Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | 3 | Сибирский математический журнал Май июнь, 2006. Том 47, № 3 УДК 515.164.13 АДДИЦИОННАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ МНОГООБРАЗИЙ С ДИСКРЕТНЫМ СПЕКТРОМ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА В. И. Кузьминов, И. А. Шведов Аннотация: Вопрос о сохранении дискретности спектра оператора Лапласа, действующего в пространстве дифференциальных форм, при разрезании и склеивании многообразий сводится к аналогичным вопросам о компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования. На этой основе указаны условия на разрез Y, разбивающий риманово многообразие X на две части X+ и X-, при выполнении которых спектр оператора Лапласа на X дискретен тогда и только тогда, когда дискретны спектры операторов Лапласа на X+ и X-.

Ключевые слова: оператор Лапласа, дифференциальные формы, спектр самосопряженного оператора.

1. Введение Пусть риманово многообразие X разбито гладкой поверхностью Y на две области X+ и X-. Представляет интерес задача о том, как соотносятся между собой спектральные свойства операторов Лапласа, действующих в пространствах дифференциальных форм на многообразиях X, X+ и X-. В случае форм степени 0 эта задача тесно связана с так называемым принципом расщепления в качественной спектральной теории дифференциальных операторов [1].

В качестве операторов Лапласа в указанной задаче естественно рассматривать самосопряженные расширения минимального оператора k, порожmin денного дифференциальной операцией k. Если многообразие X полно (без края), то такое расширение единственно. В общем случае это не так. Поэтому необходимо указывать, какие именно операторы Лапласа, действующие на многообразиях X, X+ и X-, имеются в виду. Мы рассматриваем операторы k = D D, где D замкнутый оператор, порожденный дифференциальной операцией d, d операция внешнего дифференцирования, операция кодифференцирования.

Ключевым моментом в нашем исследовании является следующий факт:

спектр оператора D D дискретен тогда и только тогда, когда оператор D компактно разрешим и dim Ker D <.

Этот результат позволяет свести вопрос о сохранении дискретности спектра оператора Лапласа при разрезании и склеивании многообразий к аналогичным вопросам о компактной разрешимости операторов внешнего дифференцирования и на этой основе найти условия, при выполнении которых спектр оператора Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ (код проекта НШЦ311.2003.1).

й 2006 Кузьминов В. И., Шведов И. А.

558 В. И. Кузьминов, И. А. Шведов Лапласа на многообразии X дискретен в том и только том случае, когда дискретны спектры соответствующих операторов Лапласа на многообразиях X+ и X-.

Все результаты работы о спектре операторов относятся к самосопряженным операторам, действующим в гильбертовом пространстве. В то же время вспомогательные результаты о компактной разрешимости относятся к операторам, действующим в банаховых пространствах. Нам представляется, что в этой большей общности вспомогательные результаты приобретают самостоятельное значение.

2. Предварительные сведения об операторах в банаховых пространствах В дальнейшем оператором T : A B, действующим из векторного пространства A в векторное пространство B, будем называть произвольное линейное отображение, заданное на некотором линейном подпространстве Dom T пространства A и принимающее значения в пространстве B. Будем использовать обозначения Ker T = {a Dom T : T a = 0}, Im T = {T a : a Dom T }.

Для произвольного линейного подпространства K Ker T обозначим через T/K : A/K B оператор, определенный следующими условиями: Dom T/K = (Dom T ), (T/K)a = T a для любого a Dom T, где : A A/K каноническая проекция.

Для нормированных пространств A и B и оператора T : A B простран 1/ство Dom T будем считать снабженным нормой a Dom T = a 2 + T a 2.

A B Пусть A и B банаховы пространства. Замкнутый оператор T : A B называется нормально (компактно) разрешимым, если оператор (T/ Ker T )-1 :

Im T A/ Ker T, заданный на Im T, непрерывен (компактен).

Замкнутый оператор T : A B нормально разрешим тогда и только тогда, когда подпространство Im T замкнуто в B.

