Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 |   ...   | 41 |

В остальных случаях (если данная структурированная система SF согласована и, следовательно fSF 0, этот выбор совершенно произволен, если только мы не определим некий критерий и не потребуем, чтобы система, выбранная из реконструктивного семейства, наилучшим образом удовлетворяла этому критерию. В этом случае задача выбора превращается в задачу оптимизации с последующим произвольным выбором из лучших, с точки зрения данного критерия, систем. Если исполнительный критерий оптимизации обеспечивает единственность оптимизации, то из данной задачи исключается элемент произвольности.

Критерии оптимизации всегда используются исходя из неких фундаментальных соображений и, следовательно, определяются этими соображениями. С эпистемологической точки зрения самым существенным соображением для выбора обобщенной системы является ее максимальная независимость со всех точек зрения, за исключением только условия для проекций (Г.27). Более конкретно это соображение можно сформулировать так: для заданной структурированной системы из реконструктивного семейства следует выбирать такую обобщенную систему, которая опирается на всю информацию, содержащуюся в этой структурированной системе, но только на эту информацию. Такую обобщенную систему можно было бы назвать несмещенной реконструкцией. Это система, реконструированная по структурированной системе без смещений, то есть, с одной стороны, использующая всю имеющуюся информацию, а с другой, - не использующая никакой другой дополнительной информации.

Выбор несмещенной реконструкции, по существу, представляет собой индуктивный вывод. Он может быть описан как следующая оптимизационная задача.

По заданной структурированной системе с поведением SF из множества функций реконструктивного семейства FSF выбрать такую функцию поведения fSF, для которой мера нечеткости (шенноновская энтропия для вероятностных систем или U-нечеткость для возможностных) была бы максимальной при условии, что выполняются ограничения на проекции (Г.27).

Для вероятностных систем эта задача оптимизации фигурирует под названием принцип максимума энтропии.

Известно, что несмещенная реконструкция единственна и для вероятностных, и для возможностных систем. Она определяет самое слабое из возможных ограничений на переменные, соответствующие заданной структурированной системе. Для возможностных систем fSF это максимальное распределение из реконструктивного семейства FSF, или, другими словами, это распределение из множества распределений FSF, которое представляет наибольшее нечеткое подмножество всех полных состояний переменных систем.

Несмотря на то, что несмещенная реконструкция эпистемологически наиболее существенна, поскольку она опирается на один-единственный хорошо обоснованный принцип индуктивного вывода, для других целей могут лучше подойти другие реконструкции. Совершенно естественным и важным примером этого может послужить выбор обобщенной системы, для которой минимизирована наибольшая возможная ошибка. Под ошибкой здесь имеется в виду расстояние между распределением (вероятностным или возможностным) реконструированной обобщенной системы и распределением истинной системы. Такого типа реконструкция - это реконструкция с наименьшим риском. Конкретная формулировка полученной оптимизационной задачи зависит от того, какой тип расстояния используется. Особую важность из всех возможных типов расстояния имеют те, что оценивают потерю информации.

Далее в этой главе, в особенности в разделах Г.7 и Г.9, мы рассмотрим такие типы расстояний.

ПРОЦЕДУРЫ СОЕДИНЕНИЯ Одним из важнейших результатов, связанных с задачей идентификации, является то, что несмещенная реконструкция может быть определена с помощью относительно простой процедуры, не включающей решение описанной выше задачи оптимизации (задачи максимизации шенноновской энтропии или U - нечеткости при заданных ограничениях). Эта процедура, называемая процедурой соединения, основана на вероятностном или возможностном варианте операции соединения довольно простым образом комбинирующей функции поведения элементов заданной структурированной системы.

