Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ... | 18 | 1 2 -0.-1 0. 0. Базовые матрицы 1 0 -1 0 0.5 0. r r r r T 0 T v d = 0 0 ; v d = 0.5 0.5 ;
1 1 2 0 0 0 0 0.5 0. 0 - 0.5 0. r r T 0 0.5 - 0.5.
v d = 3 0 - 0.5 0. Вычислим коэффициенты суммы (2.6-9):
r r r r -1 -1 0.5 0. T T Cv d B = ; Cv d B = 1 1 2 0.5 0.5 ;
0 r r - 0.5 0. T Cv d B = 3 - 0.5 0. и получим результат, естественно, совпадающий с уже полученным 1 1 1 1 -1 -1 + 1 1 + -1 1.
W (p) = uy p 0 0 p -1 2 1 p +1 -1 Практически без дополнительных выкладок получаем -1 -1 1 1 - 1 t -t w (t) = + e.
y 1 e + 0 0 2 - 1 Интегрируя весовую функцию, получаем матричную переходную функцию 1 t -t t -t (e ) (e ) - t + 2 - 2 + e - t + 2 - e H (t) =.
y 1 t -t t -t (e - 2 + e ) (e - e ) 2 2.6.2. Основные свойства передаточных функций Понятие передаточной функции лежит в основе классической теории автоматического регулирования. В связи с этим ниже перечисляются основные её свойства, используемые при анализе систем автоматического управления.
1. Элемент i -й строки и j -го столбца матричной передаточной функции равен отношению изображения i -й координаты вектора выхода к j -ой координате вектора управления при нулевых начальных условиях:
Y (p) i W (p) =. (2.6-11) ij U (p) j Таким образом, nu Y (p) = (2.6-12) W (p)U (p).
i ij j j =2. Для стационарных объектов с сосредоточенными параметрами элементы матричной передаточной функции - это дробно-рациональные функции комплексной переменной p:
m m-R (p) b p + b p +... + b ij 0 1 m W (p) = =. (2.6.13) ij n n-Q (p) a p + a p +... + a ij 0 1 n 3. По известной передаточной функции легко восстанавливаются соответствующие дифференциальные уравнения. По данным предыдущего примера - p + p + 1 Y (p) = U (p) + U (p).
1 1 2 p(p - 1) p(p - 1) После приведения к общему знаменателю получаем 3 p Y (p)- pY (p) = -p U (p) + pU (p) + U (p) + U (p), 1 1 1 1 1 и в результате имеем &&& & && & y (t) - y (t) = -u (t)+ u (t) + u (t) + u (t).
1 1 1 1 1 4. Знаменатель передаточной функции - это соответствующий характеристический полином. Полюсы передаточной функции - это корни соответствующего характеристического полинома.
5. Поскольку весовая функция является оригиналом для передаточной, то при всех различных полюсах n plt w (t) = e, (2.6.14) C ij l l =где p - полюсы функции;
l m (p - r ) l v R (p ) b ij l 0 v = C = = ; (2.6.15) l n ' Q (p ) a ij l (p - r ) l v v =1,v l b,a - коэффициенты при старших степенях p числителя и знамена0 теля передаточной функции W (p);
ij r - нули W (p).
v ij 6. В физически реализуемых системах порядок числителя m элементарной передаточной функции не может превышать порядка ее знаменателя n.
7. В простейших случаях элементарная передаточная функция может быть непосредственно получена из соответствующего дифференциального уравнения. Например, для динамического звена с уравнением dy(t) du(t) T + y(t) = T dt dt путем перехода к изображениям по Лапласу при нулевых начальных условиях получаем T pY(p) + Y(p) = T pU(p), откуда Y(p) Tp W (p) = =.
U(p) Tp + При описании пассивных электрических цепей передаточные функции могут вычисляться в соответствии с правилами электротехники с использованием полных символических сопротивлений. Так, например, для схемы, приведенной на рис.2.17, С R U U =Y вых R Рис.2.17. Пассивное дифференцирующее звено Y(p) R R R Cp + 2 2 W (p) = = =.