емма 1. Пусть T : A B оператор, A и B банаховы пространства, K замкнутое подпространство пространства A, K Ker T. Тогда 1) оператор T/K замкнут тогда и только тогда, когда замкнут оператор T ;

2) оператор T/K нормально (компактно) разрешим тогда и только тогда, когда нормально (компактно) разрешим оператор T ;

3) оператор T/K плотно определен тогда и только тогда, когда плотно определен оператор T ;

4) если оператор T плотно определен, то T = (T/K), где : A A/K каноническая проекция.

Доказательство. Первые три утверждения леммы очевидны. Докажем следующее утверждение, эквивалентное п. 4: если T = RS, S : A C непрерывный оператор, Dom S = A, Im S = C, R : C B плотно определенный оператор, то T = S R.

Включение S R T очевидно, докажем обратное включение.

Пусть f Dom T. Так как оператор S непрерывен и Im S = C, то найдется такая константа M, что для каждого c C существует ac A, для которого Sac = c и ac A M c C. Так как f Dom T, найдется такая константа N, что |f(T a)| N a A для любого a Dom T. Тогда |f(Rc)| = |f(T ac)| NM c C для любого c Dom R. Следовательно, f Dom R = Dom(S R).

емма доказана.

Аддиционная теорема для многообразий Лемма 2 [2]. Замкнутый оператор T : A B компактно разрешим тогда и только тогда, когда компактен оператор j : Dom T A/ Ker T, где j :

Dom T A оператор вложения, : A A/ Ker T каноническая проекция.

Следствие 1. Оператор вложения j : Dom T A компактен тогда и только тогда, когда оператор T компактно разрешим и dim Ker T <.

Используя п. 4 леммы 1, легко доказать следующее утверждение.

емма 3 [2]. Замкнутый плотно определенный оператор T : A B компактно разрешим тогда и только тогда, когда компактно разрешим оператор T : B A.

Для произвольных операторов R : A B и S : A C символом R S :

A B C будем обозначать оператор, определенный следующим образом:

Dom(R S) = Dom R Dom S, (R S)a = (Ra, Sa).

Для произвольных операторов U : B A и V : C A символом U V : BC A будем обозначать оператор, для которого Dom(U V ) = Dom U Dom V, (U V )(b, c) = Ub + V c.

емма 4. Пусть Z1 и Z2 замкнутые подпространства банахова пространства A такие, что Z1 Z2 = 0 и подпространство Z1 + Z2 замкнуто в A.

Тогда найдется такая константа M, что для любых a A, z1 Z1, z2 Zимеет место оценка a A M( a - z1 A + a - z2 A).

Доказательство. Пусть : Z1 + Z2 Z1 оператор проектирования на подпространство Z1 параллельно подпространству Z2. Используя теорему Банаха об открытом отображении, заключаем, что этот оператор ограничен.

Для произвольных a A, z1 Z1, z2 Z2 имеем a A a - z1 A + z1 A a - z1 A + z1 - z2 A = a - z1 A + z1 - a - z2 + a A (1 + ) ( a - z1 A + a - z2 A).

емма доказана.

емма 5. Пусть A, B, C банаховы пространства, R : A C и S : A C замкнутые операторы. Тогда 1) если операторы R и S нормально (компактно) разрешимы и подпространство Ker R + Ker S замкнуто в A, то оператор R S нормально (компактно) разрешим;

2) если оператор RS нормально (компактно) разрешим и Dom R Ker R+ Ker S, то R нормально (компактно) разрешимый оператор.

Доказательство. Лемма 1 позволяет, не ограничивая общности, предполагать, что Ker R Ker S = 0. Пусть операторы R и S нормально разрешимы, подпространство Ker R + Ker S замкнуто в A и Ker R Ker S = 0. В силу нормальной разрешимости операторов R и S найдется такая константа K, что для любого a Dom(R S) существуют такие z1 Ker R и z2 Ker S, что a - z1 A K Ra B и a - z2 A K Sa C.

По лемме a A M( a - z1 A + a - z2 A) MK( Ra B + Sa C) 560 В. И. Кузьминов, И. А. Шведов для некоторой константы M. Следовательно, оператор R S нормально разрешим.

