Книги, научные публикации Pages:     | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 14 |

ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ФИНАНСОВОГО РИСК-МЕНЕДЖМЕНТА Под ред. А. А. Лобанова и А. В. Чугунова а л ь п и н а /ржа б л и ш е р Москва 2003 УДК 336.7(031) ББК ...

-- [ Страница 3 ] --

Пример 2.15. Финансовый институт согласился получать 8% от условной сумн мы 100 млн. долл. в обмен на 6-месячную ставку LIBOR при обмене платен жей каждые полгода. До окончания действия этого соглашения остается месяцев. Ставка LIBOR, установленная 3 месяцами раньше, равна 10,1%. Опн ределим стоимость процентного свопа для финансового института, если ставки дисконтирования на 3, 9 и 15 месяцев равны соответственно 9,8, 10,2 и 10,8%.

В данном случае Q = 100 млн. долл., гф = 0,08, хх = 0,098, г2 = 0,102, г3 = 0,108, (LIBOR)0 = 0,101, t,- t = 0,25, t 2 -t = 0,75, t 3 -t = 1,25.

Тогда 100 0,08 100 Х 0, 100 Х 0, 2 98,8046 млн. долл.;

В. (О = 0,102^ 0, 0,098? 1+ 1+ 1+ ) в 2 ( 0 = Г 1 О О О ' 1 О 1 + 1ооЛ 1 = 102,5672 млн. долл.

0, 1+ И. Рынки производных финансовых инструментов Следовательно, стоимость процентного свопа для финансового институн та составит:

V(t)=B1(t)-B2(t) = 98,8046-102,5672 = -3,7626 млн. долл.

Стоимость процентного свопа, представленного на рис. 2.6, можно найн ти, заменив его последовательностью форвардных контрактов на 6-месячную ставку LIBOR.

Действительно, в момент времени г,, когда производится первый обмен Qr* платежами, финансовый институт получает сумму а платит сумму Q(LIBOR). Приведенная стоимость такого обмена платежами равна 0гф Q(LIBOR)0 = |[г ф -(LIBOR),] 2 2 \2('i- i+ i 1+й ') В момент tk, k = 2, 3,.... п, когда происходитfe-йобмен платежами, финанн совый институт получает сумму -^-, а платит Ч ^А, где (LJBOR)kЧ ставка LIBOR через tkl-1 лет. Приведенная стоимость такого обмена платежами должна совпадать со стоимостью короткой позиции по форвардному контракту на 6-месячную ставку LIBOR с датой передачи tki и, следовательно, равна г о 1'Ф *-и с _ Л2((,-о Х 2у где Fkl Ч форвардная ставка LIBOR на tk_{-1 лет.

Стоимость процентного свопа для финансового института равна сумме приведенных стоимостей всех обменов платежами, т. е.

V(t) = f [гф - (LIBOR),] Х L ^ + f (гф - J^) (2.32) 1+* 1+ ^ Пример 2.16. Определим стоимость процентного свопа из примера 2.15 по формуле (2.32).

Форвардные ставки LIBOR на 9 и 15 месяцев находятся следующим образом:

20,75,!- ( 0, 1+ ^ 1+Ч 2 ^2Х0.25 - 1 = F,=2- - I = 0,1040, (.0. 0, г 1+ i 1+ 134 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Л2'1'25 0,108f's ( г 1 + -3- 1+ F2 = 2- =2 0,1170.

/ %20,75 f \1, ^ 0, 1+ ^ Тогда стоимость процентного свопа для финансового института равна 100 г Д-, V(t) = ^ [ 0, 0 8 - 0,101] - *, 025, [ 0, 0 8 - а 1040]Ч- ч 2L V,1 +0,102^ ? 0,098?

1+ 100 1..Д + [0,08-0,1170]Ч -3,7610 млн. долл.

L V, 0,108 х21' 1+ 2.16. Валютные свопы Валютным свопом (currency swap) называют соглашение об обмене основной суммы и фиксированных процентных платежей по займу в одной валюте на основную сумму и фиксированные процентные платежи в другой валюте.

Предположим, что на рынках ссудного капитала компаниям А и В предн лагаются следующие фиксированные процентные ставки по займам в двух разных валютах:

компании A: qf.q^;

компании В: qf, qf.

Будем считать, что выполняются следующие условия:

1. qf < qf, q < qf, т. е. кредитный рейтинг компании А значительно выше кредитного рейтинга компании В, и компания А имеет абсон лютное преимущество на обоих рынках.

- wf - qf > qf ~ 9г > т- е- компания А имеет относительное преимущен ство на рынке ссудного капитала в первой валюте, а компания В имеет относительное преимущество на рынке ссудного капитала во второй валюте.

Если компании А необходим займ в размере Q2 во второй валюте, а комн пании В Ч займ в размере Qf в первой валюте и Qf = cQ%, где с Ч текущий обменный курс, то компании могут взять займы на тех рынках, где у них имен ется относительное преимущество, и договориться об обмене процентных план тежей, как показано на рис. 2.7.

II. Рынки производных финансовых инструментов Если 28 = qf - qA - (qf - q 2 ), то компании А и В получат процентный вын игрыш в размере 8.

При наличии посредника обмен процентными платежами можно органин зовать так, как показано на рис. 2.8.

При этом если соблюдается равенство:

2,5 + / x = ( q f - q A ) - ( q 2 B - q 2 A ), то обе компании А и В получат одинаковый процентный выигрыш, равный 8, а маржа посредника составит /л,.

Пример 2.17- Компании А предлагаются фиксированные процентные ставки 8 и 11,6% по займам в американских долларах и в английских фунтах соотн ветственно. Компании В предлагаются фиксированные процентные ставки 10, и 12,0% по аналогичным займам. Выясним, можно ли организовать обмен прон центными платежами так, чтобы обе компании имели одинаковый процентн ный выигрыш, а маржа посредника составила бы 0,2%.

В данном случае qA = 8%, qA = 11,6%, qf = 10,0%, qf = 12%.

Так как qf < q?, q2A < q2B, a q? - qA - (q2B - q2A) = 1,6%, то обе компании могут обеспечить себе процентный выигрыш в размере 16-0, g= Соответствующий обмен платежами приведен на рис. 2.9.

Если некоторая компания X участвует в валютном свопе, то:

Х в заранее установленные сроки она получает процентные платежи по ставке q, от суммы Q, в одной валюте и выплачивает проценты по ставке q2 от суммы Q2 в другой валюте;

Ч[ <й пА Я\ в А $- Рис. 2.7- Валютный своп с- tf <ё в А Банк <-8

Поток платежей по данному свопу совпадает с потоком платежей от портн феля, состоящего из длинной позиции по облигации номиналом Qz в первой валюте с фиксированной купонной ставкой q, и короткой позиции по облиган ции номиналом Q2 во второй валюте с фиксированной купонной ставкой q2.

Следовательно, в данный момент времени t стоимость валютного свопа V(t) для компании X может быть найдена из следующего равенства:

(2.33) V(t) = Bfi) - c(t)B2(t) где Bfi) стоимость облигации в первой валюте;

стоимость облигации во второй валюте;

В2( текущий обменный курс.

c(t) Пример 2.18. Безрисковые процентные ставки в Японии и США одинаковы для всех сроков и равны соответственно 4 и 9% (при непрерывном начислен нии процентов). Финансовый институт согласился получать 5% от 1200 млн.

