Geum.ru
   Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |   ...   | 35 |

Более привычным являлось бы, конечно, использование для проверки гипотезы H0: a= 1 против HA: a1 < 1 отношения 1 -t = (t-отношение, t-ratio, t-статистика), s(1) где s( 1 ) - оцененная стандартная ошибка оценки 1. Однако, поскольку при a1 = уже и сама оценка 1 не имеет нормального распределения, то и это отношение не имеет t-распределения Стьюдента. Критические значения этой t-статистики при T и некоторых конечных значениях T также впервые были приведены в работе Фуллера [Fuller (1976)]. Гипотеза H0: a1 = 1 отвергается в пользу альтернативной гипотезы HA:

a1 < 1 при больших отрицательных значениях указанной статистики. Сравним 5% критические значения, указанные Фуллером, с 5% критическими значениями обычного одностороннего t-критерия, вычисляемыми по распределению Стьюдента t(T - 1) с (T - 1) степенями свободы:

T Фуллер Стьюдент 25 - 1.95 - 1.50 - 1.95 - 1.www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru 100 - 1.95 - 1.250 - 1.95 - 1.500 - 1.95 - 1. - 1.Таблица иллюстрирует скошенность распределения ( 1 - 1)/s( 1) при a1 = 1.

В числе прочего, мы приводили в разд. 6.1 смоделированную реализацию процесса случайного блуждания без сноса xt = xtЦ1 + t (WALK_1). Оценим по этой реализации статистическую модель xt = a1 xtЦ1 + t, используя первые 50 наблюдений:

Dependent Variable: WALK_Sample(adjusted): 2 Included observations: 49 after adjusting endpoints Variable Coeff. Std. Error t-Statistic Prob.

WALK_1(-1) 0.970831 0.035729 27.17224 0.Значение указанного выше t-отношения равно (0.970831 - 1)/ 0.035729 = - 0.816 и превышает критическое значение Ц1.95. Поэтому гипотеза о наличии единичного корня не может быть отвергнута на 5% уровне значимости. Это согласуется с полученной оценкой 0.970831 коэффициента a1, значительно превышающей критический уровень 0.846.

С другой стороны, если мы возьмем смоделированную в разд. 6.1 реализацию ST_стационарного ряда xt = 0.8 xtЦ1 + t (имеющего нулевое математическое ожидание) и оценим по этой реализации статистическую модель xt = a1 xtЦ1 + t, используя первые 50 наблюдений, то получим:

Dependent Variable: ST_Method: Least Squares Sample(adjusted): 2 Included observations: 49 after adjusting endpoints Convergence achieved after 2 iterations Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

AR(1) 0.790557 0.090501 8.735349 0.Интересующее нас t-отношение равно - 2.314 < Ц1.95, что приводит к отвержению гипотезы единичного корня. Это согласуется с тем, что оцененное значение a1 здесь равно 0.791 и значимо отличается от 1.

Обратимся теперь к смоделированной реализации ST_2 стационарного AR(1) процесса xt = 0.2 + 0.8 xtЦ1 + t (математическое ожидание которого равно 1).

Среднеарифметическое значение первых 50 значений ряда равно 0.596. Поэтому даже если бы мы не знали, как этот ряд моделировался, мы все же могли сказать, что если этот ряд стационарный, то он имеет скорее ненулевое математическое ожидание. Но тогда альтернативой для гипотезы H0: xt = xtЦ1 + t (наличие единичного корня) должна быть гипотеза HA: xt = + a1 xtЦ1 + t, a1 < 1, 0.

Поэтому в качестве статистической модели мы берем теперь модель SM: xt = + a1 xtЦ1 + t.

Предельное распределение статистики T( 1 - 1) не только не является нормальным, но и отличается от распределения этой же статистики при оценивании SM с = 0; при T = 25 P{ 1 < 1} = 0.95. В следующей таблице приведены критические значения для этого случая:

T tкрит (Фуллер) T( 1 - 1)крит 1 крит 25 - 12.5 0.500 - 3.www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru 50 - 13.3 0.734 - 2.100 - 13.7 0.863 - 2.250 - 14.0 0.944 - 2.500 - 14.0 0.972 - 2. - 14.1 - 2.Анализ в рамках статистической модели SM: xt = + a1 xtЦ1 + t ряда WALK_1 (по первым 50 наблюдениям) дает значение t = - 2.143 > tкрит = - 2.92, так что гипотеза о том, что мы имеем дело с реализацией случайного блуждания xt = xtЦ1 + t, не отвергается.