Рассмотрим две функции поведения f : A B [0,1], f : B C [0,1], определенные на множествах состояний А, В, С, смысл которых мы поясним ниже. Обратите внимание, что в множество В входит область определения обеих функций. Соединение 1f и 2f, обозначаемое как lf *2f, это функция 1 f f : A B C [0,1], свойства которой зависят от природы функций 1f и 2f. Если это функции распределения вероятностей, то 1 2 1 [ f f ]( a,b,c ) = min[ f ( a,b ), f ( c | b )], (Г.33) где 2f(c|b) Ч условная вероятность с при.заданном b; если это функции распределения возможностей, то 1 2 1 [ f f ]( a,b,c ) = min[ f ( a,b ), f ( b,c )] (Г.34) Обратите внимание, что в отличие от (Г.33) в (Г.34) не используются условные возможности. Дело в том, что тут используется соотношение 1 2 1 min[ f ( a,b ), f ( с |b ) = min[ f ( a,b ), f ( b,c )], которое легко может быть доказано.

Пусть операция соединения применяется к двум элементам структурированной системы с выборочными переменными из множеств 1S и 2S и функциями поведения lf и 2f. Тогда необходимо преобразовать области определения функций 1f и 2f к виду А В и ВС соответственно, где А - множество совокупных состояний переменных, входящих только в 1 первый элемент, то есть переменных из множества 1S - ( S S );

В - множество совокупных состояний переменных, входящих в оба эле1 мента, то есть переменных из S S;

С - множество совокупных состояний переменных, входящих только во 1 второй элемент, т. е. переменных из множества 2S - ( S S ).

Для определения несмещенной реконструкции данной структурированной системы операция соединения должна быть выполнена для пар элементов этой системы. При каждом ее выполнении два элемента сливаются (объединяются) в один больший элемент новой структурированной системы.

Пусть операция соединения всегда выполняется в таком порядке, чтобы результат ранее выполненных операций соединения входил в операцию соединения в качестве второго элемента. Эта процедура заканчивает свою работу тогда, когда все элементы сливаются в одну обобщенную систему.

Будем называть эту процедуру базовой процедурой соединения. Прежде чем ее формализовать, нужно рассмотреть два вырожденных случая, чтобы все содержательные ситуации были описаны. В первом случае все переменные из первого элемента (соответствующего 1f) могут быть включены во второй элемент (соответствующий 2f). Это может быть, поскольку, вообще говоря, второй элемент получен в результате выполнения неких операций соединения. В этом случае множество А является пустым, a lf принимает вырожденный вид f : B [0,1].

Во втором случае элементы не соединены. Это значит, что множество В является пустым, а функции поведения имеют вырожденный вид f : A [0,1], f : B [0,1].

Обратите внимание на то, что вследствие требования неизбыточности для структурированных систем (смотри раздел Г.3) и договоренности о том, что результат предшествующих операций соединения всегда выступает как f, множество С не может быть пустым. Для вероятностных систем вырожденные операции соединения определяются так:

1 2 1 [ f f ]( b,c )= f ( b ) f ( c | b ) (Г.35) для А=0 и 1 2 1 [ f f ]( a,c )= f ( a ) f ( c ) (Г.36) для В=0; для возможностных систем они определяются следующим образом:

1 2 1 [ f f ]( b,c ) = min[ f ( b ), f ( b,c )], (Г.37) 1 2 1 [ f f ]( a,c ) = min[ f ( a ), f ( c )]. (Г.38) Через lf *2f будем обозначать в зависимости от контекста как обычную, так и вырожденную операцию соединения. Тогда базовая процедура соединения описывается следующим алгоритмом.

Базовая процедура соединения. Дана локально согласованная структурированная система с поведением SF (вероятностная или возможностная) с x x функциями поведения f (x Nq). Для определения соединения f для всех xNq:

1) положить k=2 и f = 1f ;

2) произвести соответствующую группировку аргументов kf и f и выполk нить соответствующий вариант операции соединения f f f (операция может быть вероятностной или возможностной, обычной или вырожденной);

3) если k < q, то k+1 k и перейти на шаг 2;

4) стоп.

