Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |   ...   | 32 |

Функция W(Цi) получается аналогичным образом по формуле (4.15) заменой i на (Цi).

Записывая полученные выражения для комплексных функций W(i) и W(Цi) в показательной форме W (i) = M ()ei(); W (-i) = M ()e-i(), частное решение уравнения (4.7) преобразуется к виду yвын(t) = AM ()[ei()eit + e-i()e-it ] = 2AM () cos[t + ()].

Сравнение yвын(t), описывающего установившиеся колебания на выходе объекта, с входным сигна2AM () лом x(t) показывает, что отношение амплитуд выходных и входных колебаний равно = M (), а 2A это как раз и есть амплитудно-частотная характеристика; разность фаз [t + ()]- t = () - фазочастотная характеристика.

С изменением частоты колебаний амплитудно- и фазочастотные характеристики изменяются по определенному закону в зависимости от физических свойств объекта. Однако все реальные физические системы обладают одним общим свойством, которое заключается в том, что при увеличении частоты входных колебаний выше некоторого предела (частоты среза) ср объект практически не реагирует на эти колебания, т.е. амплитуда выходных колебаний равна нулю. Таким образом, для любого реального объекта lim M () = 0.

4.5 Физический смысл частотных характеристик Физический смысл частотных характеристик устанавливается при их экспериментальном определении.

Пусть на вход линейного объекта подается гармонический сигнал вида x(t) = Asint. На выходе объекта в установившемся режиме (собственное движение прекратилось) в силу принципа суперпозиции будет наблюдаться также гармонический сигнал с частотой, равной частоте входных колебаний, сдвинутый относительно них по фазе и другой амплитуды (рис. 4.10), т.е. y(t) = Bsin(t + ).

а) y(t) x(t) Объект б) в) x x 0 t t T1 = 2/T2 = 2/ x(t) = A2 sin(2t) x(t) = A1 sin(1t) г) yвых yвых д) t t t Tt2 T y(t) = B1 sin(1t + 1) y(t) = B2 sin(2t + 2) Рис. 4.10 Экспериментальное определение частотных характеристик:

а - объект; б - входной сигнал частоты 1; в - входной сигнал частоты 2;

г - выходной сигнал частоты 1; д - выходной сигнал частоты Степень различия между параметрами входных и выходных гармонических сигналов не зависит от амплитуды и фазы входного сигнала, а определяется только динамическими свойствами самого объекта и частотой колебаний, поэтому в качестве динамических характеристик объекта здесь и используются рассмотренные выше частотные характеристики. Для получения последних экспериментальным путем проводится ряд опытов, для которых используется аппаратура в составе генератора гармонических колебаний с регулируемой частотой и устройства для измерения амплитуды и фазы колебаний.

В результате проведенных экспериментов частотные характеристики определяются следующим образом.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) - отношение амплитуды выходных колебаний к амплитуде входного сигнала:

B M () =. (4.16) A Фазочастотная характеристика (ФЧХ) - разность фаз выходных и входных колебаний:

() = вых - вх (4.17) или t() () = - 2, T где t() - время сдвига.

Таким образом, амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) может быть определена как комплексная функция, для которой АЧХ является модулем, а ФЧХ - аргументом. Последние соотношения как раз и определяют физический смысл частотных характеристик.

Имея в своем распоряжении амплитудно-фазовую характеристику, снятую экспериментально, и входной сигнал, можно записать выходной сигнал. Например, АФХ задана годографом (рис. 4.11), на вход подается сигнал x(t) = 2 sin0,5t + 3 cos0,1t - 0,8 sin10t.

A A B B Рис. 4.11 Годограф АФХ Выходной сигнал y(t) в рассматриваемом случае можно записать, используя принцип суперпозиции, как сумму трех сигналов y1(t) = 22sin(0,5t - /2);

y2(t) = 33sin(0,1t + /2 - /4);

y3(t)= - 1,50,8sin(10t - 3/2);

y(t) = 4sin(0,5t - /2) + 9 sin(0,1t - /4) - 1,2 sin(10t - (3/2)).

4.6 Минимально-фазовые системы Амплитудно-фазовую характеристику системы можно записать не в виде (4.8), а, воспользовавшись теоремой Безу, как m ) (i - q j j= W (i) = k, (4.18) n ) (i - s j j=где qj - нули, a sj - полюсы передаточной функции.

Числитель функции (4.18) представляет собой произведение сомножителей (i - qj ). Геометрически эта разность является вектором, начало которого лежит в точке qj, а конец - на мнимой оси в точке i (рис. 4.12). Сравнение двух векторов(i - qj) и (i - qj), один из которых qj лежит в левой полуплоскости и характеризуется фазой, а другой qj - в правой полуплоскости и характеризуется фазой, показывает, что при одном и том же модуле всегда <, т.е. для вектора, лежащего в левой полуплоскости, фаза меньше.