Анализ в рамках этой же статистической модели ряда ST_2 дает (при T = 50) значение t = - 2.245, так что гипотеза единичного корня не отвергается несмотря на то, что моделировалась реализация стационарного процесса. Последнее связано, конечно, с тем, что оцененное значение 1 = 0.794 выше критического уровня 0.734.

Замечание Если мы проанализируем в рамках все той же SM: xt = + a1 xtЦ1 + t ряд ST_1 (c = 0), то получим 1 = 0.785 > 1 крит = 0.734, t = - 2.298 > tкрит = - 2.92, так что гипотеза единичного корня для ST_1 не отвергается. В то же время, как мы уже видели ранее, если ряд ST_1 анализируется в рамках статистической модели SM: xt = a1 xt - 1 + t, то гипотеза единичного корня отвергается.

Этот пример иллюстрирует то обстоятельство, что при добавлении в статистическую модель излишних объясняющих переменных (в т.ч. и константы) мощность критерия снижается, и отвергнуть гипотезу единичного корня становится трудно, даже если она не верна. Поэтому важно выбирать статистическую модель Убез излишествФ, включая в нее только такие составляющие, которые соответствуют поведению наблюдаемого временного ряда.

Посмотрим теперь на реализацию ST_3 стационарного процесса xt = 0.16 + 0.04 t + 0.8 xt - 1 + t, стационарного относительно линейного тренда 0.2 t. Эта реализация похожа на реализацию WALK_2 случайного блуждания со сносом 0.xt = 0.2 + xt - 1 + t :

25 --5 -10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 ST_3 WALK_Отсюда возникает проблема различения подобных процессов, и в связи с этим, рассматривается задача проверки гипотезы H0: xt = + xtЦ1 + t, 0, (случайное блуждание со сносом) в рамках статистической модели SM: xt = + t + a1 xtЦ1 + t.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Фуллер затабулировал процентные точки распределений оценки 1 и t-статистики для проверки гипотезы a1 = 1 в такой ситуации.

Если DGP: xt = + xtЦ1 + t с 0, то 5% критические значения статистики T( 1 - 1) и указанной t-статистики таковы:

T tкрит (Фуллер) T( 1 - 1)крит 1 крит 25 - 17.9 0.284 - 3.50 - 19.8 0.604 - 3.100 - 20.7 0.793 - 3.250 - 21.3 0.914 - 3.500 - 21.5 0.957 - 3. - 21.8 - 3.Проанализируем в рамках статистической модели SM: xt = + t + a1 xtЦ1 + t смоделированные реализации (опять берем T = 50).

Для WALK_2 имеем 1 = 0.858 > 1 крит = 0.604, t = - 2.027 > tкрит = - 3.50, так что гипотеза единичного корня не отвергается.

Для ST_3 имеем 1 = 0.733 > 1 крит = 0.604, t = - 2.687 > tкрит = - 3.50. Здесь значения 1 и t ближе к критическим, чем у WALK_2, но все же еще значительно их превышают, так что гипотеза единичного не отвергается и в этом случае.

Строго говоря, при виде реализаций, подобных ST_3, мы не должны исключать возможность того, что DGP - случайное блуждание без сноса, так что следовало бы знать также и распределения 1 и t в статистической модели SM: xt = + t + a1 xtЦ1 + t в предположении, что DGP: xt = xtЦ1 + t.

Исследование этих распределений показало, что они совпадают с распределениями и t, полученными в предположении DGP: xt = + xtЦ1 + t, 0, так что при использовании статистической модели SM: xt = + t + a1 xtЦ1 + t одни и те же таблицы распределений 1 и t годятся и при DGP: xt = xtЦ1 + t и при DGP: xt = + xtЦ1 + t, 0.

