3 Оценивание функций спроса для групп продовольственных товаров по российской экономике за 1999-2004 гг. Бондарев А.1 1 В ходе данной работы неоценимой оказалась помощь П.А. Кадочникова, О.В. Лугового, С.Г. Синельникова-Мурылева, как в

Книги по разным темам Pages: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... | 16 |

N N N N N + ln pm - lnY k km km k =1 k =1 m=1 k =1 m=Где Y-доход, v - относительные цены.

Транслоговая функция полезности линейно однородна только в том случае, когда N = 1, i i = (8) N = ij i =Только при выполнении ограничений (8) результирующая система спроса становится линейна по неизвестным (оцениваемым) параметрам. Однако предположение об однородности функции косвенной полезности является очень ограничивающим с содержательной точки зрения, так как это означает, что все эластичности по доходу должны быть единичными, что не является реалистичной предпосылкой и противоречит закону Энгеля.

Поэтому результирующая система спроса (7) как правило, нелинейна по параметрам и не гомотетична. Однако она однородна степени ноль по части своих параметров. Поэтому для получения среднего рыночного спроса в данной модели необходимо введение нормализующего условия на те параметры индивидуального спроса, которые не обладают однородностью.

В итоге можно получить [9,31] средние функции рыночного спроса в форме долей расходов:

N N i + ln p - ln y* ij j ij j=1 j=wi = pi xi * / y* = (9) N N N + ln pm k km k=1 k=1 k=Институт экономики переходного периода Оценивание функций спроса для групп продовольственных товаров по российской экономике за 1999-2004 гг.

Где xi* - средний по агентам спрос на товар i;

y* - средний по агентам доход, - некоторая константа, получаемая из агрегированного спроса и дохода.

Эта формула получается после определения формы агрегированного спроса как интеграла от индивидуального спроса (7) и последующего его усреднения по индивидам.

Такая форма спроса служит неким аналогом спроса репрезентативного потребителя, но не требует эксплицитно одинаковости спроса по потребителям, как в Роттердамской модели.

Так определенная транслоговая модель спроса является достаточно общей, так как позволяет оценивать функции спроса при нарушении предпосылки однородности функции полезности, однако при этом интерпретация оцениваемых коэффициентов модели становится непрозрачной из-за аналитической сложности получаемых итоговых зависимостей.

1.5. Модель AIDS.

Модель AIDS, выведенная в 1980 г. Мюллбауером [4], исходит, в отличие от предыдущих 2 рассмотренных моделей, не из максимизации функции полезности или формы косвенной функции полезности, но из принадлежности предпочтений потребителя к определенному классу предпочтений.

С точки зрения практических приложений, модель AIDS является неким компромиссом между простотой и негибкостью Роттердамской модели и сложностью и гибкостью транслоговой. Рассмотрим подробнее формальные основания данной модели, т. к. именно она выбрана в качестве функциональной формы для эконометрического исследования. Изложение базируется на центральной статье по модели AIDS [4].

AIDS основана на специальном классе предпочтений, формально определенном в статьях Мюллбауера 1975 и 1976 гг., называемом PIGLOG. Особенностью данного класса предпочтений является то, что они однозначно характеризуются с помощью функции расходов, а не полезности. Такая функция определяет минимальные расходы, необходимые для достижения некоего заданного уровня полезности. С точки зрения теории двойственности, в точке оптимального выборая функция расходов тождественно равна косвенной функции полезности. Класс предпочтений PIGLOG, таким образом, определяется видом функции расходов:

log c(u, p) = (1 - u) log{a( p)}+ u log{b( p)} (10) Где a(p), b(p) есть некоторые положительные линейно однородные функции цен.

Институт экономики переходного периода Оценивание функций спроса для групп продовольственных товаров по российской экономике за 1999-2004 гг.

В подробностях особенности данного класса предпочтений обсуждаются в [4]. Здесь достаточно привести общий вид этих предпочтений.

Для вывода модели AIDS из общего вида предпочтений (функции расходов в данном случае) достаточно задаться некоторым специальным видом функций a(p), b(p).

Основным требованием при выборе данных функций является гибкость результирующей функции расходов, достаточная для того, чтобы ее первые и вторые производные могли быть равны аналогичным производным некоторой фактической функции расходов. Для этого в модели AIDS выбирается такой вид данных функций a(p), b(p), чтобы результирующая функция расходов принимала вид:

k * logc(u, p) = 0 + log pk + pk (11) k log pk log p + ukj j k k j k Где,,* - некоторые параметры.

Вид данной функции напоминает вид транслоговой косвенной функции полезности и даже несколько сложнее ее, но в данном случае это функция расходов, что вносит значительные отличия в последующие построения.

