Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |   ...   | 49 |

Покажем, что deg - W(, x0) = deg 1 - W(1, x0), т. е. deg - deg 1 = W(, x0) - W(1, x0) = Wi, где Wi = 1 - число, сопоставлен - ное перекрестку, уничтоженному при перестройке кривой. С помощью регулярной гомотопии кривую можно преобразовать так, чтобы угол между векторами v1 и v2 был сколь угодно мал. В таком случае ясно, что deg = deg 1 + deg 0. Легко также проверить, что deg 0 = Wi.

5.3. Двойные точки, двойные касательные и точки перегиба Пусть - замкнутая дифференцируемая кривая на плоскости R2, со - стоящая из конечного числа выпуклых дуг, не касающихся друг друга во внутренних точках. Тогда кривая имеет конечное число D() точек самопересечения и конечное число F() точек перегиба. Мы будем предполагать, что точки самопересечения кривой двойные, т. е. у кривой нет точек, через которые проходит более двух ветвей кривой. Мы будем также предполагать, что у кривой нет тройных касательных, т. е. любая прямая касается кривой не более чем в двух различных точках. Двойные касательные бывают двух типов: внутренние и внешние (рис. 40). Пусть I() - количество внутренних двойных касательных, II() - количество - - внешних двойных касательных.

F() Т е о р е м а 5.7 (см. [53]). II() - I() = D() +.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Введём на кривой ориентацию, т. е. зададим направление её обхода. Для каждой точки a рассмотрим пря Рис. 40. Внутренняя и внешняя двойная касательная 82 Глава II. Топология в евклидовом пространстве мую l, касающуюся кривой в точке a. Точка a делит прямую l на луч l+, направление которого совпадает с направлением обхода кривой, и луч l-, направление которого противоположно направлению кривой.

Будем двигать точку a по кривой в положительном направлении так, чтобы она совершила один полный обход кривой. Для каждого положения точки a определим N+ как число точек пересечения луча l+ с кривой (отличных от точки a). Число N- определим аналогично. Числа N+ и N- изменяются лишь в тех случаях, когда точка a проходит через двойную точку или точку перегиба, а также в тех случаях, когда прямая l проходит через положение двойной касательной, т. е. точка a проходит через одну из точек касания двойной касательной с кривой.

Если точка a проходит через двойную точку или точку перегиба, то N+ уменьшается на 1, а Nувеличивается на 1.

Для ориентированной кривой внешние касательные бывают трёх типов: касательные в точках касания могут быть направлены в одну сторону, могут быть направлены навстречу друг другу, а могут быть направлены прочь друг от друга (рис. 41).

Количества внешних касательных таких трёх типов обозначим e1, e2, e3. Аналогично для внутренних касательных введём обозначения i1, i2, i3.

Рассмотрим две точки, в которых касательная типа e1 (соответственно, i1) касается кривой. При Рис. 41. Три типа внешних двойных прохождении одной из этих точек N+ увеличивакасательных ется (соответственно, уменьшается) на 2, а при прохождении другой точки N- уменьшается (соответственно, увеличивается) на 2.

Для типа e2 (соответственно, i2) при прохождении каждой из двух точек касания N+ увеличивается (соответственно, уменьшается) на 2.

Для типа e3 (соответственно, i3) при прохождении каждой из двух точек касания N- уменьшается (соответственно, увеличивается) на 2.

При полном обходе кривой N+ увеличивается на 2e1 + 4e2 и уменьшается на 2i1 + 4i2 + 2D() + F() (каждая двойная точка проходится два раза, а точка перегиба - один раз). При полном обходе N+ не изменяется, - поэтому 2e1 + 4e2 = 2i1 + 4i2 + 2D() + F(). Те же самые рассуждения, применённые к N-, показывают, что 2e1 + 4e3 = 2i1 + 4i3 + 2D() + F().

Сложив оба равенства, получим 4(e1 + e2 + e3) - 4(i1 + i2 + i3) = 4D() + + 2F(), т. е. 4II() - 4I() = 4D() + 2F().

з 6. Теорема Брауэра и лемма Шпернера Аналогичное утверждение можно доказать и для конечнозвенных замкнутых ломаных общего положения, у которых никакие три вершины не лежат на одной прямой и никакие три звена не имеют общей точки:

см. [32] и [54].

