Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | ... | 35 | Рассмотренные примеры указывают на то, что и с помощью формальных статистических критериев бывает практически невозможно отличить реализации www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru процессов с единичным корнем и без наличия такового при небольшом количестве наблюдений. Это связано с весьма низкой мощностью соответствующих критериев при умеренном количестве наблюдений и УблизкихФ альтернативах. Скажем, достаточная мощность критерия Ф1 достигается только при a1 < 0.8, а также если близко к или > 1. Мощности критериев Ф2 и Ф3 еще ниже. Те же замечания относятся и к критериям, основанным на Уt-статистикахФ и на статистике T( 1 - 1).
Все это приводит к Упрезумпции наличия единичного корняФ в случае, когда в качестве нулевой гипотезы H0 берется именно гипотеза единичного корня.
В связи с этим, рядом авторов была рассмотрена задача проверки нулевой гипотезы стационарности (стационарности относительно детерминированного тренда) против альтернативной гипотезы единичного корня. В дальнейшем мы коснемся этого вопроса несколько подробнее, а сейчас отметим только, что при таком подходе наблюдается похожая картина. Критерии стационарности имеют низкую мощность, и вследствие этого возникает уже Упрезумпция отсутствия единичного корняФ. Поэтому мы отложим пока знакомство с такими критериями и вернемся опять к рассмотрению ситуации, когда основной (нулевой) является гипотеза наличия единичного корня.
Полученные выше результаты проверки гипотезы единичного корня для смоделированных реализаций стационарных процессов представляются крайне пессимистическими: при использовании первых 50 наблюдений эта гипотеза не отвергается Х Для ST_1 и ST_2 в паре DGP: xt = xtЦ1 + t, SM: xt = + a1 xtЦ1 + t ;
Х Для ST_3 в паре DGP: xt = + xtЦ1 + t (или DGP: xt = xtЦ1 + t), SM: xt = + t + a1 xtЦ1 + t.
Проследим, что дает проверка гипотезы единичного корня в этих же связках, но при использовании большего количества наблюдений; для этого возьмем теперь T = 100.
Сравним полученные результаты (в последней строке таблицы использованы 10% критические значения):
n = 50 n = t = - 2.298 > tкрит = Ц2.92, t = - 3.238 < tкрит = Ц2.89, ST_гипотеза единичного корня гипотеза единичного корня не отвергается отвергается t = - 2.245 > tкрит = Ц2.92, t = - 3.217 < tкрит = Ц2.89, ST_гипотеза единичного корня гипотеза единичного корня не отвергается отвергается t = - 3.207 < tкрит = Ц3.15, ST_3 t = - 2.687 > tкрит = - 3.18.
гипотеза единичного корня гипотеза единичного корня отвергается на 10% уровне не отвергается на 10% уровне Последняя серия результатов показывает, что при увеличении количества наблюдений мощность критериев Дики - Фуллера возрастает.
www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru 6.3. Расширенные критерии Дики - Фуллера Обратимся опять к статистическим данным о величине валового национального продукта (GNP) в США за период с первого квартала 1947 г. по четвертый квартал г. В главе 5 мы идентифицировали этот ряд как процесс авторегрессии второго порядка Xt - 217.740 - 5.222 t = 1.380 (XtЦ1 - 217.740 - 5.222(tЦ1)) - - 0.630 (XtЦ2 - 217.740 - 5.222(tЦ2)) + t, или Xt = 55.017 + 1.304 t + 1.380 XtЦ1 - 0.630XtЦ2 + t.
Как проверить гипотезу о наличии единичного корня в модели авторегрессии, порождающей этот ряд Ведь в рассмотренных выше критериях Дики - Фуллера проверка такой гипотезы велась в рамках моделей авторегрессии первого порядка.
Выход из этого положения оказался достаточно простым.
Рассмотрим статистическую модель SM: xt = + t + a1 xtЦ1 + a2 xtЦ2 + Е+ ap xtЦp + t.
Путем чисто алгебраических преобразований ее можно преобразовать к виду (#) xt = + t + xtЦ1 + (1 xtЦ1 + Е+ pЦ1 xt - p+1 ) + t, где = a1 + a2 + Е + ap, j = - (aj + 1 + Е + ap).
(В примере с GNP такое преобразование дает xt = 55.017 + 1.304 t + 1.380 XtЦ1 - 0.630XtЦ1 + 0.630XtЦ1 - 0.630XtЦ2 + t = = 55.017 + 1.304 t + 0.750 XtЦ1 + 0.630 XtЦ1 + t.) Если исходить из того, что уравнение a(z) = 0 может иметь только один корень z = 1, а остальные p - 1 корней лежат за пределами единичного круга, то тогда наличие единичного корня равносильно тому, что a1 + a2 + Е+ ap = 1, т.е. = 1. (См., например, [Hamilton (1994)].) Таким образом, гипотеза существования единичного корня у процесса AR(p) сводится в этом случае к гипотезе H0: = 1 в преобразованном соотношении (#). Для проверки этой гипотезы можно пользоваться теми же таблицами Фуллера, только на этот раз используются значения статистики T( - 1) и t-отношения для проверки гипотезы = 1, полученные при оценивании расширенной (augmented) статистической модели (#) (с и, равными или не равными нулю). Соответствующие Уt-статистикиФ обозначают обычно ADF (augmented Dickey - Fuller), в отличие от статистики DF, получаемой для модели AR(1).
