Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | ... | 82 | егко убедиться в том, что эти индивидуальные индексы вслед за (3.1) обладают свойством мультипликативности или, как говорят, удовлетворяют требованию (тесту) мультипликативности (здесь и далее при описании моментных индексов указатель на момент времени (t) опущен):
d ln(xa) d ln x d ln a ln y = = + =ln x +lna, dt dt dt т.е. y = xa.
Вопрос о транзитивности моментных индексов обсуждается ниже в связи с переходом к индексам момент к моменту. Понять, как перемножаются индексы 3.5. Индексы в непрерывном времени в бесконечной последовательности бесконечно малых моментов времени, можно только в интегральном анализе.
Агрегированный моментный индекс или собственно моментный индекс объемной результирующей величины строится следующим образом (возвращаются нижние индексы-указатели объекта):
1 d yi 1 dyi 1 dyi ln y = = = i = i ln yi, y dt y dt yi dt yi где i =, т.е. y = i.
yi y Таким образом, индекс результирующей величины есть средняя геометрическая индивидуальных индексов с весами-долями объектов в этой объемной результирующей величине. Как видно из приведенного доказательства, это Ч следствие аддитивности результирующей величины.
Не сложно провести разложение общего индекса на факторные:
1 dxiai 1 dxi dai ln y = = ai + xi = y dt y dt dt 1 1 dxi 1 dai = yi + yi = i ln xi + i ln ai, y xi dt ai dt т.е.
y = i i, xi ai и, если факторные индексы определить как x = i, a = i, xi ai то получается искомое мультипликативное выражение y = xa.
Чрезвычайно интересно, что и факторный индекс объемной величины, которая может быть неаддитивной, и факторный индекс относительной величины, которая принципиально неаддитивна, рассчитываются так же, как общий индекс аддитивной результирующей величины Ч как средние геометрические индивидуальных индексов. Причем во всех этих трех индексах используются одинаковые веса Ч доли объектов в результирующей величине.
Итак, моментные индексы мультипликативны, транзитивны, что будет показано ниже, обладают свойством среднего и симметричны по своей форме. Следовательно, обсуждаемые выше проблемы являются следствием не принципиальных особенностей индексов, а разных способов привязки их ко времени.
108 Глава 3. Индексный анализ 2) Индексы момент к моменту (индексы за период времени).
Индивидуальные индексы такого типа рассмотрены в пункте 1.8 как непрерывные темпы роста за период (нижние индексы-указатели объектов опущены):
tln [ (t)dt [ ] (t1) t0 ] [ ] (t0, t1) =e =, [ ] (t0) где [ ](t0, t1) Ч индекс за период [t0, t1], а на месте [ ], как и прежде, стоит либо y Ч для объемной результирующей величины (стоимости), либо x Чд ля объемной факторной величины (объема), либо a Ч для относительной величины (цены).
Это выражение, прежде всего, означает транзитивность моментных индексов.
Чтобы убедиться в этом, можно провести следующие рассуждения (указатель [ ] в этих рассуждениях опущен).
Пусть моментный индекс в периоде [t0, t1] неизменен и равен (t1), тогда, t вычислив ln (t)dt, можно увидеть, что t (t0, t1) = (t1)t1-t0, т.е. для того, чтобы привести моментные индексы к форме, сопоставимой с индексами за период, надо их возводить в степень, равную длине периода.
Теперь, разбив общий период [t0, t1] на n равных подпериодов длиной t1 - t = и обозначив t(j) = t0 + j, можно записать исходное выражение n связи индекса за период с моментными индексами в следующем виде:
t (j) n ln (t0, t1) = ln (t) dt.
j=t(j-1) Пусть в каждом j-м подпериоде [t(j-1), t(j)] моментный индекс неизменен иравен (t(j)). Тогда из этого выражения следует, что n (t0, t1) = t(j).
j=В результате перехода к пределу при n получается соотношение, которое можно интерпретировать как свойство транзитивности моментных индексов.
Возведение цепного моментного индекса в степень необходимо, как было только что показано, для приведения его к форме, сопоставимой с индексом за период.