Равенство F() II() - I() = D() + (1) является необходимым условием для того, чтобы существовала кривая с соответствующими числами двойных точек, двойных касательных и точек перегиба. Но этого условия не достаточно. Например, если F() = 0, то кривая выпуклая, поэтому I() = II() = 0, а из равенства (1) следует лишь, что I() = II(). Если же F() = 0, то равенство (1) являет ся не только необходимым, но и достаточным условием существования кривой (см. [65]). В случае, когда F() = 0, дополнительно должно выполняться условие I() D()2 - D() и число I() должно быть чётным (см. [103]).

з 6. Теорема Брауэра и лемма Шпернера 6.1. Теорема Брауэра Мы будем пользоваться следующими обозначениями:

Dn = {x Rn | x 1} - единичный диск (шар);

- Sn = {x Rn | x = 1} Dn - единичная сфера.

- Пусть f : X X - некоторое отображение. Точку x X называют - неподвижной точкой отображения f, если f(x) = x.

Т е о р е м а 6.1 (Брауэр). Любое непрерывное отображение f : Dn Dn имеет неподвижную точку.

З а м е ч а н и е. Брауэр доказал эту теорему в работе [42]. До него утверждения, эквивалентные теореме о неподвижной точке, доказали Анри Пуанкаре [106] и латышский математик Боль [36]. Но наиболее распространенное название этой теоремы - теорема Брауэра о неподвиж - ной точке.

Пусть A X. Непрерывное отображение r : X A называют ретракцией, если r|A = idA, т. е. r(a) = a для любой точки a A. Если существует ретракция r : X A, то A называют ретрактом пространства X.

З а д а ч а 6.1. Докажите, что A - ретракт пространства X тогда - и только тогда, когда любое непрерывное отображение f : A Y можно продолжить на всё X.

84 Глава II. Топология в евклидовом пространстве З а д а ч а 6.2. Докажите, что если любое непрерывное отображение пространства X в себя имеет неподвижную точку, то любое непрерывное отображение его ретракта A в себя тоже имеет неподвижную точку.

Т е о р е м а 6.2. Не существует ретракции r : Dn Sn-1.

егко проверить, что теорема Брауэра и теорема 6.2 эквивалентны. В самом деле, предположим, что f : Dn Dn - непрерывное отображение - без неподвижных точек. Для каждой точки x Dn рассмотрим луч с началом f(x), проходящий через точку x. Пусть r(x) - точка, в которой этот - луч пересекает сферу Sn-1. Ясно, что r - ретракция диска Dn на Sn-1.

- Предположим теперь, что r : DnSn-1 - ретракция. Пусть i : Sn- - Sn-1 - отображение без неподвижных точек, например, i(x) = -x. То - гда отображение ir : Dn Sn-1 Dn не имеет неподвижных точек.

Теорема 6.2 эквивалентна также следующему утверждению.

Т е о р е м а 6.3. Пусть v(x) - такое непрерывное векторное по - ле на Dn, что v(x) = x для всех x Sn-1. Тогда v(x) = 0 для некоторой точки x Dn.

Действительно, если r : Dn Sn-1 - ретракция, то формула v(x) = - = r(x) задаёт векторное поле на Dn, нигде не обращающееся в нуль. Если же v(x) - такое векторное поле на Dn, что v(x) = x для всех x Sn- - v(x) и v(x) = 0 для x Dn, то отображение x является требуемой v(x) ретракцией.

Известно много разных доказательств теорем 6.1Ц6.3. В большинстве случаев удобнее доказывать теорему о неретрагируемости диска Dn на сферу Sn-1. Мы приведём три таких доказательства, ограничившись случаем гладких отображений.

Перейти к непрерывным отображениям можно с помощью аппроксимации непрерывных отображений гладкими. В самом деле, предположим, что существует непрерывная ретракция r : Dn Sn-1. Покажем, что тогда существует гладкая ретракция r : Dn Sn-1. Если x = 1, то r(x) = x. Поэтому для любого 1 > 0 существует такое > 0, что r(x) - x 1 при 1 - x 1. По теореме Вейерштрасса существуют такое гладкое отображение f : Rn Rn, что f(x) - (r(x) - x) при x 1, и такая гладкая функция (t), что 0 (t) 1 при 0 t 1, (1) = 0 и 1 - 2 (t) при t2 1 -. Положим g(x) = x + (x) f(x), где (x) = ( x 2). Если x 1 -, то g(x) = x + (x) f(x) = = r(x) + (x) [f(x) - r(x) + x] + ((x) - 1) (r(x) - x) r(x) - (x) f(x) - r(x) + x - (1 - (x)) r(x) - x з 6. Теорема Брауэра и лемма Шпернера 1 - 1 1 - 2 2 = 1 - 1 - 22.

