Аналитическая геометрия
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
стояния от точки до прямой, получаем высоту
.
). Нахождение площади. Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты, то есть .
кв.ед.
). Нахождение углов треугольника. Чтобы найти углы треугольника, нужно все уравнения прямых записать как уравнения с угловым коэффициентом, то есть в виде , - угловой коэффициент. Упорядочив коэффициенты по убыванию, , тангенсы внутренних углов находят по формулам (тангенс угла между прямыми с коэффициентами , ); (тангенс угла между прямыми с коэффициентами , ); (тангенс угла между прямыми с коэффициентами , ). Прямая AB имеет уравнение угловой коэффициент равен 2. Прямая AС имеет уравнение, угловой коэффициент равен -2. Прямая CB имеет уравнение , угловой коэффициент равен -1. Упорядочим угловые коэффициенты по убыванию Угловой коэффициент АВ , угловой коэффициент ВС , угловой коэффициент СB . Вычисляем тангенсы углов
(угол между СВ и АС),
(угол между АС и АВ),
(угол между АВ и СВ).
Ответ: кв.ед.; ; ; .
Задача 7. Стороны АВ и ВС параллелограмма заданы уравнениями 2х - у + 5 = 0 и х - 2у + 4 = 0, диагонали его пересекаются в точке М(1, 4). Найти длины его высот
Решение:
) Точка пересечения прямых , находится как решение системы
.
Умножаем второе уравнение на 2.
Вычитая из первого уравнение второе, получим , или . Из первого уравнения . Таким образом, координаты точки . Координаты .
) Координаты Координаты D совпадают с координатами вектора , Таким образом, координаты точки .
) Находим расстояние от D до прямой, воспользовавшись формулой
.
.
Находим расстояние от D до прямой
.
Ответ. Длины высот , .
Задача 8. Через начало координат проведена прямая на одинаковом расстоянии от точек А(2, 2) и В(1, 0). Найти это расстояние
Схема решения задачи.
) Записав уравнение искомой прямой в виде , найти параметр из условия, что точка лежит на прямой.
) Записать расстояние от точки до искомой прямой, затем расстояние от точки до искомой прямой.
) Приравняв полученные в пункте 2 выражения для расстояний, получить уравнение, содержащее параметр . Решить уравнение
) Написать уравнения полученной прямой (прямых). Найти расстояние от точек А и В до прямой (прямых). Сделать чертеж.
Решение:
1. Подставив (0;0) в уравнение , получим , то есть искомое уравнение имеет вид или .
. Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле
и равно .
Аналогично расстояние от точки до прямой равно
. Из условия получаем уравнение
Разделим уравнение на (ясно, что не является решением). Получаем
.
Следовательно, возможно два решения или .
Из первого уравнения получим , или , .
Из второго уравнения получим , или , .
. Таким образом, условию задачи удовлетворяют две прямые и . Расстояние от точек и до прямой равно
.
Расстояние от точек идо прямой равно
.
Рисунок 5.
Ответ. Расстояние от точек идо прямой равно, до прямой равно .
Задача 9. Написать уравнение биссектрис углов между прямыми 3х + 4у = 12 и у = 0
Решение:
Биссектриса - это геометрическое место точек, равноудаленных от обеих прямых. Пусть - точка, лежащая на биссектрисе. Запишем расстояния от до прямой и до прямой Расстояние от до прямой равно , расстояние от до прямой равно .
Так как эти расстояния равны между собой, то получаем уравнение
;
Умножая это уравнение на и деля на , получаем .
Если модуль числа равен , то это число равно или . Следовательно, для точки получим два уравнения
) или 2).
Первое уравнение равносильно уравнению или . Аналогично второе уравнение равносильно или .
Ответ. Уравнения биссектрис и .
Задача 10. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: А(- 4, 2), В(2, -5) и С(5, 0)
Решение.
I. Точка пересечения медиан.
) Координаты средины : или . Координаты средины : или .
) Найдем уравнение медианы (уравнение прямой, проходящей через точки и ).
Уравнение :
Найдем уравнение медианы (уравнение прямой, проходящей через точки и . Уравнение :
,
) Точка пересечения медиан - точка пересечения прямых
() и .
Решим систему
.
Умножим первое уравнение на 3 и вычтем из него второе:
Подставим значение у во второе уравнение:
Координаты точки пересечения медиан (1;-1).. Точка пересечения высот.
1) Координаты . Вектор перпендикулярен вектору .
) Уравнение высоты :
) Координаты вектора . Вектор перпендикулярен вектору .
) Уравнение высоты :
.
) Точка пересечения высот - точка пересечения прямых () и ().
Координаты точки пересечения высот - решение системы
.
Умножаем второе уравнения на 2 и вычитаем его из первого:
Подставляя в первое уравнение у=-2, получим .
Координаты точки пересечения высот (-2; 2).
Ответ. Точка пересечения медиан (1;-1), точка пересечения высот (-2; 2).
Задача 11. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(1, -1, 2), В(2, 1, 2), С(1, 1, 1)
Решение: Уравнение плоскости, проходящей через три точки
<