Построение неполной квадратичной регрессионной модели по результатам полного факторного эксперимента
Курсовой проект - Экономика
Другие курсовые по предмету Экономика
тов (выбору некоторого числа наборов уровней входов), фиксации выходов, а затем к построению и анализу математических моделей, связывающих выходы с входами.
Таким образом, нужно получить некоторое представление о так называемых функциях отклика:
Вид функций исследователю заранее неизвестен. Поэтому, получая в опытах выборочные оценки выходов y, он вынужден строить приближенные уравнения функций отклика:
Эти уравнения в многомерном пространстве факторов называются факторным пространством. Они имеют некоторый геометрический образ поверхность отклика. Следовательно, задача сводится к получению представления о поверхности отклика. Если задача экстремальная, надо найти экстремум (минимум или максимум) этой поверхности или сделать вывод, что экстремума нет. Если решается задача описания, необходимо попытаться выявить причины именно такого характера поверхности.
Свойства материалов, как и вообще любых других систем, можно описывать различными математическими моделями. Наибольшее применение нашли модели в виде алгебраических полиномов. Обычно используют разложение неизвестной функции отклика в ряд Тейлора в окрестности любой точки из области ее определения в факторном пространстве:
где ; ; .
Этот степенной ряд в общем случае бесконечен, но на практике ограничиваются конечным числом его членов, аппроксимируя тем самым неизвестную функцию (х1, х2,..., хk) полиномом некоторой степени. Подобная аппроксимация имеет смысл, если функция отвечает ряду требований. Важнейшим из них является требование непрерывности и достаточной гладкости. Поскольку заранее неизвестно, насколько это требование выполняется, приходится делать допущения о том, что это так.
Модель строят по результатам экспериментов, т. е. определяют выборочные оценки коэффициентов b0, bi, bij, bii:
где у выборочная оценка функции отклика .
Эксперимент можно проводить по-разному. В случае, когда исследователь наблюдает за каким-то неуправляемым процессом, не вмешиваясь в него, или выбирает экспериментальные точки интуитивно, эксперимент считают пассивным. В частности, такая ситуация возникает почти всегда, когда пользуются традиционными методами экспериментирования, изучая вначале влияние на свойства материала одной переменной при остальных постоянных, затем другой и т. д. Поскольку при этом немыслимо перебрать все возможные варианты, выполняют лишь часть опытов, причем обоснование выбранных вариантов почти никогда не бывает достаточно строгим. В этих случаях статистические методы применяют обычно после окончания экспериментов, когда данные уже получены. Здесь используют такие приемы, как подбор функций распределения, определение средних величин и мер рассеяния, анализ корреляций, регрессий и т. п.
Опыт показал, что указанный подход, особенно в задачах оптимизации, является неэффективным. Не останавливаясь на всех причинах этого обстоятельства, отметим лишь, что по результатам пассивного эксперимента можно, например, судить о наличии или отсутствии статистической связи между переменными, построить подходящие уравнения связи. Но этими уравнениями можно пользоваться только для интерполяции. Например, можно оценить в виде аналитического выражения, как изменяется прочность того или иного материала в зависимости от его состава и условий изготовления, но интерпретировать полученную модель, придавать какое-либо значение ее коэффициентам, использовать для целей оптимизации, как правило, нельзя. В настоящее время пассивный эксперимент достаточно широко используют в технологии металлов и материаловедении. Тем не менее, будущее, вероятно, не за ним, хотя в некоторых случаях и из пассивных наблюдений удается извлечь весьма ценную информацию.
Совсем иная картина наблюдается, когда исследователь начинает применять статистические методы на всех этапах исследования и, прежде всего, перед постановкой опытов, разрабатывая схему эксперимента, а также в процессе экспериментирования, при обработке результатов и после эксперимента, принимая решение о дальнейших действиях. Такой эксперимент называют активным, и он предполагает планирование эксперимента.
Под планированием эксперимента обычно понимают процедуру выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.
Основные преимущества активного эксперимента связаны с тем, что он позволяет:
- минимизировать общее число опытов;
- выбирать четкие, логически обоснованные процедуры, последовательно выполняемые экспериментатором при проведении исследования;
- использовать математический аппарат, формализующий многие действия экспериментатора;
- одновременно варьировать всеми переменными и оптимально использовать факторное пространство;
- организовать эксперимент таким образом, чтобы выполнялись многие исходные предпосылки регрессионного анализа;
- получать математические модели, имеющие более широкую область практического применения, нежели модели, построенные по результатам пассивного эксперимента;
- рандомизировать условия опытов, т. е. многочисленные несущественные факторы превратить в случайные величины;
- оценивать элемент неопределенности, связанный с экспериментом, что дает возможность сопоставлять результаты, получаемые разными исследователями.