим, что т.е. углы треугольника, полярного по отношению к сферическому треугольнику со сторонами а, b, с, соответственно равны .
Переход от данного сферического треугольника к треугольнику полярному относительно данного позволяет, зная свойства сторон первого треугольника, выводить из них свойства углов второго. Таким путём получается следующая теорема:
Теорема 1. Во всяком сферическом треугольнике:
- каждый угол, увеличенный на два прямых, больше суммы двух других углов;
- сумма трёх углов больше двух прямых и меньше шести прямых.
Сферический треугольник, совпадающий со своим полярным треугольником, называется автополярным треугольником. Так как все вершины автополярного треугольника полярно сопряжены, все стороны этого сферического треугольника равны четверти большой окружности, откуда вытекает, что все три угла этого сферического треугольника прямые. На рис. 20 изображён автополярный треугольник АВС.
Рис 20
3.3. Равенство сферических треугольников.
Два сферических треугольника называются равными, если их можно совместить друг с другом движением сферы. Очевидно, что между вершинами двух равных сферических треугольников можно установить такое соответствие, при котором и соответственные стороны, и соответственные углы этих сферических треугольников равны: для этого надо поставить в соответствие каждой вершине первого сферического треугольника ту вершину второго сферического треугольника, в которую он переходит при совмещении этих сферических треугольников.
Равенство сферических треугольников, так же как равенство плоских треугольников, определяется равенством трёх элементов этих треугольников.
Первый признак равенства треугольников.
Два сферических треугольника равны, если две стороны одного сферического треугольника равны двум соответственным сторонам другого сферического треугольника и равны углы между этими сторонами.
Второй признак равенства.
Два сферических треугольника равны, если два угла одного сферического треугольника равны двум соответственным углам друг