Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | ... | 34 | 2 a12m1 + 2a11m1m2 + a12m2 =. (5) Уравнение (5) относительно координат точки М является тождеством тогда и только тогда, когда а11 = а12 = 0. Но при этих условиях матрица (1) не определяет преобразования копсевдоевклидовой плоскости, так как ее определитель равен нулю.
Следовательно, среди преобразований второго рода копсевдоевклидовой плоскости нет коллинеарных преобразований.
Определяя из уравнения (5) зависимости между двумя первыми однородными координатами точки М 2 - a11 a11 - am =, (6) m2 a 1,получаем две изотропные прямые 2 d1,2 : ( а11 - а12 - а11) x1 - a12 x2 = 0, проходящие через соответствующую точку М, и инвариантные в силу коллинеарности точек М, М'. Непосредственная проверка дает: (d1d2 l1l2) = Ц1.
Для преобразований первого (второго) вида выполняется первое (второе) условие (5) главы 1. Следовательно, в правой части равенств (6) для преобразований первого (второго) вида получаем числа действительные (комплексно сопряженные). Соответственно виду преобразования получаем либо вещественные, либо мнимо сопряженные инвариантные прямые d1, d2.
Таким образом, справедливы следующие теоремы.
Теорема 1. Если Н - коллинеарное преобразование копсевдоевклидовой плоскости, то Н - преобразование первого рода.
Теорема 2. Если Н - преобразование первого рода копсевдоевклидовой плоскости, заданное матрицей (1) при = 1, то при а12 0 Н не имеет инвариантных изотропных прямых, а при а12 = 0 Н является коллинеарным преобразованием, в котором инвариантна каждая изотропная прямая.
Теорема 3. Каждое преобразование второго рода копсевдоевклидовой плоскости имеет две ортогональные друг другу инвариантные изотропные прямые. Инвариантные прямые являются действительными, если преобразование первого вида, комплексно сопряженными, если преобразование второго вида.
4.2 Классификация преобразований копсевдоевклидовой плоскости Классификацию преобразований копсевдоевклидовой плоскости проведем с учетом наличия инвариантных элементов преобразований.
Пусть M (x1: x2: x3) - двойная точка преобразования группы Q (1), тогда её проективные координаты, неравные нулю одновременно, удовлетворяют системе уравнений:
(a11 - ) x1 + a12x2 = 0, x1 = a11x1 + a12x2, (ax = a12x1 + a11x2, a x1 + - ) x2 = 0, 2 или (7) x = a31x1 + a32x2 + a33x3, a x1 + a32x2 + - ) x3 = 0.
(a Ненулевые решения данной системы однородных линейных уравнений существуют при условии равенства нулю определителя системы, то есть при условии:
a11 - a12 a12 a11 - 0 = 0.
(8) a31 a32 a33 - Преобразуем уравнение (8) к виду:
(a33 - )((a11 - )(a11 - )- a12)= 0.
(9) Каждому значению корня уравнения (9) соответствует определенный набор инвариантных элементов преобразования, поэтому классификация преобразований предполагает исследование решений уравнения (9).
С целью упрощения рассуждений преобразования первого и второго рода будем классифицировать отдельно.
1. Преобразования первого рода При = 1 уравнение (9) имеет корни: 1 =а33, 2 = а11 + а12, 3 = а11 - а12.
Рассмотрим возможные случаи: корни уравнения (9) различны; уравнение (9) имеет один двукратный корень; все корни уравнения (9) совпадают.
1. Корни уравнения (9) различны Найдём двойные точки преобразований первого рода, соответствующие значениям i, i = 1, 2, 3.
Система уравнений (7) при первом значении корня = 1 =а33 имеет вид:
(a - a33 )x1 + a12 x2 = 0, a12 x1 + (a11 - a33 )x2 = 0, (10) a31 x1 + a32 x2 = 0.
Каждое уравнение системы (10) задаёт изотропную прямую ((13), гл. 1), следовательно, система (10) в рассматриваемом случае определяет единственную инвариантную точку - абсолютную точку P(0:0:1).
При условии = 2 = а11 + а12 система уравнений (7) имеет вид:
a12(x1 - x2 ) = 0, a - x2 = 0, (x1 ) (11) a x1 + a32 x2 + - а11 - а12 = 0.
