Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | 3 | Физика твердого тела, 1999, том 41, вып. 10 Электрон-фононное увлечение, термоэлектрические эффекты и теплопроводность вырожденных проводников й И.Г. Кулеев Институт физики металлов Уральского отделения Российской академии наук, 620219 Екатеринбург, Россия E-mail: kuleev@imp.uran.ru (Поступила в Редакцию 22 июня 1998 г.

В окончательном виде 23 октября 1998 г.) Предложен метод расчета кинетических коэффициентов вырожденных проводников, в котором последовательно учитывается взаимное влияние неравновесности электронной и фононной подсистем. Рассчитанные выражения для кинетических коэффициентов удовлетворяют соотношениям симметрии Онзагера.

Проанализировано влияние неравновесности электрон-фононной системы на электропроводность, термоэдс и электронную теплопроводность.

Электрон-фононное взаимодействие в твердых телах времен неэлектронных механизмов релаксации фононов приводит к обмену импульса между подсистемами элек- от волнового вектора. Проведено выделение вкладов тронов и фононов и соответственно к эффектам вза- в частоты релаксации продольных и поперечных акуимного увлечения [1]. Исследованию влияния эффек- стических фононов. Спектр электронов предполагается тов электрон-фононного увлечения посвящено большое изотропным. Рассмотрено влияние взаимного увлечения число работ (см. [2Ц6] и ссылки в них). Точное ре- на элекропроводность, термоэдс и теплопроводность, а шение системы кинетических уравнений для электрон- также некоторые физические аспекты теории электронфононных систем с учетом взаимного влияния нерав- фононного увлечения, которым ранее уделялось недостановесности электронов и фононов друг на друга да- точно внимания.

же при упрощающих предположениях о сферичности энергетических поверхностей и изотропности времен 1. Система кинетических уравнений релаксации до сих пор не найдено. Приближенные решедля электронов и фононов ния для невырожденных полупроводников были найдены в [7,8] с помощью разложения возмущенных функций В этом разделе будут проанализированы баланс имраспределения в ряд по степеням малого параметра, пульса и взаимное влияние неравновесности электроопределяемого влиянием неравновесности электронов нов и фононов. Схема, иллюстрирующая перераспредена фононную функцию распределения. Для металлов ление и релаксацию импульса, получаемого электронтакие исследования были проведены в [5,9,10]. В рафононной системой от градиента температуры приведена ботах [11,12] система кинетических уравнений была рена рис. 1. Механизмы электрон-фононной релаксации, шена для вырожденных проводников в магнитном поле.

характеризуемые частотами eph и phe, приводят к пеВ [11] решение найдено для частного вида зависимости рераспределению импульса внутри электрон-фононной времени релаксации фононов от волнового вектора и нусистемы. Механизмы рассеяния электронов на примесях левом приближении по вырождению электронного газа.

ei, фононов на границах phL, фононов на примесях В [12] рассмотрен более общий случай. В [9,10] показа(механизм Рэлея) phR и фонон-фононное рассеяние Херно, что при рассмотрении влияния эффектов увлечения ринга phH приводят к релаксации суммарного импульса на термоэлектрические явления необходимо совместно электрон-фононной системы. Выражения для соответрешать систему кинетических уравнений для носителей ствующих частот релаксации будут приведены далее.

тока и фононов при строгом учете отклонений обеих Мы исходим из системы кинетических уравнений для функций распределения от равновесных. В противном неравновесных электронной f (k, r) и фононной N(q, r) случае соотношения симметрии Онзагера для термоэлекфункций распределения, которая имеет стандартный трических коэффициентов не будут выполняться, как это вид [3,11] имело место в ряде работ [13,14].