Если же 1 - x 1, то g(x) = x + (x) f(x) = = x + (x) [f(x) - r(x) + x] + (x) (r(x) - x) x - (x) f(x) - r(x) + x - (x) r(x) - x 1 - - 1 1 - 1 1 = 1 - - 21.

Если 1 0, то 0. Поэтому можно считать, что 1, 2, 1 4.

/ В таком случае g(x) 1 4 > 0 для всех x Dn. Если x = 1, то (x) = / = 0 и g(x) = x. Требуемая ретракция r : Dn Sn-1 задаётся формулой r (x) = g(x) g(x).

/ Здесь мы приведём три доказательства неретрагируемости диска на сферу, частично используя некоторые сведения, пока не появлявшиеся в этой книге (они будут доказаны позже). Вполне элементарное доказательство теоремы Брауэра, эквивалентной неретрагируемости диска на сферу, приведено на с. 93.

П е р в о е д о к а з а т е л ь с т в о н е р е т р а г и р у е м о с т и д и с к а н а с ф е р у (Хирш [70]).

Предположим, что r : Dn Sn-1 - гладкая ретракция, a Sn-1 - ре - - гулярное значение отображения r. Тогда r-1(a) является объединением одномерных подмногообразий, причем граница r-1 (a) лежит в Sn-1. Множество r-1 (a) компактно, поскольку оно является замкнутым подмножеством компактного множества. Одномерное компактное многообразие может быть лишь окружностью или отрезком, поэтому граница r-1 (a) состоит из чётного числа точек. Но пересечение r-1 (a) и Sn-1 состоит ровно из одной точки a. Получено противоречие.

З а м е ч а н и е. Точно так же можно доказать, что если Mn - компакт - n-ное многообразие с непустым краем W, то не существует ретракции n-r : Mn W.

В т о р о е д о к а з а т е л ь с т в о н е р е т р а г и р у е м о с т и д и с к а н а с ф е р у.

Предположим, что r : Dn Sn-1 - гладкая ретракция. Рассмотрим - дифференциальную форму = x1dx2... dxn. По теореме Стокса = = r = dr = Sn-1 r(Sn-1) Sn-1 Dn = rd = d = d = 0.

Dn r(Dn) Sn-86 Глава II. Топология в евклидовом пространстве С другой стороны, по той же самой теореме Стокса получаем = d = объем(Dn) > 0.

Sn-1 Dn Т р е т ь е д о к а з а т е л ь с т в о н е р е т р а г и р у е м о с т и д и с к а н а с ф е р у (см. [113]).

Предположим, что существует непрерывно дифференцируемая ретракция f : Dn Sn-1. Для x Dn и 0 t 1 положим g(x) = f(x) - x, ft (x) = x + tg(x) = (1 - t)x + tf(x).

Из непрерывной дифференцируемости отображения g следует, что существует положительная константа c, для которой g(x) - g(y) c x - y при всех x, y Dn. Отображение ft инъективно при 0 t < 1 c. В самом / деле, если ft (x) = ft (y), то x - y = tg(x) - tg(y) tc x - y. Поэтому при 0 t < 1 c получаем x - y = 0.

/ Частные производные отображения g равномерно ограничены, поэтому якобиан ft ft g g,..., = In +,..., (1) x1 xn x1 xn при малых t обратим. Следовательно, по теореме об обратной функции ft при t t0 отображает int Dn (внутренность диска Dn) на некоторое открытое множество Gt. Пусть e Dn \ Gt. Соединим отрезком точку e с произвольной точкой множества Gt и рассмотрим точку b, в которой этот отрезок пересекает границу множества Gt. Множество ft (Dn) компактно, поэтому b = ft (x) для некоторой точки x Dn.