3.5. Индексы в непрерывном времени Индивидуальные индексы момент к моменту транзитивны по своему определению:
t2 t1 tln [ ] (t0, t2) = ln [ ] (t) dt = ln [ ] (t) dt + ln [ ] (t) dt = t0 t0 t=ln [ ] (t0, t1) +ln[ ] (t1, t2), т.е. [ ](t0, t2) =[ ](t0, t1) [ ](t1, t2).
Их мультипликативность следует непосредственно из мультипликативности моментных индексов. Действительно:
tln y (t0, t1) = (ln x(t) +lna(t)) dt =ln x(t0, t1) +lna(t0, t1), -----------t0 ln x(t)a(t) ----y(t) т.е.
y (t0, t1) =x (t0, t1) a (t0, t1).
Теперь рассматриваются агрегированные индексы момент к моменту (возвращаются нижние индексы-указатели объекта). Индексы такого типа были предложены в конце 20-х годов XX века французским статистиком Ф. Дивизиа, и поэтому их называют индексами Дивизиа.
Как было показано выше, моментный индекс результирующей величины является средним геометрическим индивидуальных индексов. Для индекса Дивизиа результирующей величины такое свойство в общем случае не выполняется. Действительно:
t ln y (t0, t1) = i (t)lnyi (t) dt, i tи, если бы веса i(t) не менялись во времени, их можно было бы вынести за знак интеграла и получить выражение индекса как среднего геометрического индивидуальных индексов. Однако веса меняются во времени, и такую операцию провести нельзя. Можно было бы ввести средние за период веса по следующему правилу:
i (t)lnyi (t) dt i (t0, t1) =, ln yi (t) dt и получить выражение ln y (t0, t1) = i (t0, t1)lnyi (t0, t1), (3.3) 110 Глава 3. Индексный анализ которое являлось бы средним геометрическим, если бы сумма средних за период весов равнялась единице. Но равенство единице их суммы в общем случае не гарантировано.
Имеется один частный случай, когда общий индекс является средним геометрическим индивидуальных. Если индивидуальные моментные индексы не меняются /(t1-t0) во времени и, как было показано выше, равны (yi (t0, t1)), то их можно вынести за знак интеграла и получить выражение, аналогичное по форме (3.3):
ln y (t0, t1) = i (t0, t1)lnyi (t0, t1), tгде теперь i (t0, t1) = i (t) dt Ч средние хронологические весов. Их сумt1 - tt ма равна единице, т.к. i (t) =1 :
t1 t 1 i (t0, t1) = i (t) dt = dt =1.
t1 - t0 t1 - tt0 tТем не менее, индекс Дивизиа результирующей величины обладает свойством среднего в общем случае. В силу аддитивности yi, этот индекс является обычной средней относительной и, как отмечалось в пункте 2.2, может быть представлен как среднее арифметическое индивидуальных индексов с базисными весами (по знаменателю) или среднее гармоническое индивидуальных индексов с текущими весами (по числителю).
Вслед за мультипликативностью моментных индексов, индексы Дивизиа также мультипликативны. В этом не сложно убедиться, если определить факторные индексы Дивизиа естественным образом:
t1 t ln x (t0, t1) = ln x (t) dt = i (t)lnxi (t) dt, t0 t t1 t ln a (t0, t1) = ln a (t) dt = i (t)lnai (t) dt.
t0 tДействительно:
t1 t1 tln y (t0, t1) = ln x (t) a (t) dt = ln x (t) dt + ln a (t) dt = t0 y(t) t0 t=ln x (t0, t1) +lna (t0, t1), 3.5. Индексы в непрерывном времени т.е. y (t0, t1) =x (t0, t1) a (t0, t1).
Факторные индексы не могут быть представлены как средние геометрические индивидуальных индексов Ч кроме частного случая, когда индивидуальные моментные индексы неизменны во времени. Это было показано на примере индекса результирующей величины. В случае аддитивности xi факторный индекс объема все-таки обладает свойством среднего (как и индекс результирующей величины).
В общем случае факторные индексы требованию среднего не удовлетворяют.
