Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | ... | 76 | n n з 3. Бесконечные ряды и бесконечные произведения 1. Бесконечные ряды функций. Мы не раз уже имели случай указать, что, выражая величину s в виде суммы бесконечного ряда s = b1 + b2 + b3 +..., (1) мы не утверждаем ничего иного, кроме того, что s есть предел при возрастающем n последовательности конечных частных сумм s1, s2, s3,..., где sn = b1 + b2 + b3 +... + bn. (2) Таким образом, равенство (1) равносильно предельному соотношению lim sn = s при n, (3) где sn определено с помощью (2). Если предел (3) существует, то мы говорим, что ряд (1) сходится к значению s; напротив, если предел (3) не существует, то мы говорим, что этот ряд расходится.
Например, ряд 1 1 1 - + - +...
3 5 сходится к значению, а ряд 1 1 1 - + - +...
2 3 сходится к значению ln 2; но, напротив, ряд 1 - 1 + 1 - 1 +...
расходится, так как частные суммы здесь равны поочередно то 1, то 0;
а ряд 1 + 1 + 1 + 1 +...
504 ДОПОЛНЕНИЕ гл. VIII расходится по той причине, что частные суммы стремятся к бесконечности.
Нам приходилось уже встречаться с рядами, общий член которых есть функция переменной x, имеющая вид bi = cixi, причем ci не зависит от x. Такие ряды называются степенными; для них частными суммами являются многочлены sn = c0 + c1x + c2x2 +... + cnxn;
прибавление постоянного члена c0 потребует лишь несущественного изменения обозначений в формуле (2).
Разложение функции f(x) в степенной ряд f(x) = c0 + c1x + c2x2 +...
есть, таким образом, один из способов представить функцию f(x) приближенно с помощью простейших функций Ч полиномов. Подводя итоги предыдущим результатам и несколько дополняя их, составим следующий список уже известных нам разложений в степенные ряды:
= 1 - x + x2 - x3 +... (справедливо при -1 < x < +1), (4) 1 + x x3 xarctg x = x - + -... (справедливо при -1 x +1), (5) 3 x2 xln(1 + x) = x - + -... (справедливо при -1 < x +1), (6) 2 1 1 + x x3 xln = x + + +... (справедливо при -1 < x < +1). (7) 2 1 - x 3 x2 x3 xex = 1 + x + + +... (справедливо при всех x). (8) 2! 3! 4! Сюда же мы присоединим еще два важных разложения x3 xsin x = x - + -... (справедливо при всех x), (9) 3! 5! x2 xcos x = 1 - + -... (справедливо при всех x). (10) 2! 4! Доказательство этих разложений может быть построено как простое следствие из соотношений (см. стр. 464) x x а) sin u du = 1 - cos x, б) cos u du = sin x.
0 Мы отправляемся от следующего очевидного неравенства:
cos x 1.
з 3 БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ Интегрируя от 0 до x, где x есть некоторое фиксированное положительное число, мы находим по формуле (13) со стр. 437:
sin x x;
интегрируя это еще раз, получим x1 - cos x, что равносильно xcos x 1 -.
Проинтегрировав последнее неравенство, найдем x3 xsin x x - = x -.
2 3 3! Продолжая таким же способом до бесконечности, мы получаем две серии неравенств:
sin x x, cos x 1, x3 xsin x x -, cos x 1 -, 3! 2! x3 x5 x2 xsin x x - +, cos x 1 - +, 3! 5! 2! 4! x3 x5 x7 x2 x4 xsin x x - + -, cos x 1 - + -, 3! 5! 7! 2! 4! 6!................................
Установим теперь, что при неограниченном возрастании n имеет меxn сто соотношение 0.
n! Для того чтобы это доказать, выберем некоторое фиксированное чисx 1 xm ло m, такое что <, и введем обозначение c =. Любое целое n > m m 2 m! представим в виде суммы n = m + r, тогда r xn x x x 0 < = c ... < c ;
n! m + 1 m + 2 m + r r так как из того, что n, следует, что r, то c 0. Отсюда и вытекает, что справедливы тождества x3 x5 x sin x = x - + - +..., 3! 5! 7! x2 x4 x cos x = 1 - + - +...