Здесь предлагается метод вычисления кинетических e fk E0 +(vkr) fk = Iei( fk) +Ieph( fk, Nq ), коэффициентов вырожденных проводников при учете k взаимного влияния неравновесности электронов и фо(1) vrNq = -(Nq - Nq)ph + Iphe(Nq, fk). (1) нонов. При этом используется лишь условие сильного q вырождения kBT / 1 ( Ч энергия Ферми), а Здесь v = q /q Ч групповая скорость акустических q неупругость электрон-фононного рассеяния учитываетфононов с поляризацией, v = sq/q, Nq Чфункq ся в первом неисчезающем порядке. Расчет проводит(1) ся без предположения о конкретном виде зависимости ция Планка, частота релаксации ph (q) включает все 3 1754 И.Г. Кулеев f0(q/2) Ч функция распределения Ферми от энергии q/2, а eph(k) Ч частота столкновений электронов с фононами, z 2k eph(k) = dzeph(k, q) q m() eph(kF, q), (5) k3 z 2k где m()(C0 ) 0 eph(k, q) = q5 (z)5Nq(Nq + 1) 2 k3 T q m() = eph(kF, q), Рис. 1. Схема, иллюстрирующая релаксацию импульса kэлектрон-фононной системы, при наличии градиента темпера q q kBT 2k m() туры. Здесь phR, phL, phH Ч частоты релаксации фононов на z = =, q =, z =, m() =, q kBT q примесях (механизм Рэлея), границах и на фононах (механизм q T s 2k T mF T Херринга) соответственно.

mF = m() Ч эффективная масса электрона на уровне Ферми, k = k/kF, kF Ч фермиевский импульс.

При расчете интеграла столкновений Ieph f0, g(q) неэлектронные механизмы рассеяния фононов: рассея- учтем неупругость столкновений электронов с фононами ние фононов на фононах, дефектах и границах образца. в первом порядке теории возмущений Интегралы столкновений электронов с примесями Iei, 2 1 fфононами Ieph и фононов с электронами Iphe определены Ieph f0, g(q) = |Cq|2 qg(q) V k в [3,11].