Непосредственно из определения индексов Дивизиа следует их транзитивность.
Но факторные индексы этим свойством обладают в специфической, не встречавшейся ранее форме. До сих пор при наличии транзитивности общий за период индекс можно было рассчитать двумя способами: непосредственно по соотношению величин на конец и начало периода или по цепному правилу Ч произведением аналогичных индексов по подпериодам:
(t0, tN ) = (t0, t1) (t1, t2) ... (tN-1, tN ), t0 Именно выполнение этого равенства трактовалось как наличие свойства транзитивности. Теперь (для факторных индексов Дивизиа) это равенство Ч определение общего индекса (t0, tn), т.к. другого способа его расчета Ч непосредственно по соотношению факторных величин на конец и начало общего периода Ч не существует. В частности, общий за период факторный индекс зависит не только от значений факторных величин на начало и конец периода, но и от всей внутрипериодной динамики этих величин. Эту особенность факторных индексов Дивизиа можно проиллюстрировать в случае, когда моментные темпы роста всех индивидуальных величин неизменны во времени. В этом случае, как было показано выше (указатели периода времени (t0, t1) опущены), i i i y =, x =, a =, (3.4) yi xi ai где i Ч средние хронологические веса по результирующей величине y. Пусть N = 2, тогда выражение для этих средних хронологических весов можно найти в аналитической форме. Для периода (0, 1) ( t0 = 0, t1 = 1, из таблицы dx x неопределенных интегралов: = - ln (b + ceax)): b + ceax b ab y t 1 ln y1 (0) yy 1 =, (3.5) t t dt = yy1 (0) y1 + y2 (0) yln y112 Глава 3. Индексный анализ Таблица 3.2. Объемы производства и цены в три последовательных момента времени Моменты времени 0 1 i y x a y x a y x a 1 20 10 2 30/45 12/18 2.5 60 20 2 10 10 1 30 15 2 90 30 Итого 30 60/75 y t 1 ln y2 (0) yy 2 =, t dt = yy1 (0) (y1)t + y2 (0) yln yгде y, y1, y2 Ч общий (агрегированный) и индивидуальные индексы момент к моменту для результирующей величины y. Указанная особенность факторных индексов Дивизиа иллюстрируется на примере, исходные данные для которого приведены в двух таблицах 3.21 и3.3. Динамика физических объемов дана в 2 вариантах (через знак л/). Физический объем 1-го продукта в момент времени л 1 в варианте (а) составляет 12 единиц, в варианте (б) Ч 18. Это Ч единственное отличие вариантов. Результаты расчетов сведены в двух таблицах 3.4 и 3.5. Расчет средних хронологических весов за периоды (0, 1) и (1, 2) в 1-й результирующей таблице проводился по формулам (3.5), индексы 2-й таблицы за периоды (0, 1) Физические объемы производства продуктов имеют разные единицы измерения (например, тонны и штуки) и не могут складываться, т.е. x неаддитивен. Таблица 3.3. Индексы наблюдаемых величин Периоды времени (0,1) (1,2) (0,2) i y x a y x a y x a 1 1.5/2.25 1.2/1.8 1.25 2/1.333 1.667/1.111 1.2 3 2 1.2 3 1.5 2 3 2 1.5 9 3 Итого 2/2.5 2.5/2 3.5. Индексы в непрерывном времени Таблица 3.4. Веса индивидуальных индексов Варианты (а) (б) Моменты и периоды времени Моменты и периоды времени i 0 (0, 1) 1 (1, 2) 2 0 (0, 1) 1 (1, 2) 1 0.667 0.585 0.5 0.450 0.4 0.667 0.634 0.6 0.5 0.2 0.333 0.415 0.5 0.550 0.6 0.333 0.366 0.4 0.5 0.Итого 1 1 1 1 1 1 1 1 1 и (1, 2) рассчитывались по формулам (3.4), а за период (0, 2) Ч в соответствии с определением по цепному правилу. Данный пример показывает, что даже относительно небольшое изменение внутренней динамики Ч увеличение физического объема 1-го товара в средний момент времени л 1 с 12 до 18 единиц Ч привело к увеличению индекса физического объема за весь период (0, 2) с 2.426 до 2.510 и к соответствующему снижению индекса цен с 2.061 до 1.992. Концевые (на начало и конец периода) значения факторных величин при этом оставались неизменными. В обоих вариантах факторные индексы транзитивны, поскольку индексы за период (0, 2) равны произведению индексов за периоды (0, 1) и (1, 2). Можно сказать, что факторные индексы Дивизиа обладают свойством транзитивности в усиленной дефинитивной форме, т.