Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |   ...   | 32 |

Временные характеристики можно получить непосредственно из уравнения (5.1). Если входной сигнал x(t) = 1(t), то получают уравнение переходной функции i Im() M а) б) k k 0 Re() Рис. 5.1 Частотные характеристики усилительного звена:

а - АЧХ; б - АФХ x x а) б) (t) 0 t t w h k k (t) 0 t t Рис. 5.2 Графики временных характеристик усилительного звена:

а - переходная функция; б - весовая функция h(t) = k1(t), (5.6) она равна постоянной величине - коэффициенту усиления звена. Если же x(t) = (t), то получают уравнение весовой функции w(t) = k(t). (5.7) Графики временных характеристик изображены на рис. 5.2.

5.2.2 ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО Уравнение движения интегрирующего звена имеет вид t y(t) = x()d, или Tи y(t) = x(t) ; у(0) = 0, (5.8) Tи где Ти - постоянная времени звена.

Выходной сигнал интегрирующего звена равен интегралу по времени от входного сигнала, умноженному на коэффициент.

Tи Примером интегрирующего звена являются счетчики, суммирующие расход вещества или энергии за определенный промежуток времени, уровень в емкости и т.п.

Передаточная функция интегрирующего звена получается в результате преобразования по Лапласу (5.8):

Tиsy(s) = x(s) W (s) =. (5.9) Tиs i Im() M а) б) в) 0 -/2 Re() W(i ) Рис. 5.3 Частотные характеристики интегрирующего звена:

а - АЧХ; б - ФЧХ; в - АФХ Частотные характеристики образуются в результате подстановки s = i; их графики изображены на рис. 5.3:

- АФХ -i 1 W (i) = = e ; (5.10) Tиi Tи - АЧХ M () = ; (5.11) Tи - ФЧХ () = -/ 2. (5.12) Амплитудно-частотная характеристика интегрирующего звена является гиперболической функцией частоты, а фазочастотная не зависит от частоты и равна -. В этом случае АФХ является мнимой функцией частоты, и ее годограф для положительных частот совпадает с отрицательной ветвью мнимой оси.

Переходные характеристики, графики которых изображены на рис. 5.4, определяют из уравнения движения (5.8) подстановкой входного сигнала x(t) = 1(t) и x(t) = (t) соответственно для получения выражения:

- переходной функции t 1 h(t) = = t; (5.13) dt Tи 0 Tи - весовой функции t 1 w(t) = (5.14) (t)dt =.

Tи 0 Tи w h а) б) Tи t t Рис. 5.4 Переходные характеристики интегрирующего звена:

а - переходная функция; б - весовая функция Таким образом, при подаче на вход интегрирующего звена постоянного неисчезающего возмущения выходная координата увеличивается до бесконечности с постоянной скоростью, т.е. отличительной особенностью является тот факт, что переходная функция не имеет установившегося (при t ) конечного значения. Это свойство является причиной принципиального отличия астатических систем автоматического регулирования, содержащих интегрирующее звено, от статических систем, которые не содержат этого звена.

Реакция на -функцию является ступенчатой функцией с амплитудой.

Tи 5.2.3 ИДЕАЛЬНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО Уравнение идеального дифференцирующего звена y(t) = kx(t), (5.15) т.е. изменение выходной координаты пропорционально скорости изменения входной координаты. В операторной форме уравнение имеет вид y(s) = ksx(s), откуда передаточная функция Y (s) W (s) = = ks. (5.16) X (s) Частотные характеристики, графики которых представлены на рис. 5.5:

- АФХ W(i) = k i = kei/2; (5.17) - АЧХ M() = k; (5.18) - ФЧХ () =. (5.19) а) б) Im в) M = 0 0 Re Рис. 5.5 Частотные характеристики идеального дифференцирующего звена:

а - АЧХ; б - ФЧХ; в - АФХ Таким образом, АЧХ прямо пропорциональна частоте, а ФЧХ не зависит от частоты и равна. Следовательно, годограф АФХ при > 0 совпадает с положительной ветвью мнимой оси.