Системы (звенья), все нули и полюса передаточных функций которых лежат в левой полуплоскости (действительная часть нулей и полюсов является отрицательной величиной - Re qj < 0; Re sj < 0), называются минимально-фазовыми.

i Im() i Im() б) а) i i - q i Ф Т qjТ q qjФ Re() Re() Рис. 4.12 К определению минимально-фазовых систем Системы (звенья), у которых хотя бы один нуль или полюс передаточной функции лежит в правой полуплоскости (действительная часть нулей, полюсов является положительной величиной - Re qj > 0; Re sj > 0), называются неминимально-фазовыми.

Можно показать, что для минимально-фазовых звеньев существуют зависимости:

1 Im() Re() = - du;

u - 1 Re() du; (4.19) Im() = u - () = - 1 dL cth d, d u где L(u) = ln M(u); = ln ; u - переменная интегрирования.

Эти зависимости показывают, что амплитудно-фазовая характеристика минимально-фазовой системы (звена) полностью определяется ее ВЧХ, МЧХ или АЧХ. Это позволяет значительно упростить задачи анализа и синтеза рассматриваемых систем, ограничиваясь изучением их ВЧХ или АЧХ.

Неминимально-фазовую систему в простейшем случае можно представить в виде последовательного соединения минимально-фазовой системы и звена, имеющего один нуль в правой полуплоскости и, соответственно, характеризующегося АФХ:

i - q q - i j W (i) = = e. (4.20) i + q q + i Амплитудно-частотная характеристика этого звена М() = 1, a фазо-частотная - () = - arctg.

q Таким образом, рассматриваемое звено сохраняет амплитуду выходного гармонического сигнала равной амплитуде входного сигнала при любой частоте, фаза же при изменении частоты от 0 до меняется в интервале от до 0, т.е. включение звена с АФХ W(i) приводит к добавлению положительного сдвига фазы (), который при i 0 равен и уменьшается при возрастании частоты.

Подобные звенья на практике используются для корректирования фазовых характеристик цепей, для повышения устойчивости и т.д.

4.7 Понятие о логарифмических частотных характеристиках Кроме рассматриваемых выше частотных характеристик, иногда используют, так называемые, логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ). Для их получения выражение АФХ (4.15) записывается в виде bm (i)m +... +b0 bW (i) = = k0M0()ei() a0 an (i)n +... +aи логарифмируется lgW (i) = lg k0 + lg M0() + i()lg e.

Для оценки отношения двух величин используется логарифмическая единица - децибел. Связь между числом децибел Sдб и некоторым числом N дается формулой Sдб = 20lg N = LmN.

Характеристика L() = Lm[k0M0()] = Lmk0 + LmM0() = 20lg M () (4.21) называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ).

При построении логарифмических частотных характеристик по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе - lg, поэтому логарифмическая амплитудная частотная характеристика строится в координатах L(); lg, логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ) - ();

lg (рис. 4.13). Логарифмические частотные характеристики называют также диаграммами Боде.

L а) б) 20 lg k 0 lg lg /Рис. 4.13 Логарифмические частотные характеристики:

а - ЛАЧХ; б - ЛФЧХ 4.8 Взаимосвязь динамических характеристик Основной динамической характеристикой объекта или системы является дифференциальное уравнение. Кроме него могут применяться:

1) передаточная функция;

2) частотные характеристики: амплитудно-частотная, фазочастотная, амплитудно-фазовая;

3) переходные характеристики: переходная функция, весовая функция.

юбая из этих характеристик может быть определена, если известно дифференциальное уравнение объекта. Но, несмотря на это, следует еще раз остановиться на их взаимосвязи.

В качестве примера рассмотрим взаимосвязь между переходной функцией и другими характеристиками.

Если известна переходная функция h(t), то по формуле (3.39) определяется передаточная функция объекта W(s) = sh(s), заменой s = i в которой, в свою очередь, могут быть получены частотные характеристики: W(i) = (i) h(i).

Так как (t) является производной от единичной ступенчатой функции, то для линейных систем весовая функция является производной от переходной функции, т.е. w(t) = h(t).

Дифференциальное уравнение по экспериментально снятой кривой разгона получают с помощью различных методик, позволяющих определить его коэффициенты.

Связь между основными характеристиками приведена в табл. 4.1.

При анализе динамических характеристик одним из возникающих вопросов является определение коэффициента усиления объекта, под которым понимают отношение выходной переменной к входной в установившемся режиме:

y() K =, (4.22) A но, так как y() = lim y(t), то t lim y(t) t K =.

