Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | ... | 43 | r r sin r 1 1 k 1 u = + (rV ) - k (rU).
r sin r sin r Компоненты тензора напряжений в упругом теле в сферической системе координат записываются в виде [6]:
ur u 1 u rr = ( + 2) + 2ur + + ctg u + ;
r r sin ur 2( + ) ( + 2) u 1 u = + ur + + ctg u + ;
r r r r sin ur 2( + ) u ( + 2) 1 u = + ur + + ctg u + ;
r r r r sin 1 ur u u r = - + ; (18) r r r 1 ur u u r = - + ;
r sin r r 1 u u = + - ctg u.
r sin Используя выражения (4), (5), (15)Ц(18), запишем граничные условия (13) и (14) через искомые функции s, 1, U, V, а затем подставим в эти условия разложения (1), (3), (9), (11) и (12).
В полученных уравнениях будут присутствовать функции координат обеих систем r1, 1, 1 и r2, 2, 2. На внешней границе r1 = r1(1) необходимо все функции записать в первой координатной системе, а на границе полости r2 = R во второй.
Для этого воспользуемся теоремами сложения для сферических волновых функций [3], которые имеют следующий вид:
q m p jn(k r1)Pn (cos 1)eim1 = Qpqmn(r12, 12, 12, k )jq(k r2)Pq (cos 2)eip2;
q=0 p=-q m hn(k r2)Pn (cos 2)eim2 = 174 Л. А. Толоконников q m-p = Rpqmn(r21, 21, 21, k )hq(k r1)Pq (cos 1)ei(m-p)1, q=0 p=-q где q+n iq-n m-p Qpqmn = 2 ib(nmqp)j(k r12)P (cos 12)ei(m-p)12;
Npq =|q-n| q+n i p Rpqmn = 2iq-n b(nmp)j(k r21)P (cos 21)eip21.
Np q =|q-n| Здесь через rsj, sj, sj обозначаются сферические координаты начала Oj в системе с началом Os (j, s = 1, 2), а коэффициенты b(nmqp) определяются через коэффициенты КлебшаЦГордана [3].
(j) (j) (j) В результате для нахождения коэффициентов Amn, Bmn, Cmn, Dmn (j = = 0, 1) приходим к бесконечным системам линейных уравнений вида q (i) (1i) (1) (2i) (2) (1i) (1) (2i) (2) mnpqApq + mnpqBpq + mnpqBpq + mnpqCpq + mnpqCpq + q=0 p=-q (1i) (1) (2i) (2) (i) +mnpqDpq + mnpqDpq = mn, i = 1, 2,..., 7; m = 0, 1,... ; n = |m|, |m| + 1,....
Выражения для элементов матриц и правых частей системы здесь не приводятся ввиду их громоздкости.
Решение бесконечной системы можно найти методом усечения [9]. При этом приближенные значения неизвестных коэффициентов разложений находятся с заданной степенью точности путем сопоставления последовательных решений конечных систем, получаемых из бесконечной системы путем ее усечения с возрастающими значениями порядка усечения.
(j) (j) (j) Определив коэффициенты Amn, Bmn, Cmn, Dmn (j = 0, 1), получаем аналитическое описание рассеянного акустического поля по формуле (3), а также поля смещений в упругом теле с помощью выражений (8)Ц(12).
Необходимо отметить, что представление рассеянного акустического поля в виде разложения (3) возможно, если поверхность упругого сфероида удовлетворяет гипотезе Рэлея [7]. Тогда ряды по сферическим функциям будут сходящимися. В [8] показано, что для вытянутого сфероида гипотеза Рэлея справедлива при <, а для сплюснутого сфероида сходимость будет всюду, кроме плоскости x1Oy1.
Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде со сферической полостью Список литературы 1. Толоконников Л.А., Филатова Ю.М. О дифракции плоской звуковой волны на упругом цилиндре с неконцентрической полостью // Изв. ТуГУ. Технические науки. 2009. Вып. 1. Ч. 2. С. 11Ц17.
2. Толоконников Л.А., Филатова Ю.М. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с произвольно расположенной сферической полостью // Изв.
ТуГУ. Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 115Ц123.
3. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.
4. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 348 c.