2! 4! 6! Поскольку члены этих рядов, меняя поочередно знаки, убывают по величине (по крайней мере, при |x| 1), то ошибки, совершаемые при обрывании каждого из рядов на некотором члене, не превышают по абсолютной величине первого из отброшенных членов.
506 ДОПОЛНЕНИЕ гл. VIII Эти ряды можно использовать при составлении таблиц.
Пример. Чему равен sin 1 1 равен в радианном измерении числу ;
следовательно, sin = - +...
180 180 6 Если ограничиться выписанными двумя членами, то совершаемая при этом ошибка не будет превышать числа, которое меньше чем 0,00000000002.
120 Итак, sin 1 0,0174524064, с 10 десятичными знаками.
Наконец, упомянем без доказательства о биномиальном ряде a a (1 + x)a = 1 + ax + C2 x2 + C3 x3 +..., (11) a где Cs Ч биномиальный коэффициент a(a - 1)(a - 2)... (a - s + 1) a Cs =.
s! a Если a = n есть целое положительное число, то Cn = 1, и в формуa ле (11) все коэффициенты Cs при s > n обращаются в нуль, так что мы просто получаем конечную формулу обыкновенной биномиальной теоремы. Одно из крупных открытий Ньютона, сделанных им в начале его деятельности, заключалось в том, что он обобщил биномиальную теорему на случай всех возможных значений показателя a как положительных, так и отрицательных, как рациональных, так и иррациональных. Если a не есть целое положительное число, то правая часть формулы (11) дает бесконечный ряд, сходящийся к значению, равному левой части, при -1 < x < +1. Если же |x| > 1, то ряд (11) расходится, и знак равенства теряет всякий смысл.
В частности, подставляя в формулу (11) значение a =, мы найдем разложение 1 1 1 3 1 3 1 + x = 1 + x - x2 + x3 - x4 +... (12) 2 2! 22 3! 23 4! Подобно другим математикам XVIII в., Ньютон не дал настоящего доказательства своей формулы. Удовлетворительный анализ сходимости и пределы, в которых разложение оказывается справедливым, не были установлены для подобных рядов вплоть до XIX в.
Упражнение. Напишите степенные ряды, в которые разлагаются функ ции 1 - x2 и.
1 - x Разложения (4)Ц(11) являются частными случаями общей формулы Брука Тейлора (1685Ц1731), дающей разложение функции f(x) в степенной ряд вида f(x) = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 +... (13) Подмечая закон, выражающий коэффициенты этого ряда cj с помощью функции f(x) и ее производных, можно утверждать справедливость этого разложения для очень обширного класса функций.
з 3 БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ Здесь невозможно привести строгое доказательство формулы Тейлора; невозможно также точно сформулировать условия, при которых она справедлива. Но следующие общедоступные соображения прольют некоторый свет на относящиеся сюда взаимоотношения и существенные факты.
Допустим предварительно, что разложение (13) возможно. Далее предположим, что функция f(x) дифференцируема, что ее производная f (x) дифференцируема, и так далее, так что существует бесконечная последовательность производных f (x), f (x),..., f(n)(x),...
Наконец, будем дифференцировать бесконечный степенной ряд почленно точно так, как если бы это был конечный многочлен, не озабочиваясь вопросом о законности такой процедуры. После всех этих допущений можно определить коэффициенты cn, зная поведение функции f(x) в окрестности точки x = 0. Прежде всего, подставляя в формулу (13) x = 0, мы находим c0 = f(0), так как все члены ряда, содержащие переменное x, исчезают.
Дифференцируя тождество (13), мы получаем f (x) = c1 + 2c2x + 3c3x2 +... + ncnxn-1 +... ; (13 ) снова подставляя значение x = 0, но на этот раз в формулу (13 ), мы находим c1 = f (0).
