Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |   ...   | 54 |

Загадки канторовской шкалы породили целый ряд нерешенных (и в значительной степени неразрешимых) проблем и стали в XX веке основой для множества дискуссий, посвященных и основаниям математики, и эпистемологии. Споры и перебранки о законности канторовских умственных построений привели к тому, что главное достижение его жизни стало и причиной нескольких нервных срывов и депрессий, которые в конце концов свели его в могилу в то самое время, когда Первая мировая война перемалывала последние остатки просвещенческой веры в разум.

Пространство и время. Измерения длины в человеческих масштабах с неизбежностью должны были быть связаны с земельными участками и мотивированы нуждами сельского хозяйства и строительства.

С помощью палки с двумя зарубками или веревочки меру длины можно было переносить с одного места на другое.

Основная евклидовская абстракция Ц - бесконечно жесткая и бесконечно делимая плоскость, с ее скрытой группой симметрий из поворотов и переносов, с ее точками, не имеющими размера, прямыми, беспрепятственно продолжающимися в обе стороны, и идеальными треугольниками и окружностями Ц - была, видимо, рафинированным абстрактным образом древней геодезии. Возможно, евклидовская трехмерная геометрия была ближе к наблюдаемому миру; замечательно, что Евклид систематически создавал и изучал также двух-, одно- и нульмерные абстрактные объекты.

Теорема Пифагора была красиво связана с арифметикой в практике египетских строителей: формулу 32 + 42 = 52 можно перевести 38 Ч I. М Измерение расстояний с помощью Wagen-Wegmesser (прототип современного таксометра) из книги: Pfinzig Methodus geometrica, Nrnberg, в рецепт построения прямого угла с помощью веревки с расположенными на равных расстояниях узлами.

Когда Эратосфен Александрийский (ок. 200 до н. э.) разработал свой метод для первого научного измерения длины в действительно больших масштабах (а именно, размеров Земли), он с большим искусством воспользовался всеми возможностями евклидовой геометрии. Эратосфен заметил, что в полдень в Сиене в день летнего солнцестояния Солнце находилось точно в зените, поскольку его свет достигал дна глубокого колодца. В то же самое время в Александрии расстояние от Солнца до зенита составляло одну пятидесятую часть полной окружности. Кроме этого, использовались еще два результата наблюдений: во-первых, расстояние от Сиены до Александрии, которое было принято равным 5000 греческих стадий (это тоже измерение в большом масштабе; возможно, оно основывалось на времени, необходимом, чтобы преодолеть это расстояние), и во-вторых, утверждение, что Сиена и Александрия лежат на одном меридиане.

Оставшаяся часть эратосфеновского измерения основана на теоретической модели. Земля предполагается круглой, а расстояние от Солнца до ее центра предполагается настолько большим, что солнечные лучи, падающие на Сиену и Александрию, можно считать параллельными.

М Теперь простое рассуждение из евклидовской планиметрии, примененное к сечению Земли, проходящему через Сиену, Александрию и Солнце, показывает, что расстояние между Сиеной и Александрией составляет одну пятидесятую от окружности Земли; тем самым эта окружность составляет 250 000 стадий (современные оценки величины греческой стадии показывают, что это довольно хорошее приближение).

В этом рассуждении неявно подразумевается существование расширенной группы симметрий евклидовой плоскости, включающей, наряду с переносами и поворотами, еще и изменения масштаба, при которых все расстояния одновременно изменяются в одной пропорции. Практическое воплощение этой идеи Ц - карта Ц - было критически важно для огромного количества видов человеческой деятельности, включая географические открытия по всему земному шару.

Внимательный читатель, видимо, уже заметил, что в этом описании (основанном на книге Клеомеда De motu circulari corporum caelestium, датируемой серединой I века до н. э.) неявно участвует и измерение времени. В самом деле, откуда мы знаем, что мы смотрим на Солнце в одно и то же время в Александрии и в Сиене, отстоящей от Александрии на 5000 стадий Самые ранние измерения времени в человеческом масштабе связаны с циклической сменой дня и ночи и нахождением приблизительного положения Солнца в небе. Солнечные часы, о которых упоминают Клеомед и Эратосфен, преобразуют измерение времени в измерение расстояний.

Следующее по масштабу измерение времени связано со сменой времен года и периодичностью религиозных праздников. Чтобы при этом достичь необходимой точности, нужна математическая наблюдательная астрономия. Первоначально она используется для регистрации нерегулярностей годового цикла, то есть, в основном, движения Земли в Солнечной системе. Используемая при этом математика включает вычисления, основанные на интерполяционных методах.