Проанализируем в рамках статистической модели SM: xt = + t + a1 xtЦ1 + t реализацию DGP: xt = xtЦ1 + t, представленную рядом WALK_1. Оценивая эту статистическую модель, получаем (как и при DGP: xt = 0.2 + xtЦ1 + t ): 1 = 0.858 > 1 крит = 0.604, t = - 2.027 > tкрит = - 3.50, так что гипотеза единичного корня не отвергается.

Отметим, наконец, замечательный результат Маккиннона [MacKinnon (1991)], который указал простую приближенную формулу для вычисления критических значений tстатистик в критериях Фуллера. Именно, он показал, что если tкрит(p, T) - критическое значение t-статистики по Фуллеру, соответствующее уровню значимости p и количеству наблюдений T, то tкрит(p, T) + 1T - 1 + 2T - 2, где, 1, 2 - некоторые коэффициенты, зависящие от p и от того, какое из трех распределений Фуллера рассматривается. Маккиннон приводит таблицу этих коэффициентов для p = 0.01, 0.05, 0.10.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Пример В главе 5 мы анализировали статистические данные об объеме потребительских расходов на товары кратковременного пользования и услуги в Великобритании за период с первого квартала 1974 г. по четвертый квартал 1985 г. Этот ряд был идентифицирован как процесс авторегрессии первого порядка относительно линейного тренда:

Xt - 47962.75 - 315.1909 t = 0.884803 (XtЦ1 - 47962.75 - 315.1909 (tЦ1)) + t, или Xt = 5804.037 + 36.30898 t + 0.884803 XtЦ1 + t.

Там же мы отметили, что несмотря на то, что при полученной точечной оценке 0.884803 коэффициента при XtЦ1 построенная модель формально оказывается стационарной относительно детерминированного линейного тренда (т.е.

детрендированный процесс следует стационарной AR(1) модели), мы не можем с достаточной степенью уверенности гарантировать, что истинная модель порождения наблюдений также стационарна относительно линейного тренда. Рассмотрим эту проблему с точки зрения критериев единичного корня.

Поскольку исследуемый ряд обладает выраженным линейным трендом, будем действовать в рамках статистической модели SM: xt = + t + a1 xt - 1 + t Проверим гипотезу H0: xt = + xt - 1 + t, пользуясь статистическим пакетом EVIEWS, в котором используется приведенная выше формула Маккиннона:

Test Statistic -1.425277 1% Critical Value* -4. 5% Critical Value -3. 10% Critical Value -3.*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.

В соответствии с этими результатами, гипотеза H0 не отвергается. Но если считать, что она выполнена, то тогда в конечном счете следует оценивать не модель xt = + t + a1 xt - 1 + t, а модель xt = + xt - 1 + t. Оценивание последней в форме xt = + t дает следующий результат:

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

236.8958 80.80998 2.931517 0. Durbin-Watson stat 2.Это соответствует модели случайного блуждания со сносом xt = 236.8958 + xt - 1 + t.

Все рассмотренные варианты проверки гипотезы о наличии единичного корня в рамках статистических моделей SM: xt = a1 xt - 1 + t SM: xt = + a1 x t - 1 + t SM: xt = + t + a1 xt - 1 + t основывались на распределениях оценки наименьших квадратов коэффициента a1 и tстатистики для проверки гипотезы a1 = 1 при соответствующих предположениях о процессе порождения данных:

DGP: xt = xt - 1 + t (случайное блуждание), www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru DGP: xt = + xt - 1 + t (случайное блуждание со сносом).

С другой стороны, например, если SM: xt = + a1 xt - 1 + t, то гипотеза xt = xt - 1 + t равносильна гипотезе H0: = 0, a1 = 1.

Если бы мы находились в рамках классической модели линейной регрессии, то проверяли подобную гипотезу с использованием F-статистики (RSS0 - RSS) 1 =, RSS ((T -1) - 2) которая в классическом варианте имеет при гипотезе H0 F-распределение Фишера F(2, T - 3) с двумя и T - 3 степенями свободы. Поскольку, однако, мы имеем дело при гипотезе H0 с нестационарным процессом, то, вообще говоря, не следует ожидать, что распределение статистики Ф1 при гипотезе H0 будет иметь (хотя бы асимптотически) распределение F(2, T - 3). Этот вопрос был исследован Дики и Фуллером [Dickey, Fuller (1981)]. Ими были построены таблицы распределения статистики Ф1 при гипотезе H0: = 0, a1 = 1. Ниже приведены 5% критические значения статистики Ф1, рассчитанные Дики и Фуллером, а также (для сравнения) 5% критические значения Fкрит, рассчитанные по распределению F(2, n - 3) (см., также [Hamilton (1994), таблица В.7 Case 2] и [Enders (1995), таблица С]):

