Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | ... | 34 | Если вершина угла ab принадлежит первому (второму) абсолютному углу, то согласно рассуждениям предыдущего параграфа мера угла - величина мнимая (действительная неотрицательная).
Учитывая последнее равенство и формулу (49) главы 1, находим геометрический смысл инварианта J трёх неизотропных прямых копсевдоевклидовой плоскости:
ac J =. (18) bc Таким образом, на копсевдоевклидовой плоскости отношение углов в трехстороннике является инвариантным относительно преобразований фундаментальной группы этой плоскости.
В пучке параллельных прямых можно ввести измерение параболического типа.
Расстоянием между параллельными прямыми a и b (или шириной полосы ab) назовем число, равное псевдомодулю изотропного ковектора, ab.
представленного дублетом Обозначение: |ab| - расстояние между параллельными прямыми a и b, ширина полосы ab.
Расстояние между параллельными прямыми a(ai), b(bi), i = 1, 2, 3, можно вычислить по формуле:
b1 aab = (19) b3 a3.
2.5 Расстояние от точки до неизотропной прямой. Расстояние между точками изотропной прямой 1. На копсевдоевклидовой плоскости не существует числовой величины, соответствующей паре (точка, неизотропная прямая), инвариантной относительно фундаментальной группы преобразований. Но каждой такой паре можно определенным образом поставить в соответствие действительное число, инвариантное относительно некоторой подгруппы фундаментальной группы преобразований копсевдоевклидовой плоскости.
Как и на евклидовой, псевдоевклидовой, коевклидовой плоскостях.
Такой подгруппой группы копсевдоевклидовых преобразований является, например, группа копсевдоевклидовых движений, определим которую в следующей главе.
Пусть даны точка A и неизотропная прямая m (рис. 29).
Р Построим изотропную прямую k, ортогональную изотропной прямой AP.
lТочку пересечения прямых m и k l1 k обозначим K. Прямая AK, очевидно, A неизотропная.
Расстоянием от точки A до неизотропной прямой m назовем меру K1 m K2 K угла между прямыми m и AK.
Рис. Обозначение: (A, m).
Пусть точка A и прямая m заданы своими однородными координатами в каноническом репере R: A (a1 : a2 : a3), m(m1 : m2 : m3). Тогда уравнения прямых AP и k имеют соответственно вид:
AP : a2 x1 - a1x2 = 0, k : a1x1 - a2 x2 = 0.
Следовательно, точка K и прямая AK имеют в репере R однородные координаты:
K(-m3a2 : -m3a1 : a1m2 + a2m1), 2 2 2 AK (-a1a2m2 - a2m1 - a1a3m3 : a2a3m3 + a1a2m1 + a1 m2 : m3(a1 - a2 )).
Найдем угол между прямыми m и AK:
2 2 -a2m1 -a1a2m2 -a1a3m3 m1 a1 m2 +a1a2m1 +a2a3m3 m m(AK) = - 2 2 2 m3(a1 -a2) m3 m3(a1 -a2 ) m1.
После необходимых преобразований подкоренного выражения получаем формулу для определения расстояния от точки А до неизотропной прямой m в каноническом репере:
a1m1 + a2m2 + a3m(A,m) =. (20) 2 m3 a1 - aЕсли собственная точка А копсевдоевклидовой плоскости принадлежит первому (второму) абсолютному углу в репере R, то подкоренное выражение в формуле (20) больше (меньше) нуля, следовательно, расстояние от каждой точки первого (второго) абсолютного угла до любой неизотропной прямой - действительная неотрицательная (мнимая) величина, равная нулю тогда и только тогда, когда точка лежит на данной прямой.
2. На копсевдоевклидовой плоскости справедливы теоремы 4, 5, доказанные в главе 2 первой части пособия. Приведем лишь формулировки этих теорем, так как их доказательства на плоскости копсевдоевклидовой полностью совпадают с доказательствами на плоскости коевклидовой.
Теорема 1. Расстояния от данной точки А до каждой неизотропной прямой пучка с центром в точке B изотропной прямой АР равны.
