Книги по разным темам
Pages: | 1 | 2 | 3 | k k i Последовательность TB(bn -b ) ограничена в Bi+1, подпространство k k kZ Im i+1 = Ker i+1 замкнуто в Bi+1 и Ker i+1 = 0, поэтому по теореме Банаха об открытом отображении последовательность {ak}kZ ограничена в Ai+1.
Аддиционная теорема для многообразий Последовательности i+2 i+2 i+1 i+i+1 i+1 i+Ai+2 Bi+2 Ci+2, Dom TA Dom TB Dom TC i+1 i+1 i+точны и TB i+1ak = 0, значит, ak Dom TA и TA ak = 0.
Обозначим через [ak] элемент пространства гомологий Hi+1A, содержащий цикл ak. Так как [ak] = i[ibn - ck] и dim Im i <, последовательность k {[ak]}kZ содержится в некотором конечномерном подпространстве пространства Hi+1A.
i+Найдется такое конечномерное подпространство V в Ker TA, что [ak] i+1 i+i (V ), где : Ker TA HA каноническая проекция. Оператор TA компактно разрешим и поэтому нормально разрешим. Следовательно, подпространство i Im TA замкнуто в Ai+1. Ограниченная последовательность {ak}kZ содержитi i ся в Im TA + V, подпространство Im TA замкнуто в Ai+1, а подпространство V конечномерно. Поэтому последовательность {ak}kZ можно представить в виi де ak = a + a, где {a }kZ ограниченная последовательность в Im TA, а k k k {a }kZ ограниченная последовательность в V.
k Переходя к подпоследовательностям, без ограничения общности можно считать последовательность {a }kZ сходящейся.
k i В силу компактной разрешимости оператора TA существуют такие подпоследовательность {a }jZ последовательности {a }kZ и сходящаяся в Ai поkj k i следовательность {j}jZ, что TAj = a. Вновь переходя к подпоследовательkj ностям, будем считать, что kj = j, т. е. что подпоследовательность {a }jZ kj совпадает со всей последовательностью {a }kZ.
k Последовательность {i+1a }kZ сходится в Bi+1 и содержится в конечноk i i мерном подпространстве i+1(V ). Так как i+1ak Im TB и i+1a = i+1TAk k i i i = TBik, то i+1a Im TB. Следовательно, i+1a Im TB.
k k Найдется такая сходящаяся в Bi последовательность { лежащая в bk}kZ, i i Dom TB, что TB = i+1a. Последовательность {ik + bk + b }kZ сходится bk k k в Bi, и i i i TB(ik + bk + b ) = i+1a + i+1a + TBb = TBbn.
k k k k k -1 i i i i Установлено, что оператор TB/ Ker TB : Im TB Bi/ Ker TB компактен. Лемма доказана.
i Банахов комплекс A = Ai, TA iZ будем называть гильбертовым комплексом, если все Ai сепарабельные гильбертовы пространства.
i-Пусть A произвольный гильбертов комплекс. Так как Ker TA = i-1 i-1 i-i i Im TA и Im TA Ker TA, то Ker TA + Ker TA = Ai для каждого i. По лемме i-1 i-1 i i i i TA TA + TA TA = DA DA, i i-i i где DA = TA TA. Из лемм 7, 5 и 3 и равенства Ker DA = HiA вытекает следующее утверждение.
Теорема 1. Для произвольного гильбертова комплекса A следующие утверждения эквивалентны:
i i-1 i-i 1) спектр оператора Li = TA TA + TA TA дискретен, A i-i 2) операторы TA и TA компактно разрешимы и dim HiA <, i 3) оператор вложения Dom DA Ai компактен.
564 В. И. Кузьминов, И. А. Шведов Теорема 2. Пусть 0 A B C точная последовательность гильбертовых комплексов. Тогда 1) если спектр оператора Li дискретен, то дискретны спектры операторов B Li и Li ;
A C 2) если спектры операторов Li и Li дискретны и выполнены условия (Pi) A C и (Pi-1) леммы 9, то спектр оператора Li дискретен.
B Доказательство. 1. Пусть спектр оператора Li дискретен. По теореB i-i ме 1 операторы TB и TB компактно разрешимы и dim HiB <. По лемi-1 i-i i ме 8 операторы TA, TA, TC, TC компактно разрешимы и dim i-1 <, dim i <. В силу точности последовательности гомологий (1) dim HiA < и dim HiC <. По теореме 1 спектры операторов Li и Li дискретны.