Предположим теперь, что R и S компактно разрешимы и {an}nZ последовательность в Dom(R S) такая, для которой последовательности {Ran}nZ и {San}nZ ограничены. В силу компактной разрешимости операторов R и S найдутся такая подпоследовательность {an }kZ последовательности {an}nZ и k такие последовательности {zk}kZ Ker R, {zk }kZ Ker S, что последова тельности {an - zk}kZ и {an - zk }kZ сходятся в A. По лемме k k an - an A M( an - an - zk + zl A + an - an - zk + zl A).

k l k l k l Для любого > 0 при достаточно больших k и l получаем an - an <. Слеk l довательно, последовательность {an }kZ сходится. Оператор R S компактно k разрешим.

Пусть оператор RS нормально разрешим, Dom R Ker R+Ker S, Ker R Ker S = 0, a Dom R. Представим элемент a в виде a = a + a, a Ker R, a Ker S. Так как a Dom(R S), в силу нормальной разрешимости оператора R S имеет место оценка a A (R S)-1 (R S)a BC = (R S)-1 Ra B.

Следовательно, оператор R нормально разрешим.

Предположим теперь, что оператор R S компактно разрешим, Dom R Ker R +Ker S, Ker R Ker S = 0. Пусть {an}nZ последовательность в Dom R, для которой последовательность {Ran}nZ ограничена. Представим элементы an в виде an = a + a, a Ker R, a Ker S. Тогда a Dom(R S) и n n n n n (R S)a = (Ran, 0) ограниченная последовательность в B C.

n В силу компактной разрешимости оператора R S найдется сходящаяся в A подпоследовательность {a }kZ последовательности {a }nZ. Кроме того, nk n Ra = Ran. Этим установлена компактная разрешимость оператора R. Лемма n доказана.

емма 6. Пусть R : A B, S : A C замкнутые плотно определенные операторы и Ker R+Ker S = A. Тогда RS замкнутый плотно определенный оператор и (R S) = R S.

Доказательство. Предположим сначала, что Ker R Ker S = 0. Используя теорему Банаха об открытом отображении, заключаем, что оператор P : A Ker S проектирования на Ker S параллельно подпространству Ker R непрерывен. Поэтому подпространство P (Dom R) = Dom(R S) Ker S плотно в Ker S. Аналогично подпространство Dom(R S) Ker R плотно в Ker R. Следовательно, подпространство Dom(R S) плотно в A. Оператор R S плотно определен, и его замкнутость очевидна.

Для доказательства равенства (R S) = R S достаточно установить импликацию (f, g) Dom(R S) = f Dom R, g Dom S.

Пусть (f, g) Dom(R S). Это означает, что функционал f R + g S непрерывен на Dom(R S) относительно нормы пространства A. Но тогда функционал f R непрерывен на Dom(R S) Ker S = Dom R Ker S. Так как f R P = f R, функционал f R непрерывен на (Dom R Ker S) + Ker R = Dom R. Следовательно, f Dom R. Аналогично g Dom S. В случае Ker R Ker S = 0 лемма доказана.

Рассмотрим общий случай. Пусть K = Ker RKer S. Выполнено равенство (RS)/K = R/K S/K. По лемме 1 операторы R/K и S/K плотно определены Аддиционная теорема для многообразий и замкнуты. Так как (Ker(R/K)) (Ker(S/K)) = 0, по доказанному частному случаю леммы оператор (R S)/K плотно определен и замкнут. Кроме того, (R S) = ((R S)/K) = ((R/K) (S/K)) = (R/K) (S/K) = R S.

емма доказана.

Пусть L : H H самосопряженный оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве H. Следуя общепринятой терминологии, будем говорить, что спектр оператора L дискретен, если он состоит из собственных значений конечной кратности и является дискретным подмножеством вещественной прямой.

емма 7. Пусть H1, H2 гильбертовы пространства, D : H1 Hзамкнутый плотно определенный оператор. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) спектр оператора D D : H1 H1 дискретен, 2) оператор D компактно разрешим и dim Ker D <, 3) оператор вложения i : Dom D H1 компактен.