Для того, чтобы не вычислять самим каждый раз значение t-статистики для гипотезы = 1, можно преобразовать (#) к виду (# #) xt = + t + xtЦ1 + (1 xtЦ1 + Е+ p-1 xt - p+1 ) + t, где = - 1, так что гипотеза H0: = 1 в (#) равносильна гипотезе H0: = 0 в (# #).
В качестве альтернативной к H0: = 1 в (#) выступает гипотеза HA: < 1. При переходе от (#) к (# #)) она преобразуется в гипотезу HA: < 0.
При этом, значение Уt-статистикиФ для проверки гипотезы H0: = 1 в (#) численно равно значению Уt-статистикиФ для проверки гипотезы H0: = 0 в (# #).
Пример Для ряда GNP оценивание модели xt = + t + xtЦ1 + 1 xtЦ1 + t (обычным методом наименьших квадратов) приводит к следующему результату:
www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru ADF Test Statistic -4.117782 1% Critical Value* -4. 5% Critical Value -3. 10% Critical Value -3.*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(X) Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
X(-1) -0.249792 0.060662 -4.117782 0.D(X(-1)) 0.630066 0.109453 5.756490 0.C 56.32136 13.18303 4.272264 0.@TREND(1947:1) 1.304300 0.315357 4.135949 0.Гипотеза единичного корня отвергается: значение t-статистики для проверки гипотезы H0: = 0 оказывается ниже 5% критического значения, вычисленного по формуле Маккиннона, и близко к 1% критическому значению.
В связи с последним примером, следует особо отметить, что использование расширенной модели предполагает, что количество запаздывающих разностей, включенных в правую часть, исчерпывает временную зависимость, так что t - независимые случайные величины. В то же время, не следует включать в правую часть излишних запаздывающих разностей, т.к. это снижает мощность критериев как по причине оценивания дополнительных параметров, так и по причине уменьшения используемого количества наблюдений.
Для определения надлежащей глубины запаздываний следует начинать с относительно большого порядка p = p *, а затем опираться на то обстоятельство, что хотя при наличии единичного корня распределения оценки и t-статистики для проверки гипотезы = 0 нестандартны, распределения оценок коэффициентов 1, Е, pЦ1 все же являются асимптотически нормальными. Поэтому можно сначала проверить гипотезу о том, что = 0, используя обычную t-статистику и критические точки p* - соответствующего t-распределения Стьюдента. Если эта гипотеза не отклоняется, то далее проверяем гипотезу p* - 1 = p* - 2 = 0, используя F-критерий и процентные точки F-распределения Фишера, и.т.д. После этого производится обычная диагностика адекватности подобранной модели.
Пример Продолжим предыдущий пример. Если взять первоначально p* = 5, то получаем:
ADF Test Statistic -2.873575 1% Critical Value* -4. 5% Critical Value -3. 10% Critical Value -3.*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(X) Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
X(-1) -0.266169 0.092626 -2.873575 0.D(X(-1)) 0.546230 0.133521 4.090958 0.D(X(-2)) 0.183918 0.149711 1.228486 0.D(X(-3)) -0.020254 0.152201 -0.133077 0.www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru D(X(-4)) -0.058683 0.148061 -0.396345 0.C 59.45556 19.32396 3.076779 0.@TREND(1947:1) 1.397409 0.482120 2.898469 0.Поскольку здесь t = Ц2.873575 > Ц3.1744, то гипотеза единичного корня не отвергается даже при выборе 10% уровня значимости. В то же время, статистически незначимыми оказываются коэффициенты при трех последних запаздывающих разностях. P-значение F-статистики критерия для гипотезы о занулении этих трех коэффициентов равно 0.44.
Поэтому можно обойтись без трех последних запаздывающих разностей, а такую модель мы только что оценивали, и в ней гипотеза единичного корня была отвергнута.
Критерии Дики - Фуллера фактически предполагают, что наблюдаемый ряд описывается моделью авторегрессии конечного порядка (возможно, с поправкой на детерминированный тренд). Как поступать в случае, когда ряд xt имеет тип ARMA(p, q) с q > 0 Пусть xt ~ ARMA(p, q), так что a(L) xt = b(L) t, где a(L), b(L) - полиномы порядков p и q, и пусть оператор b(L) обратим, так что процесс можно представить в виде процесса авторегрессии бесконечного порядка c(L) xt = t, где c(L) xt = a(L) b(L) = 1 + с1L + с2L2 + Е.