5. Морс Ф., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 2. М.: ИЛ, 1960. 886 с.
6. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
7. Шендеров Е.Л. Излучение и рассеяние звука. Л.: Судостроение, 1989. 302 с.
8. Кюркчан А.Г. Границы применимости представлений Рэлея и Зоммерфельда в трехмерных задачах дифракции волн // Радиотехн. и электрон. 1983. № 7.
C. 1275Ц1284.
9. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.:
Физматгиз, 1962. 708 с.
Толоконников Лев Алексеевич (tolla@tula.net), д.ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Diffraction of a plane sound wave on an elastic spheroid with arbitrary located spherical vacuity L. A. Tolokonnikov Abstract. The analytical decision of a problem diffractions of a plane sound wave on an elastic spheroid with arbitrary located spherical vacuity is received.
Keywords: diffraction, sound waves, elastic spheroid, spherical vacuity.
Tolokonnikov Lev (tolla@tula.net), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 06.06.Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 176ЦМеханика УДК 539.3:534.Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде Л. А. Толоконников, А. В. Лобанов Аннотация. Получено приближенное аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде.
Ключевые слова: дифракция, звуковые волны, неоднородный упругий сфероид.
Исследованию дифракции звука на упругих телах сфероидальной формы посвящен ряд работ, например, [1Ц6]. Однако во всех известных работах материал сфероидального рассеивателя полагался однородным.
В настоящей работе находится приближенное решение задачи дифракции плоской звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде.
Рассмотрим неоднородный упругий сфероид, имеющий сферическую полость радиуса r2. Будем считать, что окружающая сфероид и находящаяся в его полости жидкости являются идеальными сжимаемыми и однородными, имеющими в невозмущенном состоянии плотности 1, 2 и скорости звука c1, c2 соответственно. Пусть из внешнего пространства на сфероид произвольным образом падает плоская монохроматическая звуковая волна с временным множителем e-it, потенциал скоростей которой равен i = Ai exp[i(k1 r - it)], где Ai амплитуда; k1 волновой вектор падающей волны; r радиусвектор; круговая частота. В дальнейшем временной множитель e-it будем опускать.
Определим отраженную от сфероида и возбужденную в его полости звуковые волны, а также найдем поле деформаций в упругом слое.
Введем прямоугольную систему координат с началом в центре сфероида так, чтобы ось вращения сфероида располагалась на оси z.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-97509-р-центра).
Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде Свяжем со сфероидальным телом сферическую систему координат r,,. В этой системе координат падающая волна записывается в виде i = Ai exp{ik1r[cos cos 0 + sin sin 0 cos( - 0)]}, где 0 и 0 полярный и азимутальный углы волнового вектора падающей волны соответственно; k1 = /c1 волновое число внешней среды.
Плоская волна может быть представлена разложением [7] n m i = njn(k1r)Pn (cos ) cos m( - 0), (1) n=0 m=(n - m)! m m где n = Aiin(2 - 0m)(2n + 1) Pn (cos 0); Pn (x) присоединенный n + m)! многочлен Лежандра степени n порядка m; jn(x) сферическая функция Бесселя порядка n; 0m символ Кронекера.
Уравнение сфероида в сферической системе координат имеет вид r() = a(1 - e sin2 )-1/2. (2) Причем для вытянутого сфероида (a > b) 2 b2 1/e = ; = 1 -, 2 - 1 aа для сплюснутого сфероида (a < b) a2 1/e = 2; = 1 -.
bЗдесь эксцентриситет сфероида; a и b полуось вращения и вторая полуось сфероида соответственно.
В установившемся режиме колебаний потенциалы скоростей отраженной от сфероида s и возбужденной в его полости 2 звуковых волн являются решениями уравнений Гельмгольца [8] s + k1s = 0; (3) 2 + k22 = 0, (4) где k2 = /c2 волновое число жидкости в полости сфероида.
Потенциал скоростей s должен удовлетворять условиям излучения на бесконечности, а потенциал 2 условию ограниченности.