Можно доказать следующее утверждение: если базовая процедура соединения применяется к согласованной возможностной системе SF, то в результате всегда получается несмещенная реконструкция fSF (максимальное для реконструктивного семейства FSF распределение возможностей). Однако если эта процедура применяется к вероятностной системе, то несмещенная (максимум энтропии) реконструкция получается только для определенного класса структурированных систем Ч так называемых ациклических структурированных систем, описываемых в разделе Г.7.

По полученному результату, не определяя типа данной структурированной системы можно определить результат применения базовой процедуры соединения f несмещенную реконструкцию или нет. Если f удовлетворяет условию для проекции x x [ f S ]= f для всех xNq, то это несмещенная реконструкция, в противном случае f не соответствует данной структурированной системе и должна быть уточнена с помощью следующей итеративной процедуры соединения.

Итеративная процедура соединения. Дана локально согласованная структурированная система с поведением SF с вероятностными функциями поведения jf (jN0,q-1). Дана также функция f, полученная с помощью базовой процедуры соединения, примененной к SF, и число [0, 1]; требуется с точностью до определить функцию поведения несмещенной реконструкции:

1) присвоить j=0, i=1 и f0 = f;

j 2) сделать соответствующее разбиение аргументов f и fi-1 и выполнить ~ j операцию соединения f f f для вырожденного вида (Г.35);

i-1 i 3) если i 0 (mod q), то i + 1 i, j+1 (mod q) j, и перейти на 2;

~ 4) если | f ( c ) - f ( c )| > для какого-то сС, то i+1 i, j+1 (mod q) j, i i-q и перейти на 2;

5) конец.

Если после выполнения итеративной процедуры соединения f ( c ) = 1, то i c SF SF f ( c ) - f ( c ) f ( c ) + i для всех c C ; в противном случае данная структурированная система SF глобально не согласована (смотри раздел Г.11) и реконструкции SF не существует, то eсть FSF = 0, и, следовательно, SF бессодержательна.

Пример Г.16. Рассмотрим структурированную систему из примера Г.11, определенную в таблице Г.3. Сначала используем для определения несмещенной реконструкции вероятностный вариант базовой процедуры соединения. В первых столбцах таблице Г.10 приводятся промежуточный результат f*1f и окончательный результат f = 3f*(2f*1f). Легко видеть, что окончательный результат f не соответствует заданной структурированной системе. Так, например, [f{v1, v2}](0 0) =0.312195+0.111628=0.423823 не равно 1f(0 0)=0.4, так что требование для проекций (Г.27) не выполняется. Следовательно, необходимо использовать итеративную процедуру соединения. Последовательность порождаемых процедурой функций поведения сходится к несмещенной реконструкции. Она приводится в таблице Г.10 для i=1, 2,...,21.