японских йен и платить 8% от 10 млн. долл. США. Обмен платежами должен происходить один раз в год. Определим стоимость данного валютного свопа для финансового института, когда до окончания действия контракта остается 3 года, а текущий обменный курсЧ ПО йен за 1 долл. США.

Стоимость 3-летней облигации номиналом 1200 млн. йен с купонной ставн кой 5% может быть найдена следующим образом:

В, (Г) = 60 Х е-004 + 60 Х е'0042 + 1260 Х е"0043 = 1230,55 млн. йен.

Аналогично, стоимость 3-летней облигации номиналом 10 млн. долл. с купонной ставкой 8% будет равна:

В2 (г) = 0,8 Х е-0'09 + 0,8 Х е"009г + 10,8 Х в'0-093 = 9,6438 млн. долл.

Тогда стоимость валютного свопа для финансового института:

V(t) =B ] (t)- с(г)В2(г) = 1230,55- 110-9,64386 = 169,725 млн. йен.

Любой валютный своп можно представить в виде последовательности форвардных контрактов на обмен валюты. В этом случае стоимость валютнон го свопа для компании X можно найти по формуле:

ч(,) У (0 = I (<*А - РЯгОг) ** (t'- + (G - FДQ2) Х е сД-о (2.34) И. Рынки производных финансовых инструментов где V(t) Ч стоимость валютного свопа для компании X в момент времени t;

г,, t2,..., tn Ч даты обменов платежей;

fj(I) Ч безрисковая процентная ставка в стране с первой валютой на срок t - t лет, i = I, 2,.... п;

F,Ч форвардный обменный курс второй валюты на первую с датой поставки tv i = I, 2 п.

Пример 2.19. Оценим стоимость валютного свопа из примера 2.18 с помон щью формулы (2.34).

В данном случае q, = 0,05, Q, = 1200 млн. йен, q2 = 0,08, Q2 = 10 млн. долл., f = f2(1) = f3(1) = 0,04, f<2) = f<2) = f3(2) = 0,09.

W Тогда F: = 110 e(004-0W)I = 104,635237, F2 = 110e(OO4-009)2=99,532116, F3 = 110 Х ^*^ w > 3 = 94,677877.

По формуле (2.34):

V(r) = (0,05 Х 1200 - 104,635237 Х 0,08 Х 10) Х e"0041 + + (0,05 Х 1200 - 99,532116 Х 0,08 Х 10) Х е-0'04'2 + + (0,05 Х 1200 - 94,677877 Х 0,08 Х 10) Х е-0'04'3 + + (1200 - 94,677877 Х 10) Х e"0043 = 169,73 млн. йен.

2.17. Опционы и их основные характеристики Важнейшим видом так называемых производных ценных бумаг являются опн ционы (option). Существуют четыре основных типа опционов:

Х европейские опционы колл (call) и пут (put);

Х американские опционы колл и пут.

Европейский (European-style) опцион колл (лпут) представляет его дерн жателю право купить (продать) определенное количество некоторых активов по заранее установленной цене исполнения (strike/expiration price) в момент окончания действия контракта.

Американский (American-style) опцион колл (лпут) предоставляет его держателю право купить (продать) определенное количество некоторых акн тивов по заранее установленной цене исполнения в любое время до момента окончания действия контракта.

В опционном контракте всегда присутствуют две стороны: держатель опн циона, имеющий право выбора совершить или не совершить ту или иную :: Ч XS8 Энциклопедия финансового риск-менеджмента операцию (купли или продажи), и сторона, выпустившая или подписавшая опцион, которая обязана совершить указанную операцию, если того пожелан ет держатель опциона. Так как стороны в опционном контракте не равнон правны, то при заключении опционного контракта будущий держатель опцин она обязан уплатить противоположной стороне определенную премию. Эта премия, по существу, является ценой опциона.

Говорят, что сторона, купившая опцион, занимает длинную позицию по опциону (long the option), а сторона, выпустившая или подписавшая опцион, Ч короткую позицию (short the option).

Обычно опционный контракт имеет установленную дату окончания своен го действия, называемую датой истечения опциона (maturity/expiration date).

Дату фактического выполнения соответствующей операции купли или продан жи активов называют датой исполнения опциона (exercise date). Для европейн ских опционов момент исполнения всегда совпадает с моментом его истечен ния. Для американских опционов момент исполнения может наступать до мон мента его истечения.

Опционные и форвардные контракты являются разновидностями форвардн ных сделок. Отметим основные различия этих двух видов контрактов.

1. Форвардный контракт Ч это всегда взаимное обязательство купить (сон ответственно, продать) определенное количество базисных активов.

Держатель же опционного контракта имеет право, а не обязательн ство купить или продать активы.

2. В момент заключения форвардного контракта обе стороны равнон правны и подвергаются одинаковому риску. Поэтому в момент закн лючения форвардного контракта ни одна из сторон ничего не план тит другой стороне. В момент же заключения опционного контракн та стороны не равноправны. Одна сторона имеет право выбора кун пить или продать активы, а другая Ч обязана выполнить соответн ствующую операцию по требованию первой стороны. Именно пон этому при заключении опционного контракта первая сторона долн жна уплатить второй стороне, выпустившей или подписавшей опн цион, определенную премию. Эта премия представляет собой плату за риск, которому подвергается сторона с короткой позицией по опциону из-за возможного неблагоприятного изменения цены базисн ных активов.

Рассмотрим европейский опцион колл с датой истечения Т при цене исполнения X. Если STЧ цена базисных активов в момент Т, то возможны лишь следующие два случая:

1) ST > X, 2) ST < X.

В первом случае держатель опциона колл может купить по цене X акн тивы рыночной стоимостью ST, большей X. Поэтому держатель опциона исн полнит свой опцион, и его выигрыш составит ST - X.

Во втором случае держатель имеет право купить по цене X активы стон имостью ST, меньшей X. Следовательно, в этом случае держатель опциона колл свой опцион исполнять не будет, и его выигрыш равен нулю.

II. Рынки производных финансовых инструментов Таким образом, выигрыш держателя опциона колл на момент исполнен ния опциона определяется в виде max {ST - X, 0}. Графическое изображение выигрыша держателя опциона колл представлено на рис. 2.10.

Аналогичные рассуждения показывают, что выигрыш держателя европейн ского опциона пут с датой истечения Т при цене исполнения X можно зан писать в виде max {Х- ST, 0}.

Графическое изображение выигрыша держателя европейского опциона пут представлено на рис. 2.11.

В каждый момент времени t важную роль играет то, как цена исполнен ния X соотносится со спот-ценой базисных активов Sr Говорят, что опцион колл в данный момент времени t является опционом с выигрышем (in Выигрыш Рис. 2.10. Выигрыш держателя опциона колл Выигрыш Рис. 2.11. Выигрыш держателя опциона пут 11* 140 Энциклопедия финансового риск-менеджмента the-money), без выигрыша (at-the-money) или с проигрышем (out-of-the money), если соответственно:

ST >X,ST = X, ST < X.

Аналогично опцион пут является опционом с выигрышем, без выигн рыша или с проигрышем, если соответственно:

ST X.

