Аналитическая геометрия
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
p>, , имеет вид
.
Подставляя координаты точек А(1, -1, 2), В(2, 1, 2), С(1, 1, 1), получим уравнение
.
Вычисляем определитель методом треугольника.
.
Итак, искомое уравнение плоскости Для проверки можно подставить в это уравнение координаты точек А(1, -1, 2), В(2, 1, 2), С(1, 1, 1) и убедиться в том, что точки лежат на плоскости.
Действительно, для точки (верно).
Для точки (верно).
Для точки (верно).
Ответ. Искомое уравнение плоскости
Задача 12. Найти расстояние от точки М(a, b, c) до плоскости, отсекающей на осях координат отрезки a, b и с
Решение:
Уравнение плоскости в отрезках .
Найдем расстояние от точки до этой плоскости.
.
Ответ. Искомое расстояние равно .
Задача 13. Найти угол между прямой и прямой, проходящей через точку М(1, -1, -1) и начало координат
Решение:
1) Находим координаты двух точек и , лежащих на прямой, заданной в виде системы. Подставив в систему
,
получим систему
.
Из первого уравнения . Подставляем z=0,5 во второе уравнение: y=1+20,5=2. Таким образом, координаты точки.
Подставив в систему
, получим систему .
Из первого уравнения . Из второго уравнения . Таким образом, координаты точки .
) Координаты направляющих векторов прямых
; .
3) Косинус угла между прямыми равен
.
Ответ. Угол между прямыми равен
Задача 14. Найти проекцию точки А(3, 1, -1) на прямую x = y = z
Решение:
1) Если уравнение прямой записано в виде , то - направляющий вектор данной прямой. Из уравнения видно, что направляющий вектор .
Подставим в уравнение вместо координаты , вместо координаты . Получим уравнение
.
) Запишем уравнение прямой x = y = z в параметрическом виде. Для этого приравняем к параметру все соотношения x = y = z=t.
Получим систему .
Подставим полученные выражения в уравнение плоскости из пункта 1.
Получим для уравнение .
Из системы ,
при получаем .
Координаты проекции .
Ответ. Координаты проекции .
Задача 15. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую l: (x - 1)/1 = (y + 1)/2 = (z + 2)/2 и перпендикулярно к плоскости р: 2x + 3y - z = 4
Решение:
1) Если уравнение прямой записано в виде , то - направляющий вектор данной прямой. Из уравнения видно, что направляющий вектор прямой .
Если дано уравнение плоскости в виде, то координаты нормального вектора Таким образом, к плоскости нормальный вектор
) Обозначим координаты нормального к искомой плоскости вектора Из условий, следует, что равны нулю скалярные произведения , . То есть координаты удовлетворяют системе уравнений
.
Умножим второе уравнение на -2 и сложить оба уравнения:
.
Таким образом, . Из второго уравнения системы . Если взять , получим координаты нормального вектора
) Чтобы найти точку , лежащую на искомой плоскости, найдем любую точку, лежащую на прямой (так как прямая принадлежит искомой плоскости). Подставляя в уравнение значение , получим равенства , откуда , . Таким образом, координаты точки .
) Искомое уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид
.
Ответ.