к. это свойство определяет сам способ расчета индексов за периоды, включающие подпериоды. Такая особенность факторных индексов в конечном счете является следствием того, что физический объем x(t), как таковой, и относительная величина a(t) в общем случае не наТаблица 3.5. Индексы Дивизиа Варианты (а) (б) Периоды y x a y x a (0, 1) 2.0 1.316 1.519 2.5 1.684 1.(1, 2) 2.5 1.843 1.357 2.0 1.491 1.(0, 2) 5.0 2.426 2.061 5.0 2.510 1.114 Глава 3. Индексный анализ блюдаемы, и для их измерения, собственно говоря, и создана теория индексов, в частности индексов Дивизиа. Полезно напомнить, что индекс Дивизиа результирующей величины и все индивидуальные индексы Дивизиа удовлетворяют требованию транзитивности в обычной форме. Итак, индексы момент к моменту продолжают удовлетворять требованиям мультипликативности, транзитивности (в дефинитивной форме), симметричности, но теряют свойство среднего. Факторные индексы Дивизиа обычно записывают в следующей форме: t1 tai (t) dxi (t) xi (t) dai (t) x (t0, t1) =exp, a (t0, t1) =exp. xi (t) ai (t) xi (t) ai (t) t0 tВ том, что это форма эквивалентна используемой выше, легко убедиться. Для этого достаточно вспомнить, что, например для индекса объемной величины: xi (t) ai (t) d ln xi (t) 1 dxi (t) i (t) =, ln xi (t) = =. xi (t) ai (t) dt xi (t) dt Индексы Дивизиа могут служить аналогом прикладных индексов, рассмотренных в пунктах 1Ц3 данного раздела, в случае, если речь идет о величинах x и y типа запаса, поскольку такие величины измеряются на моменты времени. 3) Индексы период к периоду. Чаще всего предметом индексного анализа является динамика величин типа потока, поэтому именно непрерывные индексы период к периоду являются наиболее полным аналогом прикладных индексов, рассмотренных в пунктах 1Ц3 этого раздела. Сначала необходимо определить следующие индивидуальные величины (здесь и далее нижний индекс-указатель объекта i опущен): t+ y (t, ) = y t dt Ч результирующая величина в периоде [t, t + ], t t+ x (t, ) = x t dt Ч объемная величина в периоде [t, t + ], t t+ y (t, ) a (t, ) = = x t a t dt Ч относительная величина в периоде [t, t + ], x (t, ) t x (t ) где x (t ) = Ч временные веса относительной величины. x (t, ) 3.5. Индексы в непрерывном времени Таким образом, при переходе к суммарным за период величинам проявилось принципиальное различие объемных и относительных величин. Первые аддитивны во времени и складываются по последовательным моментам времени, вторые Ч неаддитивны и рассчитываются за период как средние хронологические с весами, определенными динамикой объемной факторной величины. Именно с этим обстоятельством связана возможная несимметричность факторных индексов, которая имеет место для большинства прикладных индексов, рассмотренных в пункте 3.2. Индивидуальные индексы период к периоду строятся естественным способом: [ ] (t1, ) [ ] (t0, t1, ) =, [ ] (t0, ) где [ ](t0, t1, ) Ч индекс, сопоставляющий периоды [t1, t1 + ] (текущий) и [t0, t0 + ] (базисный), а на месте [ ], как и прежде, стоит либо y Чд ляобъемной результирующей величины (стоимости), либо x Ч для объемной факторной величины (объема), либо a Ч для относительной величины (цены). Книги по разным темам