2.18. Арбитражные соотношения для европейских опционов Рассматриваются два рынка: спот-рынок некоторых активов и рынок опцион нов на эти активы.

Будем считать, что выполняются следующие условия:

Х рынки являются совершенными (см. разд. 2.1.);

Х можно неограниченно брать ссуды или кредитовать под соответствун ющую (по срокам) безрисковую процентную ставку;

Х отсутствуют прибыльные арбитражные возможности.

1. Если с и р Ч стоимости европейских опционов колл и пут соотн ветственно на одни и те же активы с ценой исполнения X при дате истечения Т, то имеет место паритет цен:

e~f (Т" ", c-p = S-D-X- (235) где t Ч текущий момент времени;

S Ч стоимость базисных активов в момент t;

D Ч приведенное значение доходов, поступающих от активов за время от t до Т, f Ч безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении по инвестициям на Т - t лет.

Зная цену европейского опциона колл (лпут), паритет цен европейсн ких опционов позволяет оценить стоимость аналогичного по всем параметн рам европейского опциона пут (лколл). Кроме того, если паритет цен евн ропейских опционов не соблюдается, то должны существовать прибыльные арбитражные стратегии.

Пример 2.20. Цена 6-месячного опциона колл на акцию с ценой исполнен ния 30 долл. равна 2 долл. Текущая цена акцииЧ 29 долл., дивиденды по акции в размере 0,5 долл. ожидаются через 2 и 5 месяцев. Оценим стоимость аналогичного опциона пут, если безрисковая процентная ставка (при нен прерывном начислении) для всех сроков равна 10%.

II. Рынки производных финансовых инструментов В данном случае X = 30 ДОЛЛ., S = 29 ДОЛЛ., Г - t = Ч, f = 0,1;

2 D = 0,5 Х е"Д^ + о, 5 Х е - 0 ' й = 0,97 долл.

В силу паритета цен европейских опционов (2.35) имеем равенство:

-0.1.А 2 - р = 29-0,97-30е.

Откуда р = 2,51 долл.

Если же рыночная цена европейского опциона пут окажется равной 2,10 долл., то прибыльную арбитражную стратегию можно построить следуюн щим образом.

Так как рыночная цена опциона пут оказалась заниженной (2,10 долл. < 2,51 долл.), то этот опцион следует купить. Чтобы стратегия стала безрискон вой, одновременно покупаются базисные активы и производится продажа опн циона колл. Для финансирования этих операций необходимо взять ссуду в размере S + рР*" - с = 29 + 2,10 - 2,00 = 29,10 долл.

на срок в 6 месяцев под безрисковую процентную ставку 10%.

Данная стратегия, очевидно, является безрисковой и не требует начальн ных затрат от инвестора, а в момент исполнения опционов инвестором будет получена прибыль:

. X + D Х е 12 - (S + р"Щ - с) Х е = 30 + 0,97 Х е ' 12 - 29,10 Х е ' 12 = гЧ ( = (2,51-2,10)е' = 0,43 долл.

V Для европейских опционов на активы с постоянной дивидендной доходн ностью q паритет цен принимает следующий вид:

= S- е-лг-" - Хент"\ c-p (2.36) 2. В любой момент времени t до даты истечения европейских опционов на активы с известными доходами должны соблюдаться следующие ограничения:

max {S - D - Хе"f(T , о} < с < S - D;

(2.37) max [Xe-f(T-l) + D - S, о) < p < Хе"^'*, (2.38) где S Ч цена базисных активов;

X Ч цена исполнения опционов;

Г Ч дата истечения опционов;

142 Энциклопедия финансового риск-менеджмента D Ч приведенное значение доходов, поступающих от базисных активов за время от t до Т;

f Ч безрисковая процентная ставка на срок Т - 1 лет.

Если не соблюдается одно из условий (2.37) или (2.38), то на рынке долн жны существовать прибыльные арбитражные стратегии.

Пример 2.21. Рассмотрим 10-месячный европейский опцион колл на акцию, по которой через 4 и 8 месяцев ожидаются дивиденды в размерах 2 и 3 долл.

соответственно. Определим нижнюю и верхнюю границы для стоимости опн циона с ценой исполнения 96,60 долл., если цена базисной акции составляет 100 долл., а безрисковые процентные ставки (при непрерывном начислении) на 4, 8 и 10 месяцев равны 6, 6,5 и 7% соответственно.

В данном случае X = 96,60 долл., S = 100 долл., Т - t = Ч, f = 0,07, 4 _ -0,06Ч -0,065 Ч 12 D=2Хе + Зе = 4,83 долл.

Из неравенства (2.37) следует, что -0,071 4,04 долл. = 100 - 4,83 - 96,60 Х е п < с < 100 - 4,83 = 95,17 долл.

Таким образом, при отсутствии прибыльных арбитражных возможнон стей цена европейского опциона колл должна находиться между 4, и 95,17 долл.

Если же рыночная цена данного опциона колл окажется равной 3,00 долл., то инвестор может: купить опцион колл, произвести короткую продажу акции и полученные средства S-cph,"= 100-3 = 97 инвестировать на 10 месяцев под безрисковую процентную ставку 7%. В момент истечения опциона инвестор либо купит акцию на спот-рынке (если ST< X), либо купит ее по цене X, согласно опционному контракту, и, компенсировав недополун ченные дивиденды, вернет ее прежнему владельцу.

Прибыль инвестора на момент Т составит не менее чем 0,07-^ 0,07-^ 97-е 12 - 96,60 - 4,83е 12 = 1,11 долл.

Построенная стратегия, очевидно, является прибыльной арбитражной стран тегией.

Для европейских опционов на активы с постоянной дивидендной доходн ностью q неравенства (2.37) и (2.38) принимают вид:

m a x j S e - ^ - X Х ег^\ о} < с < S Х е^т''\ maxfXe-'Щ - &Г* г -\ о} < р < Хе^Л II. Рынки производных финансовых инструментов 3. Если с,, с2 (Pj, р2) Ч стоимости европейских опционов колл (соотн ветственно, опционов пут) на одни и те же активы с ценами исполн нения Xv Х2 (X, < Х2) при дате истечения Т, то с, > с2, с, + X1e-t(T-,)

Важно отметить, что чем больше цена исполнения, тем меньше цена евн ропейского опциона колл и тем больше цена европейского опциона пут.

4. Если даны три европейских опциона колл (лпут) на одни и те же активы с ценами исполнения Х,,Х2иХ3 соответственно, причем Х1 < Хг < Ху Х2 = ХХ1 + (I - А)Х3, А > О, то с2 < Ас, + (1 - А)сз, (р2 < Ар, + (I - А)р3).

Данное утверждение позволяет сравнивать цены европейских опционов с разными ценами исполнения, но одинаковыми остальными характеристиками.

2.19. Основные арбитражные утверждения об американских опционах Основное отличие американского опциона от соответствующего европейского опциона состоит в том, что американский опцион может быть исполнен в любое время, вплоть до даты его истечения. В силу этого цены американских опционов могут значительно отличаться от цен аналогичных европейских опционов.