Следующее увеличение масштаба Ц - это хронология листорического времени. Математика сыграла фундаментальную роль при оформлении физической шкалы исторического времени, размеченной приближенной периодичностью вращения Земли вокруг Солнца и другими астрономическими событиями. Однако, в размещении исторических событий на этой шкале математические методы оказались весьма ограниченно применимыми.

Геологическое и эволюционное время возвращают нас к науке:

эволюция геологических структур и жизни прослеживается на ос40 Ч I. М нове развитого понимания физического времени, и это понимание существенно опирается на математику; с другой стороны, изменения, о которых идет речь, происходят настолько постепенно, а свидетельства настолько редки, что точность измерений становится и несущественной, и недостижимой. Кроме массы данных наблюдений, блестящих догадок и сопровождающих все это очень элементарных рассуждений, для датировки требуется еще совсем чуть-чуть математики, а именно, идея, что при радиоактивном распаде остаток распадающегося вещества экспоненциально убывает со временем. Весьма оригинальная версия этой идеи была использована в глоттохронологии Ц - процедуре, позволяющей датировать древние состояния языков (праязыки), реконструированные методами сравнительной лингвистики.

Уже сам по себе размер шкалы геологического и эволюционного времени оказался, когда она была установлена и научно разработана, вызовом догматам (христианской) веры: несоответствие с предполагаемым временем, прошедшим от сотворения мира, было чудовищным.

Измерения времени в малых масштабах стали возможны с изобретением часов. Солнечные часы, использующие относительную регулярность видимого движения Солнца, позволяют подразделить сутки на более мелкие части. Водяные и песочные часы отмеряют фиксированные отрезки времени; при этом используется идея о воспроизводимости некоторых физических процессах в специально созданных условиях. Механические часы добавляют к этому искусственное создание периодических процессов. Современные атомные часы основаны на тонком использовании периодических процессов на микроуровне.

И все же время остается загадкой: мы не можем в нем свободно перемещаться, как в пространстве, и оно тянет нас неизвестно куда.

Вот как бл.Августин напоминает нам об этой вечной ненаучной м уке:

Что я измеряю время, это я знаю, но я не могу измерить будущего, ибо его еще нет; не могу измерить настоящего, потому что в нем нет длительности, не могу измерить прошлого, потому что его уже нет.

Что же я измеряю (Исповедь, книга XI, XXVI.33; перевод М. Е. Сергеенко).

Случай, вероятность, финансы. Коннотации слов случайность и вероятность в обыденном языке имеют мало общего с вероятностью в математическом смысле. В [6] приведен интересный анализ семантики соответствующих слов в нескольких древних и современных европейских языках: в основном эти слова связаны с идеей человеческого доверия (или недоверия) в неясных ситуациях. Измерения вероятности и математическая обработка результатов этих измереМ ний относятся не к доверию как таковому, являющемуся психологическим феноменом, но к объективным численным характеристикам реальности, первоначально тесно связанным с подсчетом.

Если колода из 52 карт хорошо перетасована, то вероятность вытянуть пиковую даму равна 1/52. Элементарная, но интересная математика возникает при расчетах вероятностей различных комбинаций (лхороших раскладов). В этих расчетах неявно присутствует идея группы симметрий: мы не просто считаем количество карт в колоде или количество хороших раскладов по сравнению со всеми возможными Ц - мы предполагаем, что при честной игре все эти карты и все эти расклады равновероятны.

Одним из источников теории вероятностей был математический анализ азартных игр, а другим Ц - статистика банковской деятельности, торговли, налогообложения и пр. Наблюдения над частотами различных событий и их повторяемостью привели к понятию эмпирической вероятности и к более или менее явно формулируемой идее о скрытой игре в кости Ц - ненаблюдаемом царстве причин, производящих наблюдаемые частоты с регулярностью, достаточной для того, чтобы они вписывались в математическую теорию. Современное определение вероятностного пространства Ц - аксиоматизация этого представления.

Деньги начинались как мера стоимости; их критически важный переход в вероятностный мир произошел вместе с выделением кредита как основной функции банков.

Этимология слова кредит также связана с идеей человеческого доверия. Мэри Пуви в своем тонком анализе зарождающейся культуры финансов (см. [29]) отмечает, что эта культура резко отличается от экономики материального производства, которая создает прибыль, превращая рабочую силу в продукты, которым присваиваются цены и которые после этого обмениваются на рынке. Финансы же создают прибыль, в частности, с помощью заключения сложных пари на рост или падение цен в будущем [29, с. 27], то есть и с помощью азартной игры. Масштабы этой игры поражают воображение, а невероятная смесь реального и виртуального миров, возникающая в культуре финансов, является взрывоопасной и периодически приводит к финансовым кризисам.

Информация и сложность. Это пример недавней и весьма сложной парадигмы измерения.

Подобно случайности и вероятности, термин количество информации, ставший одним из важных математических понятий во второй половине XX века после работ Клода Шеннона и А. Н. Колмо42 Ч I. М горова, вызывает не совсем верные ассоциации: грубо говоря, количество информации измеряется всего лишь длиной текста, необходимого для того, чтобы эту информацию записать.

На первый взгляд кажется, что эта мера, во-первых, измеряет не то, что нужно, а во-вторых, дезориентирует. Нам нужно знать, является ли информация важной и надежной, и это Ц - качественные, а не количественные характеристики. Более того, важность информации зависит от культурного, научного и политического контекста. И уж в любом случае кажется неестественным измерять объем информации, содержащейся в Войне и мире, просто толщиной книги.

Тем не менее, количество информации становится центральным понятием в ситуациях, когда мы оперируем с информацией, не интересуясь ее содержанием или надежностью (но обращая внимание на информационную безопасность), что является основным делом средств массовой информации и телекоммуникационной индустрии.

Общий объем текстов, передаваемых ежедневно по Интернету, в СМИ и по телефону, поражает воображение и далеко превосходит пределы того, что мы назвали человеческим масштабом.

Основные идеи Шеннона, относящиеся к измерению количества информации, можно кратко изложить следующим образом. Пусть для начала информация, которую вы хотите передать, Ц - это всего лишь ответ да или нет на вопрос вашего собеседника. Чтобы передать эту информацию, не нужно даже пользоваться словами естественных языков: достаточно передать 1 вместо да или 0 в значении нет.

Это Ц - один бит информации. Пусть теперь вы хотите передать чтото более сложное, для чего вам нужен текст, состоящий из N битов.

Тогда количество передаваемой вами информации ограничено сверху N битами, но уверены ли вы, что для тех же целей нельзя обойтись более коротким текстом На самом деле существуют систематические способы сжатия данных; Шеннон описал их в явном виде. Наиболее универсальный из этих методов основывается на предположении, что не все тексты из тех, что вы в принципе могли бы передавать, встречаются с одинаковой вероятностью. В этом случае надо сменить кодировку таким образом, чтобы коды более вероятных текстов стали короче, а менее вероятных Ц - длиннее, и за счет этого сэкономить на объеме передаваемых данных, по крайней мере в среднем. Вот как можно сделать это при кодировании текстов на естественном языке. Поскольку в алфавите около 30 букв, а 25 = 32, для кодирования каждой из буквы нужно 5 битов, так что получается текст, у которого длина в битах в 5 раз больше, чем длина в буквах. Однако же некоторые буквы встречаются гораздо чаще других, так что можно М попробовать закодировать часто встречающиеся буквы более короткими последовательностями битов. Это Ц - оптимизационная задача, которую можно решить в явном виде, а длину получающегося сжатого текста можно подсчитать. По существу это энтропия в смысле определений Шеннона и Колмогорова.

Пользуясь статистической парадигмой измерения, создатели Google нашли впечатляющее решение задачи измерения важности информации. Грубо говоря, поисковая система по запросу выдает список страниц, содержащих данное слово или выражение. В типичном случае количество таких страниц очень велико, так что необходимо выдавать их в порядке убывания важности. Как же Google находит этот порядок На каждой странице имеются гипертекстовые ссылки на другие страницы. Можно рассматривать множество всех web-страниц как ориентированный граф, ребра которого Ц - гиперссылки. В первом приближении можно считать, что важность страницы измеряется количеством указывающих на нее ссылок. Однако же эту меру можно уточнить, если заметить, что не все ссылки равноправны: ссылка с важной страницы имеет пропорционально больший вес, а ссылка на страницу, указывающую на много других страниц, имеет пропорционально меньший вес. Это приводит к следующему определению, содержащему, на первый взгляд, порочный круг: каждая страница передает свою важность тем страницам, на которые с нее идут ссылки, деля ее между этими страницами поровну; важность каждой страницы Ц - это то, что она получает от всех страниц, у которых на нее есть ссылки. Тем не менее классическая теорема, принадлежащая А. А. Маркову, показывает, что это определение корректно. Остается найти численные значения важности и перечислить страницы в порядке убывания этих значений.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |   ...   | 54 |    Книги по разным темам