Дифференцируя (13 ), мы получаем f (x) = 2c2 + 2 3c3x +... + (n - 1)ncnxn-2 +... ; (13 ) подставляя затем в полученную формулу (13 ) x = 0, мы видим, что 2!c2 = f (0).
Аналогично, продифференцировав (13 ) и затем подставив x = 0, получаем 3!c3 = f (0) и, продолжая дальше таким же образом, мы найдем общую формулу для коэффициента cn:
cn = f(n)(0), n! где f(n)(0) представляет собой значение n-й производной от функции f(x) при x = 0. В результате получим ряд Тейлора x2 xf(x) = f(0) + xf (0) + f (0) + f (0) +.... (14) 2! 3! Пусть читатель в качестве упражнения проверит, что в примерах (4) - (11) коэффициенты степенных рядов составлены как раз по этому закону.
508 ДОПОЛНЕНИЕ гл. VIII 2. Формула Эйлера cos x + i sin x = eix. Одним из самых поразительных достижений Эйлера, полученных им на основе его формалистических манипуляций, является открытие тесной внутренней связи, существующей в области комплексного переменного между функциями синус и косинус, с одной стороны, и показательной функцией Ч с другой.
Нужно заранее указать, что ни доказательство Эйлера, ни следующие далее доводы ни в какой мере не носят строгого характера; это Ч типичные для XVIII в. примеры формальных буквенных выкладок, пронизанных доверием к силе математического символизма.
Начнем с тождества Муавра, доказанного в главе II:
(cos n + i sin n ) = (cos + i sin )n.
x Подстановка = приводит нас к соотношению n n x x cos x + i sin x = cos + i sin.
n n x Если x зафиксировано, то cos будет мало отличаться от cos 0 = 1 при n неограниченном возрастании n; кроме того, так как x sin x n 1 при x n n x x (см. стр. 329), то мы заключаем, что sin асимптотически равен. Поn n этому можно считать более или менее естественным такой предельный переход:
n ix cos x + i sin x = lim 1 + при n.
n Преобразуя правую часть этого равенства согласно формуле (стр. 473) n z ez = lim 1 + при n, n мы получим соотношение cos x + i sin x = eix. (15) Это и есть результат, полученный Эйлером.
Мы можем вывести эту самую формулу и другим, тоже формалистическим путем Ч из разложения функции ez:
z z2 zez = 1 + + + +..., 1! 2! 3! вместо z подставляя ix, где x Ч действительное число. Если мы вспомним, что последовательными степенями числа i являются числа i, -1, -i, +1 и т. д., периодически, то, собирая действительные и мнимые части, мы получим x2 z4 z6 x3 z5 zeix = 1 - + - +... + i x - + - +... ;
2! 4! 6! 3! 5! 7! з 3 БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ заменяя далее ряды в правой части их суммами cos x и sin x, мы снова получаем формулу Эйлера.
Такое рассуждение отнюдь не является настоящим доказательством соотношения (15). Против нашего второго вывода можно возразить, что разложение в ряд для функции ez было проведено в предположении, что z Ч действительное число; поэтому подстановка z = ix должна быть оправдана дополнительными соображениями. Точно так же полноценность первого рассуждения уничтожается тем, что формула n z ez = lim 1 + при n n была раньше выведена только для действительных значений z.
Чтобы формула Эйлера из области чистого формализма перешла в область строгих математических истин, потребовалось развитие теории функций комплексного переменного Ч одного из величайших достижений XIX в. Многие другие глубокие проблемы стимулировали это далеко идущее развитие. Мы видели, например, что промежутки сходимости разложений различных функций в степенные ряды различны. Почему некоторые разложения сходятся всюду, т. е. для всех значений x, в то время как другие теряют смысл при |x| > 1 Рассмотрим, например, геометрическую прогрессию (4), приведенную на стр. 498, которая сходится при |x| < 1. Левая часть этого ра1 венства вполне осмысленна при x = 1, именно, равна = ; в то 1 + 1 же время ряд в правой части ведет себя очень странно: он принимает вид 1 - 1 + 1 - 1 +...