Переходная функция идеального дифференцирующего звена имеет вид:

h(t) = k1(t) = k(t), (5.20) т.е. представляет собой -функцию с площадью, равной k.

Весовая функция представляет собой производную от -функции:

w(t) = k(t). (5.21) В природе идеально дифференцирующих звеньев не существует, так как при M(), а любой реальный объект практически фильтрует гармонические сигналы с частотой, большей частоты среза данного объекта. Неосуществимость идеального звена видна также и из переходной функции, которая равна -функции и из весовой функции, равной производной -функции.

5.2.4 РЕАЛЬНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО Встречаются звенья, которые реагируют только на скорость изменения входного сигнала. Они описываются уравнениями следующего вида и называются реальными дифференцирующими:

Ty(t) + y(t) = Тдx(t). (5.22) Примером такого звена является RC-цепочка (рис. 5.6).

R Uвх Звено J Uвх J С Рис. 5.6 RC-цепочка M а) i Im() б) в) Tд T Re() = 0 0 Tд 0 T Рис. 5.7 Частотные характеристики реального дифференцирующего звена:

а - АЧХ; б - ФЧХ; в - АФХ Передаточная функция имеет вид:

Tдs y(s) W (s) = =. (5.22) x(s) 1+ Ts Частотные характеристики, графики которых представлены на рис. 5.7:

- АФХ Tдi Tд ei( / 2-arctgi) ; (5.23) W (i) = = 1+ Ti T 2 + - АЧХ Tд M () = ; (5.24) T 2 + - ФЧХ () = - arctgT. (5.25) У реального дифференцирующего звена при увеличении частоты амплитудно-частотная характеTд ристика возрастает, но ее верхний предел ограничен величиной.

T Фазо-частотная характеристика при увеличении частоты уменьшается от до нуля.

Tд Для положительных частот W(i) представляет собой полуокружность диаметром с центром в T Tд точке. Для доказательства запишем W(i) в прямоугольных координатах 2T Tдi(1- Ti) TTд2 Tд W (i) = Re() + i Im() = = + i.

2 (1+ Ti)(1- Ti) 1+ T 2 1+ T Tд Полученные значения Rе() и Im() подставим в уравнение окружности радиуса с центром в 2T Tд точке :

2T Tд 2 Tд + [i Im()]2 = - Re() - Re() 2T 2T или TTд2 Tд Tд Tд - + =.

1+ T 22 2T 1+ T 2 2T Раскрывая скобки, получаем тождество, которое и доказывает, что АФХ действительно представляет собой полуокружность.

Используя взаимосвязь динамических характеристик, получаем уравнение переходной функции в операторной форме по (3.39):

Tдs Tд 1 h(s) = =.

1 + Ts s T 1 + s T Применив обратное преобразование Лапласа к последнему выражению, получаем уравнение переходной функции во временной области:

Tд h(t) = e-t / T. (5.26) T Весовая функция находится как производная от переходной функции Tд w(t) = - e-t / T. (5.27) T Графики переходных характеристик изображены на рис. 5.8.

x x а) б) (t) 0 t t w h TA T t t TA T Рис. 5.8 Переходные характеристики реального дифференцирующего звена:

а - переходная функция; б - весовая функция На рис. 5.8, а для сравнения показаны переходные функции идеального 1 и реального 2 дифференцирующих звеньев. В силу инерции реальных звеньев изменение выходной координаты - переходной функции происходит постепенно, а не скачком, как в случае идеального звена. Для того, чтобы приблизить свойства реального звена к свойствам идеального, необходимо одновременно увеличивать коэффициенты передачи Тд и уменьшать постоянную времени Т так, чтобы их произведение ТдТ оставалось постоянным.

5.2.5 ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО Форсирующим звеном называется звено, описываемое уравнением dx(t) y(t) = k x(t) +T. (5.28) dt Такое звено может быть получено в результате параллельного соединения усилительного и идеального дифференцирующего звеньев. Оно характеризуется двумя параметрами: коэффициентом передачи k и постоянной времени Т.