(a33 )x Так как в рассматриваемом случае все корни уравнения (9) различны, то а12 0. Следовательно, система уравнений (11) определяет инвариантную точку на первой абсолютной прямой:
H1(a11 + a12 - a33 : a11 + a12 - a33 : a31 + a32 ). (12) При = 3 = а11 - а12 система уравнений (7) имеет вид:
a12(x1 + x2) = 0, a + x2) = 0, (x (13) a x1 + a32x2 + - a11 + a12)x3 = (a и определяет инвариантную точку на второй абсолютной прямой H (a11 - a12 - a33 : a12 - a11 + a33 : a31 - a32 ). (14) Таким образом, в первом (наиболее общем) случае преобразование имеет три несобственные инвариантные точки: P, H1, H2.
Из инвариантности точек H1, H2 следует инвариантность проходящей через них неизотропной прямой:
x1(a12a32 +a31a33 -a11a31)+ x2(a12a31 +a32a33 -a11a32)+ x3((a11 -a33) -a12)=0. (15) Предположим, что преобразование имеет еще одну действительную собственную инвариантную прямую t. Тогда точка Т ее пересечения с прямой (15) является двойной точкой преобразования и либо является собственной точкой копсевдоевклидовой плоскости, либо совпадает с одной из точек Н1, Н2 абсолютной квадрики. Если Т совпадает с Н1 (Н2), то точка пересечения прямой t с абсолютной прямой l1 (l2) также инвариантна в данном преобразовании. Но данное преобразование не имеет двойных точек, отличных от точек P, H1, H2. Следовательно, прямая (15) - единственная неподвижная прямая преобразования.
Итак, если корни уравнения (9) различны, то преобразование имеет следующие инвариантные элементы: три несобственные точки; одну действительную неизотропную прямую.
2. Уравнение (9) имеет двукратный корень Возможны три варианта: 1 = 2, 1 = 3, или 2 = 3. Определим для каждого варианта неподвижные элементы преобразования.
1. Пусть 1 = 2, то есть а33 = а11 + а12.
Тогда при = 1 = 2 система уравнений (7) принимает вид:
a12(x1 - x2 )= 0, (16) x1 + a32x2 = 0.
aЕсли а12 = 0, то 2 = 3 и, следовательно, уравнение (9) имеет трехкратный корень, что не соответствует данному случаю. Поэтому а12 0.
Система уравнений (16) при а32 - а31 определяет единственную неподвижную точку P (0:0:1), а при а32 = - а31 - множество двойных точек, совпадающее с абсолютной прямой l1.
При = 3 = а11 - а12 система уравнений (7) имеет вид:
a12(x1 + x2 ) = 0, (17) x1 + a32 x2 + 2a12x3 = aи определяет неподвижную точку на абсолютной прямой l2:
K1(- 2a12 : 2a12 : a31 - a32). (18) 2. Пусть 1 = 3, то есть а33 = а11 - а12. Тогда по аналогии с первым случаем при а32 а31 получаем двойную точку на абсолютной прямой l1:
K2(2a12 : 2a12 : a31 + a32), (19) а при а32 = а31 - точку K2 и бесконечное множество двойных точек, заполняющих абсолютную прямую l2.
Заметим, что в двух рассмотренных вариантах при условиях a33 = a11 + a12, а32 = -а31 (a33 = a11 - a12, a32 = a31) (20) в силу поточечной инвариантности прямой l1 (l2) преобразования имеют бесконечное множество двойных неизотропных параллельных друг другу прямых, принадлежащих пучку с центром в точке K1 (K2).
Согласно теореме 2 в рассмотренных случаях при условии (20) двойных изотропных прямых преобразования не имеют.
При условиях (a33 = a11 - a12, a32 a31) a33 = a11 + a12, a32 -a (21) в двух рассмотренных вариантах преобразования имеют только две несобственные неподвижные точки P и K1 (K2), следовательно, при этих условиях преобразования не имеют собственных инвариантных прямых.
3. Пусть 2 = 3. Тогда а11 + а12 = а11 - а12, и, следовательно, а12 = 0.