Если спот-рынок базисных активов и рынок опционов на эти активы удовн летворяют условиям, приведенным в разд. 2.17, то имеют место следующие утверждения:

1. Стоимость американского опциона не может быть ниже стоимости аналогичного европейского опциона, т. е. С з?с,Р $=р.

Действительно, у держателя американского опциона всегда больше возможностей получить прибыль, чем у держателя аналогичного еврон пейского опциона. Поэтому держатель американского опциона должен платить за опцион не меньше, чем держатель аналогичного европейсн кого опциона.

2. Американский опцион колл на активы, не приносящие доходов, нин когда не желательно исполнять досрочно, т. е. до даты его истечения.

Это, в частности, означает, что цена американского опциона колл на активы, не приносящие доходов, должна совпадать со стоимостью аналогичного европейского опциона.

Американский опцион пут даже на активы, не приносящие дохон дов, часто имеет смысл исполнить досрочно.

144 Энциклопедия финансового риск-менеджмента 3. Если С и РЧ стоимости американских опционов колл и пут сон ответственно на одни и те же активы с ценой исполнения X, то при безрисковой процентной ставке, не зависящей от сроков инвестиции:

епт-'\ S-D-X

D Ч приведенное значение доходов, поступающих от базисных активов за время от t до Т;

f Ч безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении.

Пример 2.22. Стоимость 8-месячного американского опциона пут на акцию, по которой через 2 и 6 месяцев ожидаются дивиденды в размере I долл., равн на 2 долл. Цена исполнения опциона 50 долл. Определим границы для стон имости аналогичного американского опциона колл, если текущая цена опн циона 52 долл., а безрисковая процентная ставка для всех сроков равна 8%.

В данном случае Т - t = Ч;

X = 50 ДОЛЛ.;

S = 52 ДОЛЛ.;

f = 0,08;

Р = 2 ДОЛЛ.;

-0,08Ч -0,08Ч п D = 1Х е +1Хе = 1,95 долл.

В силу неравенства (2.39) имеем 52 - 1,95 - 50 < С - 2 < 52 - 50 Х е"0'08".

Следовательно, 2,05 долл. л С л6,60 долл.

Если же рыночная цена американского опциона колл окажется больн ше 6,60 долл. или меньше 2,05 долл., то должна существовать прибыльная арбитражная возможность.

2.20. Основные стратегии с использованием европейских опционов 2.20.1. Простейшие стратегии Простейшими стратегиями принято считать стратегии, в которых наряду с покупкой или продажей некоторых активов занимается та или иная позиция по европейскому опциону на эти активы.

Если инвестор покупает некоторые активы и одновременно покупает евн ропейский опцион пут на эти активы, то на момент истечения опциона Т прибыль инвестора составит:

II. Рынки производных финансовых инструментов ST + D- e f(Tt) + max {X - ST, 0} - S Х ef(T~" - p Х e' X.

Зависимость прибыли инвестора от спот-цены активов на момент истен чения опциона показана на рис. 2.12.

Таким образом, при данной стратегии убытки инвестора ограничены, а прибыль может быть сколь угодно большой.

При покупке базисных активов и короткой позиции по европейскому опн циону колл прибыль инвестора на момент истечения опциона оценивается следующим образом (рис. 2.13):

ST + D- eflJ-[) - max {ST - X, 0} - S Х e ^ + с Х e^"" = _ Js,. + (D - S + c) Х ef{T-'\ если ST < X, ~{X + (D-S + c)- ef(T-'\ если ST > X.

В данном случае убытки незначительны, но и возможная прибыль огран ничена сверху.

Если инвестор произведет короткую продажу базисных активов, одноврен менно заняв длинную позицию по европейскому опциону колл на эти актин вы, то его прибыль на момент истечения опциона составит (рис. 2.14):

S Х епт~1) + max {ST - X, 0} - ST - D Х ef(T-[) - с Х e f(Tt) = ef{T-'\ если ST < X, _ J-S T + (S-D-c) ~ \-X + (S - D - c) Х ег{Т-'\ если ST > X.

Прибыль Рис. 2.12. Прибыль по длинной позиции по базисному активу и опциону пут 146 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Прибыль Рис. 2.13. Прибыль по длинной позиции по базисному активу и короткой позиции по опциону колл Прибыль -*Ч Рис. 2.14- Прибыль по короткой позиции по базисному активу и длинной позиции по опциону колл Аналогично можно определить прибыль инвестора при короткой продан же базисных активов и короткой позиции по европейскому опциону пут на эти активы. Зависимость прибыли от спот-цены активов на момент истечения опциона изображена на рис. 2.15.

II. Рынки производных финансовых инструментов Прибыль Рис. 2.15. Прибыль по короткой позиции по базисному активу и короткой позиции по опциону пут 2.20.2. Спреды опционов Стратегии, в которых используются только европейские опционы одного и того же вида (и на одни и те же активы), называют спредами опционов (option spread).

Спред быков (bull spread) состоит из длинной позиции по европейскому опциону колл (или пут) с ценой исполнения X, и из короткой позиции по европейскому опциону колл (лпут) с ценой исполнения Х2, где Х2> Xv при одной и той же дате истечения этих опционов.

Если спред быков составлен из опционов колл, то прибыль инвестора на момент истечения опционов можно найти следующим образом:

(с2 - q) Х ef(T" + max {ST - Xv 0} - max {ST - X2, 0} = (c2 - q) Х enr-'\ если 0 < ST < X, f(T ST - Xl + (c2 - q) Х e -'\ если X, < ST < X2, X2 - X, + (c2 - q) Х ef(T-c\ если ST > X2.

Так как q, > q, a X2 - X, + (c2 - q) Х er(T г) > О (см. разд. 2.17), то зависин мость прибыли инвестора на момент истечения опционов от спот-цены актин вов в этот момент времени имеет вид, изображенный на рис. 2.16.

Спред быков применяется при игре на повышение, когда инвестор счин тает, что цена базисных активов значительно вырастет к моменту истечения опционов.

Спред медведей (bear spread) состоит из короткой позиции по европейн скому опциону колл (или пут) с ценой исполнения XL и из длинной позин ции по европейскому опциону колл (лпут) с ценой исполнения Х2, где Х2 > X при одной и той же дате истечения этих опционов.

148 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Зависимость прибыли от спот-цены активов при спреде медведей покан зана на рис. 2.17.

Спред медведей применяется при игре на понижение.

Спред бабочка (butterfly spread) состоит из длинных позиций по европейн ским опционам колл (или пут) с ценой исполнения X, и Ху где Х1 < Ху и двух коротких позиций по европейскому опциону колл (лпут) с ценой исн X +X полнения Х2 = Ч ^ (все опционы имеют одну и ту же дату истечения).

Зависимость прибыли от спот-цены активов при спреде бабочка изн ображена на рис. 2.18.

Спред бабочка применяется, когда инвестор считает, что в момент исн течения опционов спот-цена активов будет близкой к Х2.

Прибыль Рис. 2.16. Спред быков 1 Прибыль Рис. 2.17. Спред медведей II. Рынки производных финансовых инструментов 14?

Стратегии, в которых используются европейские опционы одного и того же вида при одной и той же цене исполнения, но с разными датами истечен ния, называют календарными спредами (calendar spread).