Теорема 2. Расстояние от точки А до произвольной неизотропной прямой, проходящей через точку В, коллинеарную точке А, равно расстоянию от точки В до каждой неизотропной прямой, проходящей через точку А.
На основе теорем 1, 2 введем понятие расстояния между коллинеарными точками копсевдоевклидовой плоскости.
Расстоянием между точками А и В изотропной прямой назовем расстояние от любой из этих точек до произвольной неизотропной прямой, проходящей через вторую точку. Обозначение: (А, В).
Расстояние между коллинеарными точками А и В будем также называть длиной изотропного отрезка АВ. Обозначение: |АВ|.
По аналогии с выводом формулы (52) главы 2 части 1 получим формулу для вычисления расстояний между коллинеарными точками, заданными координатами А(а1: а2: а3), B(а1: а2: b3) в произвольном каноническом репере:
а3 - b(A, B) = | AB | =.
(21) 2 a1 - aЕсли в заданном каноническом репере R коллинеарные точки А и В принадлежат первому (второму) абсолютному углу, то расстояние между ними в репере R - величина действительная положительная (мнимая).
В следующей главе будет доказано, что расстояние между коллинеарными точками является инвариантным относительно группы движений, подгруппы группы копсевдоевклидовых преобразований, которая также будет определена в следующей главе.
2.6 Направляющие косинусы и высота точки в каноническом репере. Проекции ковектора на координатные оси 1. Формула (20) позволяет дать геометрическое толкование проективных координат точек копсевдоевклидовой плоскости.
Пусть произвольная точка А копсевдоевклидовой плоскости в каноническом репере R={А1, А2, A3, E} имеет однородные координаты A(a1: a2 : a3), причем a3 > 0. По формуле (19) главы 1 найдем гиперболические косинусы расстояний от точки А до собственных для коевклидовой плоскости координатных вершин A1, А2:
aiach AA1 =, ch AA2 =.
(22) 2 2 a1 - a2 a1 - aСогласно формуле (20) a(A, A1A2 ) =. (23) 2 a1 - aТаким образом, точку А в репере R можно задать координатами:
A (ch AA1 : -ich AA2 : (A, A1A2)).
Значения ch|AA1|, ch|AA2|, определенные равенствами (22), будем называть направляющими косинусами точки А в репере R.
Заметим, что ch2 AA1 + ch2 AA2 = 1.
(24) Расстояние (A, A1A2) от точки А до неизотропной координатной прямой назовем высотой точки А в репере R и обозначим hA.
bc 2. Пусть в каноническом репере R ковектор V представлен дублетом со сторонами b(bi), c(ci), i = 1, 2, 3. Обозначим точки пересечения прямых b, c изотропной координатной прямой А1А3 (А2А3) через B1, C1 (B2, C2) соответственно.
Изотропный отрезок В1C1 (В2C2) будем называть проекцией ковектора V на координатную прямую А1А3 (А2А3), или первой (второй) проекцией ковектора V в репере R. Обозначение: В1C1 = пр1V, В2C2 = пр2V.
Модуль расстояния между точками B1, C1 (B2, C2) назовем модулем первой (второй) проекции ковектора V в репере R.
Точки B1, C1 (B2, C2) заданы в репере R соответственно координатами:
B1(- b3 : 0 : b1), C1(- c3 : 0 : c1) (B2(0 : -b3 : b2), C2(0 : -c3 : c2)).
Запишем координаты этих точек в виде:
b1 c1 b2 c B11: 0 : - - C11: 0 : B20 :1: - - C20 :1:.
b3, c3 b3, c Расстояние между коллинеарными точками B1, C1 (B2, C2), вычисленное по формуле (21), равно c1 b1 c2 b.
B1C1 = - B2C2 = -i (25) c3 b3 c3 b Таким образом, модуль первой (второй) проекции ковектора V в репере R равен модулю первой (второй) координаты этого ковектора в данном репере.
Согласно формуле (5) модуль ковектора V равен 2 V = пр1V - пр V.
(26) Если прямые b и c параллельны, то есть ковектор V - изотропный, то пр1V = пр V.