По теоремам 1, 2 преобразования этого вида и только они являются коллинеарными преобразованиями копсевдоевклидовой плоскости.
При = 1 = а33 система уравнений (7) принимает вид (a - a33 ) x1 = 0, (a11 - a33 ) x2 = 0, (22) a x1 + a32 x2 = и так как а33 а11 (иначе совпадают все три корня уравнения (9)) определяет единственную двойную точку преобразования: Р (0:0:1).
При = 2 = 3 = а11 система уравнений (7) равносильна уравнению a31x1 + a32 x2 + (a33 - a11)x3 =, (23) которое при а33 а11 определяет неизотропную прямую инвариантных точек данного преобразования. Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Каждое коллинеарное преобразование копсевдоевклидовой плоскости, заданное матрицей (1) при a11 a33, имеет поточечно неподвижную неизотропную прямую.
3. Уравнение (9) имеет трёхкратный корень В этом случае 1 = 2 = 3, следовательно, а12 = 0, а11 = а33. При этих условиях, при = а11 = а33, первые два уравнения системы (7) являются 2 a31 + а32 тождествами. Поэтому при все неподвижные точки преобразования заполняют изотропную прямую а31 x1 + а32 x2 =. (24) Заметим, что условие а32 = а31 выделяет самостоятельный класс преобразований, так как при этом условии прямая (24) является абсолютной.
Преобразования каждого выделенного класса (а12 = 0, а11 = а33, а32 а31 и а12 = 0, а11 = а33, а32 = а31) являются коллинеарными, следовательно, в них инвариантна каждая изотропная прямая. Поэтому наличие двойной неизотропной прямой возможно только при поточечной инвариантности этой неизотропной прямой. Но каждая неподвижная точка преобразования принадлежит прямой (24), следовательно, двойных неизотропных прямых преобразования указанных классов не имеют.
При дополнительных условиях на коэффициенты, а31 = а32 = 0, системе уравнений (7) удовлетворяют координаты любой точки, следовательно, преобразование указанного вида является тождественным преобразованием копсевдоевклидовой плоскости.
2. Преобразования второго рода При = - 1 уравнение (9) имеет следующие корни:
2 1 = a33, 2,3 = a11 - a12.
Для преобразований первого вида корни 2, 3 - действительные, для преобразований второго вида - комплексно сопряженные.
Рассмотрим все возможные случаи взаимного отношения указанных корней для преобразований первого и второго видов.
1. Корни уравнения (9) различны Тогда при = 1 = a33 система уравнений (7) имеет вид:
(a - a33)x1 + a12 x2 = 0, a x1 + + a33)x2 = 0, (a (25) a x1 + a32 x2 = 0.
2 (а33 а11 - а12 ) Ранг системы уравнений (25) в данном случае больше единицы, следовательно, система определяет единственную неподвижную точку - точку P (0:0:1) пересечения прямых абсолюта.
2 = 2,3 = a11 - aПри соответственно знаку л+ или - получаем две системы уравнений:
2 (- a11 a11 - a12 )x1 - a12 x2 = 0, a x1 +(a11 a11 - a12 = 0, 2 )x (26) 2 a x1 + a32 x2 -(- a33 a11 - a12)x3 = 0.
Пусть а12 0. Тогда первые два уравнения систем (26) в силу пропорциональности их коэффициентов задают одну изотропную прямую.
Поэтому каждая из систем уравнений (26) определяет собственную для копсевдоевклидовой плоскости неподвижную точку преобразования:
2 (а12( а11 - а12 - а33):
2 2 2 ( а11 - а12 - а11)( а11 - а12 - а33):
(27) 2 а12а31 + а32( а11 - а12 - а11)).
Точки (27) при |а11| > |а12| (для преобразований первого вида) являются действительными, а при |а11| < |а12| (для преобразований второго вида) - мнимыми, комплексно сопряженными. Две первые координаты точек (27) не пропорциональны, следовательно, точки определяют действительную неизотропную прямую.
