Поиск оптимальных условий
Курсовой проект - Менеджмент
Другие курсовые по предмету Менеджмент
го, разные поисковые методы в равных условиях обладают различной помехоустойчивостью.
1.1 Метод Гаусса-Зайделя
Метод сводится к поиску экстремума поочередно по каждой переменной отдельно. Алгоритм выражается формулой: xj+1= xj+f(R (xj)).
Пусть имеется некоторая начальная точка x0 и R(x1,x2). Сначала будем искать по первой переменной x1, при этом фиксируя значение остальных переменных и начинаем менять x1. Смотрим результат. Найденную точку с наилучшим значением по первой переменной фиксируем и начинаем менять вторую переменную x2. Найденная наилучшая точка x1 завершает первый цикл. Последовательный поиск экстремума по каждой переменной не приводит нас в общем случае, к экстремуму функции, поэтому после завершения первого цикла наступает второй, третий и т. д. Точность нахождения экстремума зависит от величины шага по переменной. Его выбирают так, чтобы:
- уверенно почувствовать изменение функции при наличии помех;
общее число экстремумов не слишком большое;
далеко не проскакивать оптимум по направлению.
Основная особенность рассматриваемого метода - отсутствие вычисления градиента критерия оптимальности. Ряд методов прямого поиска базируется на последовательном применении одномерного поиска по переменным или по другим задаваемым направлениям, что облегчает их алгоритмизацию и применение.
Метод обладает низкой эффективностью в овражных функциях, может застревать в ловушках, особенно при сравнительно больших шагах h при поиске оптимума по каждой переменной, очень чувствителен и к выбору системы координат. Метод прост в реализации. На эффективность метода влияет порядок чередования переменных.
Достоинства метода:
очевидная простота стратегии и наглядность;
высокая помехозащищенность в смысле выбора направления движения.
Недостатки метода:
при большом числе влияющих n факторов путь к главному экстремуму оказывается обычно долгим;
в условиях крупного промышленного производства оказывается трудным застабилизировать n-1 факторов на длительное время;
если поверхность отклика имеет сложную форму (узкие гребни, овраги и т.п.), то использование метода может привести к ложному ответу на вопрос о месте расположения экстремума;
метод не дает информации о взаимодействиях факторов.
Условием окончания поиска является малость изменения критерия оптимальности за один цикл или невозможность улучшения критерия оптимальности ни по одной из переменных.
.2 Метод с наказанием случайностью
Метод является аналогом метода наискорейшего спуска, только направление локального поиска не градиентное, а случайное. Метод относится к методам многомерной случайной оптимизации, где величина шага при построении улучшающей последовательности формируется случайным образом. Поэтому в одной и той же ситуации шаг может быть различен в отличие от регулярных методов.
Суть метода заключается в следующем: из текущей точки делают случайные шаги до тех пор, пока не будет найдена точка с лучшим значением критерия оптимальности. Затем в этом направлении регулярным методом одномерного поиска ищут оптимум. В точке оптимума по направлению опять случайным образом ищут новое направление и т.д.
Достоинства метода:
очевидная простота;
выбор случайного вектора для выполнения пробного опыта не зависит от случайных помех и формы поверхности отклика;
позволяет находить глобальный экстремум;
эффективен в задачах высокой размерности и вдали от оптимума, позволяет в среднем быстрее выходить в район оптимума.
Недостатки метода:
в общем случае направление рабочих шагов не является оптимальным;
малая эффективность в условиях пологих поверхностей отклика.
Поиск заканчивают, когда за заданное число попыток не удается найти точку с лучшим значением критерия оптимальности, чем имеющаяся текущая.
2.Проведение экспериментов
2.1 Метод Гаусса - Зайделя
В связи с тем, что на рассматриваемый нами объект действуют случайные помехи (процесс стохастический), будем дублировать в каждой запланированной точке эксперимент.
В начальной точке (2; -2; 1; 3; 1) проведем двадцать экспериментов и найдем дисперсию и среднее квадратическое отклонение единичного результата.
У1У2У3У4У5Уср21,61421,07117,27121,88617,814 19,6464У6У7У8У9У1019,98620,52918,62919,44317,000У11У12У13У14У1520,80017,00020,25718,90017,000У16У17У18У19У2020,25722,15718,35720,80022,157
;
,
где 2 - дисперсия;
- среднее квадратическое отклонение;число экспериментов.
?2 =3,217
?=1,794
Зададимся числом дублей при одних и тех же параметрах xi. Пусть число повторений в процессе проведения эксперимента равно пяти. Тогда найдем среднее квадратическое отклонение для числа экспериментов m=5.
1,794/5=0,359
Отсюда получим
Следовательно, изменение выходной величины уiср должно быть
больше при различных значениях параметров хi, т.е.
>,
где Yi -среднее значение критерия оптимальности i-ого цикла;
Yi+1 -среднее значение критерия оптимальности (i+1) цикла.
Учитываем что, хi может изменяться в пределах [-5;5]
Из начальной точки с координатами (2; -2; 1; 3; 1) с Уср=19,6464 ищем минимум критерия поочередно по всем переменным. Используем прием последовательного сканирования, т.е. шагаем до первого лучшего значения критерия, применяя алгоритм х1i+1=хi1h, где h - шаг. Знак + или - выбирается в зависимости от направления изменения критерия: