Книги по разным темам
Pages: | 1 | 2 | 3 | параметру -, поскольку основной вклад в интеграПосле этого получим лы (26) вносит узкая полоска энергий | - | kBT, () =<() +2k()>(), ( - )n () =() + (n)(), 2 m( ) n! <() = 2k k fk, n= V k |k |
k() В разложение (27) входят значения производных при =, поэтому проанализируем коэффициенты An( ), Подстановка выражений (25) в (24) дает нам неодно- Bn() и Cn( ) и выделим члены, вносящие вклады лиродное интегральное уравнение Вольтерра для (), нейные по параметру kBT /. Тогда для производных Физика твердого тела, 1999, том 41, вып. 1758 И.Г. Кулеев функции () при n 2 найдем слагаемым в (32) можно пренебречь, и тогда выражение для 0() находится просто n-1 f(n)( ) - 2k( ) () n-1 = ene kB 0( ) =- E + Aph( )T, (33) (1 - ) e n - 2 n-2 f+ F(-kBT ). (29a) kBT n-2 = где = F2kF () Ч параметр, характеризующий степень влияния неравновесности электронов через фоноЗдесь ( ) =F[() +ne1()]. Подстановка (29a) в ны на функцию распределения электронов. Он равен (27) дает выражение отношению времени свободного пробега электрона ко времени, в течение которого импульс, переданный элек() =() +kBT 2k() тронами фононам, возвращается обратно в электронную n f0() систему. Решение (33) фактически соответствует при >( ) - ближению, принятому в работе [11].
n =n=Для того чтобы найти решение уравнения (32) в перn+1 nn+вом порядке по параметру вырождения, подставим (31) ()+ Fne(-kBT ), (30) (n + 1)! (n + 2)! в (32) и выполним интегрирование по. В результате получим алгебраическое уравнение для функции (), где =( - )/kBT является фактическим параметром решение которого имеет вид энергетического разложения. В окрестности уровня Ферми неравенство || 1 не выполняется. Поэтому знаkBT кочередующиеся ряды (30) являются асимптотическими, () = (1)() - J12Dne1( ) что не позволяет ограничиться конечным числом членов.
Суммирование бесконечных рядов дает -kBT 1 - + D[J1+ln 2], (34) () =() +kBT 2k( ) >() - f1()F[() +ne1()]- f2Fne(-kBT ), f J1 = d - f1() 0.31, = f1() =ln 1 + exp(-) - ln(2) +/2, f0 exp() f2() = f1() - 2 d f1( ). (31) - =, exp() +Таким образом, используя (27) и выражения (28)Ц(30), мы нашли зависимость функции () от энергии и двух fконстант ( ) и >(), которые подлежат определению.
(1)() =ne d - 2k() ()1() Отметим, что функция f1() симметрична относительно замены на -, а функция f2() Ч антисимметрична относительно такой замены, поэтому () также может kBT fбыть разделена на две части: симметричную Ч s() и + ne2k( )D d - ()1() антисимметричную Ч a().
Для определения функции () воспользуемся разлоkB kBT жением 2k() - 2k() ( - ) 2k( ) и перепишем = - ene E + Aph()T 1- D ln уравнение (26) для () в виде e f() = d - 2k()() 2 kB kBT + D3T, (35) 3 e kBT fгде D3 = (d/d) ln m() ()1/2. Решение - 2k( )D d - (), (32) 2k = уравнения для функции >() находится аналогично рассмотренному выше: в выражение (25) подставим (31) где = + kBT, а D = (d/d) ln 2k().
