Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |   ...   | 76 |

Так, например, доказательство коммутативного закона сложения в случае дробей ясно из следующих равенств:

a c ad + bc cb + da c a + = = = + ;

b d bd db d b здесь первое и последнее равенства оправдываются определением сложения (1), а среднее есть следствие коммутативных законов сложения и умножения в области натуральных чисел. Читатель сможет, если пожелает, проверить таким же образом четыре остальных закона.

2. Возникновение надобности в рациональных числах внутри самой математики. Принцип обобщения. Независимо от практического основания для введения рациональных чисел существует основание более глубокое и носящее в известном смысле еще более принудительный характер. Эту сторону дела мы рассмотрим здесь совершенно независимо от приведенных выше рассуждений. В обычной арифметике натуральных чисел мы всегда можем выполнять основные прямые операции Ч сложение и умножение. Но обратные операции Ч вычитание и деление Ч не всегда выполнимы. Разность b - a двух натуральных чисел a и b есть по определению такое натуральное число c, что a + c = b, т. е. это есть решение уравнения a + x = b. Но в области натуральных чисел символ b - a имеет смысл лишь при ограничении b > a, так как только при этом условии уравнение a + x = b имеет решением натуральное число. На пути к снятию этого ограничения серьезный шаг был сделан уже тогда, когда был введен символ 0 для обозначения a - a. Но еще более значительным успехом было введение символов -1, -2, -3,... и вместе с тем определения (b - a) = -(a - b) для случая b < a: после этого можно было утверждать, что и вычитание обладает свойством неограниченной выполнимости в области всех целых Ч положительных и отрицательных Ч чисел. Вводя новые сим80 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II волы -1, -2, -3,... и тем самым расширяя числовую область, мы обязаны, конечно, определить операции со вновь вводимыми числами таким образом, чтобы первоначальные правила арифметических операций не были нарушены. Так, например, правило (-1) (-1) = 1, (3) которое лежит в основе умножения отрицательных чисел, есть следствие нашего желания сохранить дистрибутивный закон a(b + c) = ab + ac.

Действительно, если бы мы, скажем, декларировали, что (-1) (-1) = -1, то, полагая a = -1, b = 1, c = -1, получили бы (-1) (1 - 1) = -1 - 1 = -2, тогда как на самом деле (-1) (1 - 1) = (-1) 0 = 0.

Понадобилось немало времени, чтобы среди математиков было хорошо осознано, что правило знаков (3) и вместе с ним все прочие определения, относящиеся как к отрицательным числам, так и к дробям, никак не могут быть доказаны. Они создаются, или декларируются, нами самими с целью обеспечить свободу операций и притом без нарушения основных арифметических законов. Что может Ч и должно Ч быть доказываемо, так это только то, что если эти определения приняты, то тем самым сохранены основные законы арифметики: коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный. Даже великий Эйлер пользовался совершенно неубедительной аргументацией, желая показать, что (-1) (-1) должно равняться +1. Он говорил: Рассматриваемое произведение может быть только или +1, или -1; но -1 быть не может, так как -1 = (+1) (-1). Совершенно подобно тому, как введение отрицательных целых чисел и нуля расчищает путь для неограниченной выполнимости вычитания, введение дробных чисел устраняет арифметические препятствия, мешаb ющие выполнять деление. Отношение, или частное, x = двух целых a чисел определяется как решение уравнения ax = b (4) и существует как целое число только в том случае, если a есть делитель b. Но если это не так (например, при a = 2, b = 3), то мы просто b вводим новый символ, называемый дробью и подчиненный условию, a b b выражающемуся равенством a = b, так что есть решение (4) по a a определению. Изобретение дробей как новых числовых символов обеспечивает неограниченную выполнимость деления, за исключением деления на нуль, которое исключается раз навсегда.

1 3 Выражения вроде,, и т. п. останутся для нас символами, ли0 0 шенными смысла. Если бы мы допустили деление на 0, то из верного равенства 0 1 = 0 2 вывели бы неверное следствие 1 = 2. Иногда з 1 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА бывает целесообразно обозначать такие выражения символом бесконечность, однако с условием, чтобы не делалось даже попытки оперировать этим символом так, как будто бы он подчинялся обычным законам арифметики.

Теперь нам ясны принципы, согласно которым сконструирована система всех рациональных чисел Ч целых и дробных, положительных и отрицательных. В этой расширенной области не только полностью оправдываются формальные законы Ч ассоциативный, коммутативный и дистрибутивный, Ч но и уравнения a + x = b и ax = b всегда имеют решеb ния x = b - a и x = с единственной оговоркой, что в случае второго a уравнения a не должно равняться нулю. Иными словами, в области рациональных чисел так называемые рациональные операции Ч сложение, вычитание, умножение и деление Ч выполнимы неограниченно и не выводят за пределы области. Такие замкнутые числовые области называются полями. Мы повстречаемся с дальнейшими примерами полей ниже, в этой же главе, а также в главе III.

