Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |   ...   | 76 |

В философском отношении определение иррациональных чисел по Дедекинду находится на более высоком уровне абстракции, так как оно не ограничивает ни в чем того математического закона, который определяет классы A и B. Другой, более конкретный метод для определения континуума действительных чисел принадлежит Георгу Кантору (1845Ц1918). На первый взгляд резко отличный как от метода вложенных отрезков, так и от метода сечений, он, однако, эквивалентен любому из них в том смысле, что числовой континуум, получающийся на основе всех трех методов, обладает одними и теми же свойствами. Идея Кантора базируется на тех обстоятельствах, что 1) действительные числа можно трактовать как бесконечные десятичные дроби, 2) бесконечные десятичные дроби можно рассматривать как пределы конечных десятичных дробей. Чтобы не связывать себя зависимостью от десятичных дробей, мы, следуя Кантору, принимаем, что всякая сходящаяся последовательность рациональных чисел a1, a2, a3,... определяет действительное число. При этом сходимость понимается в том смысле, что разность (am - an) между двумя членами последовательности стремится к нулю, если m и n одновременно и независимо друг от друга неограниченно возрастают. (Как раз последовательные десятичные приближения обладают этим свойством: любые два из них после n-го отличаются меньше чем на 10-n.) Так как одно и то же действительное число по методу Кантора может быть определяемо самыми разнообразными последовательностями рациональных чисел, то приходится добавить, что две последовательности a1, a2, a3,... и b1, b2, b3,... определяют одно и то же действительное число, если разность an - bn стремится к нулю при неограниченном возрастании n. Идя по пути, намеченному Кантором, нетрудно определить сложение и т. д.

з 3. Замечания из области аналитической геометрии1. Основной принцип. Уже начиная с XVII в. числовой континуум, принимаемый как нечто само собой разумеющееся или же подвергаемый более или менее поверхностному критическому анализу, стал основой математики, в частности, аналитической геометрии и дифференциального и интегрального исчислений.

Введение числового континуума дает возможность сопоставить Читателю, не вполне освоившемуся с предметом этого параграфа, рекомендуется обратиться к упражнениям, которые помещены в приложении в конце книги, стр. 513 и дальше.

з 3 ЗАМЕЧАНИЯ ИЗ ОБЛАСТИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ каждому отрезку прямой в качестве его длины некоторое определенное действительное число. Но можно пойти и дальше. Не только длина, но и всякий вообще геометрический объект, всякая геометрическая операция могут найти свое место в царстве чисел. Решительные шаги в направлении арифметизации геометрии был сделаны не позднее 1629 г. Ферма (1601Ц1665) и в 1637 г. Декартом (1596Ц1650). Основная идея аналитической геометрии заключается в использовании координат Ч чисел, связанных (координированных) с данным геометрическим объектом и полностью этот объект характеризующих. Большинству читателей известны так называемые прямоугольные, или декартовы, координаты, служащие для того, чтобы фиксировать положение произвольной точки на плоскости. Мы исходим из двух неподвижных взаимно перпендикулярных прямых на плоскости, лоси x и лоси y, и к ним относим каждую точку.

Эти оси рассматриваются как ориентированные числовые прямые, причем измерение совершается с помощью одного и того же единично- y го отрезка. Каждой точке P (рис. 12) P сопоставлены две координаты x и y.

Q Они получаются следующим образом.

Рассмотрим ориентированный отрезок y (вектор), идущий из начала O в точку P, и затем спроектируем ортогоx x O P нально этот вектор на обе оси, полу чая ориентированный отрезок OP на оси x и такой же отрезок OQ на оси y.

Рис. 12. Прямоугольные коордиДва числа x и y, измеряющие соответнаты точки ственно ориентированную длину отрез ков OP и OQ, называются координатами точки P. Обратно, если x и y Ч два произвольных наперед заданных числа, то соответствующая точка P определяется однозначно. Если числа x и y оба положительные, то P попадает в первый квадрант координатной системы (рис. 13); если оба отрицательные, то в третий; если x положительно, а y отрицательно, то в четвертый, и, наконец, если x отрицательно, а y положительно, то во второй.

Расстояние между точкой P1 с координатами x1, y1 и точкой P2 с координатами x2, y2 дается формулой d2 = (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2. (1) Это немедленно следует из пифагоровой теоремы (рис. 14).