1 R U(p) R + R 1 R R Cp + 1 pC R + R 1 R + R + pC 2.7. Комплексный передаточный коэффициент 2.7.1. Способы определения понятия Комплексный передаточный коэффициент Известно несколько подходов к введению понятия Комплексный передаточный коэффициент. Рассмотрим основные из них.
Формальная замена комплексной переменной в передаточной функции.
Изображения по Лапласу вектора выхода и вектора управления связаны между собой с помощью передаточной функции v v Y(p) =W (p)U(p). (2.7-1) Если в этом равенстве комплексную переменную p принять чисто мнимой величиной p = j, то формально получаем следующее равенство v v Y( j) =W ( j)U( j). (2.7-2) Здесь комплексный передаточный коэффициент W ( j) определяется формально:
W ( j) =W (p)|.
p= j Строго говоря, эта замена не всегда правомерна.
Использование преобразования Фурье Прямое и обратное преобразования Лапласа выглядят следующим образом:
C + j -pt pt Y(p) = y(t)e dt; y(t) = (2.7-3) Y(p)e dp 2j 0 C - j Преобразование Лапласа существует тогда, когда вещественная часть комплексной переменной p удовлетворяет неравенству >.
C Если функция y(t), t [0, ) является односторонней и абсолютно ин тегрируемой, т.е. y(t)dt <, то её абсцисса абсолютной сходимости <0, и можно принять p = j ( = 0). В этом случае прямое преобраC зование Лапласа совпадает с прямым преобразованием Фурье:
- jt Y( j) = y(t)e dt. (2.7-4) Практически столь же просто обратное преобразование Лапласа превращается в обратное преобразование Фурье:
+ j jt y(t) = Y( j)e d( j) 2j - j (2.7-5) + jt y(t) = Y( j)e d.
r r r r r & Таким образом, если x(t) = Ax(t) + Bu(t); y(t) = Cx(t) и если r r r функции x(t), y(t) и u(t) абсолютно интегрируемы, то можно к указанным уравнениям применить не только преобразование Лапласа, но и преобразование Фурье:
r r r jX( j) = AX( j)+ BU( j);
r r - X( j) = ( jE - A) BU( j);
r r X( j) =W ( j)U( j);
x - W ( j) = C ( jE - A ) B. (2.7-6) y -Функция W ( j) = C( jE - A) B называется комплексным передаточy ным коэффициентом, или частотной функцией соответствующего динамического звена или системы. Аналогично передаточной функции, она может быть выражена через левые и правые собственные, векторы матрицы А векторно-матричного дифференциального уравнения этого звена или системы:
v r T n Cv d B i i W ( j) =. (2.7-7) i =1 j i 2.7.2. Реакция динамических звеньев на гармонические воздействия Рассмотрим реакцию системы r r r x(t) = A x(t) + b u(t) со скалярным управлением на гармоническое воздействие U U jt jt m m (2.7-8) u(t) = U Cost = e + e-.
m 2 Каждое из слагаемых последнего выражения вызывает свою реакцию, то есть, r r r x(t) = x (t) + x (t). (2.7-9) 1 В силу линейности рассматриваемых систем применим принцип суперпозиции, и достаточно определить реакцию на первое слагаемое U jt m u (t) = e. (2.7-10) r Ищем x (t) в виде:
o r r X jt x (t) = e, (2.7-11) где o X o o r X, X = M o X 1n o а Xi - комплексные амплитуды по координатам вектора состояния:
o ji X = Xi e. (2.7-12) i max r r Подставим x (t) и u (t) в исходное дифференциальное уравнение и 1 проведём элементарные преобразования:
o o r r r d X 1 X Um jt jt jt e = A e + b e ;
dt 2 2 o o r r r jt jt jt X j e = A X e + b Um e ;
o o r r r X j - A X = b Um ;
o r r - X = ( jE - A) b Um, то есть:
o r X = W ( j) Um, (2.7-13) где матричный комплексный передаточный коэффициент r - W ( j) = ( jE - A) b, что совпадает с (2.7-6).
Аналогичным образом можно получить реакцию на вторую составляюUm jt щую входного сигнала u (t) = e :
o r X = W (- j)Um. (2.7-14) Полная реакция системы на гармоническое воздействие (2.7-8) в соответствии с (2.7-13)), ((2.7-14)) и ((2.7-9) r W ( j)Um jt W (- j)Um jt x(t) = e + e = 2 W ( j) cos(t + ) 1 W ( j) cos(t + ) 2 = Um.