Передаточная функция W(s) = k(1 + Ts). (5.29) Замена в (5.28) s = i позволяет получить частотные характеристики форсирующего звена, графики которых показаны на рис. 5.9:

- АФХ W (i) = k(1+ iT ) = k 1+ (T )2 ei arctgT ; (5.30) - АЧХ M() = k 1+ (T )2 ; (5.31) - ФЧХ () = arctgT. (5.32) а) б) в) M i Im() W(i ) k / = 0 k Re() Рис. 5.9 Частотные характеристики форсирующего звена:

а - АЧХ; б - ФЧХ; в - АФХ Как видно из графиков, амплитудно-фазовая характеристика представляет собой прямую, параллельную мнимой оси и пересекающую действительную ось в точке Re = k.

Переходные характеристики получают непосредственно из уравнения (5.28):

- переходная функция - входной сигнал x(t) = 1(t), а выходной сигнал h(t) = k(1(t) + T(t)); (5.33) - весовая функция - входной сигнал x(t) = (t), а выходной сигнал w(t) = k((t) + T(t)). (5.34) Графически изобразить возможно только переходную функцию, которая и представлена на рис.

5.10.

5.2.6 ЗВЕНО ЧИСТОГО ЗАПАЗДЫВАНИЯ Примером звена чистого запаздывания является транспортер (рис. 5.11).

Если за входную координату принять расход материала в начале транспортера, а за выход - расход материала в конце транспортера, то выходной сигнал будет повторять входной сигнал x(t) с запаздываL нием, равным времени движения материала от места погрузки до места выгрузки, причем =.

v Уравнение звена чистого запаздывания y(t) = x(t - ). (5.35) Передаточная функция получается в результате преобразования Лапласа (5.35):

W(s) = еЦs. (5.36) Частотные характеристики:

- АФХ W (i) = e-i ; (5.37) Рис. 5.11 Схема транспортера M в) а) i Im() б) W(i ) arctg() = Re() Риc. 5.12 Частотные характеристики звена чистого запаздывания:

а - АЧХ; б - ФЧХ; в - АФХ - АЧХ M () = 1; (5.38) - ФЧХ () = -. (5.39) Графики частотных характеристик изображены на рис. 5.12.

Так как М() = 1, а отставание по фазе выходных колебаний прямо пропорционально частоте с коэффициентом пропорциональности равным времени чистого запаздывания, то годограф АФХ представляет собой окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Переходные характеристики получаются подстановкой соответствующих входных сигналов в уравнение звена (5.35):

- переходная функция h(t) = 1(t - ), (5.40) - весовая функция w(t) = (t - ). (5.41) Графики переходных характеристики изображены на рис. 5.13.

x x а) б) 0 t t w h 0 0 t t Рис. 5.13 Переходные характеристики звена чистого запаздывания:

а - переходная функция; б - весовая функция 5.2.7 АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО ПЕРВОГО ПОРЯДКА Апериодическое звено первого порядка называется также инерционным. Оно описывается дифференциальным уравнением первого порядка и имеет не колебательный характер переходного процесса.

Примером таких звеньев может служить любая электрическая цепь, включающая сопротивление и емкость, тепловые объекты.

инейное дифференциальное уравнение имеет вид Ту(t) + y(t) = kx(t), (5.42) где T - постоянная времени звена; k - коэффициент усиления, k > 0, T > 0.

Постоянная времени характеризует инерционность звена и зависит от величин массы или сопротивления и емкости - чем больше масса, сопротивление и емкость, тем больше инерционность звена и больше Т.

Передаточную функцию получают из уравнения (5.42) y(s) k W (s) = =. (5.43) x(s) Ts +Частотные характеристики, графики которых представлены на рис. 5.14:

- АФХ k k e-iarctgT ; (5.44) W (i) = = Ti +T 2 +- АЧХ k M () = ; (5.45) T 2 +- ФЧХ () = -arctgT. (5.46) Амплитудно-частотная характеристика апериодического звена первого порядка на нулевой частоте равна коэффициенту усиления k, с увеличением частоты она монотонно уменьшается, асимптотически стремясь к нулю.