Доказательство. По теореме фон Неймана [3, теорема V.3.24] оператор D D самосопряжен. В [2] установлено, что спектр самосопряженного оператора T дискретен тогда и только тогда, когда оператор T компактно разрешим и dim Ker T <. Там же установлено, что оператор D D компактно разрешим тогда и только тогда, когда компактно разрешим оператор D. Так как Ker(D D) = Ker D, утверждения 1 и 2 эквивалентны. По следствию леммы эквивалентны утверждения 2 и 3. Лемма доказана.

3. Банаховы и гильбертовы комплексы Пусть для каждого i Z заданы банахово пространство Ai и оператор i i TA : Ai Ai+1. Будем говорить, что пространства Ai и операторы TA образуют i банахов комплекс A, если все операторы TA плотно определены и замкнуты, i+i причем Im TA Ker TA для каждого i Z.

Последовательность = (i)iZ ограниченных операторов i : Ai Bi называется морфизмом банахова комплекса A в банахов комплекс B, если i i Dom i = Ai, i(Dom TA) Dom TB и i i TB i = i+1 TA i на Dom TA для каждого i Z.

Для произвольного банахова комплекса A определены пространства гомоi-i логий HiA Ker TA/Im TA. Каждому морфизму : A B банаховых комплексов обычным образом соответствуют линейные отображения Hi : HiA HiB пространств гомологий.

Последовательность A B C банаховых комплексов A, B, C и их морфизмов и будем называть точной (в члене B), если для каждого i Z точны последовательности i i Ai Bi Ci 562 В. И. Кузьминов, И. А. Шведов и i i i i i Dom TA Dom TB Dom TC векторных пространств.

Каждой точной (в членах A, B и C) последовательности банаховых комплексов 0 A B C обычным образом соответствует точная последовательность гомологий i-1 Hi Hi i Hi-1(C) Hi(A) Hi(B) Hi(C) Hi+1(A).... (1) Лемма 8 [4, теорема 3]. Пусть 0 A B C точная последовательность банаховых комплексов и для некоторого i Z i i i оператор TB компактно разрешим. Тогда операторы TA и TC компактно разрешимы и dim Im i <.

емма 9. Пусть 0 A B C точная последовательность банаховых комплексов. Тогда если для некотороi i го i Z операторы TA и TC компактно разрешимы, dim Im i < и выполнено следующее условие:

(Pi) существует такой ограниченный линейный оператор i : Ci Bi, что i i i i = Idi и i(Dom TC) Dom TB, C i то оператор TB компактно разрешим.

Доказательство. Прежде всего заметим, что сужение i i i i|Dom TC : Dom TC Dom TB оператора i является непрерывным оператором. Действительно, непрерывность оператора i влечет замкнутость его графика. Из замкнутости графика i i оператора i, непрерывности вложений Dom TC Ci, Dom TB Bi и усло i i i вия i Dom TC Dom TB следует замкнутость графика оператора i|Dom TC.

i i i Оператор i|Dom TC : Dom TC Dom TB непрерывен по теореме о замкнутом графике.

i Пусть {bn}nZ последовательность в Dom TB, для которой последователь i i ность TBbn nZ ограничена в Bi+1. Тогда последовательность i+1TBbn nZ i ограничена в Ci+1 и содержится в Im TC. В силу компактной разрешимости опеi ратора TC существуют такие подпоследовательность {bn }kZ последовательноk i сти {bn}nZ и сходящаяся в Ci последовательность {ck}kZ, лежащая в Dom TC, i i что TCck = i+1TBbn.

k i i i Поскольку операторы i : Ci Bi и i|Dom TC : Dom TC Dom TB ограниi чены, последовательность b = ick сходится в Bi, а последовательность TBb k k i ограничена в Bi+1. Так как i+1TB(bn - b ) = 0, найдутся такие ak Ai+1, k k i что i+1ak = TB(bn - b ).

Pages:     | 1 | 2 | 3 |    Книги по разным темам