Функция (11) линейно однородна по ценам (что необходимо, чтобы она соответствовала тому классу предпочтений, на который опирается) только тогда, когда:

Х сумма параметров равна единице, Х сумма параметров равна сумме параметров и равна нулю.

Так выбранная функциональная форма является достаточно гибкой для целей анализа. Применение леммы Шепарда (Приложение 1) и домножение результирующих производных на отношение цен товаров к функции расходов дает формулу для доли расходов на каждый товар как функции полезности и цен:

log c(u, p) pi piqi = = wi ;

log pi c(u, p) c(u, p) k (12) wi = + log p + iu0 pk i ij j j В точке оптимального выбора общие расходы равны доходам потребителя, что дает возможность получить функцию полезности через косвенную функцию полезности.

Применяя данную процедуру к функции (11), возможно получить косвенную функцию полезности для модели AIDS. После ее подстановки в выражение для долей расходов (12) получается система уравнений на функции спроса для модели AIDS в виде долей расходов:

wi = i + log p + i log(x / P) (13) ij j j Где x - доход потребителя, а P - некоторый индекс цен, равный (получается из вышеописанной процедуры):

log P = 0 + log pk + log p log pk (14) k kj j kk j В таком виде модель обладает хорошими теоретическими свойствами: спрос точно агрегируется по потребителям, модель содержит в себе в качестве частного случая Роттердамскую модель, коэффициенты при ценах и доходе имеют достаточно прозрачную интерпретацию. [4] Функции (13) эквивалентны функциям потребительского спроса на товары только в точке оптимального выбора потребителя, где выполняется тождественность функции расходов и косвенной функции полезности. Это является единственной предпосылкой, необходимой для существования спроса в форме функций (13) - в форме долей расходов.

С практической точки зрения, вышеопределенный индекс цен (14) является нелинейным по параметрам и без включения дополнительных условий на параметры (что снижает эффективность оценивания [1]) не оценивается без применения численных алгоритмов. Поэтому авторы модели предлагают линейное приближение данного индекса цен индексом цен Стоуна. Это приближение широко впоследствии использовалось в прикладных исследованиях и получило название LA/AIDS, в отличие от оригинальной (нелинейной) AIDS. [28] В позднейших исследованиях отмечается близость результатов оценивания с помощью оригинальной спецификации AIDS и спецификации LA/AIDS, хотя она приводит к некоторому смещению оценок при использовании микроданных. [6] Спецификация LA/AIDS выглядит (после замены индекса цен приближением индексом Стоуна) следующим образом:

wi = (i - i log) + log p + i log x - log log pk,i = 1,.., N (15) ij j wk j k Где второй член в квадратных скобках есть индекс цен Стоуна.

Второй практической трудностью, связанной с использованием данной модели является неочевидная связь между оцениваемыми коэффициентами и эластичностями компенсированного и некомпенсированного спроса. Данному вопросу посвящен следующий пункт.

1.6. Вывод эластичностей спроса для моделей спроса различных видов. Специфика модели AIDS.

Из трех рассмотренных выше видов моделей спроса, представителями которых являются Роттердамская и транслоговая система, а также модель AIDS, только для первого их вида очевидной является связь между оцененными коэффициентами модели и соответствующими эластичностями спроса на товары. Как уже отмечалось при обсуждении Роттердамской модели, коэффициенты при ценах являются соответствующими коэффициентами матрицы Слуцкого, а при доходе - предельной склонностью к потреблению.

Для второго вида моделей, примером которых является транслоговая модель (также к этому виду моделей относятся модели с использованием обобщенных функций Леонтьева и Кобб-Дугласа), вывод эластичностей спроса напрямую вытекает из вида тождества Роя.

Эластичность функции спроса есть ее производная по соответствующей переменной, домноженная на обратное соотношение этой переменной и спроса. Тогда взяв соответствующие производные от выражения, определяющего функцию спроса в тождестве Роя, возможно получить выражения для эластичностей через функцию косвенной полезности (чьи параметры и оцениваются в рамках данного вида моделей):

N * v* 2h(v*)/vivj j vj 2h(v*)/vivj v* j j=q pj = -vj*h(v*)/vj - ;

N N i * * h(v*)/vi h(v*)/vi h(v*)/vi vi vi i=1 i=N N N N N * 2h(v*)/vivj h(v*)/vi *2h(v*)/vivj *2h(v*)/vivj * *2h(v*)/vivj vj vkvj vi vi j=1 k=1 j=i=1 i=q pj S = - - + N i h(v*)/vi h(v*)/vj h(v*)/vi h(v*)/vj * h(v*)/vi vi i=(16) Первая формула в (16) есть формула ценовой эластичности некомпенсированного (Маршаллианского) спроса, а вторая - компенсированного спроса по Слуцкому (Хиксианского). Эластичность по доходу может быть получена как разность этих двух выражений исходя из формы уравнения Слуцкого в эластичностях. [9] Формулы этих эластичностей громоздки в общей формулировке, однако они явным образом выводятся из функции косвенной полезности с использованием тождества Роя, что не представляет собой теоретически сложной задачи.