Так как b Gt = ft (int Dn), то x int Dn, т. е. x Sn-1. Поэтому b = x и e = b = x Sn-1. Таким образом, ft сюръективно отображает int Dn на int Dn. Кроме того, ft биективно отображает Sn-1 на Sn-1 и, как мы уже выяснили, ft инъективно отображает Dn в Dn. Поэтому ft биективно отображает Dn на Dn (при t t0).

Рассмотрим интеграл ft ft ft I(t) = det =... det,..., dx1... dxn.

x1 x1 xn Dn Dn При 0 t t0 этот интеграл равен объему единичного шара Dn. Формула (1) показывает, что I(t) - многочлен от t. Поэтому I(t) - положительная - - константа при 0 t 1.

С другой стороны, f1 (x) = f(x) Sn-1, поэтому f1 (x) f1 (x) = 1, а зна f1 fчит, f1 = 0 при i = 1,..., n. Векторы лежат в одной гиперплосxi xi з 6. Теорема Брауэра и лемма Шпернера ft ft кости, поэтому они линейно зависимы и det,..., = 0. Но в таx1 xn ком случае I(1) = 0. Получено противоречие.

Пусть F (f) - множество неподвижных точек отображения f : Dn - Dn. По теореме Брауэра это множество непусто. Ясно также, что оно замкнуто. Оказывается, что любое непустое замкнутое подмножество диска Dn может служить множеством неподвижных точек некоторого непрерывного отображения.

Т е о р е м а 6.4 (см. [111]). Пусть F Dn - непустое замкну - тое подмножество. Тогда существует непрерывное отображение f : Dn Dn, для которого F (f) = F.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для каждой точки x Dn положим d(x, F) = = inf x -y. В результате получим непрерывную функцию на Dn (расyF стояние от точки x до замкнутого множества F). Определим теперь отображение f : Dn Dn следующим образом:

x - d(x, F) x - x0 при x = x0;

x - xf(x) = xпри x = x0.

Отображение f непрерывно и F (f) = F.

Из теоремы Брауэра и теоремы о неретрагируемости диска на сферу можно получить много разных следствий. Приведём несколько таких примеров.

Т е о р е м а 6.5. Пусть f : Dn Dn, причем f(Sn-1) Sn-1. Тогда:

а) если отображение f|Sn-1 тождественно, то Im f = Dn.

б) если отображение f|Sn-1 не имеет неподвижных точек, то Im f = Dn.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что Im f = Dn. Тогда суще ствует точка O Dn \ Im f. Пусть r : Dn \ O Sn-1 - проекция Dn \ O - на Sn-1 из точки O. Отображение r является ретракцией. Так как O Im f, то отображение rf : Dn Sn-1 корректно определено.

а) Отображение rf является ретракцией, чего не может быть.

б) По теореме Брауэра отображение rf : Dn Sn-1 Dn имеет неподвижную точку. Но Im(rf) Sn-1, а на множестве Sn-1 у отображения rf нет неподвижных точек.

Т е о р е м а 6.6. Пусть непрерывный путь соединяет точки одной пары противоположных сторон прямоугольника, а путь соединяет точки другой пары противоположных сторон. Тогда если оба пути и лежат внутри прямоугольника, то они пересекаются в некоторой точке.

88 Глава II. Топология в евклидовом пространстве Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (s) = (1 (s), 2 (s)) и (t) = (1 (t), 2 (t)), где s, t [0, 1]. Требуемое утверждение достаточно доказать для квадрата I2 на плоскости с координатами x1 и x2, заданного неравенствами |xi| 1, i = 1, 2. Поэтому можно считать, что 1 () = и 2 () =, где = 1.

Предположим, что (s) = (t) при всех s, t [0, 1]. Пусть N(s, t) = = max{|i (s) - i (t)|}. Рассмотрим отображение F : I2 I2, заданное i=1,формулой F(s, t) = 1(t) - 1 (s), 2 (s) - 2(t).

N(s, t) Квадрат I2 гомеоморфен диску D2, поэтому согласно теореме Брауэра отображение F имеет неподвижную точку (s0, t0).

Образ отображения F состоит из точек вида (1, t) и (s, 1), поэтому s0 = 1 или t0 = 1. Ясно, что N(s, t)F(1, t) = 1 (t) 1, 2 (1) - 2(t), N(s, t)F(s, 1) = 1 (1) - 1(s), 2 (s) 1.

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |   ...   | 49 |    Книги по разным темам