и выполним интегрирование по. В результате полу= В нулевом порядке по параметру вырождения вторым чим алгебраическое уравнение, решение которого может Физика твердого тела, 1999, том 41, вып. Электрон-фононное увлечение, термоэлектрические эффекты и теплопроводность... быть представлено в виде Выполнив интегрирование по параметру, получим kB j2 = xx E + Aph()T >() = (1)>() +F() e kBT 1 kBT 1 - D ln 2 + J1(1 +) + (2ln2D4 - J1D) 2 kB kBY kBT + D5T - neFD J11()+ J2(-kBT ) 3 e --kBT kBT 1 - + D[J1+ln 2]. (37) 1 - ln 2D, Выражение (37) позволяет исследовать довольно экзоти1 kB ческий случай полного взаимного увлечения электронов (1)>( ) =- eneF E + и фононов [5], когда скорости дрейфа и электронов, и 2 e фононов настолько близки друг другу, что выполняется 2 kBT неравенство 1 - kBT/. В этом случае ток j2 будет Aph() +2ln2+ D5 T больше тока j1 в /kBT раз, а сопротивление металла, если не учитывать температурной зависимости величины kBT kB D, пропорционально T6. Однако детальный анализ этой + 2ln2 ED5 + AphDAT, e асимптотики требует отдельного рассмотрения. Для более реалистического случая (kBT /) 1 -, разложив знаменатель по малому параметру, найдем f J2 = d - f2() 0.11, = xx kB kBT j2 = E + Aph()T 1 - DC 1 - e 3 2 kB kBY d m() + D3T, D4 = ln (), 3 e d k() = C =(ln 2 + J1)(1 - )-1 1/(1 - ). (38) = При 1 ток j2 j1, и эффектами взаимного увлеd D5 = ln m() (). (36) чения можно пренебречь. С увеличением параметра d = возрастает роль тока j2 и при > 1/2 |j2| > |j1|. В этом В нулевом порядке по параметру вырождения имеем случае пренебрежение эффектами взаимного увлечения приведет к качественно неправильным результатам при интерпретации экспериментальных данных. Как видно 1 kB >( ) =- eneF E + Aph()T из (38), дрейфовый ток (пропорциональный напряженно2 e сти электрического поля E) и ток увлечения (пропорциоkB нальный AphT ) перенормируются одинаковым образом (1 - )-1 + 2ln2 T. (36a) e из-за влияния неравновесности электронов на фононную систему. Последнее слагаемое в формуле (38) является поправкой к диффузионному току. Объединяя результаты Подстановка выражений (34)Ц(36) в (31) дает нам (16) и (38), для кинетических коэффициентов xx и xx решение интегрального уравнения для функции (), получим справедливое в линейном приближении по параметру вырождения. Это решение позволяет вычислить потоки kBT xx = xx 1 - DC, (39) и проанализировать зависимость кинетических коэффи циентов от температуры как в случае слабого ( 1), так и в случае сильного ( 1) взаимного увлечений kB kBT xx = - xx Aph() 1 - DC электронов и фононов.
e Прежде всего, вычислим поток заряда j2, обусловлен2 kBT ный неравновесной добавкой у функции распределения + D1 +(D3 - D1), (40) (2) электронов fk. Подставим (31) в (23) и убедимся, что в линейном приближении по kBT / в поток заряда j2 где xx = xx(1 - )-1 = e2neF/mF, а F = F(1 - )- вносит вклад только симметричная часть функции (). = e Ч перенормированное время релаксации элек-Физика твердого тела, 1999, том 41, вып. 1760 И.Г. Кулеев Первые два члена в выражении (42)получаются в стандартной теории [3], третий член в фигурных скобках, пропорциональный параметру, обусловлен влиянием неравновесности электронов на фононную систему. Прежде всего, следует отметить, что, как видно из формулы (38), дрейфовый ток и ток увлечения за счет влияния неравновесности электронов на фононную подсистему перенормируются одинаковым образом, поэтому вклад фононного увлечения в термоэдс ph не перенормируРис. 