Расширение области посредством введения новых символов, совершаемое таким образом, что законы, которые имели место в первоначальной области, сохраняются и в расширенной, является типичным примером характерного для математики принципа обобщения. Переход путем обобщения от натуральных чисел к рациональным удовлетворяет одновременно и теоретической потребности в снятии ограничений, которые наложены на вычитание и деление, и вместе с тем Ч практической потребности в числах, пригодных для фиксации результатов измерений. Именно тот факт, что рациональные числа идут навстречу сразу теоретической и практической потребностям, придает им особую важность. Как мы видели, расширение понятия числа совершилось путем введения новых абстрактных символов вроде 0, -2 или.

В наше время мы оперируем этими символами бегло и уверенно, не вдумываясь в их природу, и трудно даже себе представить, что еще в XVII столетии они пользовались доверием гораздо в меньшей степени, чем натуральные числа, что ими если и пользовались, то с известным сомнением и трепетом. Свойственное человеческому сознанию стремление цепляться за конкретное Ч воплощаемое в ряде натуральных чисел Ч обусловливает ту медленность, с которой протекала неизбежная эволюция. Логически безупречная арифметическая система может быть сконструирована не иначе, как в отвлечении от действительности.

3. Геометрическое представление рациональных чисел. Выразительное геометрическое представление системы рациональных чисел может быть получено следующим образом.

82 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II На некоторой прямой линии, числовой оси, отметим отрезок от до 1 (рис. 8). Тем самым устанавливается длина единичного отрезка, которая, вообще говоря, может быть выбрана произвольно. Положительные и отрицательные целые числа тогда изображаются совокупностью равноотстоящих точек на числовой оси, именно, положительные числа отмечаются вправо, а отрицательные Ч влево от точки 0. Чтобы изобразить числа со знаменателем n, разделим каждый из полученных отрезков единичной длины на n равных частей; точки деления будут изображать дроби со знаменателем n. Если сделать так для значений n, соответствующих всем натуральным числам, то каждое рациональное число будет изображено некоторой точкой числовой оси. Эти точки мы условимся называть рациональными; вообще, термины рациональное число и рациональная точка будем употреблять как синонимы.

3 2 1 0 1 2 Рис. 8. Числовая ось В главе I, з 1 было определено соотношение неравенства A < B для натуральных чисел. На числовой оси это соотношение отражено следующим образом: если натуральное число A меньше, чем натуральное число B, то точка A лежит левее точки B. Так как указанное геометрическое соотношение устанавливается для любой пары рациональных точек, то естественно пытаться обобщить арифметическое отношение неравенства таким образом, чтобы сохранить этот геометрический порядок для рассматриваемых точек. Это удается, если принять следующее определение: говорят, что рациональное число A меньше, чем рациональное число B (A < B), или что число B больше, чем число A (B > A), если разность B - A положительна. Отсюда следует (при A < B), что точки (числа) между A и B Ч это те, которые одновременно > A и < B. Каждая такая пара точек A и B, вместе со всеми точками между ними, называется сегментом (или отрезком) и обозначается [A, B] (а множество одних только промежуточных точек Ч интервалом (или промежутком), обозначаемым (A, B)).

Расстояние произвольной точки A от начала 0, рассматриваемое как положительное число, называется абсолютной величиной A и обозначается символом |A|.

Понятие лабсолютная величина определяется следующим образом: если A 0, то |A| = A; если A < 0, то |A| = -A. Ясно, что если числа A и B имеют один и тот же знак, то справедливо равенство |A + B| = |A| + |B|;

если же A и B имеют разные знаки, то |A + B| < |A| + |B|. Соединяя эти з 2НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПРЕДЕЛЫ два результата вместе, мы приходим к общему неравенству |A + B| |A| + |B|, которое справедливо независимо от знаков A и B.

Факт фундаментальной важности выражается следующим предложением: рациональные точки расположены на числовой прямой всюду плотно. Смысл этого утверждения тот, что внутри всякого интервала, как бы он ни был мал, содержатся рациональные точки. Чтобы убедиться в справедливости высказанного утверждения, достаточно взять число n настолько большое, что интервал 0, будет меньше, чем n m данный интервал (A, B); тогда по меньшей мере одна из точек вида n окажется внутри данного интервала. Итак, не существует такого интервала на числовой оси (даже самого маленького, какой только можно вообразить), внутри которого не было бы рациональных точек. Отсюда вытекает дальнейшее следствие: во всяком интервале содержится бесконечное множество рациональных точек. Действительно, если бы в некотором интервале содержалось лишь конечное число рациональных точек, то внутри интервала, образованного двумя соседними такими точками, рациональных точек уже не было бы, а это противоречит тому, что только что было доказано.

