Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | ... | 43 | n=0 m=При этом вид зависимостей от в разложениях (24)Ц(26) определяется соображениями симметрии векторов скорости v и смещения u относительно плоскости = 0, 0 + (компоненты vr, v и ur, u симметричны, а компоненты v и u антисимметричны).
q q q q Коэффициeнты Aq (q = 0, 1), Bmn и функции U1mn(r), U2mn(r), U3mn(r) mn (q = 0, 1) подлежат определению из граничных условий.
С выбранной степенью точности из (20) получаем cos = 1 + O(e2); sin = -e sin cos + O(e2). (27) Тогда с учетом формул (27) граничные условия (15) при r = r() примут вид Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде v1r - e sin cos v1 = -i(ur - e sin cos u);
rr - 2e sin cos r = -p1;
e sin cos (rr - ) + r = 0; (28) r - e sin cos = 0.
Запишем граничные условия (28) через функции q, uq, uq, uq (q = 0, 1).
s r 2 Для этого подставим в уравнения (28) разложения (21) и (23), учитывая при этом выражения (5), (6), (8), (9), (19), и приравняем члены с одинаковыми степенями e, стоящие в правой и левой частях каждого равенства. В полученных уравнениях параметр e будет входить как явно, так и неявно (в аргумент функций r). Поэтому предварительно разложим все функции в ряды Тейлора в окрестности точки r = a. Проделав указанные операции и сохранив только линейные относительно e члены, получим две системы для нулевой и первой степеней e, состоящие из четырех уравнений каждая:
при r = a (i + 0) s = -iu0;
r r u0 2u0 u0 1 2ur 2 2 ( + 2) + 2u0 + + ctg + = -i1(i + 0);
r s r a 2 sin1 u0 2u0 1 u0 1 2u0 1 ur 2 2 3 + - + - = 0; (29) a r a sin r a sin 1 u0 2u0 1 u0 2u0 1 ur 2 2 3 + - - + = 0;
sin r a r a 1 a 2(i + 0) 1 (i + 0) s s s + iu1 = - sin2 + sin cos r r 2 r2 a a u0 u0 ur 2 -i sin2 - sin cos - cos ;
2 r u1 2u1 u1 1 2ur 2 2 ( + 2) + 2u1 + + ctg + + i11 = r s r a 2 sina 2u0 a 2 ur r = sin2 - ( + 2) - + 2 + + - u0+ r 2 r2 2 a r a 1 2u0 u0 1 2u2 2 + - + ctg + 2 a 2 sin 3u0 2u0 1 3u0 2 2u2 2 2 - + ctg + + ctg + 2 r2 r r2 a sin2u0 1 u0 2 cos 2u0 2u0 u0 u2 2 3 3 3 +2 ctg - + a + - ctg - r a a r sin184 Л. А. Толоконников, А. В. Лобанов a 0 i s - i1 + ;
2 r r 1 u1 2u1 1 u1 1 2u1 1 ur 2 2 3 + - + - = a r a sin r a sin 1 2u0 u0 1 u0 r r r = - sin2 + 4 ctg - - ctg u0 + r 2 r r a a 3u0 2u0 4 2u0 1 u2 2 2 + a - - ctg + r2 r a 2 a 1 3u0 2u0 4 2u0 1 u0 4 u3 3 3 3 - sin a - - ctg + + ctg2 ; (30) 2 r2 r a a a 1 u1 2u1 1 u1 2u1 1 ur 2 2 3 + - - + = sin r a r a 1 2u0 1 u0 3u0 2u0 4 2ur r 2 2 = - sin - + a - - ctg 2 r a r2 r a 2 cos 2u0 1 u0 4 u0 1 3u2 2 2 - + + ctg2 + sin2 a a 2 a a 2 rsin2u0 2 2u0 1 u0 2 cos2 u3 3 3 - - ctg + +.
r a 2 a a sin Запишем граничные условия (16) при r = r2 через функции 2, uq, uq, r 2 uq (q = 0, 1).
Для этого подставим в уравнения (16) разложения (22) и (23), учитывая при этом выражения (6), (8), (9), (19), и приравняем члены с одинаковыми степенями e, стоящие в правой и левой частях каждого уравнения.