Например, рассмотрим календарный спред, состоящий из короткой пон зиции по европейскому опциону колл с датой истечения Т1 и длинной пон зиции по европейскому опциону колл с датой истечения Т2, где Т2 > Г,.

Прибыль инвестора от данной стратегии на момент времени Т1 может быть найдена следующим образом:

(с, - с2) Х ег(Г-" - m a x f o - X, 0} + cj (ST_), где с [STi) Ч стоимость европейского опциона колл с датой истечения Т2 в момент времени Т, при условии, что спот-цена активов в этот момент времени равна S^ (рис. 2.19).

Прибыль Рис. 2.18. Спред бабочка Прибыль Рис. 2.19. Календарный спред ISO Энциклопедия финансового риск-менеджмента 2.20.3- Комбинации опционов Стратегии, в которых используются европейские опционы разных видов на одни и те же активы при одной и той же дате истечения, называют комбинациян ми опционов.

Стратегия стрэдл (straddle) состоит из длинных позиций по европейсн ким опционам колл и пут с одной ценой исполнения X.

Зависимость прибыли инвестора на момент истечения опционов от спот цены активов в этот момент изображена на рис. 2.20.

Стратегия стрэдл применяется, когда инвестор ожидает, что спот-цена активов может значительно отклониться от цены исполнения опционов, но не знает, в какую сторону произойдет это отклонение.

Стратегия стрип (strip) состоит из длинных позиций по одному еврон пейскому опциону колл и двум европейским опционам пут с одной и той же ценой исполнения X, в то время как стратегия стрэп (strap) состоит из длинных позиций по двум европейским опционам колл и одному европейсн кому опциону пут (рис. 2.21 и 2.22).

Прибыль Рис. 2.20. Комбинация стрэдл Рис. 2.21. Комбинация стрип П. Рынки производных финансовых инструментов 1SZ Стратегия стрип (лстрэп) применяетея, когда инвестор считает, что спот цена активов значительно отклонится от цены исполнения опционов, причем более вероятным является понижение (соответственно, повышение) этой цены:

Каков бы ни был прогноз инвестора о будущей спот-цене активов, занин мая те или иные позиции на спот-рынке активов и на рынке европейских опн ционов, он может построить стратегию под свой прогноз.

Прибыль от '' стрэпа н^ Рис. 2.22. Комбинация стрэп 2.21. Простейшая модель оценки производных финансовых инструментов левропейского типа Финансовый инструмент называется инструментом левропейского типа (European-sfyfe), производным от некоторых базисных активов, если существун ет функция F(z), такая, что в определенный будущий момент времени Т стон имость финансового инструмента равна FiSJ, где ST Ч стоимость базисных активов в момент времени Т.

В этом случае функция F(z) называется платежной функцией производн ного финансового инструмента. Например, для европейских опционов колл и пут платежные функции имеют вид:

Fc (z) = max{z - Х,0}, Fp (z) = max{X - z,0} соответственно, где XЧ цена исполнения опционов.

Предположим, что базисные активы обладают постоянной дивидендной доходностью q, а их стоимость определяется следующей одноэтапной бинон миальной моделью:

St = S;

_ jSu с вероятностью л, [Sd с вероятностью 1-я, где и > о, 0 < d < 1.

15S Энциклопедия финансового риск-менеджмента Иными словами, в начальный момент времени стоимость базисных актин вов известна и равна S, а к моменту Т она может подняться до Su с вероятн ностью тт или упасть до Sd с вероятностью 1 - тт.

Нетрудно заметить, что при отсутствии прибыльных арбитражных возможн ностей на спот-рынке базисных активов должно выполняться неравенство (2.40) d< 1+ Ч, где г Ч безрисковая процентная ставка на срок Т - t лет.

Рассмотрим финансовый инструмент левропейского типа, производный от рассматриваемых базисных активов, платежная функция которого F(z).

В начальный момент времени t сформируем инвестиционный портфель, состоящий из покупки базисных активов и короткой продажи х производных финансовых инструментов на эти активы. Начальные затраты на данный портн фель составят 5-хП, где П Ч начальная стоимость одного производного инструмента.

Доход инвестора на момент Т определяется следующим образом:

jSu(l + qf~' - xF(Su) с вероятностью к, \Sd(I + qf' - xF(Sd) с вероятностью 1-я.

Если число х подобрать так, чтобы Su (1 + qf'' - xF (Su) = Sd (1 + qf'' - xF (Sd), (2.41) то, что бы ни случилось на рынке, доход инвестора будет один и тот же, т.

е. стратегия окажется безрисковой. Так как по условию прибыльные арбитн ражные возможности отсутствуют, то доходность инвестиционного портфеля должна совпадать с безрисковой процентной ставкой, т. е.

(S - хП) Х (1 + г)7'1 = Su(I + qf^ - xF(Su) (2.42) при х, определяемом соотношением (2.41).

II. Рынки производных финансовых инструментов Выразив х из равенства (2.41) и подставив его в соотношение (2.42), получим:

n = ^ r r { W * F ( a i ) + (l-л-)F(Sd)}, (1 + г)' 1 + г" (2.43) 1+ l q, где тг u Из неравенства (2.40) следует, что о < п < I. Кроме того, выполняется равенство Su(l + qf-' Х к + Stf (1 + q)T~' (l - к) = S(l + г) 7 "'.

Это означает, что ожидаемая доходность инвестиции в базисные рискон ванные активы совпадает с безрисковой процентной ставкой, если в исходн ной одноэтапной биноминальной модели вероятность подъема цены активов равна п. Следовательно, тт" можно интерпретировать, как вероятность подъема цены базисных активов в мире, нейтральном к риску* (risk-neutral world). В этом случае равенство (2.43) можно переписать в следующем виде:

П^-^Г-^, (2.44) (I + г)7"' где F(Sj) Ч ожидаемая конечная стоимость производного финансового инструмента левропейского типа в мире, нейтральном к риску.

Пример 2.23. Текущий обменный курс фунта стерлинговЧ 1,6 долл. США за один фунт. Инвестор считает, что через четыре месяца обменный курс мон жет подняться до 1,64 долл. или упасть до 1,56 долл. Оценим стоимость 4-мен сячных европейских опционов колл и пут на 1000 фунтов стерлингов при цене исполнения 1,6, считая, что безрисковые процентные ставки на 4 месян ца в США и в Англии равны 6 и 5% соответственно.

Иностранную валюту можно рассматривать как актив с постоянной дивин дендной доходностью, равной безрисковой процентной ставке в стране, где действует эта валюта.

Следовательно, в нашем примере:

г = 0,06;

q = 0,05;

X = 1,6 ДОЛЛ.;

S = 1,6 долл.;

Г - t = Ч ;

и=^ = 1,025;

d = i f = 0,975.

1,6 1, * Когда инвесторы не требуют премии за риск при инвестициях в рискованные активы.

12 Ч 154 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Вероятность подъема обменного курса в мире, нейтральном к риску, нан ходится следующим образом:

Х f 1,06 V -~ -0, л" = Ui^SJ о 5633.

= 1,025-0, Платежная функция европейского опциона колл имеет вид:

Fc(z) = max{z-X, 0}.

Следовательно, Fc (Su) = Fc (1,64) = max {1,64 -1,6;

0} = 0,04;

Fc (Sd) = Fc (1,56) = max {1,56 -1,6;

0} = 0.