Таблица Г.10 - Последовательность функций поведения, полученных с помощью базовой и итеративной процедур соединения, пример Г.Базовая процедура соединения Итеративная процедура соединения 2 v1 v2 v3 f*1f f*(2f*1f) i = 1 i = 2 i = 3 i = 4 i = 0 0 0 0,26 0.312195 0.294647 0.302908 0.309934 0.304982 0.0 0 1 0.15 0.111628 0.105353 0.099904 0.096561 0.095018 0.0 1 0 0.075 0.087805 0.095379 0.088024 0.090066 0.092059 0.0 1 1 0.225 0.188372 0.204621 0.210484 0.203439 0.207941 0.1 0 0 0.13 0.084211 0.094444 0.097092 0.089019 0.091490 0.1 0 1 0.06 0.094118 0.105556 0.100096 0.105580 0.108510 0.1 1 0 0.025 0.015789 0.012977 0.011976 0.010981 0.010418 0.1 1 1 0.075 0.105882 0.087023 0.089516 0.094420 0.089582 0. i = 6 i = 7 i = 8 i = 9 i= 10 i = 11 i= 12 i= 0.309608 0.308036 0.308915 0.309511 0.309002 0.309289 0.309481 0.0.092433 0.091964 0.091444 0.091148 0,090998 0.090829 0.090734 0.0.090392 0.091011 0.090314 0.090489 0.090688 0.090462 0.090519 0.0.207567 0.208989 0.209528 0.208852 0.209312 0.209486 0.209266 0.0.090079 0.090826 0.091085 0.090388 0.090626 0.090711 0.090486 0.0.108277 0.109174 0.108556 0.109086 0.109374 0.109171 0.109343 0.109*0.009921 0.009761 0.009686 0.009612 0.009561 0.009538 0.009514 0.0.091723 0.090239 0.090472 0.090914 0.090439 0.090514 0.090657 0. i = 14 i = 15 i = 16 i = 17 i = 18 i = 19 i= 20 i = 0.309409 0.309472 0.309417 0.309448 0.309469 0.309451 0.309461 0.0.090630 0.090599 0.090583 0.090565 0.090555 0.090549 0.090543 0.0.090510 0.090528 0.090550 0.090525 0.090531 0.090538 0.090530 0.0.209473 0.209401 0.209450 0.209469 0.209445 0.209462 0.209468 0.2C0.090591 0.090518 0.090543 0.090552 0.090528 0.090536 0.090539 0.0.109370 0.109427 0.109457 0.109435 0.109454 0.109464 0.109457 0.0.009490 0.009482 0.009477 0.009476 0.009472 0.009470 0.009470 O.Q0.090527 0.090573 0.090523 0.090531 0,090546 0.090530 0.090532 0.Результаты проверки на сходимость Ч шаг 4Чалгоритм процедуры соединенияЧ приведены в таблице Г.11. Отсюда, если >0.15067, то выполнение процедуры завершится при i=3; если >0.004128, то выполнение завершится при i = 6 и так далее. Так как =0.00002, то процедура завершится при i = 21.

Таблица Г.11. Проверка на сходимость Ч шаг 4 итеративной процедуры соединения из примера Г.| f ( c ) - f |,i = 0(mod q ) i i-q ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ v1 v2 v3 i = 3 i = 6 i = 9 i = 12 i = 15 i = 18 i = 0 0 0 0.002261 0.000326 0.000097 0.000030 0.000009 0.000003 0.0 0 1 0.015067 0.004128 0.001285 0.000414 0.000135 0.000044 0.0 1 0 0,002261 0.000326 0.000097 0.000030 0.000009 0.000003 0.0 1 1 0.015067 0.004128 0.001285 0.000414 0.000135 0.000044 0.1 0 0 0.004808 0.001060 0.000309 0.000098 0.000032 0.000010 0.1 0 1 0.011462 0.002697 0.000809 0.000257 0.000084 0.000027 0.1 1 0 0.004808 0.001060 0.000309 0.000098 0.000032 0.00001 0.1 1 1 0.011462 0.002697 0.000809 0.000257 0.000084 0.000027 0.Г.7 Задача реконструкции Разбиение воспринимаемого мира на части удобно и, возможно, необходимо, но неизвестно точно, как, оно должно быть сделано.

Г. Бейтсон Задача реконструкции может быть сформулирована следующим образом: дана система с поведением, рассматриваемая как обобщенная система;

требуется определить, какие наборы ее подсистем, а каждый такой набор рассматривается как гипотетическая реконструкция, подходят для реконструкции заданной системы с заданной точностью, причем реконструкция должна производиться только по той информации, что содержится в этих подсистемах.

Укажем, прежде всего, на то, что согласно такой формулировке задачи понятие реконструкция становится более конкретным: при реконструкции используется вся информация, полученная из подсистем, но только она. Это означает, что требуется, чтобы реконструкция была несмещенной в том смысле, как это определилось в разделе Г.6, и, следовательно, можно использовать для ее получения соответствующую процедуру соединения.

Pages:     | 1 |   ...   | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 |   ...   | 41 |    Книги по разным темам