Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ... | 54 | 30. Anjing Qu. The third approach to the history of mathematics in China // Proceedings of the Int. Congr. of Mathematicians. Being 2002. Vol.III. Being:
Higher Education Press, 2002. P. 947958.
3. Bourbaki: Une socit secrte de mathmaticiens // Pour la science. 2000.
№ 2.
32. Siegmund-Schultze R. Military Work in Mathematics 9 4Ц - 945: an Attempt at an International Perspective. In: [24, p. 2382].
М 33. Solow R. How did economics get that way and what way did it get // Daedalus. Fall 2005. P. 87Ц - 00.
34. Sontag S. Illness as Metaphor, and AIDS and its Metaphors. NY: Picador; Farrar, Strauss and Giroux, 990.
35. Truth in Mathematics / Ed. by H. G. Dales and G. Olivieri. Oxford: Clarendon Press, 998.
36. Turnbull H. W. The great mathematicians. In: [37, vol., p. 75Ц - 68].
37. The World of Mathematics. A small library of the literature of mathematics from AТh-mos the Scribe to Albert Einstein, presented with commentaries and notes by James R. Newman. Vols. 3. New York: Simon and Schuster, 956.
Математика как метафора Порядок. Е Я отчасти знаю, что это такое и как мало людей это понимают. Ни одна наука, созданная людьми, не может его соблюсти. Св. Фома не смог его соблюсти. Математика его соблюдает, но она бесполезна при всей своей глубине.
Б. Паскаль. Мысли Введение Когда в 902 году вышла в свет книга Анри Пуанкаре Наука и гипотеза, она стала бестселлером. Первая глава этой книги была посвящена природе математического рассуждения. Пуанкаре обсуждал старую философскую проблему: можно ли свести математическое знание к длинным цепочкам тавтологических преобразований некоторых основных (лсинтетических) истин или оно содержит в себе чтото сверх этого Пуанкаре отстаивал точку зрения, согласно которой математики обязана своей творческой силой произвольности выбора первоначальных предположений и определений, которые затем корректируются с помощью сравнения выводов из них со строением наблюдаемого мира.
Похоже, что нам гораздо меньше, чем современникам Пуанкаре, интересны философские тонкости. И дело тут не в том, что наука как таковая стала менее популярна: такие книги, как Первые три минуты С. Вайнберга или Краткая история времени Стивена Хокинга выпускаются большими тиражами, а доброжелательные рецензии на них печатаются в массовых газетах. Изменилось общее настроение.
Парадоксальность новых физических теорий воспринимается менее драматически и более прагматично. (Восприятие изобразительного искусства претерпело ту же эволюцию: первые выставки импрессионистов были подобны духовной революции, а вот каждая очередная волна послевоенного авангарда немедленно приобретала характерные черты академизма.) Впервые опубликовано: Mathematics as metaphor // Proc. of ICM. Kyoto, 990. Vol. II.
P. 665Ц - 67. The AMS and Springer Verlag. Перевод с английского С. М. Львовского.
М В такой атмосфере жаркие дискуссии прошлых дней о кризисе оснований математики и природе бесконечности кажутся почти бессмысленными, и уж заведомо Ц - ненужными. Гораздо живее публика реагирует на высказывания по поводу среднего образования или нового поколения компьютеров.
Именно поэтому я решил представить вниманию читателя непритязательное эссе, в котором наша наука рассматривается как специализированный диалект естественного языка, а ее функционирование Ц - как частный случай феномена речи. Из этого подхода вытекают и некоторые предложения, касающиеся школьного и университетского образования.
Метафоричность Слово метафора будет использоваться нами в нетехническом смысле, который лучше всего поясняется следующими цитатами из книги Дж. П. Карса Конечные и бесконечные игры:
Метафора есть соединение похожего с непохожим, при котором одно не может превратиться в другое.
В своей основе всякий язык имеет характер метафоры, поскольку независимо от своих намерений он всегда остается языком и тем самым совершенно непохожим на то, что он описывает.
На невозможности высказать природу основана сама возможность существования языка.
Рассматривая математику как метафору, я хочу подчеркнуть, что интерпретация математического знания является актом в высшей степени творческим. В некотором смысле математика Ц - это роман о природе и человечестве. Точно сказать, чему именно нас учит математика, невозможно так же, как невозможно сказать, чему нас учит Война и мир. Само это обучение погружено в процесс рефлексии по его поводу.
Может показаться, что это мнение идет вразрез с освященной временем традицией применения математики к научным и техническим вычислениям; на самом деле я всего лишь хочу восстановить некоторый баланс между технологической и человеческой сторонами математики.
Два примера. Позвольте мне проиллюстрировать метафорический потенциал математики на двух разнородных примерах: колмогоровской сложности и теоремы о диктаторе К. Эрроу.
I. Колмогоровская сложность натурального числа N Ц - это длина кратчайшей программы P, порождающей N, или длина кратчайшего 54 Ч I. М кодового представления для N. Читателю предлагается представить себе способ кодирования с помощью частично рекурсивной функции f (P), аргументы и значения которой Ц - целые числа. Теорема Колмогорова гласит, что среди таких функций существуют максимально экономичные в следующем смысле: если Cf (N) Ц - наименьшее значение P, для которого f (P) = N, то C (N) const Cg(N), где константа f зависит от f и g, но не от N.
Поскольку P можно восстановить по его двоичной записи, длина Kf (N) кратчайшей программы, порождающей N, ограничена числом log2 C (N). Эта функция (точнее говоря, класс функций с точностью f до прибавления ограниченного слагаемого) и называется колмогоровской сложностью.
Во-первых, K(N) log N + const, что хорошо согласуется с историческим успехом позиционных систем счисления, снабдивших нас программами порождения чисел, имеющими логарифмическую длину. Тем не менее, существуют сколь угодно большие числа, колмогоровская сложность которых гораздо меньше, чем длина их записи: например, K(10N) K(N) + const. Очевидно, что даже когда мы пользуемся большими числами, мы ограничиваемся числами относительно небольшой колмогоровской сложности. Даже десятичные приближения к числу, которые, возможно, являются длиннейшими однозначно определенными числами из всех, что когдалибо выписывали математики, не являются сложными по Колмогорову, поскольку K([10N ]) log N + const. Вообще говоря, низкая колмогоровская сложность равносильна высокой степени организованности.
С другой стороны, почти всякое число N имеет сложность, близкую к log N. Например, если f (P) = N для оптимальной f, то K(P) эквивалентно log P. Такие целые числа обладают многими замечательными свойствами, обычно связываемыми с понятием случайности.
Во-вторых, колмогоровскую сложность легко определить для дискретных объектов, не являющихся числами, например, для русских или английских текстов. Следовательно, можно более или менее однозначно измерить сложность Войны и мира: неопределенность связана только с выбором оптимального метода кодирования, и представляется, что при выборе среди небольшого числа разумных способов неопределенность будет мала.
Вопрос: является ли Война и мир высокоорганизованным или почти случайным комбинаторным объектом В-третьих, колмогоровская сложность является невычислимой функцией. Точнее говоря, если f оптимальна, то не существует рекурсивМ ной функции G(N), отличающейся от C(N) на exp(O(1)). Можно только оценить сложность сверху сложность вычислимыми функциями.
Я чувствую, что понятие колмогоровской сложности следует иметь в виду при любом обсуждении проблемы человеческого знания.
Коль скоро наши знания имеют символическое выражение (словесное, цифровое и т. п.), существуют физические ограничения на объем информации, которую можно хранить и которой можно пользоваться. Мы всегда полагаемся на способы сжатия информации;
колмогоровская сложность ставит абсолютную границу эффективности этих методов. Когда, например, мы говорим о законах физики, выраженных уравнениями движения, мы имеем в виду, что точное описание поведения системы можно получить, переведя эти законы в компьютерную программу. Однако сложность тех законов, которые мы можем открыть и которыми мы можем пользоваться, заведомо ограничена. Можем ли мы быть уверены, что не существует законов произвольно высокой сложности, управляющих даже лэлементарными системами Здесь наше обсуждение полностью теряет математический характер, и поскольку аудитория ориентирована на математику, в этом месте я вынужден остановиться. Впрочем, такова судьба любой метафоры.
II. Теорема Эрроу о диктаторе была открыта около 950 года.
С математической точки зрения это комбинаторное утверждение, описывающее некоторые функции со значениями в бинарных отношениях. С интуитивной точки зрения это формализация следующей социальной проблемы. Предположим, что законодатель хочет установить правила выработки коллективного решения, основывающиеся на предпочтениях отдельных субъектов. Если речь идет о выборе из двух альтернатив, то стандартный способ Ц - принимать решения большинством голосов. Обычно, однако, альтернатив больше двух (вспомним о задаче распределения средств), так что голосующих можно просить упорядочить эти альтернативы в порядке предпочтения. Каков должен быть алгоритм, получающий коллективное предпочтение из множества индивидуальных Эрроу рассматривал алгоритмы, удовлетворяющие некоторым естественным и демократическим условиям (например, если каждый ставит A выше B, то и общество ставит A выше B). Тем не менее, Эрроу обнаружил, что если альтернатив больше двух, то единственный способ найти решение Ц - выбрать одного из голосующих (лдиктатора) и постановить, что его предпочтения совпадают с общественными. (На самом деле это только одна из версий теоремы Эрроу, полученная позднее. Кроме того, эта теорема относится к случаю конечного общества; в бесконечном слу56 Ч I. М чае решения можно принимать с помощью ультрафильтров, которые получили подобающий титул правящих иерархий.) В некотором смысле эта теорема объясняет точное содержание идеи общественного договора по Ж. -Ж. Руссо.
Фундаментальная внутренняя противоречивость представления об идеальном демократическом выборе может быть проиллюстрирована следующим рассказом о трех избирателях, имеющих три альтернативы. В рассказе речь идет о трех богатырях (в России так называли странствующих рыцарей) на перепутье, читающих надпись на камне. Ничего хорошего эта надпись не обещает: там сказано, что кто пойдет налево, потеряет меч, кто пойдет направо, потеряет коня, а кто пойдет прямо, тот сам погибнет. Богатыри спешиваются и собираются на совет. Самого молодого и горячего зовут Алеша Попович, самый старший и мудрый Ц - Добрыня Никитич, а средний брат Ц - простой крестьянин Илья Муромец. Алеша ценит свой меч выше, чем своего коня, а своего коня Ц - выше, чем свою жизнь; Добрыня больше всего дорожит своей жизнью, затем мечом, и только затем Ц - конем; Илья предпочитает своего коня своей жизни, а свою жизнь Ц - своему мечу.
Как может заметить читатель, все три порядка индивидуальных предпочтений получаются один из другого циклическими перестановками. В результате этого можно большинством голосов выбрать между любыми двумя альтернативами из трех, но эти три выбора в совокупности несовместны: получить вполне упорядоченный список с помощью демократической процедуры не удается. Тяжело вздохнув, богатыри возлагают бремя выбора на Добрыню Никитича.
Сообщает ли нам теорема Эрроу что-то, чего мы не знали ранее Я полагаю, что да, при условии, что мы готовы к ее серьезному обсуждению: если мы готовы аккуратно рассматривать ее комбинаторное доказательство, представлять себе, чему в жизни соответствуют различные предположения и элементарные логические шаги в доказательстве Ц - короче говоря, если мы готовы уточнить наше неточное воображение с помощью жесткой логики математического рассуждения. Например, мы сможем лучше понимать некоторые трюки политиков и некоторые ловушки, в которые может легко (и даже с воодушевлением) попасть общество (одна из таких ловушек Ц - принимать без возражений список альтернатив, выдвигаемый правящими кругами, тогда как основной частью процесса принятия решения было именно составление этого списка).
На этом этапе мы переходим к основной теме нашего обсуждения: что отличает математическую речь от обыденной, почему окаМ залось, что паскалевский порядок управляет нашей символической деятельностью, и действительно ли она бесполезна при всей своей глубине.
. Язык и математика Очень интересный этап в истории взаимодействия математики с гуманитарными науками начался около тридцати лет тому назад вместе с первыми серьезными попытками автоматического перевода.
Эти попытки окончились тяжелой неудачей Ц - тяжелой, по крайней мере, для тех, кто считал, что никаких принципиальных трудностей в этом деле нет и остается только преодолеть технические проблемы, связанные исключительно с объемом обрабатываемой информации.
Иными словами, энтузиасты автоматического перевода были убеждены, что перевод основан на не слишком сложном алгоритме, который остается только выписать в явном виде и перевести в компьютерную программу.
Это убеждение Ц - хороший пример математической метафоры (а на самом деле Ц - частный случай компьютерной метафоры, используемой в науках о человеческом мышлении).
Эта метафора оказалась чрезвычайно полезной для теоретической лингвистики: она заставила лингвистов описывать словарь, семантику, морфологию и синтаксис естественных языков с невиданной ранее эксплицитностью и полнотой; в рамках этой программы был развит целый ряд совершенно новых понятий и инструментов.
И тем не менее успехи автоматического перевода были (и остаются) скромными. Оказалось, что естественная письменная речь Ц - крайне неудобные исходные данные для любого алгоритма, предназначенного для перевода или даже логического вывода. (Я добавляю это уточнение, поскольку в качестве материала для, например, статистических исследований человеческая речь ничего необычного из себя не представляет).
Pages: | 1 | ... | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ... | 54 | Книги по разным темам