б) в) а) M Im k k Re - Рис. 5.14 Частотные характеристики апериодического звена первого порядка:

а - АЧХ; б - ФЧХ; в - АФХ Фазочастотная характеристика при увеличении частоты от 0 до изменяется от 0 до -. Следовательно, годограф АФХ для > 0 целиком лежит в четвертом квадранте и представляет собой полуокружk ность диаметром k с центром в точке, которая описывается уравнением 2 k k Re() - +[Im()]2 =. (5.47) 2 Доказательство последнего тождества аналогично доказательству подобного выражения для реального дифференцирующего звена. Значения действительной и мнимой частей АФХ заменяются их конкретными выражениями k kT Re() = ; Im() = 2 1+ T 2 1+ T и подставляются в (5.47).

Уравнение переходной функции получают как решение уравнения при x(t) = k(t) или в операторной форме k 1 C0 Ch(s) = y(s) = = +.

Ts +1 s s s + T T Переходя к оригиналу, получают выражение переходной функции во временной области h(t) = k[1- e-t / T ]. (5.48) Весовую функцию можно получить как производную от переходной функции а) б) h w k k T T = t2 - t T t1 t t t Рис. 5.15 Переходные характеристики апериодического звена первого порядка:

а - переходная функция; б - весовая функция k w(t) = e-t / T. (5.49) T Графики переходных характеристик изображены на рис. 5.15.

Как видно из графиков, переходные характеристики представляют собой монотонные функции времени, по ним можно определить такие параметры, как коэффициент усиления, равный установившемуся значению h(); постоянную времени, равную интервалу времени T от точки касания переходной функции до точки пересечения касательной с ее асимптотой (рис. 5.15, а).

5.2.8 ИНЕРЦИОННО-ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО Инерционно-форсирующее звено называют также интегро-диф-ференцирующим или упругим звеном, описывается оно дифференциальным уравнением первого порядка Ty (t) + y(t) = k[T0 x (t) + x(t)]. (5.50) TСущественным параметром звена является коэффициент =. Если < 1, то звено по своим свойT ствам приближается к интегрирующему и инерционному звеньям, если же > 1, то звено ближе к дифференцирующим звеньям.

Передаточная функция звена:

T0s +W (s) = k. (5.51) Ts +Частотные характеристики получают в результате замены s = i:

- АФХ T0i +1 T022 +W (i) = k = k ei(arctgT0-arctgT) ; (5.52) Ti +T 2 + а) б) в) M Im k k = = k k Re Рис. 5.16 Частотные характеристики инерционно-форсирующего звена для > 1:

а - АЧХ; б - ФЧХ; в - АФХ а) б) в) M Im k k k = = Re k Рис. 5.17 Частотные характеристики инерционно-форсирующего звена для < 1:

а - АЧХ; б - ФЧХ; в - АФХ - АЧХ T022 +M () = k ; (5.53) T 2 + - ФЧХ () = arctgT0 - arctgT. (5.54) Графики частотных характеристик для > 1 и < 1 изображены соответственно на рис. 5.16 и 5.17.

Используя взаимосвязь динамических характеристик, записываются уравнения переходной и весовой функций, соответственно T h(t) = k1+ -1e-t / T ; (5.55) T k T w(t) = - -1e-t / T, (5.56) T T их графики для > 1 и < 1 изображены на рис. 5.18. и 5.19.

а) б) h w k > t k(1- ) k T t Рис. 5.18 Переходные характеристики инерционно-форсирующего звена для > 1:

а - переходная функция; б - весовая функция а) б) h w k k(1- ) T < k t t Рис. 5.19 Переходные характеристики инерционно-форсирующего звена для < 1:

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |   ...   | 32 |    Книги по разным темам