Тогда с= Чг [0,5633 Х 0,04 + (1 - 0,5633) Х О] Х 1000 = 22,10 долл.

(1,06) Платежная функция европейского опциона пут имеет вид:

Fp(z) = max{X-z,0}.

Тогда Fp (Su) = Fp (1,64) = max {1,60 - 1,64;

0} = 0;

Fp (Sd) = Fp (1,56) = max {1,60-1,56;

0} = 0, и p= ^ - [ 0, 5 6 3 3 Х 0 + (1 - 0,5633) Х 0,04] Х 1000 = 17,13 долл.

(1,0б)й 2.22. Биномиальная модель для оценки стоимости производных финансовых инструментов Будем считать, что базисные активы обладают постоянной дивидендной дон ходностью, равной q, а их стоимость на временном промежутке [t0, T] опрен деляется геометрическим броуновским движением, заданным условиями:

dS, = (aSr)dr + (r, (2.45) St = S, (2.46) где а Ч коэффициент смещения;

a Ч волатильность;

шт = W(W,T) Ч винеровский случайный процесс (см. разд. 1.27.3).

II. Рынки производных финансовых инструментов Временной промежуток [t, T] разобьем на п равных частей точками t,t + hД t + Щ, t + nhД = Т, }\= Ч ^, и построим n-этапную биномиальную модель со следующими параметрами (см. разд. 1.27.2):

е^ - d е"^, dn = еа^, кп = ц, -

Рассмотрим теперь финансовый инструмент левропейского типа, произн водный от рассматриваемых базисных активов, стоимость которого в момент времени Т определяется платежной функцией F(z). Обозначим через Uk(i), k = 0, 1, 2 п, i = 0, 1, 2,..., k, стоимость производного финансового инстн румента в момент времени t + khn при условии, что до этого момента времен ни цена базисных активов поднималась i раз. Тогда П0(0) Ч это искомая стон имость производного инструмента в момент времени t, a Пп (i) = F ( S < d r ), i = 0,l,2,..Дп.

,Л Х *л."

....-rSu Х Su.3,...--"" \su;

'd.

Х Х ^<" Х Su. < isux*' ^Х&Л Х \Л, А, ХS", isuX" ХХХ*ХХ ХХХХ J^\SuA' Sd.

&г^ Х Х afj"'---...

"Is**...... isuA"" " \Sd," / t+nh=T /+ К t+3h.

t+.? Д t+kh.

А T Рис. 2.23. Биномиальная п-этапная модель 12* 15Ь Энциклопедия финансового риск-менеджмента Если до момента времени t + khn цена базисных активов поднималась i раз, то в этот момент времени она окажется равной Su'nd*~', а стоимость производного инструментаЧ ЦД). К моменту времени t + (k + l)hn цена бан зисных активов может подняться до Su'^d^' = (Su|,dJ|~') un с вероятностью ттп или опуститься до Su^d^1'' = (Su|,d*"')dn с вероятностью 1 - ttn, а стоимость производного инструмента сможет принять только два значения: Пк+10'+1) и Пк+1(0. Это означает, что мы находимся в условиях простейшей модели, расн смотренной в предыдущем разделе.

su?d:

5и>.

(ЦМ t+khm t+{k+l)h.

Из соотношения (2.43) следует, что п * (0 = т г Ч ч г К ' п>+1 (' + ! ) + 0 - <)п^ (0}. (2.47) L J (1 + г у где fe = О, 1, 2,..., nЧ l,i = О, 1, 2, fl + rf _ dА ТТ7, ) " Ч вероятность одного подъема цены базисных 1+ я* _ у ч "л-4, активов в мире, нейтральном к риску.

Так как значения Пп0) известны при всех i = О, 1, 2 п, то равенство (2.47) позволяет последовательно найти:

ГЦО) = П, П,(0, i = О, I, 2 п - 1 ;

П,(0, i = О, 1 П-2;

т. е. в конце концов найти искомую начальную стоимость производного фин нансового инструмента.

II. Рынки производных финансовых инструментов Кроме того, с помощью равенства (2.47) нетрудно показать, что F(ST) П= (2.48) (1 + rf где F(Sj) Ч ожидаемая конечная стоимость производного финансового инструмента в мире, нейтральном к риску.

Пример 2.24- Рассмотрим 3-месячный европейский опцион пут на акцию с постоянной дивидендной доходностью q = 8% при цене исполнения 51 долл., когда цена акции 52 долл., безрисковая процентная ставка (для всех сроков) 12%, а волатильность цены акции оценивается в 30%.

В данном случае X = 51 долл., S = 52 долл., Т - 1 = Ч, г = 0,12, q = 0,08, о- = 0,3.

1л Для оценки стоимости опциона построим 3-этапную биномиальную мон дель (рис. 2.24) с параметрами:

= е^ = е 0 ' 3 ^ = 1,090, d, = е^ г = е^ Ьг 917.

щ = Нетрудно определить значение стоимости европейского опциона пут чен рез 3 месяца (соответствующие значения указаны на рис. 2.24):

П3(3) = тах{51-67,342;

0} = О, П3(2) = тах{51-56,68;

0} = 0;

П3 (1) = max {51 - 47,706;

0} = 3,294;

П3 (0) = max {51 - 40,154;

0} = 10,846.

47, (3,294) 47, (4,309) 43, 40, (7,026) (10,846) Рис. 2.24. Трехэтапная биномиальная модель 158 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Чтобы найти значение стоимости опциона через два месяца, вычислим вероятность одного подъема цены акции в мире, нейтральном к риску:

(l + Wf- 0, *;

= 11 + 0 ' 0 8 ) = 0, 1,090-0, и воспользуемся формулой (2.47). Получим, что П2 (2) = - - [0,497 Х 0 + (1 - 0,497) Х 0] = 0;

(1, 12) П2 (1) = Ч - - [0,497 Х 0 + (1 - 0,497) Х 3,294] = 1,641;

(1,12)й П2 (0) = Ч - - [0,497 Х 3,294 + (1 - 0,497) Х Ю, 846] = 7,026.

(1,12)й Аналогично найдем, что П, (1) = Ч г [0,497 Х 0 + (1 - 0,497) Х 1,641] = 0,818;

(1,12) П, (0) = Ч [0,497 Х 1,641 + (1 - 0,497) Х 7,026] = 4,309.

(U2)M И наконец, П = П0 (0) = - - [0,497 Х 0,818 + (1 - 0,497) Х 4, 309] = 2,55 долл.

(1,12) Стоимость данного опциона можно найти и с помощью формулы (2.48):

П = Ч L _.Г о Х (0,497)3 + 0 Х 3 Х (0,497)2 (1-0,497) + (1,12) + 3,294 Х 3 Х (0,497) (1 - 0,497)2 + 10,846 Х (1 - 0,497)3] = 2,55 долл.

Биномиальную модель, изображенную на рис. 2.23, можно использовать и для оценки стоимости американских опционов на активы, обладающие пон стоянной дивидендной доходностью, цена которых определяется условиями (2.45) и (2.46).