Таким образом, при а12 0 преобразование имеет двойную неизотропную прямую 2 2 (a31a33 + a11a31 - a12a32 : a32a33 + a12a31 - a11a32 : a33 - a11 + a12) (28) и две инвариантные ортогональные (действительные или мнимо сопряженные) изотропные прямые 2 ( a11 - a12 - а11 : -a12 : 0), (29) проходящие соответственно знаку л+ или - через точки (27).
Условие а12 = 0 не выделяет самостоятельный класс преобразований, так как в этом случае набор неподвижных элементов преобразования остается тем же. Отметим, что при а12 = 0 системы уравнений (26) определяют неподвижные точки преобразования: (а11 - а33: 0: а31) и (0: а11 + а33: - а32), проходящие через эти точки неподвижные изотропные прямые: x2 = 0 и x1 = 0, и двойную неизотропную прямую 2 (а31(а11 + а33) : a32(a33 -a11) : a33 -a11).
2. Уравнение (9) имеет двукратный корень Возможны только два варианта: 1 = 2 3, 1 = 3 2. Так как при а11 2 = 3 получаем равенство - а12 = 0, при котором матрица (1) не определяет коллинеацию проективной плоскости.
В первом (втором) случае имеем 2 2 2 a33 = a11 - a12 ( a33 = - a11 - a12 ). (30) Коэффициенты матрицы копсевдоевклидовых преобразований (1) - 2 а33(а11 - а12) действительные числа, причем, поэтому выполнение равенств (30) возможно только для преобразований первого вида.
Достаточно исследовать преобразования, для которых выполняется одно из указанных равенств (30), например, первое, так как матрица проективных преобразований определена с точностью до общего ненулевого множителя, и при выполнении второго равенства, умножив все коэффициенты матрицы преобразований на (Ц1), придем к первому случаю.
2 При = 1 = 2 = а11 - а12 система уравнений (7) имеет вид 2 (a11 - a11 - a12 ) x1 + a12 x2 = 0, a x1 + + a11 - a12 x2 = 0, 2 (a11 ) (31) a x1 + a32 x2 = 0.
Пусть а12 0. Тогда ранг последней системы уравнений меньше трёх, так как коэффициенты первых двух уравнений пропорциональны. Если ранг системы уравнений (31) равен двум, то получаем единственную двойную точку Р(0:0:1). Если ранг системы уравнений (31) равен единице, коэффициенты уравнений в этом случае удовлетворяют двум условиям a11a31 - a12a32 + a31a33 = 0 a11a32 - a12a31 - a32a33 = 0,, (32) то в данном преобразовании инвариантны все точки изотропной прямой (24).
Заметим, что при а12 0 и выполнении одного из равенств (30) условия из (32) равносильны.
Пусть а12 = 0. Тогда одно из двух первых уравнений системы (31) является тождеством. Если удовлетворены условия (32), то есть матрица преобразования имеет один из следующих видов:
а11 0 а11 0 0 - а11 0 0 - а11,, 0 а32 а11 а31 0 - а то система уравнений (31) (её ранг равен единице) определяет поточечно неподвижную изотропную координатную прямую (x2 = 0, или x1 = 0). В противном случае ранг системы уравнений (31) равен двум. Поэтому система определяет единственную неподвижную точку Р (0:0:1).
2 При = 3 = - a11 + a12 и первом условии (30) система уравнений (7) принимает вид 2 (a11 + a11 - a12 ) x1 + a12 x2 = 0, a x1 - a11 + a11 - a12 x2 = 0, 2 (- ) (33) 2 a31 x1 + a32 x2 + 2 a11 - a12 x3 = 0.
a11 Для каждой коллинеации копсевдоевклидовой плоскости - a12.
Поэтому последнее уравнение системы (33) определяет неизотропную действительную прямую, следовательно, сама система (её ранг равен двум) определяет собственную действительную двойную точку преобразования K (2a33(a11 - a33) : -2a12a33 : -a11a31 + a12a32 + a31a33).
Изотропная прямая k1 (а12: а11 - а33: 0), проходящая через эту неподвижную точку, является двойной прямой преобразования.
Согласно теореме 3 преобразование имеет еще одну инвариантную изотропную прямую k2 (а11 - а33 : а12 : 0), ортогональную прямой k1.
Pages: | 1 | ... | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | ... | 34 | Книги по разным темам