2. Уравнения прямых и кривых линий. Если C есть неподвижная точка с координатами x = a, y = b, то геометрическое место всех точек P, находящихся от точки C на данном расстоянии r, есть окруж100 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II y y (x2, y2) yII I d y2 yx O y(x1, y1) x2 xIII IV x1 x2 x O Рис. 13. Четыре квадранта Рис. 14. Расстояние между двумя точками ность с центром C и радиусом r. Из формулы для расстояния между двумя точками (1) следует, что точки y этой окружности имеют координаты x, y, удовлетворяющие уравнению R (x - a)2 + (y - b)2 = r2. (2) r C Это уравнение называется уравнением окружности, так как оно выражает полное (необходимое и достаточное) условие того, что точка P с координатами x, y лежит на окружности с x O центром C и радиусом r. Если скобки раскрыть, уравнение принимает вид Рис. 15. Окружность x2 + y2 - 2ax - 2by = k, (3) где k = r2 - a2 - b2. Обратно, если задано уравнение вида (3), причем a, b и k Ч произвольные постоянные и сумма k + a2 + b2 положительна, то с помощью алгебраической процедуры дополнения до квадрата мы можем написать то же уравнение в форме (x - a)2 + (y - b)2 = r2, где r2 = k + a2 + b2. И тогда ясно, что уравнение (3) определяет окружность радиуса r, центр которой Ч в точке C с координатами a, b.

Уравнение прямой линий еще проще по своей форме. Так, например, уравнение оси x имеет вид y = 0, так как координата y равна нулю для всех точек этой оси и ни для каких иных точек. Точно так же ось y имеет уравнение x = 0. Прямые, проходящие через начало и делящие пополам углы между осями, имеют уравнения x = y и x = -y. Легко показать, что всякая прямая линия имеет уравнение вида ax + by = c, (4) з 3 ЗАМЕЧАНИЯ ИЗ ОБЛАСТИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ где a, b, c Ч постоянные, характеризующие эту прямую. Как и в других случаях, смысл уравнения (4) тот, что пары действительных чисел x и y, удовлетворяющих этому уравнению, являются координатами некоторой точки на прямой, и обратно.

y B x A A F F B Рис. 16. Эллипс с фокусами Может быть, читатель учил в школе, что уравнение вида x2 y+ = 1 (5) p2 qпредставляет эллипс (рис. 16). Эта кривая пересекает ось x в точках A(p, 0) и A (-p, 0) и ось y в точках B(0, q) и B (0, -q). (Обозначение P (x, y) или, еще короче, (x, y), вводится ради краткости и должно быть расшифровано так: точка P с координатами x и y.) Если p > q, то отрезок AA длины 2p называется большой осью эллипса, а отрезок BB длины 2q Ч его малой осью. Эллипс есть геометрическое место точек P, сумма расстояний которых от точек F ( p2 - q2, 0) и F (- p2 - q2, 0) равна 2p. Читатель сможет проверить это в качестве упражнения, применяя формулу (1). Точки F и F называются фокусами p2 - qэллипса, а отношение e = называется его эксцентриситетом.

p Уравнение вида x2 y- = 1 (6) p2 qпредставляет гиперболу. Эта кривая состоит из двух ветвей, пересе102 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II y x F A A F Рис. 17. Гипербола с фокусами кающих ось x соответственно в точках A(p, 0) и A (-p, 0) (рис. 17).

Отрезок AA длины 2p называется действительной осью гиперболы. Гипербола, удаляясь в бесконечность, приближается к двум прямым qx py = 0, но так с ними и не пересекается; эти прямые называются асимптотами гиперболы. Гипербола есть геометрическое место точек P разность расстояний которых до двух точек F ( p2 + q2, 0), и F (- p2 + q2, 0) по абсолютной величине равна 2p. Эти точки в случае гиперболы тоже называются фокусами; под эксцентриситетом гипер p2 + qболы понимают отношение e =.

p Уравнение xy = 1 (7) также определяет гиперболу, но такую, для которой асимптотами являются две оси (рис. 18). Уравнение этой равносторонней гипер болы геометрически означает, что площадь прямоугольника OP P Q (см. рис. 12), связанного с точкой P, для всякой точки P кривой равна 1.

Равносторонняя гипербола несколько более общего вида xy = c, (7a) где c Ч постоянная, представляет собой частный случай гиперболы в з 3 ЗАМЕЧАНИЯ ИЗ ОБЛАСТИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ том же смысле, в каком окружность представляет собой частный случай эллипса. Отличительная характеристика равносторонней гиперболы заключается в том, что ее две асимптоты (в нашем случае Ч две оси) взаимно перпендикулярны.

y P x Рис. 18. Равносторонняя гипербола. Площадь прямоугольника, определенного точкой P (x, y), равна Во всем этом для нас самым интересным является руководящая идея:

геометрические объекты могут полностью описываться в арифметической или алгебраической форме. То же справедливо и относительно геометрических операций. Например, если нам требуется найти точки пересечения двух прямых, то мы рассматриваем два их уравнения ax + by = c, (8) a x + b y = c, и для нахождения общей точки этих двух прямых достаточно решить систему (8); решение дает нам координаты искомой точки. Таким же образом точки пересечения двух произвольных кривых (скажем, окружности x2 + y2 - 2ax - 2by = k и прямой ax + by = c) находятся посредством совместного решения их уравнений.