В самом деле, обозначим через Ck(i), k = 0, 1, 2,..., n, i = 0, 1, 2,..., k, стоимость американского опциона колл в момент времени t + fehn при усн ловии, что он не исполнялся до этого момента времени, а цена базисных акн тивов поднималась i раз. Тогда Сп (i) = max {Suj,dnni - X;

о}, i = 0, 1, 2,..., п.

И. Рынки производных финансовых инструментов Предположим теперь, что до момента времени t + khn, k = 0, 1, 2,..., n - 1, цена базисных активов поднималась i раз, а американский опцион колл до этого момента не исполнялся. Если в этот момент времени опцион будет исполнен, то инвестор получит выигрыш (доход) в размере Su'Дd*~' - X. Если же в момент времени t + khn опцион исполняться не будет, то его стоимость Ck{i) может быть оценена на основе простейшей модели, изображенной на рис. 2.25.

Тогда С (0 = ( i +1} + (1 _ *n*)Q+I ( i ) }' > (ГТ^^ ^1 + r f где кп "n-dn Очевидно, что инвестор будет или не будет исполнять опцион в зависин мости от того, что больше: Si^djj-1' - X или Q (i).

Следовательно, Q(i) = m a x j s u ^ 1 - X, n'nCk+1 (i + 1) + (i - < ) Q + I (i), (2.49) к k = 0, 1, 2 n - 1, i = 0, 1, 2,..., k.

Так как значение Cn(i) нам известно, то, последовательно применяя форн мулу (2.49), можно получить оценку стоимости американского опциона колл С = С0(0).

Точно так же можно найти оценку стоимости и американского опциона пут.

sura:

0+1)) <ел<0) t+kh. t4k+i)K Рис. 2. 160 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Пример 2.25. В условиях примера 2.24 оценим стоимость опциона, считая его американским.

Биномиальная модель и все расчеты приведены на рис. 2.26.

Например, П2 (0) = max {51 - 43,767;

7,026} = 7, т. е. если за два месяца цена базисных активов опускалась два раза, то амен риканский опцион пут выгодно исполнить досрочно.

Таким образом, стоимость американского опциона пут оказалась равн ной 2,60, что больше стоимости аналогичного европейского опциона (см.

пример 2.24).

На основе биномиальной модели можно оценивать стоимости фьючерсн ных опционов, т. е. опционов на фьючерсные контракты.

По условиям фьючерсного опциона колл (лпут) его держатель в мон мент исполнения опциона получает длинную (короткую) позицию по базисн ному фьючерсному контракту и денежную сумму в размере Ф Т -Х(Х-Ф Т ), где Фт Ч фьючерсная цена активов, лежащих в основе фьючерсного контракта, а X Ч цена исполнения опциона.

Так как стоимости той или иной позиции в момент заключения фьючерсн ного контракта равны нулю, то выигрыш держателя фьючерсного опциона колл (лпут) на момент его исполнения составляет max {Фт - X;

0} (max {X - Фт;

0}).

Во многих случаях можно считать, что фьючерсный опцион является обычн ным опционом на активы, которые удовлетворяют следующим условиям:

1) дивидендная доходность активов равна безрисковой процентной ставке;

2) волатильность цены активов совпадает с волатильностыо цены тех активов, которые положены в основу базисного фьючерсного конн тракта;

3) начальная цена активов равна фьючерсной цене в рассматриваемый момент времени t.

Рис. 2.26. Расчет стоимости американского опциона по биномиальной модели П. Рынки производных финансовых инструментов Это означает, что для оценки фьючерсных опционов можно использовать биномиальную модель, изображенную на рис. 2.23, когда S = Ф (Ф Ч фьюн черсная цена активов, лежащих в основе базисного фьючерсного контракта), ц^ = е ^, 4i = е'^, где гЧ волатильность цены активов, лежащих в основе базисного фьючерсного контракта, а вероятность одного подъема цены в мире, нейтральном к риску, определяется равенством п=^ п Ц.-4.

2.23. Формулы Блэка-Шоулза Рассмотрим европейские опционы на активы с постоянной дивидендной доходн ностью, цена которых определяется геометрическим броуновским движением:

dST = (aST)dr + (aSx)dwT, S, = S.

Будем считать, что финансовые рынки удовлетворяют следующим услон виям:

Х рынки являются совершенными;

Х существует безрисковая процентная ставка, одинаковая для всех срон ков и не меняющаяся с течением времени;

Х отсутствуют прибыльные арбитражные возможности.

Временной промежуток [г, Т) (Т Ч дата истечения опционов) разобьем на п равных частей точками t.t + M + 2^, t + nl\ = T, hД = Ч, n и построим n-этапную биномиальную модель со следующими параметрами:

ж = е^ " fn.

un = e^, dn = е^, Ц.-4.

Тогда стоимость европейских опционов колл и пут можно оценить с помощью соотношения (2.44), которые в данном случае принимают вид:

Сп = Ч - т т ! max { S ^ d r - Х,0} Х Qfc) (l-n'nf, (2 50) (l + Г] != Pn = 77-^rrrImax{X - ЗДЛ < } Х С {<) (l - G.5D (1 + Г) i=o 161 Энциклопедия финансового риск-менеджмента При п Ч случайный процесс, определяемый биномиальной моделью, > стремится к геометрическому броуновскому движению. Переходя к пределу при п - м в формулах (2.50) и (2.51), получим формулы Блэка-Шоулза:

с = &Г*Т-Г)ЛГ(4) - Xe-^N(d 2 ), (2.52) р = Xe f(T -N(-d 2 ) - S e ^ ^ ' N t - d, ), (2.53) где S Ч цена базисных активов в текущий момент времени t;

X Ч цена исполнения опционов;

Г Ч дата истечения опционов;

f Ч безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении;

q Ч дивидендная доходность базисных активов при непрерывном начислении;

г*\ 1п^ + ( Т - г ) г - q +, d2 = d, - osjT - t 4= (аЧ волатильность базисных активов);

.. I [ e 2 dx = 1 - Ф (z) (при z > 0, см. табл. 1.1).

N(Z):

Важнейшие частные случаи формул Блэка-Шоулза 1. Европейские опционы колл и пут на бездивидендную акцию SN(d1)-Xef{T-')N(d2);

c= р = Xe~f(T^N (-dJ-S-N (-4),,2 Л ln^ (T-t) Г+ + где ^= o-jT^t d2 = dj - стл/Т^Т.

Пример 2.26. Найдем стоимости 6-месячных европейских опционов колл и пут на бездивидендную акцию с ценой исполнения 40 долл., когда текущая цена акции 42 долл., волатильность цены акции составляет 20%, а безрискон вая процентная ставка при непрерывном начислении равна 10%.

В данном случае S = 42 долл., X = 40 долл., г = 0,1, а = 0,2, Г - t = 0,5.

И. Рынки производных финансовых инструментов Тогда 2^ Ш 4 2 + 0, 40 d,= = 0,7693;

0,2,70, d2 = 0,7693 - 0,2J075 = 0,6279.

С помощью таблицы для нормального распределения найдем, что N ( d j = 1 - Ф (0,7693) = 1-0,2206 = 0,7794, N(d 2 ) = 1 - Ф (0,6279) = 1-0,2643 = 0,7357, N (-d,) = Ф (0,7693) = 0,2206, N (-d2) = Ф (0,6279) = 0,2643.