A C 2. Пусть спектры операторов Li и Li дискретны и выполнены условия A C i-1 i-i i (Pi) и (Pi-1). По теореме 1 операторы TA, TA, TC, TC компактно разрешимы и dim HiA <, dim HiC <. Из условия dim HiA < следует, что dim i-1 <, а из условия dim HiC < что dim i <. По лемме 9 операi-i торы TB и TB компактно разрешимы. Так как последовательность гомологий точна и dim HiA <, dim HiC <, то dim HiB <. По теореме 1 спектр оператора Li дискретен. Теорема доказана.
B 4. Аддиционная теорема для гладких многообразий Пусть X гладкое n-мерное ориентируемое риманово многообразие, гладкая строго положительная функция, называемая в дальнейшем весовой функцией на X или весом, kT k-я внешняя степень кокасательного рас слоения T над X. Сечения расслоения kT это дифференциальные формы степени k на X. Риманова метрика многообразия X индуцирует на каждом слое kTx скалярное произведение (, )x.
Будем использовать следующие обозначения для некоторых пространств сечений расслоения kT :
Dk(X) пространство гладких сечений с компактными носителями, лежащими в int X = X \ X;
Lk (X) пространство тех дифференциальных форм степени k на X, 1,loc представления которых в локальных картах многообразия X имеют локально интегрируемые коэффициенты;
Lk(X, ) гильбертово пространство, снабженное скалярным произведением (, ) = (, )x2(x) dx = 2, X X где оператор Ходжа, dx элемент риманова объема многообразия X; это пространство образовано всеми формами Lk (X), для которых = 1,loc (, )1/2 < ;
Lk (X, ) пространство тех форм из Lk (X), которые, будучи умно2,loc 1,loc женными на любую гладкую функцию с компактным носителем, принадлежат Lk(X, );
k,s Hloc (X) пространство форм степени k на X, представления которых в локальных картах многообразия X имеют коэффициенты, принадлежащие s пространству Соболева Hloc, s 0 целое.
Аддиционная теорема для многообразий В дальнейшем мы будем иметь дело со следующими дифференциальными операторами, действующими в пространствах дифференциальных форм:
dk : Dk(X) Dk+1(X) оператор внешнего дифференцирования;
k : Dk(X) Dk-1(X) оператор, формально сопряженный к оператору dk-1;
k k D = dk : Dk(X) Dk-1 Dk+1(X) оператор Гаусса Бонне (соответствующий весу );
k+1 k k = dk + dk-1 оператор Лапласа (соответствующий весу ).
k В соответствии с определением оператор формально сопряжен к оператору dk-1. Это означает, что для любых Dk-1(X) и Dk(X) выполнено k равенство (dk-1, ) =,.
Так как для любых Dk-1(X), Dk(X) (dk-1, ) = dk-1 2 = (-1)k dm-k+X X = (, (-1)k-2 -1 dm-k+1 2), то k k = (-1)k-2 -1 dm-k+1 2 = 1 + (-1)k -1 (2-1d ). (2) k k Здесь 1 оператор, соответствующий весу 1.
Используя формулу (2), получаем k k D = D1 + ((-1)k -1 (2-1d ), 0), (3) k = k + (-1)k+1 -1 (2-1d dk) + (-1)kdk-1 -1 (2-1d ). (4) k k Поскольку dk,, D и k дифференциальные операторы, их действие стандартным образом распространяется на пространства, более широкие, чем Dk(X). В частности, будем рассматривать оператор dk как оператор, действующий из Lk (X) в Lk+1 (X). Область задания этого оператора образована 1,loc 1,loc всеми формами Lk (X), для каждой из которых существует такая форма 1,loc Lk+1 (X), что 1,loc k+, 2 dx = (, )x2 dx (5) x X X для всех Dk+1(X).
Условие (5) определяет форму однозначно. Эта форма объявляется значением оператора dk на форме Dom dk. Используя формулу (2), легко проверить, что так определенный оператор dk : Lk (X) Lk+1 (X) не зависит 1,loc 1,loc от выбора веса.
Определим оператор dk : Lk(X, ) Lk+1(X, ). Область задания этого max 2 оператора образована всеми теми формами Dom dk Lk(X, ), для которых dk Lk+1(X, ), dk := dk для форм Dom dk.
2 max max Рассмотрим оператор dk : Lk(X, ) Lk+1(X, ) с областью определения 2 Dom dk = Dk(X). Замыкание этого оператора будем обозначать через dk :
min Lk(X, ) Lk+1(X, ).
