Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |   ...   | 32 |

К настоящему времени разработано несколькоальтернативных методов оценки стохастического процесса спот-ставки:

1. Параметрические нелинейные модели, оцениваемые с помощью методамаксимального правдоподобия;
2. Нелинейные модели временных рядов с авторегрессионной условнойдисперсией остатков;
3. Параметрические нелинейные модели, оцениваемые с помощьюобобщенного метода моментов;
4. Гауссовские модели;
5. Непараметрические модели.

Первый метод оценки параметровстохастического процесса спот-ставки в дискретном представлении предложен вработе Брауна и Дибвига в 1986 году (Brown, Dybvig,1986). В его основе лежит сокращение числаоцениваемых коэффициентов с использованием алгебраических соотношений,вытекающих из модели Кокса-Ингерсолла-Росса (Cox,Ingersoll, Ross, 1985). Дальнейшее развитие данныйподход получил в работах Брауна и Шефера, Пирсона и Суна в 1994 году(Brown, Schaefer, 1994; Pearson, Sun,1994), а также Овербека и Ридена в 1997 году(Overbeck, Ryden,1997). Все перечисленныеисследования связаны с оценкой временных рядов спот-ставки. Де Мунник и Схотман(De Munnik, Schotman, 1994)оценили как временные ряды, так и одномоментные срезы доходностей облигацийразличной срочности и не выявили значимых различий между результатами на обоихмножествах данных. В настоящее время оценки на основе метода максимальногоправдоподобия используются в исследованиях, связанных с изучениемстатистических свойств рядов и с совершенствованием эконометрических методов,тогда как для эмпирического анализа наблюдаемых данных преимущество получилипараметрические модели, оцениваемые с помощью обобщенного метода моментов (см.ниже).

Четвертый и пятый способы оценки относятся,скорее, к разряду математических задач, решаемых на основе данных о процессеспот-ставки. В частности, Гауссовские методы оценки непрерывных динамическихмоделей, разработанные в начале 1980-х годов Бергстромом (Bergstrom, 1983, 1990), были впервыеприменены для анализа динамики процесса спот-ставки в 1997 году Кеннеди иНоуманом (Kennedy, 1997; Nowman, 1997). Однако данные работы показали, что переход к рассмотрениюдинамики спот-ставки в непрерывном виде и оценка ее параметров Гауссовскимиметодами не дают значимых отличий от результатов, полученных с использованиемобобщенного метода моментов. Непараметрические методы оценки диффузионныхпроцессов, представленные в работах Джянга и Найта (Jiang, Knight, 1997; Jiang, 1998), неявляются пока широко распространенными, хотя они обеспечивают более высокуюстепень приближения к фактическим данным. Кроме того, их спецификация несогласуется с предпосылкой о параметрическом характере зависимости, принятой втеоретических моделях временной структуры процентных ставок99.

Наибольшее распространение получили второйи третий подходы к оценке параметров процесса спот-ставки. Они основаны нанелинейных моделях с авторегрессионной условной дисперсией остатков ипараметрических нелинейных моделях, оцениваемых с помощью обобщенного методамоментов. Рассмотрим их подробнее.

Нелинейные модели временных рядов савторегрессионной условной дисперсией остатков.Нелинейные модели временных рядов краткосрочных ставок с авторегрессионнойусловной дисперсией остатков не связаны напрямую со спецификациейстохастического процесса спот-ставки, предполагаемого теоретическими моделямивременной структуры. В то же время наличие хорошо разработанного и известногоматематического аппарата позволяет рассматривать данный подход в качествеодного из методов оценки параметров стохастического процесса спот-ставки.Форнари и Меле (Fornari, Mele, 1995) сопоставили эконометрические (на основе ARCH-GARCH моделей) итеоретические спецификации процесса. В их работе показано, что, несмотря наформальное различие в записи теоретических и эконометрических зависимостей,сравнительные оценки различных спецификаций уравнения условной дисперсиипозволяют выявить основные свойства стохастического процесса спот-ставки исделать выводы об адекватности предполагаемых теоретических видовпроцесса.