Потенциал скоростей полного акустического поля 1 равен 1 = i + s. (5) Скорости частиц и акустические давления во внешней среде (j = 1) и в полости тела (j = 2) определяются соответственно по формулам vj = gradj; pj = ijj. (6) 178 Л. А. Толоконников, А. В. Лобанов Распространение упругих волн в неоднородном слое описывается общими уравнениями движения упругой среды, которые для установившегося режима движения в сферической системе координат имеют следующий вид [9]:
rr 1 r 1 r + + + (2rr - - + r ctg ) = -i2ur;
r r r sin r r 1 1 + + + [( - ) ctg + 3r] = -i2u; (7) r r r sin r r 1 1 + + + (3r + 2 ctg ) = -i2u, r r r sin r где ur, u, u компоненты вектора смещения u в сферической системe координат; ij компоненты тензора напряжений; равновесная плотность упругого материала сфероида.
Используя связь компонентов тензора напряжений с компонентами тензора деформаций (обобщенный закон Гука), а также выражения компонентов тензора деформаций через компоненты вектора смещения [9], получаем в сферической системе координат следующие соотношения:
ur u 1 u rr = ( + 2) + 2ur + + ctg u + ;
r r sin ur 2( + ) ( + 2) u 1 u = + ur + + ctg u + ;
r r r r sin ur 2( + ) u ( + 2) 1 u = + ur + + ctg u + ;
r r r r sin 1 ur u u r = - + ; (8) r r r 1 ur u u r = - + ;
r sin r r 1 u u = + - ctg u.
r sin Будем полагать, что плотность материала сфероида описывается непрерывной функцией, а модули упругости дифференцируемыми функциями координаты r = (r); = (r); = (r).
Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде Подставим выражения (8) в уравнения (7). При этом для последующего разделения переменных в системе введем новые функции u2 и u3, связанные с u и u соотношениями u2 1 u3 1 u2 uu = + ; u = -. (9) sin sin С учетом (9) получаем следующую систему уравнений:
2ur 2( + 2) ur 2ur ur ( + 2) + + 2 + sin + + ctg + r2 r r r2 2 r 1 2ur + 2 + 3u+ + 2 - + 2 ur + + r2 2 r r2 r rsin + u2 + 1 3u2 + 3 2u+ ctg + + - + r r r r2 r r2 sin + 3 u+ - ctg = 0; (10) r r 2( + 2) ur + 2ur + 2 3u2 3u+ + + + + r r2 r r r2 3 r + 2 3u2 + 2 2u2 2 2u+ + ctg + + 2 r2 2 r r r2sin2( + 2) 2u2 + 2 u2 3u- ctg - + - 2 + + 2 r sin rr2sin2 r2sin 3u3 3u3 1 2 2u+ + + + + r2 sin 2 3 sin r r r2sin 2u3 1 u+ ctg - - 2 = 0; (11) r2 sin sin r 1 2( + 2) ur + 2ur + 2 3u2 3u+ + + + + sin r r2 r sin r 3 sin rr2sin + 2 3u2 + 2 2u2 1 2 2u+ + ctg + + r2 sin 2 r2 sin sin r r 1 u2 3u3 u- - 2 + + + - 2 sin r r2 3 r r2sin3u3 3u3 2 2u3 2 2u- - - + + ctg r2 2 r r r2sin2 r2sin 2u- ctg = 0. (12) r2 180 Л. А. Толоконников, А. В. Лобанов Здесь штрихами обозначено дифференцирование по радиальной координате r.