Для моделей 3-го вида - к которому принадлежит модель AIDS и ее многочисленные модификации, данная проблема не столь технически сложна, но сложна теоретически.[28].

Исходная (нелинейная) AIDS редко используется в анализе, чаще используют ее линеаризованную версию [20]. Существует по крайней мере 3 различных версии расчета эластичностей системы (15) отличающихся различной степенью приближения к эластичности оригинальной системы (13).

Теоретически эластичность спроса может быть определена как логарифмическая производная. Тогда прямой расчет этой эластичности приводит к формуле:

d ln qi d ln wi i d ln P ij = = -ij + = -ij + - (17)qi p j d ln p d ln p wi wi d ln p j j j Эта общая формула есть прямое следствие формулы (13) и получается прямым подсчетом ько производная индекса цен по цене товара. Так, если использовать индекс цен (14), то получается ценовая эластичность (после подстановки производной выражения (14) по цене) товара i:

d ln qi d ln wi i ij = = -ij + = -ij + - + ln pk (18) qi p j d ln p d ln p wi wi i kj k j j Где в квадратных скобках стоит производная индекса цен (14) по цене j.

При использовании же линеаризованной версии модели (15), с применением индекса цен Стоуна, данная производная выглядит по-другому:

d ln qi d ln wi i ij q p = = -ij + = -ij + - + ln pk ( + kj );

wk qk p i j j d ln p d ln p wi wi wj k j j d ln wk d ln P* = wj + ln pk = wj + ln pk (q p + kj ).

wk wk k j d ln p k d ln p k j j (19) Т. е. формула индекса Стоуна такова, что расчет эластичностей с использованием ее производной по той же формуле, что и (17), но с заменой индекса цен, приводит к системе рекурсивных уравнений относительно ценовых эластичностей размерности n2.

Такой результат, очевидно, не является удовлетворительным, поэтому возник ряд Символ Кронекера появляется в выражении благодаря тому, что цена того же товара, для которого рассчитывается эластичность, участвует как в формуле для доли расходов (13), так и в самой доле расходов (12).

подходов к упрощению данной формулы с помощью введения некоторых дополнительных предпосылок.

Так, в [28] описано два варианта упрощения формулы (19). Первый возникает, когда производная индекса цен Стоуна равна доле расходов на тот товар, по чьей цене рассчитывается эластичность d ln P* = w ;

j d ln p j d ln wi i (20) ij = - + = - + - w.

qi p ij ij j d ln p wi wi j j Вторая, еще более упрощенная формула возникает только при выполнении предпосылки гомотетичности препочтений i = 0i;

(21) d ln wi ij = -ij + = -ij +.

qi p j d ln p wi j Последняя предпосылка является излишне ограничивающей и нереалистичной. В то же время предположение, на котором строится формула (20) - независимость индекса цен от доли расходов на товар, чья эластичность рассчитывается - вполне правдоподобна, учитывая тот факт, что в практическом анализе индекс цен обычно рассчитывается на основании имеющихся данных и впоследствии воспринимается как экзогенная величина.

Исследование, проведенное в [28], показало, что эластичности, рассчитанные по формуле (20) хорошо приближают истинные эластичности модели AIDS, в то время как эластичности (19) и (21) - нет. Это является одним из оснований для использования именно этой формы приближения эластичностей в практической части работы.

Эластичность компенсированного спроса рассчитывается исходя из уравнения Слуцкого после расчета эластичностей некомпенсированного спроса по ценам и по доходу.

Эластичность спроса по доходу, исходя из уравнения (15), выглядит так d ln qi d ln wi i = = 1+ = 1+. (22) qi x d ln x d ln x wi Согласно формулам (20) и (22) рассчитаны эластичностиспроса в эмпирической части работы.

2. ОСНОВНЫЕ ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА СПРОС НА ПРОДОВОЛЬСТВЕННЫЕ ТОВАРЫ Как известно из микроэкономической теории, основными факторами, определяющими величину спроса на товар, являются цена этого товара, цены товаровзаменителей и дополняющих к данному товару, а также величина дохода потребителя.

Pages: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... | 16 |

Книги по разным темам

Blog