..............
Wn ( j) cos(t + n ) Таким образом, элемент матричной функции W ( j), которая, по понятным теперь причинам, называется частотной функцией, определяется как отношение вынужденной гармонической составляющей (частное решение неоднородного дифференциального уравнения) к гармоническому входному воздействию при условии записи их в символической форме. Комплексный передаточный коэффициент определяет изменение в зависимости от частоты амплитуды и фазы гармонического сигнала при прохождении его от вектора управления до каждой из координат вектора состояния или вектора выхода:
Xi ji max Wi ( j) = e. (2.7-15) Um Модуль W ( j) определяет отношение амплитуд:
Xi max Wi ( j) =, (2.7-16) Um а фаза - сдвиг по фазе между входным и выходным гармоническими сигналами:
arg(Wi ( j)) = i. (2.7-17) 2.7.3. Частотные характеристики Элементы матричной частотной функции связывают между собой соответствующие координаты векторов входа и управления:
Yi ( j) Wik ( j) =. (2.7-18) Uk ( j) Такие скалярные функции принято иллюстрировать графическими частотными характеристиками:
- амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ), построенной в полярной системе координат {модуль, фаза}; можно рассматривать и соответствующую декартову систему координат, по осям которой откладываются вещественная и мнимая части годографа вектора W ( j);
- логарифмическими частотными характеристиками (ЛЧХ) - амплитудно-частотной (ЛАЧХ), построенной в осях |W ( j) | в децибелах, - в логарифмическом масштабе, и фазочастотной (ЛФЧХ), построенной в осях фаза - в логарифмическом масштабе Модуль частотной функции в децибелах определяется в соответствии с выражением |Wik ( j)| = 20lg|Wik ( j)|. (2.7-19) 4p +1 k В качестве примера для звена W (p) = приведены 0.08p +1 p АФХ (рис.2.18) и ЛЧХ (рис.2.19).
+ j -1 =8 + Рис 2.18. Амплитудно-фазовая характеристика Рис 2.19. Логарифмические амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики В учебной литературе по теории автоматического управления достаточно подробно рассматривается методика построения частотных характеристик типовых или более общего вида динамических звеньев и систем.
Поэтому в настоящем пособии эти вопросы не затрагиваются.
2.8. Графическое представление объектов и систем управления Графическое изображение с использованием функциональных блоков, передаточных функций, сигналов и их изображений называют структурными схемами. Для представления систем в виде совокупности отдельных функционально определенных блоков (подсистем) используются функциональные схемы.
2.8.1. Соглашение об обозначениях Элементарно-+\.е динамическое звено (система) с передаточной функцией W (p) представлено на рис 2.20, где Y (p) Y (p) вых вх W (p) Рис. 2.20. Динамическое звено Yвх (p) - изображение по Лапласу входного сигнала;
Yвых (p) - изображение по Лапласу выходного сигнала;
W (p) - передаточная функция звена;
Связь между элементами выражается уравнением:
Yвых (p) = Yвх (p)W (p).
Варианты изображения элементов сравнения, или сумматоров на структурных схемах представлены на рис.2.UU1 U U U U 3 3 + - U 2 U U Рис. 2.21. Элементы сравнения, сумматоры Все три варианта равносильны и описываются уравнением:
U = U - U.
3 1 Если на вход сумматора подается несколько входных сигналов, то он изображается в виде, представленном на рис.2.22 (три входных сигнала).
U U U U Рис. 2.22. Сумматор с тремя входными сигналами Варианты элементов умножения на структурных схемах представлены на рис 2.23. Оба вида равносильны в применении и описываются уравнением: U = K U.
2 U U U U K K Рис. 2.23. Элементы умножения В качестве примера функциональной схемы на рис 2.24 представлена функциональная схема системы стабилизации крена ракеты. На рисунке использованы обозначения:
БЦВМ - бортовая цифровая вычислительная машина;
УМ - усилитель мощности;
РМ - рулевая машина;
ЦАП - цифро-аналоговый преобразователь;
АЦП - аналого-цифровой преобразователь;
- положение управляющего органа (сопло, руль);
- угол крена;
& - угловая скорость крена;
Возмущающие факторы:
W - ветер;
T - окружающая температура;
PAT - атмосферное давление;
r r - вектор командных сигналов.