2 Аналогично тому, как это было сделано в случае операторов dk, dk и dk, max min определяются операторы k k k : Lk (X) Lk-1 (X),,min,,max : Lk(X, ) Lk-1(X, ), 1,loc 2 1,loc 566 В. И. Кузьминов, И. А. Шведов k D : Lk (X) Lk-1 (X) Lk+1 (X), 1,loc 1,loc 1,loc k k D,max, D,min : Lk(X, ) Lk-1(X, ) Lk+1(X, ), 2 2 k : Lk (X) Lk (X), k, k : Lk(X, ) Lk(X, ).
1,loc 1,loc,max,min 2 k+k Оператор,max сопряжен к оператору dk-1, dk сопряжен к,min, k min max,max сопряжен к k.
,min Лемма 10. Если Lk (X) форма с компактным носителем и dk 2,loc k k Lk+1 (X) ( Lk-1 (X)), то Dom dk ( Dom,min).
2,loc 2,loc min Доказательство. В случае dk Lk+1 (X) утверждение леммы легко до2,loc казать, используя для аппроксимации формы гладкими формами процедуру k усреднения [5]. Случай Lk-1 (X) сводится к предыдущему с помощью 2,loc формулы (2). Лемма доказана.
k Пусть Dom : Lk (X) Lk-1 (X) и f : X R гладкая функция.
1,loc 1,loc Тогда для произвольной формы Dk-1(X) имеем k (f, dk-1)x2 dx = (, dk-1(f) - df dk-1)x2 dx = f, 2 dx x X X X k + (-1)k dk-1 df 2 = f + (-1)k -1 (df ), 2 dx.
x X X k k Так как f + (-1)k -1 (df ) Lk-1 (X), то f Dom и 1,loc k k (f) = f + (-1)k -1 (df ). (6) Аналогично устанавливаем, что dk(f) = df + fdk, (7) если Dom dk : Lk (X) Lk+1 (X), f : X R гладкая функция.
1,loc 1,loc Лемма 11. На полном римановом многообразии (без края) dk = dk, max min k k k k,max =,min, D,max = D,min, k = k.
,max,min Доказательство. На полном римановом многообразии существует последовательность fn : X [0, 1] гладких функций, удовлетворяющая следующим условиям: 1) каждая функция fn имеет компактный носитель, 2) fn+1 fn, 3) для каждой точки x X существует такой номер n = n(x), что fn(x) = 1, 4) |dfn|x 1 в каждой точке x X. Используя оценки |dfn |x ||x, | -1 (dfn )|x |dfn|x||x и формулы (6) и (7), заключаем, что для каждой формы Dom dk будет max fn Dom dk и fn в Dom dk при n, а для каждой формы max max k k k Dom,max будет fn Dom,max и fn в Dom,max при n.
k По лемме 10 fn Dom dk в первом случае и fn Dom,min во втором.
min k Поэтому в силу замкнутости операторов dk и,min имеем dk = dk и min max min k k,max =,min.
k Известно, что символы дифференциальных операторов D1 и k инъективk k ны [6]. Ввиду формул (3) и (4) порядок оператора D - D1 меньше порядков Аддиционная теорема для многообразий k k операторов D и D1, а порядок оператора k - k меньше порядков опера k торов k и k. Поэтому символы операторов D и k инъективны. Следо k,k вательно, согласно теории эллиптических операторов Dom D,max Hloc (X), k,Dom k Hloc (X) [7, теорема 7.1].
,max k k k Пусть Dom D,max. Так как D,max =,max dk и fn в проmax k k странствах Dom,max и Dom dk, то fn в пространстве Dom D,max.
max k,Поскольку fn Hloc (X) и носитель этой формы компактен, с помощью проk,цедуры сглаживания ее можно представить как предел сходящейся в Hloc (X) последовательности форм из Dk(X), носители которых лежат в одном компакk,1 k,те K X. Подпространство HK пространства Hloc (X), образованное форk,k мами с носителями в K, содержится в Dom D,max, причем вложение HK k k Dom D,max непрерывно. Следовательно, Dom D,min для любой формы k k k Dom D,max, и тем самым D,max = D,min.
k,Пусть Dom k. Поскольку Hloc (X) и гладкая функция fn,max имеет компактный носитель, получаем k k k k 2 k fn 2 fn, fn 2 dx =, fn 2 dx = x x X X k k 2 k =, fn 2 dx - (-1)k, -1(dfn 2 dx x x X X k 2 k = dk-1, fn 2 dx - (-1)k fn, -1(2 dfn 2 dx x x X X k 2 k fn 2 2 dfn 2.
dk-1, fn 2 dx + + x X Следовательно, k k fn 2 dk-1, fn 2 dx + 2 dfn 2. (8) x X Аналогично 2 fndk 2 = dk, fndk 2 dx = dk, dkfn 2 dx x x X X k+1 - (fndk, 2dfn)x2 dx dk, fn 2 dx+ fndk 2+2 dfn 2.