A Используя теорему о конечном значении функции lim y(t) = lim sy(s), t sW (s)A где y(s) = W (s)X (s) =, можно записать, что s sW (s)A lim y(t) = lim = AlimW (s).

t s0 ss При единичном ступенчатом воздействии А = 1 и тогда blim y(t) = limW (s) =.

t sa4.9 Тренировочные задания 1 Основной частотной характеристикой является амплитудно-фазовая характеристика (АФХ), которой называется конформное отображение мнимой оси плоскости корней характеристического уравнения на плоскость АФХ. Амплитудно-фазовая характеристика является комплексной функцией и может быть записана в показательной форме W (i) = M () ei () и алгебраической форме W (i ) = Re() + i Im(), где М() называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ); () - фазочастотной характеристикой (ФЧХ); Re() - вещественно-частотной характеристикой (ВЧХ); Im() - мнимой частотной характеристикой (МЧХ). Между этими характеристиками существует связь.

А Сформулируйте основные свойства конформного отображения.

В Если известны АЧХ и ФЧХ, то каким образом определяются ВЧХ и МЧХ С Как перейти от ВЧХ и МЧХ к АЧХ и ФЧХ 2 Частотные характеристики могут быть получены экспериментально в результате подачи на вход объекта гармонического сигнала, а также теоретически в передаточной функции комплексного параметра s на i.

А Какие частотные характеристики получают экспериментально В Задана передаточная функция W (s) =, запишите амплитудно-фазовую характеристику в поs + казательной и алгебраической форме.

С Задано дифференциальное уравнение объекта управления y (t) + 4y (t) + 4y(t) = 3x(t), запишите амплитудно-фазовую характеристику.

3 Амплитудно-фазовая характеристика связана с другими динамическими характеристиками.

А Как определить весовую функцию по амплитудно-фазовой характеристике В Как определить АФХ по переходной функции С Задана весовая функция w(t) = e-t, запишите АФХ.

5 СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 5.1 Звено направленного действия При исследовании систем управления первостепенное значение приобретает характер преобразования сигналов в отдельных элементах, или звеньях. Динамические системы, передаточные функции которых имеют вид простых дробей, называются типовыми или элементарными звеньями. Любой промышленный объект представляется в виде связанных между собой типовых звеньев. Их основу составляет звено направленного действия, основное свойство которого заключается в том, что выходная величина y(t) зависит от входной величины x(t), но обратное воздействие выхода на вход отсутствует. Присоединение к выходу такого звена другого звена не изменяет передаточной функции первого звена. Физическая природа звена направленного действия может быть любой. Характеризуется оно соответствующим уравнением движения, которое и определяет конкретный тип элементарного звена.

Различают следующие звенья: усилительное, интегрирующее, идеальное и реальное дифференцирующие, форсирующее, чистого запаздывания, инерционно-форсирущее, апериодические первого и второго порядка, колебательное, которые по ряду общих закономерностей можно разделить на следующие группы:

1 Статические звенья, у которых статическая характеристика отлична от нуля, имеют однозначную связь между входной и выходной переменными в статическом режиме. К ним относят усилительное, апериодическое, колебательное звенья, у которых передаточный коэффициент связан с передаточной функцией соотношением k = W (s). Кроме того, статические звенья являются фильтрами низкой частоs=ты, исключение составляет усилительное звено.

2 Дифференцирующие звенья, у которых статическая характеристика равна нулю, - это идеальное и реальное дифференцирующие звенья; в их передаточную функцию всегда входит сомножитель s, поэтому W (s) = 0. Дифференцирующие звенья являются фильтрами высокой частоты, они вносят полоs=жительные фазовые сдвиги.

3 Астатические звенья - звенья, не имеющие статической характеристики, к ним относится интегрирующее звено, в передаточную функцию которого обязательно входит сомножитель, поэтому W(0) = s. Интегрирующие звенья являются фильтрами низкой частоты.

5.2 Типовые динамические звенья 5.2.1 УСИЛИТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО Усилительное звено называют также статическим (безынерционным). Примером его может служить клапан с линеаризованной характеристикой в системах регулирования, различные усилители, рычажные передачи, редукторы и т.д. Это звено мгновенно и без искажений воспроизводит входную величину на выходе.

Уравнение движения усилительного звена имеет вид y(t) = kx(t), (5.1) где k - коэффициент усиления.

Передаточная функция усилительного звена получается в результате преобразования по Лапласу его уравнения y(s) = kx(s), откуда y(s) W (s) = = k. (5.2) x(s) Подстановка s = (i) дает выражение АФХ W(i) = k, (5.3) отсюда АЧХ:

M() = k; (5.4) ФЧХ:

() = 0. (5.5) Графики частотных характеристик (АЧХ, АФХ) представлены на рис. 5.1.

Частотные характеристики усилительного звена не зависят от частоты, причем ФЧХ тождественно равна нулю, т.е. в гармонических колебаниях, поданных на вход, изменяется только амплитуда в k раз.

Амплитудно-фазовая характеристика является положительным действительным числом, ее график представляет собой точку на положительной ветви действительной оси.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |   ...   | 32 |    Книги по разным темам