Этот последний ряд не является сходящимся, поскольку его частные суммы колеблются между 1 и 0. Это свидетельствует о том, что функция может порождать расходящийся ряд даже в том случае, если сама она не обнаруживает какой-либо иррегулярности. Правда, функция становится бесконечной при x = -1. И так как легко доказать, 1 + x что сходимость степенного ряда в точке x = a > 0 влечет за собой сходимость в промежутке -a < x < a, то мы могли бы, пожалуй, усмотреть лобъяснение странного поведения нашего разложения в разрывности 1 функции при x = -1. Однако рассмотрим теперь функцию ;
1 + x 1 + xона может быть разложена в ряд = 1 - x2 + x4 - x6 +..., 1 + xкак мы убеждаемся, подставляя x2 вместо x в формулу (4). Полученный ряд тоже сходится при |x| < 1; вместе с тем при x = 1 он снова приводит к ряду 1 - 1 + 1 - 1 +..., а при |x| > 1 он резко расходится, и однако же сама функция всюду ведет себя безупречно.
Оказывается, что полное объяснение этим явлениям возможно лишь 510 ДОПОЛНЕНИЕ гл. VIII тогда, когда функции изучаются в области комплексных значений переменного x, охватывающей как действительные, так и мнимые его значения. Например, ряд для функции должен расходиться при x = i, 1 + xтак как знаменатель дроби при этом значении переменного равен нулю.
Отсюда следует, что ряд должен расходиться при всех таких значениях x, что |x| > |i| = 1, поскольку можно доказать, что сходимость его для одного такого значения x повлекла бы за собой его сходимость при x = i. Таким образом, вопрос о сходимости рядов, которым полностью пренебрегали в период возникновения анализа, стал одним из главных факторов создания теории функций комплексного переменного.
3. Гармонический ряд и дзета-функция. Формула Эйлера, выражающая sin x в виде бесконечного произведения. Ряды, члены которых являются простыми комбинациями целых чисел, особенно интересны. В качестве примера рассмотрим гармонический ряд 1 1 1 1 + + + +... + +..., (16) 2 3 4 n отличающийся от известного нам ряда, сумма которого равна ln 2, только знаками членов, стоящих на четных местах.
Поставить вопрос, сходится ли этот ряд, все равно, что спросить себя, стремится ли к конечному пределу последовательность чисел s1, s2, s3,..., где 1 1 sn = 1 + + +... +. (17) 2 3 n Несмотря на то, что по мере продвижения по ряду (16) члены его приближаются к 0, легко увидеть, что ряд этот не сходится. Действительно, взяв достаточное количество членов, мы можем превысить любое положительное число; таким образом, sn возрастает беспредельно, и, значит, ряд (16) расходится к бесконечности. Чтобы в этом убедиться, заметим, что s2 = 1 +, 1 1 1 1 s4 = s2 + + > s2 + + = 1 +, 3 4 4 4 1 1 1 1 1 s8 = s4 + +... + > s4 + +... + = s4 + > 1 +, 5 8 8 8 2 и вообще, m s2m > 1 +. (18) Таким образом, например, частные суммы s2m превышают 100, если только m 200.
Если гармонический ряд расходится, то, с другой стороны, можно доказать, что ряд з 3 БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1 1 1 1 + + + +... + +... (19) 2s 3s 4s ns сходится при всяком значении s, большем чем 1, и сумма его, рассматриваемая как функция переменного s, есть так называемая дзета-функция:
1 1 1 (s) = lim 1 + + + +... + при n. (20) 2s 3s 4s ns Эта функция, очевидно, определена только при s > 1.
Существует важное соотношение между дзета-функцией и простыми числами, которое мы выведем, исходя из свойств геометрической прогрессии. Пусть p есть какое-нибудь простое число; тогда при s 0 < 1, ps так что 1 1 1 = 1 + + + +...
Pages: | 1 | ... | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | ... | 76 | Книги по разным темам