Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | ... | 76 | 3. Формула Муавра и корни из единицы. Под корнем n-й степени из числа a мы понимаем всякое такое число b, что bn = a. В частности, число 1 имеет два квадратных корня: 1 и -1, так как 12 = (-1)2 = 1. Число 1 имеет один действительный кубический корень, именно 1, тогда как оно же имеет четыре корня четвертой степени: два действительных, 1 и -1, и два мнимых: i и -i. Эти факты наводят на мысль, что в комплексной области должно существовать еще два кубических корня из (а всего кубических корней тогда будет три). С помощью формулы Муавра мы покажем, что эта догадка справедлива.
Мы убедимся, что в поле комплексных чисел существует ровно n корней Рис. 25. Двенадцать корней степени n из 1. Эти корни изображадвенадцатой степени из единиются вершинами правильного n-уголь- цы ника, вписанного в единичный круг и имеющего точку 1 в качестве одной из вершин.
Сказанное почти ясно из рис. 25 (соответствующего случаю n = 12).
Первая вершина многоугольника есть 1. Следующая есть 360 = cos + i sin, (12) n n так как аргумент должен равняться n-й части угла в 360. Еще следующая вершина есть =, так как мы получим ее, вращая вектор на угол. Дальше получаем вершину и т. д.; после n шагов возn вращаемся снова к вершине 1, т. е. получаем n = 1, что следует также из формулы (11), так как 360 cos + i sin = cos 360 + i sin 360 = 1 + 0i = 1.
n n Итак, = есть корень уравнения xn = 1. То же справедливо относительно следующей вершины 720 = cos + i sin.
n n 126 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II Мы убедимся в этом, если напишем 2 2n n ( )n = = ( )2 = 12 = 1, или же воспользуемся формулой Муавра 720 ( )n = cos n + i sin n = cos 720 + i sin 720 = 1 + 0i = 1.
n n Точно так же мы заключаем, что все n чисел 2 1,,,,..., n-являются корнями степени n из 1. Если будем степени увеличивать дальше или рассмотрим отрицательные степени, то новых корней не получим. В самом деле, 1 n -1 n- = = = ;
точно так же n n+1 n = 1, = ( ) = 1 =, и т. д., так что ранее полученные корни повторяются. Читателю предоставляем в качестве упражнения показать, что иных корней, кроме перечисленных, рассматриваемое уравнение не имеет.
Если n четное, то одна из вершин n-угольника попадает в точку -1, в соответствии с общеизвестным алгебраическим фактом: -1 есть корень четной степени из 1.
Уравнение, которому удовлетворяют корни n-й степени из 1, xn - 1 = 0, (13) есть уравнение n-й степени, но легко понизить его степень на единицу.
Воспользуемся алгебраической формулой (xn - 1) = (x - 1)(xn-1 + xn-2 + xn-3 +... + 1). (14) Так как произведение двух чисел равно 0 в том и только том случае, если один из множителей равен нулю, то выражение (14) обращается в нуль или при x = 1, или при условии, что удовлетворяется уравнение xn-1 + xn-2 + xn-3 +... + x + 1 = 0. (15) 2 n-Этому уравнению удовлетворяют корни,,..., ; оно называется циклотомическим, или уравнением деления окружности. Так, например, мнимые кубические корни из -1 + i = cos 120 + i sin 120 =, -1 - i = cos 240 + i sin 240 = являются корнями уравнения x2 + x + 1 = 0, з 5 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА как читатель сможет убедиться, выполняя подстановки. Таким же образом корни пятой степени из 1 (кроме самого числа 1) удовлетворяют уравнению x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0. (16) Чтобы построить правильный пятиугольник, нам приходится решить уравнение четвертой степени. Простое алгебраическое ухищрение Ч замена w = x + Ч приводит к уравнению второй степени. Мы делим x уравнение (16) на x2 и переставляем члены:
1 x2 + + x + + 1 = 0, x2 x 1 и, принимая во внимание, что x + = x2 + + 2, получаем x xw2 + w - 1 = 0.
По формуле (7) пункта 1 корни этого квадратного уравнения имеют вид -1 + 5 -1 - w1 =, w2 =.
2 Итак, мнимые корни пятой степени из 1 являются корнями следующих двух квадратных уравнений:
1 x + = w1, или x2 + ( 5 - 1)x + 1 = 0, x и 1 x + = w2, или x2 - ( 5 + 1)x + 1 = 0.
x Читатель сможет их решить по той же формуле (7).
Упражнения. 1) Найдите корни 6-й степени из 1.
2) Вычислите (1 + i)11.
3) Вычислите все различные значения выражений 3 3 1 + i, 7 - 4i, i, -i.
4) Вычислите (i7 - i-7).