104 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II з 4. Математический анализ бесконечного 1. Основные понятия. Последовательность натуральных чисел 1, 2, 3,...

представляет собой первый и самый важный пример бесконечного множества. Не нужно видеть ничего таинственного в том, что она Ч бесконечная, что у нее нет конца: как бы велико ни было натуральное число n, можно построить другое, следующее за ним число, еще большее Ч n + 1. Но при переходе от прилагательного бесконечный, означающего просто-напросто не имеющий конца, к существительному бесконечность никоим образом не следует привносить допущения, что бесконечность, обыкновенно изображаемая особым символом, может быть рассматриваема как обыкновенное число. Нельзя включить символ в числовую систему действительных чисел, не нарушая при этом основных законов арифметики. И тем не менее идея бесконечности пронизывает всю математику, так как математические объекты изучаются обыкновенно не как индивидуумы Ч каждый в отдельности, а как члены классов или совокупностей, содержащих бесчисленное множество элементов одного и того же типа; таковы совокупности натуральных чисел, действительных чисел или же треугольников на плоскости. Именно по этой причине возникает необходимость в точном математическом анализе бесконечного. Современная теория множеств, созданная Георгом Кантором и его школой в конце XIX столетия, приступив к разрешению этой задачи, достигла значительных успехов. Канторова теория множеств глубоко проникла во многие области математики и оказала на них огромное влияние; она стала играть особо выдающуюся роль в исследованиях, связанных с логическим и философским обоснованием математики. Исходным в канторовой теории является общее понятие совокупности или множества. При этом имеется в виду собрание объектов (элементов), которое определяется некоторым правилом, позволяющим с полной определенностью судить о том, входит ли данный объект в число элементов собрания или не входит. Примерами могут служить множество всех натуральных чисел, множество всех периодических десятичных дробей, множество всех действительных чисел или множество всех прямых в трехмерном пространстве.

Для того чтобы сравнивать множества с точки зрения количества содержащихся в них элементов, нужно ввести основное в этой теории понятие лэквивалентности множеств. Если элементы двух множеств A и B могут быть приведены в попарное соответствие такого рода, что каждому элементу множества A сопоставлен один и только один элемент множества B, а каждому элементу множества B сопоставлен один и только один элемент множества A, то установленное таким образом соответствие называется взаимно однозначным, а о самих множествах A и B з 4 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНОГО тогда говорят, что они между собой эквивалентны. Понятие эквивалентности в случае конечных множеств совпадает с обыкновенным понятием числового равенства, так как два конечных множества в том и только том случае могут быть приведены во взаимно однозначное соответствие, если содержат одно и то же число элементов. На этом и основывается, нужно заметить, идея счета: когда мы считаем элементы множества, то процесс счета как раз и заключается в установлении взаимно однозначного соответствия между элементами множества и числами 1, 2,..., n.

Чтобы установить эквивалентность двух конечных множеств, иногда нет необходимости считать элементы. Так, например, не считая, можно утверждать, что конечное множество кругов единичного радиуса эквивалентно множеству их центров.

Перенося понятие эквивалентности на бесконечные множества, Кантор имел в виду создать ларифметику бесконечного. Множество действительных чисел и множество точек на прямой линии эквивалентны, так как после того, как выбраны начало и единичный отрезок, данная прямая становится числовой прямой, и каждой ее точке P в качестве координаты взаимно однозначно сопоставляется некоторое совершенно определенное действительное число x:

P x.

Четные числа образуют правильное подмножество множества всех натуральных чисел, а все целые числа образуют правильное подмножество множества всех рациональных чисел. (Говоря о правильном подмножестве некоторого множества S, мы имеем в виду множество S, состоящее из элементов множества S, но не из всех его элементов.) Совершенно ясно, что если данное множество конечно, т. е. содержит какое-то число n элементов и не более того, то оно не может быть эквивалентно никакому своему правильному подмножеству, так как всякое правильное его подмножество содержало бы самое большее n - элемент. Но если данное множество содержит бесконечное число элементов, то, как это ни парадоксально, оно может быть эквивалентно некоторому своему правильному подмножеству. Например, схема 1 2 3 4 5... n...

2 4 6 8 10... 2n...

устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством всех четных целых положительных чисел, и эти два множества оказываются эквивалентными, хотя второе есть правильное подмножество первого. Такое противоречие с ходячей истиной лцелое больше своей части показывает, какие сюрпризы нас ждут в области ларифметики бесконечного.

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |   ...   | 76 |    Книги по разным темам