справедливо равенство:
Псевдомодуль изотропного ковектора равен модулю любой его проекции:
V = пр V = пр V.
(27) 1 2.7 Метрические соотношения на копсевдоевклидовой плоскости Следующие теоремы определяют зависимости между введенными в предыдущих параграфах метрическими характеристиками объектов копсевдоевклидовой плоскости.
Теорема 3. Две различные Р параллельные прямые образуют неравные углы с любой K непараллельной им неизотропной l2 (l1) прямой.
l1 (l2) Доказательство. Пусть a b неизотропная прямая t совпадает с координатной прямой А1А2, то есть A B t имеет в репере R={А1, А2, A3, E} уравнение: x3 = 0.
Рис. Выберем на прямой t (рис. 30) пару точек A(a:1:0), B(1:b:0) и проведем через них параллельные прямые соответственно a и b.
Пусть общая несобственная точка прямых a и b принадлежит прямой l(l2) и имеет в репере R координаты: K(1:1:k), где k - некоторое действительное число.
Тогда уравнения прямых a и b имеют соответственно вид:
kx1 - akx2 + (a 1)x3 = 0, bkx1 - kx2 + (1m b)x3 = 0.
По формуле (17) найдем меры углов at и bt.
2 k ak 1 a 0 0 + at = - - = k, (28) a m 1 a m 1 1m a 2 bk k b 0 0 + bt = - - = k. (29) 1m b 1m b b m Меры углов at и bt равны тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из условий: k = 0, ab = 1. Но каждое из этих условий приводит к совпадению прямых a и b. На этот случай утверждение теоремы не распространяется. Что и требовалось доказать.
Теорема 4. Отношение мер углов, образованных любыми двумя параллельными прямыми с данной непараллельной им неизотропной прямой, однозначно определено заданием вершин этих углов.
Доказательство. Пусть в некотором каноническом репере R уравнение данной неизотропной прямой t имеет вид: x3 = 0. Выберем на прямой t две точки: A(a:1:0), B(1:b:0) (рис. 30). Тогда для любой пары параллельных прямых a и b, проходящих соответственно через точки А, В, отношение мер углов, образованных этими прямыми с прямой t, есть согласно равенствам (28), (29) постоянная величина:
(b 1)(1m a), = = (30) (b m 1)(1 a) однозначно определенная заданием точек А и В. Теорема доказана.
Теорема 5. Квадрат расстояния от точки до неизотропной прямой равен произведению расстояний от этой прямой до параллельных ей прямых, проходящих через данную точку, взятому со знаком плюс (минус), если точка принадлежит первому (второму) абсолютному углу.
Доказательство. Выберем канонический репер R таким образом, чтобы данная неизотропная прямая m совпадала с координатной прямой А1А2.
Данную точку зададим координатами: A (a1: a2: a3).
По формуле (23) расстояние от точки A до прямой m (x3 = 0) равно:
a(А, m) =.
(31) 2 a1 - aНесобственные точки прямой m (рис. 31) в репере R имеют координаты:
K1 (1:1:0), K2 (Ц1:1:0). Следовательно, прямые, параллельные прямой m, проходящие через точку A, имеют уравнения:
АK1 : а3x1 - а3x2 + (а2 - а1)x3 = 0;
(32) АK2 : а3x1 + а3x2 - (а1 + а2)= 0.
Найдем по формуле (23) расстояния от прямой m до прямых AK1, AK2:
a3 a( АK1)m =, ( AK )m =.
(33) a2 - a1 a1 + aЕсли точка А принадлежит первому (второму) абсолютному углу, то для 2 2 2 a1 - a2 > 0 (a1 - a2 < 0) ее координат выполняется ((4), гл. 1) неравенство:.
Поэтому из условий (31), (33) для точки А первого (второго) абсолютного угла получаем:
2 (A, m) = (AK1)m (AK2 )m ( (A, m) = - (AK1)m (AK2 )m).
(34) Что и требовалось доказать.