P AT W T Датчик угла Объект & (ракета) Датчик угловой скорости АЦП РМ УМ r r БЦВМ ЦАП Рис. 2.24. Функциональная схема угловой стабилизации ракеты 2.8.2. Структурные схемы и графы стационарных систем 2.8.2.1. Типовые соединения многомерных линейных систем Одной из характерных задач анализа САУ является задача преобразования и упрощения исходных структурных схем. При этом используются правила преобразования простейших, типовых соединений, к которым относят параллельное (согласно-параллельное) - рис 2.25, последовательное - рис 2.26, и встречно-параллельное, когда одно динамическое звено включено в обратную связь другому - рис 2.27. Для каждой из этих ситуаций нетрудно найти передаточную функцию эквивалентного звена.
Пусть исходные динамические звенья имеют следующее описание:
r r r r r & x (t) =A x (t) + B u (t); y (t) =C x (t) ;
1 1 1 1 1 1 1 (2.8-1) r r r r r & x (t) =A x (t) + B u (t); y (t) =C x (t).
2 2 2 2 2 2 2 Параллельное соединение (рис. 2.25).
В случае параллельного соединения звеньев введем в рассмотрение следующие очевидные равенства из блочных векторов и матриц r r r & A 0 x B r r x x 1 1 1 = + u; y =[C C ].(2.8-2) r r r 1 & 0 A x B x x 2 2 В соответствии с этим можно записать выражение для эквивалентной передаточной функции соединения r r u y 1 I r xr r y u II r r r xu y 2 Рис. 2.25. Параллельное соединение - W (p) =C(pE - A) B, (2.8-3) Э где:
A 0 B 1 A = B C C ]. (2.8-4) 1 ; = ; =[C 0 A B 2 Учитывая, что r r r y = y + y, 1 а r r r r Y (p) =W (p)U(p); Y (p) =W (p)U(p), 1 1 2 получаем W (p) =W (p) +W (p). (2.8-5) Э 1 С другой стороны, передаточную функцию эквивалентного звена можно расписать следующим образом:
-A 0 B 1 -WЭ(p)=C(pE-A) B=[C C ]pE 1 = 0 A B 2 -pEn -A 0 B 1 1 =[C C ] 1, 0 pEn -A B 2 2 где: n,n - размерности соответствующих единичных матриц.
1 Продолжим преобразования:
-(pEn - A ) 0 B 1 1 WЭ(p) =C = - 0 (pEn - A ) B 2 2 -n1 =[C C ](pE - A ) = 1 ( -pEn - A ) 2 -1 - C (pEn - A ) B +C (pEn - A ) B.
1 1 1 1 2 2 2 Таким образом, в результате получаем:
W (p) = W (p) +W (p);
Э 1 (2.8-6) C I (p) B C I (p) B 1 1 1 2 2 W (p) = +, Э Q (p) Q (p) 1 где - соответствующие присоединенные матрицы для матриц А и I,I 1 А ;
Q (p), Q (p) - характеристические полиномы первого и второго 1 звеньев, то есть:
Q (p) = (p) = det(pE - A ) 1 A1 n1 Q (p) = (p) = det(pE - A ) 2 A2 n 2 Характеристический полином эквивалентной системы (матрицы А) имеет вид:
Q(p) = Q (p) Q (p). (2.8-7) 1 Отсюда следует, что нули характеристического полинома (полюсы) эквивалентной передаточной функции соединения состоят из нулей характеристических полиномов (полюсов передаточных функций) первого и второго звеньев.
Таким образом, если каждое из параллельных звеньев устойчивы, то и всё соединение в целом устойчиво; если в соединении присутствует хотя бы одно неустойчивое звено, то соединение в целом неустойчиво (связь между характером полюсов передаточной функции и устойчивостью соответствующей системы будет обсуждаться в п. 2.9).
Последовательное соединение (рис. 2.26).
Pages: | 1 | ... | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ... | 18 | Книги по разным темам