В результате получим две системы, состоящие из четырех уравнений каждая, для нулевой и первой степеней e:
при r = r= -iu0;
r r u0 2u0 u0 1 2ur 2 2 ( + 2) + 2u0 + + ctg + = -i20;
r r2 r 2 sin1 u0 1 u0 1 u0 2u0 1 2ur 2 3 2 - + + + = 0; (31) r2 r2 sin r sin r 1 u0 1 1 u0 u0 1 2u0 2ur 2 3 2 - - + - = 0.
r2 sin r2 sin sin r r = -iu1;
r r Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде u1 2u1 u1 1 2ur 2 2 ( + 2) + 2u1 + + ctg + = -i21;
r r2 r 2 sin1 u1 1 u1 1 u1 2u1 1 2ur 2 3 2 - + + + = 0; (32) r2 r2 sin r sin r 1 u1 1 1 u1 u1 1 2u1 2ur 2 3 2 - - + - = 0.
r2 sin r2 sin sin r r Рассмотрим третьи и четвертые уравнения систем (29) и (31). Каждое третье уравнение домножим sin и продифференцируем по, а затем сложим со своим четвертым уравнением, предварительно продифференцированным по.
В результате третьи и четвертые уравнения систем (29) и (31) заменим уравнениями 1 2u0 u0 1 2u0 1 2u0 u0 1 2ur r r 2 2 + ctg + - + ctg + + r 2 2 r 2 sin2 sin 2u0 u0 1 2u2 2 + + ctg + = 0; (33) r 2 sin1 2u0 u0 1 2u0 2u0 u0 1 2u3 3 3 3 3 + ctg + - + ctg + =0, r 2 2 r 2 sin2 sin(34) которые соответственно записываются при r = a и r = r2.
Замечаем, что функция u0 не связана с функциями u0 и u0 как в 3 r уравнениях движения (12)Ц(14), так и в краевых условиях, записанных при r = a и r = r2. При этом все уравнения для u0 являются однородными.
Поэтому можно утверждать, что функция u0 тождественно равна нулю.
Теперь рассмотрим третьи и четвертые уравнения систем (30) и (32), и выполним над ними те же операции, что указаны выше.
В результате с учетом того, что u0 0, вместо третьего и четвертого уравнений системы (30) будем иметь следующие уравнения:
при r = a 1 2u1 u1 1 2u1 1 2u1 u1 1 2ur r r 2 2 + ctg + - + ctg + + a 2 2 a 2 sin2 sin 2u1 u1 1 2u2 2 + + ctg + = r 2 sin1 3u0 1 3u0 7 2u0 1 2u0 1 2ur r r r r = - sin2 - - sin cos + sin2 + + 2 r2 2 r2 2 r 2a 2 2a u0 7 u0 r r +2(3 sin2 - 2) + sin cos + (2 - 3 sin2 )u0r r 2a a 186 Л. А. Толоконников, А. В. Лобанов a 4u0 a 4u0 3a 3u0 1 3u2 2 2 - sin2 - - sin cos + sin2 + 2 r22 2 r22 2 r2 2 r1 3u0 2 3u0 2 3u0 3 2u2 2 2 + + sin cos + ctg + sin cos + 2 r2 a 3 a 2 2 r 1 2u0 1 2u0 3 u2 2 + (8 - 13 sin2 ) - (1 + 4 ctg2 ) - sin cos ; (35) 2a 2 2a 2 2a 1 2u1 u1 1 2u1 2u1 u1 1 2u3 3 3 3 3 + ctg + - + ctg + = a 2 2 r 2 sin2 sin u0 1 2u0 u0 2 u0 1 2 2 = cos - u0 - a + - tg + u0. (36) 1 r a r2 r a a Вместо третьего и четвертого уравнений системы (32) получим следующие уравнения:
при r = r1 2u1 u1 1 2u1 1 2u1 u1 1 2ur r r 2 2 + ctg + - + ctg + + r2 2 2 r2 2 sin2 sin 2u1 u1 1 2u2 2 + + ctg + = 0; (37) r 2 sin1 2u1 u1 1 2u1 2u1 u1 1 2u3 3 3 3 3 + ctg + - + ctg + =0.
r2 2 2 r 2 sin2 sin(38) Подставим разложения (26) в системы уравнений вида (10), (13), (14), записанных для функций u0, u0 и u1, u1, u1. При этом воспользуемся r 2 r 2 уравнением для присоединенных многочленов Лежандра [10] 1 d d m2 m m sin Pn (cos ) + n(n + 1) - Pn (cos ) = sin d d sinи свойством ортогональности этих многочленов [10] 0, n = k;
m m Pn (cos )Pk (cos ) sin d = Nmn, n = k, 2 (n + m)! где Nmn = квадрат нормы присоединенных многочленов (2n + 1) (n - m)! Лежандра.