Теорема 6. Модуль меры угла между двумя неизотропными прямыми Р вдвое больше модуля расстояния от вершины угла до неизотропной прямой, lпараллельной сторонам этого угла.
lДоказательство. Пусть прямая m A параллельна неизотропным непараллельным прямым AK1, AK2, где K1, K2 - несобственные точки данных K1 m Kпрямых (рис 31).
Рис. Координатную прямую А1Арепера R совместим с прямой m. Тогда уравнение прямой m в репере R: x3 = 0, а координаты ее бесконечно удаленных точек: K1 (1:1: 0), K2 (1: Ц1: 0). Если данная точка имеет в репере R координаты: A(a1: a2: a3), то прямые AK1, AK2 заданны уравнениями (32).
Меру угла между прямыми AK1, AK2 найдем по формуле (17):
2 2a a3 a3 a3 a - (AK1)(AK2)= + - =.
2 a1 + a2 a2 - a1 a1 + a2 a2 - a1 a2 - a1 (35) Расстояние от точки А до прямой m определено равенством (31).
Сравнивая выражения (31), (35) (одна из величин, определенных этими равенствами - число действительное, другая - мнимое), получаем утверждение теоремы. Что и требовалось доказать.
Следствием теорем 5, 6 является следующая теорема.
Теорема 7. Мера угла между неизотропными прямыми вдвое меньше произведения расстояний от этих прямых до прямой, параллельной каждой из них.
Глава 3. Изображение копсевдоевклидовой плоскости 3.1 Копсевдоевклидовы координаты 1. Собственно копсевдоевклидовы (или: копсевдоевклидовы) координаты введем аналогично введению координат коевклидовых (гл. 3, часть 1), учитывая, естественно, особенности строения копсевдоевклидовой плоскости. В данной главе приведем лишь основные этапы рассуждений.
Пусть в каждом каноническом репере копсевдоевклидовой плоскости KГ АП абсолютная квадрика задана уравнением 2 x1 - x2 =. (1) Каждой точке М копсевдоевклидовой плоскости с проективными координатами (x1: x2: x3) в некотором каноническом репере R поставим в соответствие упорядоченную тройку чисел: x = x (x1, x2, x3), y = y (x1, x2, x3), z = z (x1, x2, x3), определенных с точностью до общего множителя равенствами:
x1 x2 xx = y = z =,,, (2) 2 2 2 2 2 x1 - x2 x1 - x2 x1 - xесли точка М принадлежит первому абсолютному углу, и равенствами:
ix1 ix2 ixx = y = z =,,, (3) 2 2 2 2 2 x1 - x2 x1 - x2 x1 - xесли точка М принадлежит второму абсолютному углу.
Числа x, y, z, определенные равенствами (2) ((3)), назовем копсевдоевклидовыми координатами точки М первого (второго) абсолютного угла копсевдоевклидовой плоскости относительно репера R.
Очевидно, что копсевдоевклидовы координаты всех точек абсолютной квадрики (1) бесконечно велики, а копсевдоевклидовы координаты собственных для плоскости K2 точек - конечные действительные числа.
Копсевдоевклидовы координаты собственных для плоскости вершин A1, A2 канонического репера R имеют относительно этого репера следующий вид:
А1( 1;0;0 ), А2 (0; 1;0 ).
2. Пусть R и R' - канонические реперы копсевдоевклидовой плоскости.
Найдем формулы преобразования копсевдоевклидовых координат точек при переходе от репера R к реперу R'.
Пусть произвольная точка М плоскости имеет в репере R проективные координаты (x1: x2: x3), в репере R' - координаты (x'1: x'2: x'3), а формулы (9) главы 1 определяют в проективных координатах переход от репера R к реперу R'.
Копсевдоевклидовы координаты (x; y; z) точки М первого (второго) абсолютного угла относительно репера R определены с точностью до общего множителя 1 равенствами (2) ((3)), а координаты (x'; y'; z') относительно репера R' - с точностью до общего множителя 1 равенствами:
x1 x2 x x = y = z =,,, (4) x12 - x22 x12 - x22 x12 - xесли точка М принадлежит первому абсолютному углу в репере R', и в противном случае - равенствами:
Pages: | 1 | ... | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | ... | 34 | Книги по разным темам