T Ф1 крит F крит 25 5.18 3.50 4.86 3.100 4.71 3.250 4.63 3.500 4.61 3. 4.59 3.Пример Опять возьмем для примера ряды WALK_1, ST_2, ST_1 (по 50 наблюдений).

Оценивая SM: xt = + a1 xtЦ1 + t для ряда WALK_1, получаем = - 0.579, 1= 0.850, RSS = 48.0335. В модели с ограничениями = 0, a1 = 1 имеем xt = xtЦ1, так что T RSS0 = - xt-1) = 52.7939, (xt t = (52.7939 - 48.0335) / 1 = = 2.329 < 4.86 48.0335/(50 -1- 2) гипотеза H0 не отвергается.

Для ST_2 : = 0.181, 1= 0.777, RSS = 52.6618. В модели с ограничениями = 0, a1 = 1 имеем RSS0 = 59.0547, (59.0547 - 52.6618) / 1 = = 2.853 < 4.86 52.6618/(50 -1- 2) гипотеза H0 не отвергается.

Для ST_1 : = - 0.042, 1= 0.785, RSS = 52.7007. В модели с ограничениями = 0, a= 1 имеем RSS0 = 58.0671, Ф1 = 2.662 < 4.86 гипотеза H0 не отвергается.

Таким образом, для всех трех рядов статистические выводы, сделанные на основании t-статистик для коэффициента a1, совпали со статистическими выводами, сделанными на основании F-статистики.

В рамках статистической модели www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru SM: xt = + t + a1 xtЦ1 + t гипотеза DGP: xt = xtЦ1 + t соответствует гипотезе H0: = = 0, a1 = 1, а гипотеза DGP: xt = + xtЦ1 + t - гипотезе H0: = 0, a1 = 1.

F-статистика для первого случая имеет обозначение Ф2 ; 5% критические значения равны (см. также [Enders (1995), таблица С]) T Ф1 крит 25 5.50 5.100 4.250 4.500 4. 4.F-статистика для второго случая имеет обозначение Ф3 ; 5% критические значения равны (см. также [Hamilton (1994), таблица В.7 Case 4] и [Enders (1995), таблица С]):

T Ф1 крит 25 7.50 6.100 6.250 6.500 6. 6.Пример Рассмотрим ряды WALK_1, WALK_2, ST_3. Оценим статистическую модель SM: xt = + t + a1 xtЦ1 + t для каждого из этих рядов и проверим для них Х Гипотезу H0: = = 0, a1 = 1, опираясь на статистику Ф2;

Х Гипотезу H0: = 0, a1 = 1, опираясь на статистику Ф3.

H0: = = 0, a1 = WALK_1: = - 0.854, = 0.012, 1= 0.858, RSS = 46.7158. В модели с ограничениями RSS0 = 52.7939, Ф2 = 1.995 < 5.13 гипотеза H0 не отвергается.

WALK_2: = - 0.711, = 0.040, 1= 0.858, RSS = 46.7158. В модели с ограничениями RSS0 = 52.7939, Ф2 опять равно 1.995 < 5.13 гипотеза H0 не отвергается.

ST_3: = - 0.345, = 0.070, 1= 0.733, RSS = 50.3928, Ф2 = 1.207 < 5.13 гипотеза H0 не отвергается.

H0: = 0, a1 = WALK_1: RSS = 46.7158. В модели с ограничениями RSS0 = 52.7282, Ф3 = 1.973 < 5.13 гипотеза H0 не отвергается.

WALK_2: Ф3 опять равно 1.973 гипотеза H0 не отвергается.

ST_3: RSS = 50.3928, Ф2 = 0.711 гипотеза H0 не отвергается.

Pages:     | 1 |   ...   | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |   ...   | 35 |    Книги по разным темам