Преобразуем уравнения (11) и (12). Для этого уравнение (11) домножим на sin и продифференцируем по, а уравнение (12) продифференцируем по. Складывая полученные уравнения, приходим к уравнению, содержащему только функции ur и u2:
1 2( + 2) 2ur 1 2( + 2) 2ur + 3ur + sin + + + + r r 2 sin r2 2 r sin r + 3ur + 2ur 1 2( + 2) ur + sin + cos + + cos + r r2 r r r r + 2 4u2 + 2 4u2 2( + 2) 3u2 4u+ sin + + cos + sin + r2 4 4 r2 3 rr2sin 4u2 2( + 2) 4u2 3u2 1 2 3u+ + + cos + + + sin r22 sin 22 r2 sin r r2 3u2 2( + 2) 3u2 2 2u+ + sin - cos + + cos r r2 2 r r r2sin + 2 + 2 2u- + - 2 sin + + r2 r r2 sin 1 + 2 u+ - + 2 cos + r rsin1 2( + 2) 2u+ (1 + cos2) - + 2 = 0. (13) sin r r2sinТеперь продифференцируем уравнение (11) по, и вычтем уравнение (12), предварительно умноженное на sin и продифференцированное по. В результате получим уравнение, в котором присутствует только функция u3:
4u3 4u3 4u3 4u3 2 4usin + + sin + + + r2 4 4 r22 sin r22 r2 sin r2sin2 3u3 3u3 2 3u+ cos + cos + + sin + r2 3 r2 r r1 2 3u3 2 3u+ + - cos sin r r2 sin 2u- (1 + sin2) + - 2 sin + r2 sin r 2 1 2u3 2 2u+ (1 + cos2) - - 2 + + cos + sin r 2 r r r2sinДифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде u+ + 2 cos = 0. (14) r2sinТаким образом, распространение упругих волн в неоднородном упругом сфероиде будем описывать системой уравнений (10), (13), (14).
Искомые функции s, 2, ur, u2, u3 должны удовлетворять граничным условиям на внешней поверхности сфероида r = r() и на поверхности его полости r = r2. Граничные условия заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости на обеих поверхностях, отсутствии на этих поверхностях касательных напряжений, равенстве на них нормального напряжения и акустического давления:
при r = r() v1n = -iun; nn = -p1; n = 0; n = 0; (15) при r = rv2r = -iur; rr = -p2; r = 0; r = 0. (16) Нормальные компоненты вектора скорости v1 и вектора смещения u определяются через соответствующие компоненты в сферической системе координат по формулам v1n = v1r cos + v1 sin ; un = ur cos + u cos, (17) а нормальные и касательные компоненты тензора напряжений по формулам nn = rr cos2 + 2r sin cos + sin2 ;
n = (-rr + ) sin cos + r(cos2 - sin2 ); (18) n = r cos + sin, где угол между внешней нормалью n к поверхности сфероида и радиусвектором r.
При этом j 1 j vjr = ; vj = (j = 1, 2); (19) r r -1/e sin cos cos = 1 +. (20) 1 - e sinРассмотрим случай, когда квадрат эксцентриситета сфероида есть малая величина. Используя в качестве малого параметра величину e, искомые функции s, 2, ur, u2, u3 представим в виде разложений по степеням e, ограничиваясь при этом линейными относительно e членами:
s = 0 + e1 +... ; (21) s s 2 = 0 + e1 +... ; (22) 2 ur = u0 + eu1 +... ;
r r u2 = u0 + eu1 +... ; (23) 2 182 Л. А. Толоконников, А. В. Лобанов u3 = u0 + eu1 +....
3 Подставим разложение (21) в уравнение (3), разложение (22) в уравнение (4), а разложения (23) в систему (10), (13), (14), и приравняем члены с одинаковыми степенями e, стоящие в левой и правой частях каждого из полученных равенств. В результате получим для нахождения функций 0 и 1 уравнения Гельмгольца вида (3), функций 0 и 1 уравнения s s 2 Гельмгольца вида (4), а для нахождения функций u0, u0, u0 и u1, u1, ur 2 3 r 2 системы уравнений вида (10), (13), (14).
Так как потенциал s должен удовлетворять условиям излучения на бесконечности, то функции q (q = 0, 1) будем искать в виде s n m q = Aq hn(k1r)Pn (cos ) cos m( - 0), (24) s mn n=0 m=где hn(x) сферическая функция Ханкеля первого рода порядка n.
Учитывая условие ограниченности для потенциала 2, функции q (q = = 0, 1) будем искать в виде n q m q = Bmnjn(k2r)Pn (cos ) cos m( - 0). (25) n=0 m=Функции uq, uq, uq (q = 0, 1) будем искать в виде r 2 q m uq(r,, ) = U1mn(r)Pn (cos ) cos m( - 0);
r n=0 m= q m uq(r,, ) = U2mn(r)Pn (cos ) cos m( - 0); (26) n=0 m= q m uq(r,, ) = U3mn(r)Pn (cos ) sin m( - 0).
Pages: | 1 | ... | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | ... | 43 | Книги по разным темам