Параметрические нелинейные модели,оцениваемые с помощью обобщенного метода моментов. В1992 году Чен, Каролай, Лонгстафф и Сандерс (Chan,Karolyi, Longstaff, Sanders, 1992) опубликовалиработу по эмпирическому сравнению альтернативных моделей динамики краткосрочныхпроцентных ставок на основе оценок, полученных с помощью обобщенного методамоментов. Впоследствии данная методика использовалась во многих исследованиях,посвященных сравнительным оценкам разных стохастических процессов спот-ставки(см., например, Dahlquist, 1995; Boero, Torricelli,1996; Vetzal, 1997; Raj, Sim, Thurtson, 1997).

Обобщенный метод моментов (ОММ)(Generalized Method of Moments, GMM), разработанный Хансеном в 1982 году (Hansen, 1982), имеет ряд преимуществ,которые позволяют рассматривать его в качестве наиболее подходящей техники дляоценки непрерывных процессов спот-ставки.

Во-первых, ОММ нетребует нормального распределения изменений спот-ставки. В асимптотическомприближении достаточным условием является стационарность и эргодичностьрассматриваемых временных рядов, а также существование соответствующихмоментов. Это свойство особенно важно для нашего случая, так как каждаятеоретическая модель предполагает различный вид распределения для непрерывногопроцесса спот-ставки.

Во-вторых, оценкиОММ и их стандартные ошибки состоятельны, даже если остатки имеют условнуюгетероскедастичность. Поскольку при оценке непрерывного процесса по дискретнымнаблюдениям возникает проблема агрегирования данных во времени, влияющая нараспределение остатков, данное свойство ОММ позволяет уменьшить воздействиедискретной аппроксимации на ошибку оценки параметров.

В то же время ОММ применим только дляоценок больших выборок, тоесть указанные свойства достигаются при большом числе наблюдений. В большинствеслучаев оценки ОММ асимптотически эффективны, однако, они редко эффективны наконечных выборках.

В основе метода лежит теоретическое(a priori) утверждение овыполнении условия ортогональности для генеральной совокупности (population orthogonality condition),записываемое в виде, где –непрерывная функция от матрицы наблюдаемых значений эндогенных и экзогенныхпеременных (y, X) и вектора параметров, z – вектор инструментальныхпеременных, независящих от параметров. Далее строится выборочный аналог условияортогональности, и минимизируется по следующее выражение:

, (8.1)

где W –наилучшим образом выбранная ковариационная матрица Ньюи-Уэста (см. Newey-West, 1987). Если выбор матрицыW оптимален, то значениявыражения (8.1) асимптотически распределены как χ2.Произведение (8.1) на число наблюдений, известное как J-статистика, также распределено какχ2 с числом ограничений равным разнице между количествомнакладываемых на моменты ограничений и числом оцениваемых параметров. Согласнонулевой гипотезе все ограничения выполняются. Данная статистика являетсяпоказателем качества регрессионной модели, оцениваемой с помощьюОММ100.

* * *

В настоящей работе для сравнительногоанализа альтернативных процессов спот-ставки на рынке ГКО мы будем пользоватьсядвумя последними методиками, то есть рассматривать нелинейные модели временныхрядов с авторегрессионной условной дисперсией остатков и параметрическиенелинейные модели, оцениваемые с помощью ОММ. Применяемые нами подходыаналогичны методам, представленным в работах Форнари–Меле и Чена, Каролай, Лонгстаффаи Сандерса.

з8.2. Оценка различных типовстохастических процессов
на примере динамики доходности ГКО

В качестве индикатора краткосрочнойспот-ставки для российского рынка государственных облигаций нами была выбранадоходность ГКО (в годовом исчислении) со сроком до погашения равным однойнеделе (далее –спот-ставка по ГКО, ). Для увеличения выборкинаблюдений мы рассматривали недельные данные за период с 12–18 сентября 1994 года по10–16 августа 1998года. Общее число наблюдений – 205.

