Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | ... | 76 | 1 + x 462 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII 4) Продифференцируйте функцию 2 u = c1 (x - x1)2 + y1 + c2 (x - x2)2 + yи докажите минимальные свойства отраженного и преломленного луча, установленные в главе VII (стр. 352 и стр. 403). Предполагается, что отражение и преломление происходят в точке на оси x и что данные начальная и конечная точки заданы координатами (x1, y1) и (x2, y2).
(Примечание. Производная от этой функции обращается в нуль только в одной точке, и поскольку в этой точке неизбежно имеется минимум, а не максимум, нет необходимости исследовать вторую производную.) Дальнейшие задачи на максимум и минимум 5) Найдите экстремумы следующих функций, наметьте их графики, определите промежутки возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости:
1 xx3 - 6x + 2,,, cos2 x.
1 + x2 1 + x6) Изучите максимумы и минимумы функции x3 + 3ax + 1 в зависимости от значения параметра a.
7) Которая из точек гиперболы 2y2 - x2 = 2 Ч самая близкая к точке x = 0, y = 3 8) Из всех прямоугольников данной площади найдите прямоугольник с самой короткой диагональю.
9) Впишите прямоугольник наибольшей площади в эллипс x2 y+ = 1.
a2 b10) Из всех круговых цилиндров данного объема найдите цилиндр с наименьшей поверхностью.
з 4 ОБОЗНАЧЕНИЯ ЛЕЙБНИЦА И БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ з 4. Обозначения Лейбница и бесконечно малые Ньютон и Лейбниц умели находить интегралы и производные как пределы. Но самые основания анализа были долго окружены таинственностью вследствие нежелания признать за понятием предела исключительного права быть источником новых методов. Ни Ньютон, ни Лейбниц не смогли занять ту отчетливую позицию, которая нам кажется простой и естественной теперь, когда понятие предела полностью выяснено. Их пример господствовал больше столетия, в течение которого сущность дела была затемнена бесплодными рассуждениями о бесконечно малых величинах, о дифференциалах, о последнем отношении и т. д. Неохота, с которой эти понятия были в конце концов отвергнуты, глубоко коренилась в философских концепциях того времени и в самой природе человеческого мышления. Казалось, что можно рассуждать так: конечно, интеграл и производную можно вычислить как пределы. Но все же, в конце концов, чем же являются эти объекты в себе, независимо от того специфического способа их описания, каким является предельный переход Ведь интуитивные понятия Ч такие как площадь или наклон кривой, Ч имеют как будто бы абсолютный смысл в себе, и нет надобности в привлечении каких-либо вспомогательных вписанных многоугольников или секущих и их пределов. Без сомнения, желание сформулировать адекватные определения площади или наклона кривой как вещей в себе вполне оправдано с психологической точки зрения. Но при зрелых установках, которые так часто расчищали путь к подлинному прогрессу мысли, приходится отбросить это желание и в предельном переходе видеть их единственное приемлемое в научном смысле определение. В XVII в. не было интеллектуальных традиций, которые допускали бы такой радикализм.
Попытка Лейбница лобъяснить производную стоит в непосредственной и безупречной связи с введенным им обозначением для разностного отношения функции f(x) y f(x1) - f(x) =.
x x1 - x Предел этого отношения, т. е. производную (которую мы, следуя обычаю, введенному впоследствии Лагранжем, обозначили через f (x)), Лейбниц записывает с помощью символа dy, dx заменяя, таким образом, символ разности дифференциальным символом d. Никаких трудностей и никакой таинственности не возникает при условии ясного понимания того, что этот символ является всего лишь указанием на необходимость осуществить предельный переход при 464 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII x 0, что влечет за собой y 0. До перехода к пределу в разностy ном отношении нужно сократить числитель и знаменатель на x x или суметь преобразовать это отношение так, чтобы переход к пределу совершался безболезненно. Это и является в каждом отдельном случае узловым пунктом процесса дифференцирования. Если бы мы попробовали перейти к пределу без таких предварительных сокращений, y то получили бы не имеющее смысла выражение =, что не приx несло бы нам никакой пользы. Таинственность и неясность наступают только в том случае, если мы, по примеру Лейбница или многих его последователей, стали бы говорить нечто подобное следующему: x не стремится к нулю. Напротив, последнее значение x не есть нуль, а является бесконечно малой величиной, дифференциалом, обозначаемым символом dx; аналогично y имеет последнее бесконечно малое значение dy. Настоящее отношение этих бесконечно малых дифференdy циалов есть опять обыкновенное число f (x) = . Поэтому Лейбниц и dx называл производную дифференциальным отношением. Такие бесконечно малые величины рассматривались как некие новые числа, хотя и отличные от нуля, но меньшие любого положительного числа из системы действительных чисел.