2. Схема, иллюстрирующая возникновение термоэдс в ется. Возникновение добавки от взаимного увлечения проводниках. jdif Ч диффузионный ток, jdr Ч дрейфовый ток, jdrag Ч ток, обусловленный фононным увлечением. в диффузионную компоненту термоэдс также физически понятно. Поскольку термоэдс находится из условия jx = 0, то средняя скорость упорядоченного движения электронов равна нулю. Поэтому передача импульса от тронов. Нетрудно убедиться, что электронов в фононную подсистему (рис. 3) происходит e = ei + eph - 2kF = ei + eph, за счет зависимости эффективной массы, квазиимпульса электронов и параметров рассеяния от энергии электро phe(q) нов в окрестности уровня Ферми, т. е. этот вклад должен eph = eph(kF, q) 1 -. (41) ph(q) быть пропорциональным kBT / и производной перечи z 2kF сленных параметров по энергии электрона. Это и следует Из формулы (39) следует, что взаимное влияние неиз формулы (42). Заметим, что при расчете термоэдс равновесности электронов и фононов приводит к поавторы [11,12] ограничились нулевым приближением по явлению членов, линейных по параметру вырождения в вырождению электронного газа, поэтому диффузионный выражении для электропроводности. В нулевом порядке вклад в термоэдс, в том чилсе и добавка от взаимнопо этому параметру электропроводность xx = xx, что го увлечения полностью выпали из рассмотрения. Как отличается от выражения, найденного в работе [11], выправило, для вырожденных полупроводников с большой делением вкладов продольных и поперечных фононов и концентрацией заряженных дефектов добавка в термоболее строгим усреднением частот релаксации фононов, эдс, обусловленная взаимным увлечением, мала в силу входящих в функцию 2kF.
малости параметра, однако для полуметаллов вклад Перенормированная частота релаксации электронов может быть заметным. Можно определенно утверждать, на фононах eph отличается от приведенной в [15] только что в той области температур (рис. 3), где доминирует выделением вкладов поперечных и продольных фоновклад фононного увлечения |ph| dif, слагаемым, нов. Как видно из (41), взаимный обмен импульсами пропорциональным, в практических расчетах можно между электронной и фононной подсистемами приводит пренебречь. Однако в строгой теории при расчете кинек уменьшению эффективной частоты релаксации электронов на фононах eph. Эта перенормировка может быть существенной, если для актуальных волновых векторов фононов доля импульса фононов, передаваемая в электронную подсистему и пропорциональная отно шению phe(q)/ph(q), будет не слишком мала. Однако для того чтобы этот эффект оказал заметное влияние на подвижность электронов необходимо, чтобы доля импульса электронов, передаваемая в фононную подсистему и пропорциональная величине eph/e, также была не слишком мала, и. е. частота релаксации электронов на фононах должна быть сравнима с частотой релаксации электронов на примесях.
Рассмотрим теперь, как сказывается эффект взаимного увлечения на термоэлектродвижущую силу вырожденного проводника. На рис. 2 приведена схема, иллюстрирующая возникновение термоэдс в полупроводниках.
Термоэдс находится из условия jx = jdr + jdif + jdrag = 0, поэтому из формул (21), (39) и (40) следует Рис. 3. Типичная зависимость термоэдс вырожденного полуkB 2 kBT проводника от температуры. Штриховая вертикальная линия = - Aph + D1 +(D3 - D1) разделяет области температур, где доминирует вклад фононноe го увлечения (T < Tmin), и область (T > Tmin), где доминирует = ph + dif. (42) диффузионный вклад.
