Основные этапы разработки программы вычисления определенного интеграла функции по методу Симпсона
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
F(a), называется определенным интегралом и обозначается символом
так, что если
,
то
Данное равенство называется формулой Ньютона-Лейбница. Предполагается при этом, что подинтегральная функция f(x) непрерывна при всех значениях x, удовлетворяющих условиям
x b.
Формулы, позволяющие по известным значениям приближённо определить значение интеграла, называются квадратурными формулами.
Для наглядности мы будем прибегать к геометрической интерпретации смысла определённого интеграла, как площади некоторой поверхности, в случае функции . Следует, однако, иметь в виду, что квадратурные формулы, которые мы будем получать, имеют смысл для функций, принимающих значения произвольного знака.
При вычислить интеграл, значит найти площадь под графиком , расположенную над отрезком . Естественной идеей является следующее построение: разобьём отрезок на части точками деления и положим и . Тогда разбиение отрезка состоит из отрезков при . Вместо площади под графиком будем приближённо находить суммарную площадь узких полосок, лежащих над отрезками разбиения .
Рисунок 1 - График функции f(x) на отрезке
1.2.2 Квадратурная формула Симпсона (формула парабол)
Выберем приближение графика функции в виде параболы - графика некоторого квадратного трёхчлена . Его вид, конечно, будет зависеть от отрезка , на котором мы выбираем приближение.
Выберем, например, такой квадратный трёхчлен , чтобы его значения в точках и совпадали со значениями функции в этих же точках:
(1)
Через мы обозначаем середину отрезка , то есть
Функцию можно записать в виде
Действительно, раскрыв скобки, получим некоторый квадратный трёхчлен. Подберём числа так, чтобы выполнялись равенства (1). Положим , тогда и . Подставим в выражение для и получим:
то есть
Подстановка даёт
откуда
Наконец, подставим и получим
откуда
Вычислим теперь интеграл от интерполяционной функции , для чего сделаем в нём замену :
Осталось просуммировать эти величины по всем отрезкам разбиения. При этом получаем квадратурную формулу, которая называется формулой Симпсона, или формулой парабол:
Таким образом, формула Симпсона - это квадратурная формула четвёртого порядка точности. Это означает, что при уменьшении шага вдвое ошибка уменьшится примерно в раз, а при уменьшении шага в 10 раз ошибка уменьшится примерно в раз.
Доказательство приведённой оценки для формулы Симпсона можно найти, например, в книге Численные методы, Самарский А.А, Гулин А.В.
2. Алгоритм решения задачи
2.1 Словесное описание алгоритма
математический программирование алгоритм листинг
Алгоритм программы представлен в виде блок-схемы и включает в себя, помимо основной программы, подпрограмму вычисления интеграла по методу Симпсона. Также блок-схема содержит подпрограмму вычисления интеграла по методу трапеций. В главной программе запускаются циклы вычислений интеграла методами Симпсона и трапеций до достижения необходимой точности, для каждого метода рассчитывается количество шагов, за которые они решаются.
В подпрограмме вычисления интеграла методом Симпсона запускается цикл решения уравнений, согласно правилу нахождения интеграла по методу Симпсона. Приведена подпрограмма вычисления интеграла методом трапеций, реализованная согласно правилу нахождения интеграла по методу трапеций.
Подпрограмма вычисления интеграла методом Симпсона, как и подпрограмма вычисления интеграла по методу трапеций, ссылается на функциональный модуль, куда вводится функция, для которой рассчитывается определенный интеграл.
2.2 Блок-схема алгоритма решения задачи
В соответствии с приведённым словесным описанием алгоритма решения поставленной задачи разработана блок схема решаемой задачи.
1. Блок-схема программы
2. Вычисление интеграла по методу трапеций
. Вычисление интеграла по методу Симпсона
4. Интегрируемая функция
3. Выбор языка программирования
Существует множество языков программирования, различающихся по предоставляемым возможностям. Выбор языка программирования для решения конкретной задачи существенно влияет на качество программы, получаемой в результате разработки, а также на скорость и удобство самого процесса разработки. В результате использования данных языков получаются более объемные и менее быстродействующие исполняемые программы, что, однако, компенсируется скоростью их разработки и меньшим содержанием ошибок, хотя бы вследствие малых объемов исходных данных. К таким языкам относится Turbo Pascal.
Язык Паскаль - это один из наиболее распространённых языков программирования 80-90х годов, поддерживающий самые современные методологии проектирования программ (нисходящее, модульное проектирование, структурное программирование), которые имеют свою достаточно