з 2. Несоизмеримые отрезки.

Иррациональные числа, пределы 1. Введение. Если мы станем сравнивать по величине два прямолинейных отрезка a и b, то не исключена возможность, что a содержится в b в точности целое число раз r. В таком случае длина отрезка b очень просто выражается через длину отрезка a: длина b в r раз больше, чем длина a. Может случиться и так, что целого числа r, которое обладало бы указанным свойством, не существует; но при этом возможно, что, раз делив отрезок a на некоторое число, скажем n, равных частей каждая a длины и взяв целое число m таких частей, мы в точности получим n отрезок b:

m b = a. (1) n Если осуществляется соотношение вида (1), то говорят, что два отрезка a и b соизмеримы, так как они обладают некоторой лобщей мерой:

a таковой является отрезок длины, который содержится в отрезке a n ровно n раз, а в отрезке b ровно m раз. Некоторый отрезок b соизмерим или несоизмерим с отрезком a в зависимости от того, можно или нельзя подобрать два таких натуральных числа m и n (n = 0), что имеет 84 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II место равенство (1). Обращаясь к рис. 9, предположим, что в качестве отрезка a избран единичный отрезок [0, 1], и рассмотрим всевозможные отрезки, у которых один из концов совпадает с 0. Тогда из этих отрезков те и только те будут соизмеримы с единичным отрезком, у которых m второй конец совпадает с некоторой рациональной точкой.

n 5 5 2 1 0 1 2 3 16 Рис. 9. Рациональные точки Для практической цели измерения рациональных чисел всегда совершенно достаточно. Даже с точки зрения теоретической, поскольку рациональные точки расположены всюду плотно, могло бы показаться, что все точки на числовой оси Ч рациональные. Если бы дело обстояло именно так, то всякий отрезок был бы соизмерим с единичным.

Но дело обстоит не так просто, и в установлении этого обстоятельства заключается одно из самых поразительных открытий в математике: оно было сделано уже в древнейшие времена (в школе Пифагора). Существуют несоизмеримые отрезки, или иначе (если мы допустим, что каждому отрезку соответствует некоторое число, выражающее его длину), существуют иррациональные числа. Осознание этого факта было научным событием величайшей значимости, почти откровением. Весьма возможно, что именно оно положило начало тому, что мы теперь считаем строгим математическим методом и рассматриваем как вклад в науку, сделанный древними греческими математиками. Без сомнения, это замечательное открытие глубоко повлияло на всю математику и даже философию от древних времен и до наших дней.

Евдоксова теория несоизмеримых величин, изложенная в геометрической форме в Началах Евклида, представляет собой тончайшее достижение греческой математики (ее изложение обыкновенно пропускается в разжиженных пересказах Евклида, предназначенных для школьного обучения). Эта теория получила подобающую ей высокую оценку лишь в конце XIX столетия Ч после того как усилиями Дедекинда, Кантора и Вейерштрасса была создана строгая теория иррациональных чисел. Мы изложим в дальнейшем эту теорию в ее современном арифметическом аспекте.

Прежде всего установим: диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Предположим, что сторона квадрата избрана в качестве единицы длины, длину же диагонали обозначим через x. Тогда, согласно теореме Пифагора, мы получаем:

x2 = 12 + 12 = 2.

(Такое число x обозначают символом 2.) Если бы x было соизмеримо с единицей, то можно было бы найти два таких целых числа p и q, з 2НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПРЕДЕЛЫ p что x =, и тогда мы пришли бы к равенству q p2 = 2q2. (2) p Можно допустить, что дробь несократима, иначе мы с самого начала q сократили бы ее на общий наибольший делитель чисел p и q. С правой стороны имеется 2 в качестве множителя, и потому p2 есть четное число, и, значит, само p Ч также четное, так как квадрат нечетного числа есть нечетное число. В таком случае можно положить p = 2r. Тогда равенство (2) принимает вид:

4r2 = 2q2, или 2r2 = q2.

Так как с левой стороны теперь имеется 2 в качестве множителя, значит, q2, а следовательно, и q Ч четное. Итак, и p и q Ч четные числа, т. е.

p делятся на 2, а это противоречит допущению, что дробь несократиq ма. Итак, равенство (2) невозможно, и x не может быть рациональным числом.

Иначе этот результат можно сформулировать, утверждая, что есть число иррациональное.

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |   ...   | 76 |    Книги по разным темам