q, Представим функции распределения электронов и фононов в виде (k+q - k) - (k-q - k). (6) fk = f0(k) + fk, Nq = Nq + g(q), (2) После этого уравнение для фононной функции распределения примет вид где f0(k) и Nq Ч локально равновесные функции 0 распределения электронов и фононов, а fk и g(q) Ч Nq(Nq + 1) q g(q) =- (vT ) q неравновесные добавки к функциям распределения, ли- ph(q) kBT нейные по внешним воздействиям. Линеаризуем интегралы столкновений по этим добавкам (0) + Iphe( fk, Nq ) =g(1)(q) +g(2)(q), (7) ph Ieph( fk, Nq ) =Ieph( fk, Nq) +Ieph f0(k), g(q), (1) где ph = ph +phe Ч полная частота релаксации фоно Iphe( fk, Nq ) =Iphe( fk, Nq) +Iphe f0(k), g(q). (3) нов с волновым вектором q и поляризацией. Функция g(1)(q) обусловлена непосредственным действием гради Интегралы столкновений Iei( fk), Iphe f0, g(q), а также ента температуры на фононную подсистему, а добавка Ieph( fk, Nq) в приближении упругого рассеяния элекg(2)(q) учитывает влияние неравновесности электронов тронов на фононах представим через частоты релаксации [3,11,12] g(2)(q) = Iphe( fk, Nq) ph(q) Iei( fk) =-ei(k) fk, Iphe f0, g(q) = -phe(q)g(q), 4 |Cq|2 q 0 Ieph( fk, Nq) -eph(k) fk. (4) = Nq(Nq + 1) = ph(q) kBT Здесь ei(k) Ч частота релаксации электронов на при месях [3], phe(kF, q) = |Cq |2m2s f0(q/2)/ Ч чаF fk (k -q -k )-(k +q -k ). (8) стота релаксации импульса фононов на электронах, V k 2 |Cq |2 = E0 q/s = C0q, Ч плотность кристалла, E0 Ч константа деформационного потенциала, s Ч Подставим выражение (8) для g(q) в уравнение (6), скорость звука акустических фононов с поляризацией. тогда с учетом формул (3) и (4) получим замкнутое Физика твердого тела, 1999, том 41, вып. Электрон-фононное увлечение, термоэлектрические эффекты и теплопроводность... интегральное уравнение для неравновесной добавки к 2. Вычисление кинетических функции распределения электронов коэффициентов (1) (1) (2) fk = fk + (k)Ieph( f0, g(2)) = fk + fk. (9) Экспериментально измеряемыми величинами являют(1) ся не функции распределения электронов и фононов, а Функция fk учитывает эффект увлечения электронов фононами, а также непосредственное действие электри- средние значения физических величин, определяемые с ческого поля и градиента температуры на электронную помощью этих функций распределения. В данном случае подсистему. Она имеет известный вид [3] нас интересуют потоки заряда и потоки тепла, вызванные внешними силами: электрическим полем и градиентом f(1) fk = - (vk1) (k), температуры. Поэтому, используя уравнения (9)Ц(11), k найдем, что ток проводимости j и электронный поток тепла We выражаются через одну и ту же функцию, kB m() k - 1(k) =-e E + Aph() + T, уравнение для которой можно строго решить, не приe k3 kBT бегая к разложению по малому параметру, связанному с mFs2 eph(kF, q) взаимодействием Aph() =. (10) kBT ph(q) z 2k 2e (1) (2) Здесь () Ч полное время релаксации электронов j = - vk( fk + fk ) =j1 + j2, (12) -V (k) = e(k) = ei(k) +eph(k), а функция Aph() k зависит от энергии только через верхний предел (2) интегрирования 2k(). Добавка fk учитывает влияние 2 неравновесности электронов через фононы на функцию W = (k - )vk fk + qvg(q) q распределения электронов V V k q, 2 (2) = We + Wph. (13) fk = (k)Ieph( f0, g(2)) = (k) V Электронный We и фононный Wph потоки тепла также |Cq |( q)2 0 Nq(Nq + 1) разбиваются на две части, пропорциональные неравно ph(q) kBT k,q, весным добавкам к функциям распределения электронов (1) (2) fk, fk и фононов g(1)(q), g(2)(q) f (k+q - k) - (k-q - k) k (1) (2) We = (k-)vk( fk + fk ) =W(1)+W(2), (14) e e fk (k -q - k ) - (k +q - k ). (11) V k Расчет тока проводимости с функцией распределения (1) fk дает обычный эффект увлечения электронов фоно Wph = qv g(1)(q) +g(2)(q) q нами [3]. Вычисление электронных потоков с помощью V (1) q, функции fk (см. следующий раздел) показывает, что соотношения симметрии кинетических коэффициентов = W0 + Wphe. (15) ph Онзагера в этом случае не выполняются. Поэтому при решении системы кинетических уравнений необходимо Поток тепла W0 обусловлен непосредственным дей(2) ph принять во внимание члены fk и g(2)(q), учитываю ствием градиента температуры на фононную подсистему, щие взаимное влияние неравновесности электронов и а поток тепла Wphe является результатом взаимного (2) фононов друг на друга. Добавка fk учитывает вливлияния неравновесности электронов и фононов. Он яние неравновесности электронов на фононную подприводит к перенормировке как электронного, так и систему, что в свою очередь приводит к изменению фононного потоков тепла.

функции распределения электронов. Для вырожденных полупроводников с большой концентрацией заряженных Потоки j1, W(1) и W0 лекго вычисляются, поскольку e ph дефектов как правило отношение частот eph/ei 1, для соответствующих функций распределения известны (2) аналитические выражения (9) и (12) и вклад члена fk в кинетические коэффициенты в этом случае будет мал, однако для достаточно чистых полуметаллов и бесщелевых полупроводников его роль kB 2 kBT j1 = xx E + Aph( ) + D1 T может быть значительной. Далее мы представим новый e способ вычисления кинетических коэффициентов без непосредственного решения уравнения (9). = jdr + Jdrag + jdif, (16) 3 Физика твердого тела, 1999, том 41, вып. 1756 И.Г. Кулеев W(1) = - L0xxT поток тепла W(1). В результате имеем e ph eT kBT D1E + 1 + AphD2 T, (17) (1) (1) (1) W(1) = -ph T, ph = ph + phe, ph где z d e2neF 2 kB kBs2 qxx =, L0 =, (1) T 0 ph = dz(z)4Nq(Nq + 1) mF 3 e 62 q q d k3() () phe(q) kBT D1 = ln, 1 + Aph( ), (20) d m() = e() s d где z = d/kBT, а d Ч дебаевская частота для d D2 = ln ()Aph().