2i *4. Основная теорема алгебры. Не только уравнения вида ax2 + + bx + c = 0 или xn - 1 = 0 разрешимы в поле комплексных чисел, но можно утверждать гораздо больше: всякое алгебраическое уравнение степени n с действительными или комплексными коэффициентами f(x) = xn + an-1xn-1 + an-2xn-2 +... + a1x + a0 = 0 (17) разрешимо в поле комплексных чисел. Для случая уравнений 3-й и 4-й степеней эта теорема была установлена в XVI в. Тартальей, Кардано и другими: оказалось, что такие уравнения решаются посредством формул, подобных формуле квадратного уравнения, но значительно более сложных. В течение почти двух столетий длилось настойчивое изучение 128 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II общего уравнения 5-й и более высоких степеней, но все усилия разрешить их теми же методами оказались напрасными. Когда молодому Гауссу в его докторской диссертации (1799) удалось впервые доказать, что решения существуют, то это уже было крупнейшим успехом; правда, вопрос о возможности обобщить на случай степеней 5 классические формулы, позволяющие находить корни с помощью рациональных операций и извлечения корней, оставался в то время открытым (см. стр. 138).
Теорема Гаусса утверждает, что, каково бы ни было алгебраическое уравнение вида (17), где n Ч целое положительное число, а коэффициенты a Ч действительные или даже комплексные числа, существует по крайней мере одно такое комплексное число = c + di, что f(a) = 0.
Число называется корнем уравнения (17). Доказательство этой теоремы будет приведено в этой книге на стр. 289Ц291. Предположим пока, что теорема доказана, и выведем из нее другую теорему, известную под названием основной теоремы алгебры (было бы, впрочем, правильнее назвать ее основной теоремой комплексной числовой системы): всякий алгебраический полином степени n f(x) = xn + an-1xn-1 +... + a1x + a0 (18) может быть представлен в виде произведения ровно n множителей:
f(x) = (x - )(x - )... (x - ), (19) 1 2 n где,,..., Ч комплексные числа, корни уравнения f(x) = 0. Так, 1 2 n например, полином f(x) = x4 - разлагается на множители следующим образом:
f(x) = (x - 1)(x - i)(x + i)(x + 1).
Что числа являются корнями уравнения f(x) = 0, это очевидно из самого разложения (19), так как при x = один из множителей f(x), а r следовательно, и сам полином f(x), обращается в нуль.
В иных случаях не все множители x -, x -,... полинома f(x) 1 степени n оказываются различными; так, в примере f(x) = x2 - 2x + 1 = (x - 1)(x - 1) мы имеем только один корень, x = 1, считаемый дважды, или кратности 2. Во всяком случае, полином степени n не может разлагаться в произведение более чем n различных множителей вида x -, и соответствующее уравнение не может иметь более n корней.
При доказательстве основной теоремы алгебры мы воспользуемся Ч не в первый раз Ч алгебраическим тождеством k 2 k-2 k-xk - = (x - )(xk-1 + xk-2 + xk-3 +... + x + ), (20) з 6 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА которое при = 1 служило нам для определения суммы геометрической прогрессии. Предполагая теорему Гаусса доказанной, допустим, что = есть корень уравнения (17), так что n n-1 n-2 f( ) = + an-1 + an-2 +... + a1 + a0 = 0.
1 1 Вычитая это выражение из f(x) и перегруппировывая члены, мы получим тождество n n-f(x) = f(x) - f( ) = (xn - ) + an-1(xn-1 - ) +... + a1(x - ).
1 1 (21) Пользуясь теперь формулой (20), мы можем выделить множитель x из каждого члена и затем вынести его за скобку, причем степень многочлена, остающегося в скобках, станет уже на единицу меньше.
Перегруппировывая снова члены, мы получим тождество f(x) = (x - )g(x), где g(x) Ч многочлен степени n - 1:
g(x) = xn-1 + bn-2xn-2 +... + b1x + b0.
(Вычисление коэффициентов, обозначенных через b, нас здесь не интересует.) Применим дальше то же рассуждение к многочлену g(x). По теореме Гаусса, существует корень уравнения g(x) = 0, так что g(x) = (x - )h(x), где h(x) Ч новый многочлен степени уже n - 2. Повторяя эти рассуждения n - 1 раз (подразумевается, конечно, применение принципа математической индукции), мы, в конце концов, приходим к разложению f(x) = (x - )(x - )... (x - ). (22) 1 2 n Из тождества (22) следует не только то, что комплексные числа,, 1..., суть корни уравнения (17), но и то, что иных корней уравнеn ние (17) не имеет. Действительно, если бы число y было корнем уравнения (17), то из (22) следовало бы f(y) = (y - )(y - )... (y - ) = 0.
1 2 n Но мы видели (стр. 115), что произведение комплексных чисел равно нулю в том и только том случае, если один из множителей равен нулю.
Итак, один из множителей y - равен 0, т. е. y =, что и требовалось r r установить.
з 6. Алгебраические и трансцендентные числа 1. Определение и вопросы существования. Алгебраическим числом называется всякое число x, действительное или мнимое, удовлетворяющее некоторому алгебраическому уравнению вида anxn + an-1xn-1 +... + a1x + a0 = 0 (n 1, an = 0), (1) 130 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II где числа ai целые. Так, например, число 2 алгебраическое, так как оно удовлетворяет уравнению x2 - 2 = 0.