Получим две системы линейных однородных обыкновенных уравнений 0 второго порядка относительно неизвестных функций U1mn(r), U2mn(r) и 1 1 U1mn(r), U2mn(r), U3mn(r):
AqUq + BqUq + CqUq = 0 (q = 0, 1), (39) Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде 0 0 1 1 где U0 = (U1mn, U2mn)T ; U1 = (U1mn, U2mn, U3mn)T ;
1 a11 0 b11 b12 c11 cA0 = 0 a22 ; B0 = r b21 b22 ; C0 = r2 c21 c22 ;
a11 0 0 b11 b12 0 c11 c12 1 A1 = 0 a22 0 ; B1 = b21 b22 0 ; C1 = c21 c22 c23 ;
r r2 0 0 c0 0 a33 0 0 ba11 = + 2; a22 = a33 = ;
b11 = r( + 2 ) + 2( + 2); b12 = -n(n + 1)( + );
b21 = + ; b22 = r + 2; b33 = r + 2;
c11 = r22 - 2( + 2) + 2r - n(n + 1); c12 = n(n + 1)( + 3 - r );
c21 = r + 2( + 2); c22 = r22 - r - n(n + 1)( + 2);
c33 = r22 - r - n(n + 1).
Анализ систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами показывает, что все коэффициенты систем не зависят от индекса m. В третье уравнение системы (39) входит только функция U3mn, причем в первые два уравнения этой системы она не входит.
Теперь подставим разложения (1), (24)Ц(26) в граничные условия при r = a и r = r2. Воспользовавшись условиями ортогональности сферических гармоник, для каждой пары индексов n, m получим систему шести уравнений для отыскания функций с индексом q = 0 и систему восьми уравнений для отыскания функций с индексом q = 1.
Из первой системы находим выражения для коэффициентов A0, Bmn mn A0 = -[mnx1jn(x1) + iaU1mn(a)]/[x1h n(x1)], mn 0 Bmn = -ir2U1mn(r2)]/[x2jn(x2)] и четыре условия для нахождения частного решения системы (39), записанной при q = 0, [D0U0 + E0U0]r=a = G0; (40) [D0U0 + F U0]r=r2 = 0. (41) Из второй системы находим выражения для коэффициентов A1, Bmn mn iaU1mn(a) A1 = - + 1 ;
mn mn x1h n(x1) (42) 1 Bmn = -ir2U1mn(r2)]/[x2jn(x2)] и шесть условий для нахождения частного решения системы (39), записанной при q = 1, 188 Л. А. Толоконников, А. В. Лобанов [D1U1 + E1U1]r=a = G1; (43) [D1U1 + F U1]r=r2 = 0. (44) Здесь x1 = k1a; x2 = k2r2; штрихи у функций Бесселя означают дифференцирование по аргументу;
(r) + 2(r) 0 e11 eD0 = ; E0 = ;
0 r 1 -mn1 T f11 fF = ; G0 =, 0 ;
1 -x2h n(x1) (r) + 2(r) 0 0 e11 e12 D1 = 0 r 0 ; E1 = 1 -1 0 ;
0 0 r 0 0 -f11 f12 T F = 1 -1 0 ; G1 = -i11 hn(x1) + 2, 3, 4 ;
mn mn mn mn 0 0 -2 21ahn(x1) n(n + 1) e11 = + ; e12 = - ;
a x1h n(x1) a 2 22r2jn(x2) n(n + 1) f11 = + ; f12 = - ;
r2 x2jn(x2) r 1 = -x2[mkjk(x1) + A0 h k(x1)]mkn+ mn mk 2x1h n(x1)Nmn k=m 2 0 0 +2[mkjk(x1) + A0 hk(x1)]mkn - ia[aU1mk (a)1 - 2U2mk(a)mkn] ;
mk mkn 1 1 1 0 2 = mkn{-a ( + 2) U1mk (a) - a + 2 + U1mk (a)+ mn Nmn k=m 2 a 0 0 +2 - U1mk(a) + k(k + 1) U2mk (a) - - U2mk(a) a a -i1x1[mkjk(x1) + A0 h k(x1)] + mk 2 0 3 2 +mknU2mk (a) + 2 (mkn - mkn)U2mk(a) ;
a 0 0 3 = [8aU1mn (a) - 8U1mn(a) - m2U2mn(a)]+ mn 2(n + 1)Nmn 1 0 0 + { k(k + 1)[-aU1mk (a) + U1mk(a) - a2U2mk (a)+ (n + 1)Nmn k=m 0 1 0 +aU2mk (a)]mkn - 6[aU1mk (a) - U1mk(a)]1 + mkn Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде 0 0 0 0 +[3(a - 1)U1mk(a) + a2U2mk (a) - aU2mk (a) + U2mk(a)]mkn4 5 6 8 -2[mkn - m2mkn + 2mkn - 7 + m2mkn]U2mk(a)};
mkn m 0 0 4 = [-aU1mk (a) + U1mk(a) + a2U2mk (a)mn (n + 1)Nmn k=m 0 0 9 -aU2mk (a) - 3U2mk(a)]mkn + 2U2mk(a)10 ;
mkn 1 m m mkn = sin3 Pk (cos )Pn (cos )d;
d m m 2 = sin2 cos Pk (cos )Pn (cos )d;
mkn d d2 m 3 m mkn = sin2 cos Pk (cos )Pn (cos )d;
d d3 m 4 m mkn = sin2 cos Pk (cos )Pn (cos )d;
d d 5 m m mkn = cos Pk (cos )Pn (cos )d;
d d2 m 6 m mkn = sin Pk (cos )Pn (cos )d;
d d2 m 7 m mkn = sin3 Pk (cos )Pn (cos )d;
d 9 m m mkn = sin cos Pk (cos )Pn (cos )d;
d 10 m m mkn = sin2 Pk (cos )Pn (cos )d.