x X X Отсюда k+1 fndk 2 dk, fn 2 dx + 2 dfn 2. (9) x X Из (8) и (9) вытекает, что k fn 2 2 k, fn + 4 dfn 2 + 4 dfn 2. (10) fndk 2 +,max Легко видеть, что k, fn k,, dfn 0, dfn,max,max 568 В. И. Кузьминов, И. А. Шведов при n.
k k fn 2 2 при В силу теоремы Беппо Леви fndk 2 dk 2 и n. Переходя в (10) к пределу при n, получаем k 2 2 k,.
dk 2 +,max k Следовательно, dk Lk+1(X, ), Lk-1(X, ).
2 Пусть, Dom k. Имеем,max k k+ k, = lim k, fn = lim dk-1 + dk, fn,max,max n n k k k k = lim, fn + (dk, dkfn) =, + (dk, dk).
n Аналогично k k, k =, + (dk, dk).
,max Тем самым оператор k симметричен. Так как при этом сопряженный опе,max ратор к k есть оператор k и k k, то k = k.
,max,min,min,max,max,min Лемма доказана.
Следствие 2. Оператор k самосопряжен.
,min Это следствие в случае 1 установлено в [6].
k Пусть G замкнутое подпространство банахова пространства Dom D,max, содержащее Dk(X). Обозначим символом k DG : Lk(X, ) Lk-1(X, ) Lk+1(X, ) 2 2 оператор, определенный следующими условиями:
k k k Dom DG = G, DG() = D,max() для произвольной формы G, а символом G : Lk(X, ) Lk(X, ) 2 k k оператор DG DG. По теореме фон Неймана [3, гл. V, теорема 3.24] оператор G является самосопряженным расширением оператора k.
,min Лемма 12. Пусть G1 и G2 замкнутые подпространства пространства k Dom D,max, Dk(X) G1 G2 и спектр оператора G2 дискретен. Тогда спектр оператора G1 дискретен.
Доказательство. По лемме 7 оператор вложения G2 Lk(X, ) компактен. Следовательно, оператор вложения G1 Lk(X, ) компактен. По лемме спектр оператора G1 дискретен. Лемма доказана.
k Обозначим символом W (X, ) банахово пространство Dom dk : Lk(X, ) max k Lk+1(X, ). Подпространство пространства W (X, ) будем называть dk подпространством, если оно замкнуто в W (X, ) и содержит Dk(X). Для проk извольного d-подпространства W (X, ) обозначим через dk : Lk(X, ) Lk+1(X, ) оператор, определенный следующими условиями: Dom dk =, dk = dk для любой формы.
k k Последовательность d-подпространств = ( W (X, ))kZ будем назыk k+вать правильной последовательностью, если dk( ) для каждого k Z.
Аддиционная теорема для многообразий k k Для любой правильной последовательности = ( W (X, ))kZ операторы dk : Lk(X, ) Lk+1(X, ) образуют 2 гильбертов комплекс. Обозна чим через k : Lk(X, ) Lk(X, ) оператор dk dk + dk-1 dk-1. Так как 2 2 dk dk-1 = 0, то Ker dk + Ker(dk-1) = Lk(X, ). По лемме k = dk-1 dk dk-1) dk = G, где Gk = Dom dk-1 Dom dk.
Лемма 7 и теорема 1 приводят к следующему критерию дискретности спектров операторов G и k.
Лемма 13. Для произвольного замкнутого подпространства G пространk ства W (X, ), содержащего Dk(X), спектр оператора G дискретен тогда и только тогда, когда оператор вложения G Lk(X, ) компактен. Для произk k вольной правильной последовательности = ( W (X, ))kZ спектр оператора k дискретен тогда и только когда операторы dk-1 и dk компактно тогда, разрешимы и dim Ker dk / Im dk-1 <.
Теорема 3. Пусть h : X X диффеоморфизм римановых многообразий, и весовые функции на X и X соответственно. Предположим, что функции |dh|, |dh-1|, h-1/ и h/ ограничены. Тогда для любой k k правильной последовательности = ( W (X, ))kZ последовательность k k h( ) = (h( ) W (X, ))kZ правильная и спектры операторов k и k h( ) дискретны одновременно.
Доказательство. При выполнении условий теоремы диффеоморфизм h индуцирует топологические изоморфизмы h : Lk(X, ) Lk(X, ) и h :
Pages: | 1 | 2 | 3 | Книги по разным темам