Таким же образом алгебраическим числом является всякий корень любого уравнения с целыми коэффициентами третьей, четвертой, пятой, какой угодно степени, и независимо от того, выражается или не выражается он в радикалах. Понятие алгебраического числа есть естественное обобщение понятия рационального числа, которое соответствует частному случаю n = 1.
Не всякое действительное число является алгебраическим. Это вытекает из следующей, высказанной Кантором, теоремы: множество всех алгебраических чисел счетно. Так как множество всех действительных чисел несчетное, то обязательно должны существовать действительные числа, не являющиеся алгебраическими.
Укажем один из методов пересчета множества алгебраических чисел.
Каждому уравнению вида (1) сопоставим целое положительное число h = |an| + |an-1| +... + |a1| + |a0| + n, которое назовем ради краткости высотой уравнения. Для каждого фиксированного значения n существует лишь конечное число уравнений вида (1) с высотой h. Каждое из таких уравнений имеет самое большее n корней. Поэтому может существовать лишь конечное число алгебраических чисел, порождаемых уравнениями с высотой h; следовательно, все алгебраические числа можно расположить в виде последовательности, перечисляя сначала те из них, которые порождаются уравнениями высоты 1, затем Ч высоты 2 и т. д.
Это доказательство счетности множества алгебраических чисел устанавливает существование действительных чисел, которые не являются алгебраическими. Такие числа называют трансцендентными (от латинского transcendere Ч переходить, превосходить); такое наименование им дал Эйлер, потому что они превосходят мощность алгебраических методов.
Канторово доказательство существования трансцендентных чисел не принадлежит к числу конструктивных. Теоретически рассуждая, можно было бы построить трансцендентное число с помощью диагональной процедуры, производимой над воображаемым списком десятичных разложений всех алгебраических чисел; но такая процедура лишена всякого практического значения и не привела бы к числу, разложение которого в десятичную (или какую-нибудь иную) дробь можно было бы на самом деле написать. Наиболее интересные проблемы, связанные с трансцендентными числами, заключаются в доказательстве того, что определенные, конкретные числа (сюда относятся числа и e, о которых см. стр. 319Ц322) являются трансцендентными.
з 6 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА **2. Теорема Лиувилля и конструирование трансцендентных чисел. Доказательство существования трансцендентных чисел еще до Кантора было дано Ж. Лиувиллем (1809Ц1862). Оно дает возможность на самом деле конструировать примеры таких чисел.
Доказательство Лиувилля более трудно, чем доказательство Кантора, и это неудивительно, так как сконструировать пример, вообще говоря, сложнее, чем доказать существование. Приводя ниже доказательство Лиувилля, мы имеем в виду только подготовленного читателя, хотя для понимания доказательства совершенно достаточно знания элементарной математики.
Как обнаружил Лиувилль, иррациональные алгебраические числа обладают тем свойством, что они не могут быть приближены рациональными числами с очень большой степенью точности, если только не взять знаменатели приближающих дробей чрезвычайно большими.
Предположим, что число z удовлетворяет алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами f(x) = a0 + a1x + a2x2 +... + anxn = 0 (an = 0), (2) но не удовлетворяет такому же уравнению более низкой степени. Тогда говорят, что x есть алгебраическое число степени n. Так, например, само число z = 2 есть алгебраическое число степени 2, так как удовлетворяет уравнению x2 - 2 = 0 степени 2, но не удовлетворяет уравнению первой степени; число z = 2 Ч степени 3, так как удовлетворяет уравнению x3 - 2 = 0, но не удовлетворяет (как мы покажем в главе III) уравнению более низкой степени. Алгебраическое число степени n > p не может быть рациональным, так как рациональное число z = удоq влетворяет уравнению qx - p = 0 степени 1. Каждое иррациональное число z может быть с какой угодно степенью точности приближено с помощью рационального числа; это означает, что всегда можно указать последовательность рациональных чисел p1 p,,...
q1 qс неограниченно растущими знаменателями, обладающую тем свойством, что pr z.
qr Теорема Лиувилля утверждает: каково бы ни было алгебраическое число z степени n > 1, оно не может быть приближено посредством рациp онального числа с точностью лучшей чем ; другими словами, при q qn+достаточно больших знаменателях непременно выполняется неравенство z - p >. (3) q qn+132 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II Мы собираемся привести доказательство этой теоремы, но раньше покажем, как с ее помощью можно строить трансцендентные числа.
Рассмотрим число z = a1 10-1! + a2 10-2! + a3 10-3! +... + am 10-m! +... = = 0,a1a2000a300000000000000000a4000..., где ai обозначают произвольные цифры от 1 до 9 (проще всего было бы положить все ai равными 1), а символ n!, как обычно (см. стр. 36), обозначает 1 2 ... n. Характерным свойством десятичного разложения такого числа является то, что быстро возрастающие по своей длине группы нулей чередуются в нем с отдельными цифрами, отличными от нуля. Обозначим через zm конечную десятичную дробь, получающуюся, когда в разложении возьмем все члены до am 10-m! включительно.
Pages: | 1 | ... | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | ... | 76 | Книги по разным темам