d При получении краевых условий (40) использовано выражение для вронскиана сферических функций Бесселя [10] jn(x)h n(x) - jn(x)hn(x) = i/x2.
190 Л. А. Толоконников, А. В. Лобанов Таким образом, для нахождения поля смещений в упругом сфероиде необходимо решить две краевые задачи (39), (40), (41) и (39), (43), (44).
Эти задачи могут быть решены различными методами, например, методами, изложенными в [11].
q q Используя найденные функции U1mn(r), U2mn(r) (q = 0, 1), определяем q коэффициенты Aq, Bmn. В результате получаем аналитическое описание mn акустических полей вне и в полости сфероида, а также поля смещений в неоднородном упругом теле.
Следует отметить, что выбор в качестве малого параметра величины e, выражающейся через квадрат эксцентриситета, позволяет расширить область применимости найденного приближенного решения.
Решение оказывается справедливым для сфероидов, изменяющих свою конфигурацию в более широких пределах, чем это было бы возможно, если в качестве малого параметра выбрать просто эксцентриситет сфероида.
Список литературы 1. Клещев А.А. Трехмерные и двумерные (осесимметричные) характеристики упругих сфероидальных рассеивателей // Акуст. журн. 1986. Т. 32. Вып. 2.
С. 268Ц271.
2. Бойко А.И. Дифракция звуковых полей на тонких упругих телах вращения // Акуст. журн. 1986. Т. 32. Вып. 4. С. 522Ц523.
3. Клещев А.А., Ростовцев Д.М. Рассеяние звука упругой и жидкой эллипсоидальными оболочками вращения // Акуст.журн. 1986. Т. 32. Вып. 5.
С. 691Ц694.
4. Толоконников Л.А., Скобельцын С.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде при наклонном падении // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тула: ТуПИ, 1991. С. 113Ц119.
5. Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на упругом сфероиде с малым эксцентриситетом в вязкой среде // Изв. ТуГУ. Сер. Математика. Механика.
Информатика, 1997. Т. 3. Вып. 1. С. 152Ц157.
6. Flax L. Dragonette L., Varadan V.K., Varadan V.V. Analisis and computation of the acoustic scattering by an elastic prolate spheroid obtained from the T-matrix formulation // J.Acoust. Soc. Amer., 1982. V. 71. N 5. P. 1077Ц1082.
7. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.
8. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 348 c.
9. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
10. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.: Физматгиз, 1963.
358 с.
11. Толоконников Л.А., Ларин Н.В. Рассеяние звука неоднородными термоупругими телами. Тула: Изд-во ТуГУ, 2008. 232 с.
Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде Толоконников Лев Алексеевич (tolla@tula.net), д. ф.-м. н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
обанов Алексей Викторович, аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Diffraction of a plane sound wave on a inhomogeneous elastic spheroid L. A. Tolokonnikov, A. V. Lobanov Abstract. The approached analytical decision of a problem diffractions of a plane sound wave on a inhomogeneous elastic spheroid is received.
Keywords: diffraction, sound waves, inhomogeneous elastic spheroid.
Tolokonnikov Lev (tolla@tula.net), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Lobanov Alexey, postgraduate student,department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 01.12.Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 192ЦМеханика УДК 538.Задача о вязкопластическом и сверхпластическом деформировании сферической мембраны С. А. Фурсаев Аннотация. Рассматривается конечное деформирование цилиндрической в начальном состоянии мембраны под действием равномерно распределенного по внутренней поверхности давления. Задача решается в рамках модели несжимаемого, жесткопластического материала, деформируемого при условии полной пластичности. Получены точные аналитические зависимости давления и кинематических характеристик от угла поворота нормали на краю мембраны. Установлены законы изменения удлинений и перемещений от радиальной координаты. Получено приближенное аналитическое решение для напряжений и распределения толщины мембраны с учетом вязкого деформирования.
Ключевые слова: мембрана, полная пластичность, конечные деформации, вязкость.
Pages: | 1 | ... | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | ... | 43 | Книги по разным темам