Аналогія: теорема Піфагора на площині і в просторі
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
оронами 3, 4, і 5 дістав назву єгипетського.
Назвемо прямокутні трикутники довжини сторін яких виражаються цілими числами, цілочисловими. Зрозуміло, що трикутники зі сторонами 3k, 4k i 5k прямокутні цілочислові, бо (3k)2+(4k)2=(5k)2 - 32+42=5 2. Таких трикутників безліч.
Чи існують цілочислові прямокутні трикутники, крім єгипетського, довжини сторін яких - три числа, що мають найбільшим спільним дільником число 1? Шукатимемо такі трикутники, тобто такі трійки натуральних чисел, які задовольнятимуть зазначену вище умову. Виходячи з умови, вони не можуть бути всі парними, але не можуть бути й не парними,бо , якщо a і b непарні, то с парне. (Зазначимо тут, що коли, наприклад, a парне, то a2 кратне 4, бо якщо a=2п ,то a2=4п2.Якщо a непарне, тобто a=2п+1, то a2=4п2+4п+1=4п1+1 - непарне).
Взагалі, якщо будь-які два числа з трійки натуральних чисел a, b і c ,що задовольняють a2+b2=c2 (такі числа називають піфагоровими), мають спільний дільник відмінний від 1, то він буде також дільником і третього числа. Отже, будь-яка пара чисел з шуканих трійок є взаємно-простими числами. Нехай a непарне і b парне, тоді c також непарне.
Маємо :
a2+b2=c2 - b2=c2- a2- b2=(c-a)(c+a).(2)
Числа (c-a) і (c+a) парні, тому тому і цілі ; b2 кратне 4, тому ціле .З рівності ( 2 ) дістанемо:
= * (3).
Числа і взаємно прості. Справді, якщо припустити протилежне, то
=ир1 і =ир2.
Отже
С = и (р1+р2) і а = и (р1-р2),
тобто числа с і а матимуть спільний дільник и, що суперечить умові.
Добуток двох взаємно простих чисел є точним квадратом (рівність 3) лише в тому випадку, коли кожне з цих чисел є точним квадратом. Нехай
=х2; =у2, тоді с=х2+у2 ; а=х2-у2 і =х2у2, або =(2ху)2; b=2ху.
Маємо тотожність
(х2-у2)2+(2ху)2=(х2+у2)2.
Формули
а=х2-у2; b=2ху і с=х2+у2
дають можливість обчислювати a, b і c за значеннями х і у.
Якщо числа х і у взаємно прості й до того ж одне з них парне, а друге непарне, то трійки (a,b,c) будуть саме такі, як у вихідній задачі(найбільший спільний дільник a, b, c дорівнює 1) . Такі трійки піфагорових чисел називаються основними.
Основні трійки піфагорових чисел модна дістати, склавши таку таблицю.
х2345678у121321152461357a=x2-y2 b=2xy c=x2+y23 4 55 12 1215 8 177 24 2521 20 299 40 4135 12 3711 60 6145 28 5333 56 6513 84 8563 16 6555 48 7339 80 8915 112 113
Її можна продовжити як завгодно довго. Отже, таких трійок чисел безліч.
Єгипетський трикутник, як видно з таблиці, дістанемо, якщо х=2, у=1. Помічаємо також, що коли х-у=1, гіпотенуза більша від більшого катета на 1. Це природно, бо коли
х=у+1, b=2xy=2у(у+1)=2у2+2у; с=(у+1)2+у2=2у2+2у+1 і тому с- b=1.
При цьому менший катет а=х2-у2=2у+1, а різниця довжин катетів b-а=2у2-1.Цей вираз дорівнює 1 тільки тоді, коли у=1. Знову приходимо до висновку, що існує лише один прямокутний трикутник, довжини сторін якого виражаються трьома послідовними натуральними числами.
Сума довжин гіпотенузи й катета b є точний квадрат, бо
с+b=х2+у2+2ху=(х+у)2.
Точним квадратом є також і їх різниця, тобто
с-b=х2+у2-2ху=(х-у)2.
Якщо х-у=п, то с-b=п2. Наприклад, якщо х=5 і у=2, маємо b=20 і с=29;
х+у=7; b+с=20+29=49=72; с- b=29-20=9=32.
Зрозуміло,що з кожної основної трійки піфагорових чисел модна дістати безліч похідних, бо
a2+b2=c2-(3а)2+(4b)2=(5с)2
Наприклад, маючи трійку (3;4;5), дістанемо трійки (6;8;10), (9;12;15), (12;16;20) та ін.
До речі, усі трійки піфагорових чисел, які походять від основної трійки (3;4;5), і основна трійка є арифметичними прогресіями. Інших трійок піфагорових чисел, які б були арифметичними прогресіями немає.
Неважко показати, що серед основних трійок(а отже, і похідних) немає жодної, яка була б геометричною прогресією.
Припустимо, то така трійка (а;b;с) існує. Тоді b2=ас і значить а2+ас=с2. Звідси ас=с2-а2, або ас=(с+а)(с-а). Числа а і с непарні, тоді як (с+а) і (с-а) парні. Отже рівність, хибна, а це означає, що зроблене неправильне припущення.
Похідні трійки можна дістати також, надаючи х і у цілих значень(крім тих, при яких дістанемо основні трійки) або коли і Наприклад, якщо х=4 і у=2, то а=12; b=16; i c=20. Такий результат можна дістати, помножаючи числа 3, 4 і 5 на 4.Якщо і , то а=6, b=8 і с=10; це можна також дістати, помноживши на 2 числа 3, 4 і 5.
Якщо, наприклад, х=1000 і у=999, то дістанемо основну трійку
а=х+у=1999, b=1998000 і с= b+1=1998001.
1.3Історичні відомості
Піфагор Самосський (бл. 580-500 р.р. до н. е.) - давньогрецький математик і філософ. Народився на острові Самос в багатій купецькій сімї, здобув ґрунтовану освіту. За переказами, Піфагор для ознайомлення з мудрістю східних учених виїхав до Єгипту і, нібито, прожив там 22 роки, після чого провів 12 років у Вавілоні, де вивчив наукові праці вавілонських жерців. Близько 530 р. до н. е. повернувся на батьківщину і оселився в місті Кротоні. Тут йому вдалося організувати власну школу, яка діяла майже 30 років і здобула велику популярність. Школа Піфагора багато зробила для перетворення геометрії в науку. Характерною рисою методу Піфагора було поєднання геометрії з арифметикою: відрізки відігравали роль, аналогічну тому, як букви в сучасній алгебрі. Піфагор багато займався пропорціями та прогресіями. Вчення Піфагора та його учнів стосувалося гармонії, геометрії, теорії чисел, астрономії тощо. Піфагорійці понад усе цінували результати, здобуті в теорії гармонії, бо саме тут підтверджувалась їхня ідея, що числа визначають все.
Піфагор один з перших вважав, що Земля має форму кулі є центром Всесвіту, що сонце, Місяць і планети мають власний рух, відмінний від добового руху