В этом случае представление (# #) с конечным числом запаздываний в правой части заменяется бесконечным представлением (# # #) xt = + t + xt - 1 + (1 xt - 1 + 2 xt - 2 + Е ) + t Однако все коэффициенты последнего невозможно оценить по конечному количеству наблюдений. Как выйти из этого положения В работе [Said, Dickey (1984)] было показано, что процесс ARIMA(p, 1, q) с неизвестными p и q можно достаточно хорошо аппроксимировать некоторым процессом ARI(p*, 1) с p* < T. Это дает возможность ограничиться в правой части (# # #) конечным числом запаздывающих разностей.
6.4. Краткий обзор критериев Дики - Фуллера Под критерием Дики - Фуллера в действительности понимается группа критериев, объединенных одной идеей, предложенных и изученных в работах [Dickey (1976)], [Fuller (1976)], [Dickey, Fuller (1979)], [Dickey, Fuller (1981)]. В критериях Дики - Фуллера проверяемой (нулевой) является гипотеза о том, что исследуемый ряд xt принадлежит классу DS (DS-гипотеза); альтернативная гипотеза - исследуемый ряд принадлежит классу TS (TS-гипотеза). Критерий Дики - Фуллера фактически предполагает, что наблюдаемый ряд описывается моделью авторегрессии первого порядка (возможно, с поправкой на линейный тренд). Критические значения зависят от того, какая статистическая модель оценивается и какая вероятностная модель в действительности порождает наблюдаемые значения. При этом рассматриваются следующие три пары моделей (SM - статистическая модель, statistical model; DGP - модель порождения данных, data generating process).
1) Если ряд xt имеет детерминированный линейный тренд (наряду с которым может иметь место и стохастический тренд), то в такой ситуации берется пара SM: xt = xt-1 + + t + t, t = 2,Е,T, www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru DGP: xt = + t, t = 2,Е,T, 0.
В обоих случаях t - независимые случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием..
Методом наименьших квадратов оцениваются параметры данной SM и вычисляется значение обычной t-статистики t для проверки гипотезы H0 : = 0. Полученное значение сравнивается с критическим уровнем tcrit, рассчитанным в предположении, что наблюдаемый ряд в действительности порождается данной моделью DGP (случайное блуждание со сносом). DS-гипотеза отвергается, если t < tcrit. Критические уровни, соответствующие выбранным уровням значимости, можно взять из таблиц, приведенных в книгах [Fuller (1976)], [Fuller (1996)], если ряд наблюдается на интервалах длины T = 25, 50, 100, 250, 500. Если количество наблюдений T другое, то тогда можно вычислить приближенные критические значения, используя формулы, приведенные в работе [MacKinnon (1991)].
2) Если ряд xt не имеет детерминированного тренда (но может иметь стохастический тренд) и имеет ненулевое математическое ожидание, то берется пара SM: xt = xt-1 + +, t = 2,Е,T, t DGP: xt =, t = 2,Е,T.
t Методом наименьших квадратов оцениваются параметры данной SM и вычисляется значение t-статистики t для проверки гипотезы H0 : = 0. Полученное значение сравнивается с критическим уровнем tcrit, рассчитанным в предположении, что наблюдаемый ряд в действительности порождается данной моделью DGP (случайное блуждание без сноса). DS-гипотеза отвергается, если t < tcrit. Критические уровни, соответствующие выбранным уровням значимости, можно взять из таблиц, приведенных в книгax [Fuller (1976)], [Fuller (1996)], если ряд наблюдается на интервалах длины T = 25, 50, 100, 250, 500. Если количество наблюдений T другое, то тогда можно вычислить приближенные критические значения, используя формулы, приведенные в работе [MacKinnon (1991)].
3) Наконец, если ряд xt не имеет детерминированного тренда (но может иметь стохастический тренд) и имеет нулевое математическое ожидание, то берется пара SM: xt = xt -1 +, t = 2,Е,T, t DGP: xt =, t = 2,Е,T.
t Методом наименьших квадратов оцениваются параметры данной SM и вычисляется значение t-статистики t для проверки гипотезы H0 : = 0. Полученное значение сравнивается с критическим уровнем tcrit, рассчитанным в предположении, что наблюдаемый ряд в действительности порождается данной моделью DGP (случайное блуждание без сноса). DS-гипотеза отвергается, если t < tcrit. Критические уровни, соответствующие выбранным уровням значимости, можно взять из таблиц, приведенных в книгах [Fuller (1976)], [Fuller (1996)], если ряд наблюдается на интервалах длины T = 25, 50, 100, 250, 500. Если количество наблюдений T другое, то тогда можно вычислить приближенные критические значения, используя формулы, приведенные в работе [MacKinnon (1991)].
Pages: | 1 | ... | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | ... | 35 | Книги по разным темам