Нелинейные модели временных рядов савторегрессионной условной дисперсией остатков. Какбыло показано в параграфе 1.2 (см. табл. 1.3), исходный ряд спот-ставки по ГКОявляется стационарным, так как не имеет единичных корней. Таким образом, мыимеем право моделировать динамику уровня спот-ставки по ГКО. Согласноавтокорреляционной и частной автокорреляционной функциям, графики которыхпоказаны на рисунке 8.1, динамика временного ряда спот-ставки соответствуетавторегрессионному процессу второго порядка.

Рисунок 8.1.

АКФ и ЧАКФ спот-ставки по ГКО

Прежде всего мы оценили линейную модельвторого порядка AR(2):

. (8.2)

Оценки уравнения (8.2) приведены в таблице8.1. Согласно статистике Бокса-Льюнга, в остатках уравнения отсутствуетсерийная автокорреляция, тест множителей Лагранжа не отвергает гипотезу обавторегрессионной условной гетероскедастичности остатков на 95% уровнезначимости (результаты обоих тестов не приводятся). Таким образом, выявленоналичие условной стохастической дисперсии процесса спот-ставки по ГКО, и мыпереходим к оценке нелинейных моделей с условной дисперсией остатков в видеразличных вариантов GARCH.

Мы рассмотрели четыре варианта спецификацииуравнения условной дисперсии остатков, аналогичных моделям динамики первыхразностей средневзвешенной доходности ГКО, представленным в первом разделе, атакже соответствующих моделям в работе Форнари-Меле:

7. Обобщенная модель GARCH(1,1)

(8.3)

8. Пороговая модель TARCH(1,1)

(8.4)

9. Экспоненциальная модель EGARCH(1,1)

(8.5)

10. Компонентная модель ComponentGARCH(1,1)

(8.6)

Оценки уравнения (8.2) с авторегрессионнойусловной дисперсией остатков в виде (8.3)а– (8.6) приведены в таблице8.1.

Полученные результаты позволяют сделатьследующие выводы относительно свойств стохастического процесса спот-ставки поГКО:

• Значения оценок коэффициентов при авторегрессионных членах восновном уравнении для всех моделей положительные, и их сумма меньше единицы.Таким образом, ряд обладает свойством возвращения к среднему101.
• Значения оценок коэффициентов в уравнении условной дисперсии для моделей (8.3) и (8.4). Такимобразом, как и для динамики приращений средневзвешенной доходности ГКО,волатильность значений спот-ставки не стационарна и растет современем102. Аналогичный вывод следует из оценок компонентной модели,поскольку степень сходимости к нулю краткосрочных колебаний дисперсии.

Таблица 3.1*

Номеруравнения:	3.2	3.3	3.4	3.5	3.6
с	0,381 (4,54)	0,222 (5,71)	0,264 (4,70)	0,275 (5,79)	0,236 (5,05)
а1	0,516 (7,84)	0,527 (5,77)	0,609 (8,40)	0,522 (6,03)	0,604 (8,06)
а2	0,319 (4,86)	0,301 (4,77)	0,218 (3,18)	0,262 (3,65)	0,216 (3,68)
δ	–	0,001 (2,18)	0,001 (3,44)	-0,401 (-3,20)	0,100 (1,70)
α	–	0,530 (4,89)	0,397 (3,80)	-0,037 (-0,59)	0,247 (6,62)
β	–	0,635 (11,12)	0,813 (20,63)	0,900 (25,90)	0,741 (18,54)
γ	–	–	-0,609 (-4,48)	0,420 (6,47)	-0,695 (-32,58)
ϕ	–	–	–	–	0,120 (8,38)
AIC	-0,395	-0,772	-0,874	-0,929	-0,773
BIC	-0,346	-0,674	-0,760	-0,815	-0,642

* В таблице приведены оценки и t-статистики (в скобках) длясоответствующих коэффициентов, а также значения информационных критериев,позволяющих сравнить качество моделей.

Pages:     | 1 |   ...   | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |   ...   | 32 |    Книги по разным темам