Считалось, что такие понятия доступны лишь немногим избранным, обладающим настоящим математическим чутьем, и что анализ поэтому, по существу, очень труден, так как не всякий обладает этим чутьем или может его развить. Интеграл, аналогичным образом, рассматривался как сумма бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых, а именно вида f(x)dx. Существовало представление, будто такая сумма есть интеграл или площадь, в то время как вычисление ее значения как предела последовательности конечных сумм обыкновенных слагаемых f(xj)xj рассматривалось как некий придаток. Теперь мы попросту отбрасываем желание непосредственного объяснения и определяем интеграл как предел последовательности конечных сумм. Этим путем все трудности устраняются, и все, что ценно в анализе, приобретает твердую основу.
Несмотря на все сказанное выше, в дальнейшем употребление обо dy значений Лейбница: для производной и f(x)dx для интеграла, не dx только сохранилось, но и оказалось чрезвычайно полезным. Против такого употребления нечего возразить, если не упускается из виду, что символ d есть только символ перехода к пределу. Преимущество обозначений Лейбница состоит в том, что с пределами отношений или сумм можно в какой-то мере оперировать так, как если бы они были в самом деле отношениями или суммами. Подсказывающая сила этой символики всегда вводила в соблазн приписывать этим символам некоторый соверз 4 ОБОЗНАЧЕНИЯ ЛЕЙБНИЦА И БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ шенно нематематический смысл. Если не поддаваться этому соблазну, то обозначения Лейбница являются по меньшей мере превосходным сокращением более громоздких явных выражений, содержащих предельный переход; по существу же они совершенно необходимы в более развитых частях теории.
Например, правило г) (стр. 453) дифференцирования функции x = g(y), обратной по отношению к функции y = f(x), заключалось в равенстве g (y)f (x) = 1. В обозначениях Лейбница оно выглядит следующим dx dy образом: = 1, т. е. так, как если бы можно было сокращать dy dx на дифференциалы подобно тому, как это делается с обыкновенными дробями. Аналогично, запись в дифференциальной форме выведенного на стр. 454 правила д) дифференцирования сложной функции z = k(x), где z = g(y), y = f(x), имеет вид dz dz dy = .
dx dy dx Кроме того, обозначения Лейбница обладают еще и тем преимуществом, что они указывают явно на сами величины x, y, z в большей степени, чем на их функциональные взаимоотношения. Последние выражают процедуру или совокупность операций, с помощью которых из одной величины x получается другая y; например, функция y = f(x) = x2 определяет величину y, равную квадрату величины x. Именно сама операция, в данном случае возведение в квадрат, есть предмет внимания математики. Физики же или инженеры в первую очередь интересуются самими величинами. Поэтому акцентирование самих величин в обозначениях Лейбница имеет особенную привлекательность для лиц, занимающихся прикладной математикой.
Присоединим еще одно замечание. В то время как дифференциалы в качестве бесконечно малых величин из математического обихода изгнаны теперь окончательно, и не без позора, само слово дифференциал прокралось обратно через заднюю дверь, правда, на этот раз для того, чтобы обозначить безукоризненно законное и полезное понятие. Теперь оно обозначает просто разность x, когда x мало по сравнению с другими рассматриваемыми величинами. Но здесь мы не можем вступить в обсуждение роли, которую это понятие играет в приближенных вычислениях. Не будем мы также рассматривать другие математические объекты, законно именуемые дифференциалами и в некоторых случаях показавшие себя весьма полезными в анализе и его приложениях к геометрии.
466 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII з 5. Основная теорема анализа 1. Основная теорема. Понятие об интегрировании, и в некоторой мере о дифференцировании, было хорошо развито раньше работ Ньютона и Лейбница. Но было совершенно необходимо сделать одно очень простое открытие, для того чтобы дать толчок к огромной эволюции вновь созданного математического анализа. Два как будто бы взаимно не соприкасающихся предельных процесса, употребляемые один для дифференцирования, другой для интегрирования функций, оказались тесно связанными между собой. В самом деле, они являются взаимно обратными операциями, поy y добно таким операциям, как сложение и вычитание, умножение и деление. Дифференциальное и интегральное исчисления представляют собой f(x) нечто единое.
Великое достижение Ньюa x u O тона и Лейбница заключается в том, что они впервые ясно осознали и использовали Рис. 274. Интеграл как функция верхнего эту основную теорему аналипредела за. Без сомнения, их открытие лежало на прямом пути естественного научного развития, и нисколько не удивительно, что различные лица пришли независимо и почти одновременно к ясному пониманию указанного выше обстоятельства.
Для того чтобы точно сформулировать основную теорему, рассмотрим интеграл от функции y = f(x) в пределах от постоянного числа a до числа x, которое будем считать переменным. Чтобы не смешивать верхнего предела интегрирования x с переменной, фигурирующей под знаком интеграла, запишем интеграл в следующем виде (см. стр. 428):
x F (x) = f(u)du, (1) a демонстрируя таким образом наше намерение изучать интеграл как функцию F (x) своего верхнего предела (рис. 274). Эта функция F (x) есть площадь под кривой y = f(u) от точки u = a до точки u = x.
