Аналитическая геометрия
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
Контрольная работа по аналитической геометрии
Задача 1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (2, 4) и удаленной от начала координат на расстояние
Решение:
1) Пусть искомое уравнение имеет вид (ясно, что точка А (2, 4) удовлетворяет этому уравнению).
) Расстояние от начала координат до прямой равно
Приравняв это выражение к , получим уравнение
) Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
,
,
Таким образом, искомое уравнение . Преобразуем полученное уравнение
,
Рисунок 1.
4) Прямая проходит через точку и расстояние от этой прямой до начала координат равно 2. То есть также является решением задачи (см. рисунок 1).
Ответ. Искомая прямая либо
Задача 2. Стороны АВ и ВС параллелограмма заданы уравнениями у = х - 2 и 5у = х + 6, диагонали его пересекаются в точке М(1, 4). Найти длины его высот
координата плоскость параллелограмм прямая
Решение:
1) Точка пересечения прямых , находится как решение системы
.
Вычитая из первого уравнение второе, получим , или . Из первого уравнения . Таким образом, координаты точки . Координаты .
) Координаты Координаты D совпадают с координатами вектора , Таким образом, координаты точки .
) Находим расстояние от D до прямой, воспользовавшись формулой
.
.
Находим расстояние от D до прямой
.
Ответ. Длины высот , .
Задача 3. Даны точки А(-4, 0) и В(0, 6). Через середину отрезка провести прямую, отсекающую на оси отрезок, вдвое больший, чем на оси
Решение:
1) Середина отрезка - точка
.
) Пусть уравнение искомой прямой в отрезках . По условию задачи , таким образом уравнение искомой прямой
.
Подставим координаты точки в уравнение. Получим
.
Уравнение искомой прямой .
Рисунок 2.
Ответ. Уравнение искомой прямой .
Задача 4. Построить плоскость х + у - z = 0 и прямую, проходящую через точки А(0, 0, 4) и В(2, 2, 0). Найти точку пересечения прямой и плоскости и угол между ними
1) Найти три точки, лежащие на плоскости, и через них построить плоскость.
Решение:
1) Если в уравнение подставить, , получим . Таким образом, точка лежит на плоскости. Аналогично, при , получаем и точка лежит на плоскости. Третья точка, лежащая на плоскости - . Построим плоскость и прямую .
Рисунок 3.
) Запишем уравнение прямой , подставляя в уравнение координаты точек А(0, 0, 4) и . Получим уравнение прямой . Приравняем к параметру все соотношения и перепишем уравнение прямой в параметрическом виде
.
) Подставим полученные выражения в уравнение плоскости . Получим для уравнение
.
Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости (при )
) Если дано уравнение плоскости в виде , то координаты нормального вектора К плоскости нормальный вектор Вектор . Синус угла между прямой и плоскостью равен
,
.
Ответ. Точка пересечения прямой и плоскости , угол между прямой и плоскостью.
Задача 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки Р(3, 0, -1) и Q(-1, -1, 3) и перпендикулярной плоскости 3х + 2у - z + 5 = 0
Решение:
Пусть уравнение искомой плоскости . Так как точка лежит на плоскости, то подставляя в уравнение плоскости ее координаты, получим уравнение .
Подставляя в уравнение плоскости координаты точки , получим уравнение .
Так как искомая плоскость перпендикулярна к плоскости 3х + 2у - z + 5 = =0, их нормальные вектора перпендикулярны. К плоскости в нормальный вектор , к плоскости 3х + 2у - z + 5 = 0 нормальный вектор Равенство нулю скалярного произведения дает уравнение
Таким образом имеем систему
Из третьего уравнения Подставляя в первое и второе уравнения, получим систему
,
.
Из уравнения получим . Подставив полученные выражения в уравнение , получаем уравнение искомой плоскости в виде
.
Умножим уравнение на 8:
.
Разделив уравнение на , получим искомое уравнение
.
Ответ. Уравнение искомой плоскости .
Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми у = 2х, у = -2х+1 и у = -х + 2
Решение:
1). Вычисление вершин.
а) Точка пересечения прямых, находится как решение системы
Подставляя выражение для из второго уравнения в первое, получим , откуда , или. Учитывая, что , при получаем .
Координаты точки .
б) Точка пересечения прямых , находится как решение системы
Подставляя выражение для из первого уравнения во второе, получим
,
,
,
Координаты точки .
с) Точка С пересечения прямых , находится как решение системы
Подставляя выражение для первого уравнения во второе, получаем . Следовательно, . При получим
Координаты точки .
Рисунок 4.
). Вычисление основания. Находим координаты вектора Длина .
). Вычисление высоты. Если дано уравнение прямой в виде и координаты точки , то расстояние от точки С до прямой находится по формуле
.
Уравнение прямой AB , или (то есть , , ). Координаты . Подставляя в формулу рас