фононов поляризации.

d = Полагая, что электрическое поле и градиент темпераИз формулы (16) видно, что поток заряда (как и туры направлены вдоль оси x, запишем выражение для поток тепла) состоит из трех вкладов: дрейфовый jdr и потоков через кинетические коэффициенты диффузионный jdif токи обусловлены непосредственным действием электрического поля и градиента темпераe jx = xxEx - xxxT, Wetx = xxEx - xxxT. (21) туры на электронную подсистему, а ток jdrag является результатом увлечения электронов фононами.

Нетрудно убедиться, в том, что при учете вклада W(1) phe Поток тепла Wphe, переносимый фононами, но обв электронный поток тепла соотношения Онзагера для условленный влиянием неравновесности электронов на (1) (1) термоэлектрических коэффициентов xx и xx выполфононную подсистему, также может быть разделен на няются две части (1) (1) 1 xx = Txx Wphe = s2 qg(2)(q) V q, kB 2 kBT = -xxT Aph() + D1, (22) e kBT 2 m() (1) (2) = Aph() k( fk + fk ) mF V kk e(1) а выражение для электронной теплопроводности xx имеет вид = W(1) + W(2). (18) phe phe kBT e(1) Вычисление потока W(1), обусловленного неравновес- xx = L0xxT 1 + Aph()(D2 + DA). (22a) phe (1) ной добавкой fk, дает Таким образом, необходимым условием выполнения kBT соотношений микроскопической обратимости является W(1) = - xxAph( ) phe e учет тепла, переносимого фононами и обусловленного неравновесностью электронов при вычислении полного kB 2 kBT E + Aph() + DA T, (19) электронного потока тепла. Для кинетических коэффиe циентов с учетом эффекта увлечения [3] соотношения Онзагера не выполняются, так как поток W(1) не принят где DA = (d/d) ln m() ()Aph(). Как видно phe = во внимание.

(1) из выражения (10), для fk и формулы(19) дрейфовая В потоки j2, W(2) и W(2) входят неизвестные функции e phe и диффузионная компоненты потока тепла W(1) (первое phe (2) fk, g(2)(q), которые выражаются интегральным обраи последнее слагаемые в (19)) связаны с влиянием зом через полную неравновесную добавку к функции раснеравновесности электронов, и эти члены должны быть пределения электронов fk. Подставим выражение (11) включены в электронный поток тепла. Второе слагаемое (2) в (19) является результатом влияния тока увлечения для fk = (k)Ieph( f0, g(2)) в формулы (12), (15) и (который вызван неравновесностью фононов) на подси- (18) и проведем суммирование по волновым векторам стему фононов. Оно должно быть включено в фононный электронов. После этого все три потока могут быть Физика твердого тела, 1999, том 41, вып. Электрон-фононное увлечение, термоэлектрические эффекты и теплопроводность... представлены через одну и ту же функцию () которое можно представить в следующем виде:

e f fj2 = - d - m() ()(), () = d - 2k( )( ) mF f1 f+ d - 2k() - 2k( ) ( ). (26) W(2) = d - ( - )m() ()(), e mF Ядро интегрального уравнения (26) определяется через kBT f0 m() W(2) = d - ()Aph()(), однократный интеграл, тогда как ядро интегрального phe mF k() уравнения, полученного ранее в работах [7,8] и [11,12], имеет более сложный вид: во-первых, неизвестная функ () = phe qg(2)(q). (23) ция входит под двойной интеграл, а во-вторых, для V |q|<2k, решения уравнения необходимо конкретизировать зависимости частот релаксации от волнового вектора фоно() зависит от энергии через верхний предел интегнов [11].

рирования 2k(). Подставим (8) в выражение для Решение уравнения (26) в линейном приближении по (), снимем интеграл по угловым переменным dq при параметру вырождения kBT / находится в два этапа.

помощи -функции и поменяем порядок интегрирования Вначале определим энергетическую зависимость функпо волновым векторам q и k, разбив область интегрироции (). Для этого разложим функцию () в ряд по вания по k на две части: q/2 < k < k и q/2 < k < k.

Pages:     | 1 | 2 | 3 |    Книги по разным темам