Физика твердого тела, 1999, том 41, вып. Электрон-фононное увлечение, термоэлектрические эффекты и теплопроводность... тических коэффициентов (в частности, xx) это слагае- быть включено в фононный поток тепла. В результате мое необходимо сохранить. В противном случае нам не такого разделения выражения для кинетических коэффиудастся обеспечить выполнение соотношений Онзагера циентов принимают вид для кинетических коэффициентов [10].
xx = T xx, Расчет потока тепла W(2) производится аналогично выe числению тока j(2). В формулу (23) подставим выражеz d ние (31) и выполним интегрирование по, ограничиваkBs2 q T 0 ph = dz(z)4Nq(Nq + 1) ясь линейным приближением по параметру вырождения 62 q q kBT W(2) = - L0T xx e phe(z) kBT kBT 1 + Aph() 1- DC, e( ) s e e ED3 + D3Aph - (1 - )DC2 T, xx = L0xxT kB kBT kBT (1 - ) 1 + DC2 + f J3 = d - f2() 0.381, = Aph( ) D2 + DA +(2D3 - D2 - DA), (46) C2 = ln 2 - J3 0.577. (43) = где xx определяется выражением (40). Итак, непоИз формул (17) и (43) для потока тепла We находим средственно из расчета мы убедились, что соотношения Онзагера для кинетических коэффициентов xx и xx eT выполняются при учете взаимного влияния неравновесWe = - L0xxT D1 +(D3 - D1) E ности электронов и фононов. Это говорит в пользу того, что наш метод позволяет корректно учесть эффекты kBT kBT взаимного увлечения электронов и фононов при вычи+ (1 - ) 1 + DC2 + слении кинетических коэффициентов вырожденных проводников. Отметим, что нами не использовалось пред положение о малости параметра, характеризующего Aph D2 +(D3 - D2) T. (44) степень взаимного увлечения.
Электронная теплопроводность обычно находится при Сравнивая кинетические коэффициенты в потоках j и условии jx = 0. В этом случае электронный поток тепла We, убеждаемся, что соотношение Онзагера для них пропорционален градиенту температуры не выполняется. Следует принять во внимание поток e We = -eT, e = xx - T xx. (47) петла W(2), переносимый фононами, но обусловленный phe неравновесной добавкой к функции распределения электИз выражений (46), (40) и (42) находим (2) ронов fk.
В том же приближении поток тепла W(2) выражается kBT phe e =L0xxT (1 - ) 1 + kB через ток j2 следующим образом: W(2) = - TAph()j2.
phe e В результате для потока Wphe получим DC2 + Aph()(D2 + DA - 2D1) kBT kB 3 kBT Wphe = - xxAph( ) E + Aph()T - A2 ( ) 1 - DC2. (48) e e 2 ph kBT В заключение заметим, что для полной теплопроводно 1 - D C сти = ph + e интерференционный вклад, пропорци ональный (Aph)2, взаимно сокращается 2 kBT + DA +(D3 - DA) T. (45) kBT 0 = ph + L0xxT 1 + Как и при анализе вклада W(1), дрейфовую и диффуphe DC2 + Aph( )(D2 + DA - 2D1). (49) зионную компоненты потока тепла Wphe мы включим в электронный поток тепла. Слагаемое, пропорциональное Aph( )T в формуле (45), является следствием эффекта Это является следствием того, что увеличение фононной увлечения электронов фононами. Поэтому оно должно теплопроводности за счет импульса, передаваемого от Физика твердого тела, 1999, том 41, вып. 1762 И.Г. Кулеев электронов фононам, полностью компенсируется бла- особенности, обусловленные электрон-фононным увлегодаря обратному процессу. Как видно из сравнения чением [16,17].
(39) и (48), соотношение ВидеманаЦФранца при учете Автор выражает благодарность И.Ю. Араповой за эффекта увлечения электронов фононами Aph и влияния полезные замечания и помощь в оформлении рукописи неравновесности электронов на фононную подсистему статьи, А.П. Танкееву и В.И. Окулову за обсуждение (характеризуемое параметром ) не выполняется изрезультатов работы.
за неупругости рассеяния электронов фононами. В приРабота выполнена при поддержке программы ИНТАС ближении упругого рассеяния (Aph = 0 и = 0) соотношение ВидеманаЦФранца выполняется. Из форму- (грант № 93-3657 EXT).
Pages: | 1 | 2 | 3 | Книги по разным темам