Иногда интеграл F (x) с переменным верхним пределом называют неопределенным интегралом.
Основная теорема анализа читается следующим образом:
Производная неопределенного интеграла (1) по его верхнему пределу x равна значению функции f(u) в точке u = x:
F (x) = f(x).
з 5 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АНАЛИЗА Другими словами, процесс интегрирования, ведущий от функции f(x) к функции F (x), луничтожается обратным ему процессом дифференцирования, применяемым к функции F (x).
На интуитивной основе доказательство этого предложения не представляет труда. Оно базируется на интерпретации интеграла F (x) как площади, и было бы затемнено, если бы мы попытались представлять функцию F (x) в виде графика и истолковывать производную F (x) как соответствующий наклон. Оставляя в стороне установленную ранее геометрическую интерпретацию производной, мы сохраним геометрическое толкование интеграла F (x) как площади, а дифференцировать функцию F (x) станем аналитическим методом. Разность F (x1) - F (x) есть просто площадь под кривой y = f(u) между пределами u = x1 и u = x (рис. 275), и нетрудно понять, что числовое значение этой площади заключено между числами (x1 - x)m и (x1 - x)M:
(x1 - x)m F (x1) - F (x) (x1 - x)M, где M и m являются, соответственно, наибольшим и наименьшим значениями функции f(u) в промежутке от u = x до u = x1. Действительно, эти произведения дают площади двух прямоугольников, из которых один содержит рассматриваемую криволинейную область, а другой содержится в ней.
y M F(x) m a x x1 u O Рис. 275. К доказательству основной теоремы Отсюда следует F (x1) - F (x) m M.
x1 - x Предположим, что функция f(u) непрерывна, так что при стремлении x1 к x обе величины M и m стремятся к значению функции f(u) в точке u = x, т. е. к значению f(x). В таком случае можно считать 468 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII доказанным, что F (x1) - F (x) F (x) = lim = f(x). (2) x1x x1 - x Интуитивный смысл этого результата заключается в том, что при возрастании скорость изменения площади под кривой y = f(x) равна высоте кривой в точке x.
В некоторых руководствах содержание этой основной теоремы затемняется вследствие неудачно выбранной терминологии. Именно, многие авторы сначала вводят понятие производной, а затем определяют неопределенный интеграл просто как результат операции, обратной по отношению к дифференцированию: они говорят, что функция G(x) есть неопределенный интеграл от функции f(x), если G (x) = f(x).
Таким образом, этот способ изложения непосредственно связывает дифференцирование со словом линтеграл. Только позднее вводится понятие лопределенный интеграл, трактуемое как площадь или как предел последовательности сумм, причем недостаточно подчеркивается, что слово линтеграл обозначает теперь нечто совершенно другое, чем прежде. И вот оказывается, что самое главное, что содержится в теории, приобретается лишь украдкой Ч через заднюю дверь, и учащийся встречается с серьезными затруднениями в своих усилиях понять существо дела. Мы предпочитаем функции G(x), для которых G (x) = f(x), называть не неопределенными интегралами, а первообразными функциями от функции f(x). Тогда основная теорема может быть сформулирована следующим образом:
Функция F (x), являющаяся интегралом от функции f(x) при постоянном нижнем и переменном верхнем пределе x, есть одна из первообразных функций от функции f(x).
Мы говорим лодна из первообразных функций по той причине, что если G(x) является первообразной функцией от f(x), то непосредственно ясно, что и любая функция вида H(x) = G(x) + c (c Ч произвольная постоянная) есть также первообразная, так как H (x) = G (x). Обратное утверждение также справедливо. Две первообразные функции G(x) и H(x) могут отличаться одна от другой не иначе, как постоянным слагаемым. Действительно, разность U(x) = G(x) - H(x) имеет в качестве производной U (x) = G (x) - H (x) = f(x) - f(x) = 0, т. е. эта разность постоянна, так как очевидно, что если график функции в каждой своей точке горизонтален, то сама функция, представляемая графиком, непременно должна быть постоянной.
Это ведет к очень важному правилу вычисления интеграла в пределах от a до b Ч в предположении, что нам известна какая-либо первообразная функция G(x) от функции f(x). Согласно нашей основной з 5 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АНАЛИЗА теореме, функция x F (x) = f(u)du a есть также первообразная функция от функции f(x). Значит, F (x) = = G(x) + c, где c Ч постоянная. Значение этой постоянной определится, a если мы примем во внимание, что F (a) = f(u)du = 0. Отсюда следует:
Pages: | 1 | ... | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | ... | 76 | Книги по разным темам