Следовательно, с = 42 Х 0,7794 - 40е0Д os Х 0,7357 = 4,74 долл.;

р = 40е-'1'0,5 Х 0,2643 - 42 Х О,2206 = 0,79 долл.

2. Европейский опцион колл и пут на иностранную валюту c = S- ef''(T-t)N(d1) - X Х e-f(T-')N(d2);

р = Xe'^Ni-dz) - Se^-'Wt-d,), ln^ ( T - t ) r-n + где d, = oW^t d2 = d - Oy/T - t;

безрисковая процентная ставка (при непрерывном начислении) в стране, где действует рассматриваемая валюта.

Пример 2.27- Найдем стоимости 9-месячных европейских опционов колл и пут на 1000 канадских долларов при цене исполнения 0,75 долл., когда тен кущий обменный курс Ч 0,75 долл. за один канадский доллар, безрисковые процентные ставки в США и в Канаде равны 7 и 9% соответственно (при непрерывном начислении), а волатильность обменного курса составляет 4%.

164 Энциклопедия финансового риск-менеджмента В данном случае X = 0,75 долл.;

S = 0,75 Долл.;

f = 0,07;

f, = 0,09;

а = 0,04;

T-t = Ч.

' Тогда 2\ 1п^5 + -9 0,07 - 0,09 + (0,04) 0,75 -0,42;

cL = -0,42 - 0,04,1Ч = -0,45;

^ V N(d,) = л&(0,42) = 0,3372;

N(d 2 ) = < (0,45) = 0,3264;

D N (-d,) = 1 - Ф (0,42) = 0,6628;

N (-d2) = 1 - Ф (0,45) = 0,6736.

Значит, 12 и с = 1000 0,75е ' 0,3372 - 0, 7 5 - е ' 0,3264 = 4,11 долл.;

9 -0,07Ч -0,09 Ч = 14,71 долл.

р = 1000 12 0,75 Х е Х 0,6736 - 0,75е Х 0, 3. Европейские фьючерсные опционы колл и пут с = Ф Х e-f{T-l)N (d,) - X Х e-f(r-"N (d2);

p = X Х e-f(T-N(-d2) - Ф Х е-?(Т-ЛГ(-4), Ф 1гД + ( Г - г ).

где d, = X _ Гл/f^t d2 = d[ - ал/T^t;

Ф Ч текущая фьючерсная цена базисных активов.

Пример 2.28. Найдем стоимость 8-месячного фьючерсного опциона колл на акцию при цене исполнения 70 долл., когда текущая фьючерсная цена акции 66 долл., безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении равна 7%, а волатильность цены базисной акции оценивается в 49,20%.

II. Рынки производных финансовых инструментов 16$ В данном случае Ф = 66 долл.;

X = 70 долл.;

f = 0,07;

а = 0,492;

T-t = Ч.

Тогда (0.492). 66 In Ч + Ч - Ч г^ _70Ч12 2 05. ^ os - 0,492 Х Ч = -0,35;

d] = =0 = 0( "ХWI N (d,) = 1 - Ф (0,05) = 1 - 0,4801 = 0,5199;

N (d2) = Ф (0,35) = 0,3632.

Следовательно, -0,07Ч -0.07 Ч с = 66 Х е 12 Х О,5199 - 70е 12 Х 0,3632 = 8,48 долл.

4. Европейские опционы колл и пут на активы с известными доходами.

Стоимости европейских опционов на активы с известными доходами можно оценивать приближенно с помощью следующих формул:

c-S*N(d 1 )-Xe- f(T - t) N(d 2 );

Xef(T-')N(-d2)-S'N(-dl), p= o-2^ S*, J.

h ^ + /ч T - t ) r + Ч ( где dj = Ч o-Vf^T d2 = d, - aJY^t S'= S-D, D Ч приведенное значение доходов, поступающих от базисных активов за время от t до Т.

Пример 2.29. Найдем стоимость 8-месячного европейского опциона колл на акцию, по которой через 3 и 6 месяцев ожидаются дивиденды в размере 2 долл. (каждый раз), если цена исполнения опциона 100 долл., текущая цена акции 100 долл., волатильность цены акции оценивается в 30%, а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении для всех сроков равна 8%.

В данном случае о S = 100 долл.;

X = 100 долл.;

г = 0,08;

а = 0,3;

Т - Г = Ч;

Д -0,08Ч -0,08 Ч,2 D = 2e +2е = 3,88 долл.;

S = 100-3,88 = 96,12;

166 Энциклопедия финансового риск-менеджмента 2\ (о,з):

, 96,12 InЧ-Ч + Ч 0,08 100 4= = 0,18;

= 0,18 - 0,3. -0,06;

0,3- Д VI N ( 4 ) = 1 - Ф (0,18) = 1 - 0,4286 = 0,5714 N(d 2 ) = Ф (0,06) = 0,4761.

Значит, с = 96,12 Х 0,5714 - 100 Х е'т Тг Х 0,4761 = 9,79 долл.

Свойства стоимостей европейских опционов в модели Бпэка-Шоулза 1. Стоимости европейских опционов, найденные по формулам Блэка Шоулза (2.52) и (2.53), удовлетворяют паритету цен:

= &-*т- - Хе"(T-t) с-р Пример 2.30. В примере 2.26 было найдено, что с = 4,74 долл., р = 0,79 долл., т. е. с-р = 3,95 долл. С другой стороны, f(T Se -q(T-t) X Х e" ~ = ло.Хo~i212 _ АС.Хлp"' 1212 == 3,95 долл.

= 42 e - 40 e 2. В модели Блэка-Шоулза стоимости европейских опционов определяются следующими показателями: текущей ценой базисных активов S, ценой исполнения опциона X, дивидендной доходностью базисных активов q, волатильностью цены базисных активов а, безрисковой процентной ставн кой f и временем, остающимся до даты истечения опциона T-t, т. е.

с = c(S, X, q,a, f, T-t);

p = p(S,X,q,a,f, T-t).

В табл. 2.2 показано, как увеличение того или иного показателя (при неизн меняемости остальных показателей) влияет на стоимость европейского опциона.

Таблица 2. ВЛИЯНИЕ ФАКТОРОВ РИСКА НА СТОИМОСТЬ ЕВРОПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ г а я Показатель X T-t S Стоимость + + +* европейского + опциона колл Стоимость европейского +* - + + + опциона пут * Условие может нарушаться в случае опционов с выигрышем.

II. Рынки производных финансовых инструментов 3. При возрастании волатильности от 0 до + (и неизменяемых всех осн тальных показателях) стоимость европейского опциона колл возран стает от Se~^T~l) - Хе"?(Т~'' до Se~^T~'\ а стоимость европейского опн циона пут Ч от Xe"f(T" - &"4СТ_1) до Xe'^-'l Из последнего утверждения следует, что, какова бы ни была рыночная стоимость европейского опциона на активы с постоянной дивидендной дон ходностью, всегда существует и притом единственное значение а, при котон ром стоимость опциона, найденная по формуле Блэка-Шоулза, совпадает с его рыночной ценой. Это значение а называется предполагаемой волатиль ностью (implied volatility) базисных активов.

Если известна рыночная цена европейского опциона колл (лпут), то для отыскания предполагаемой волатильности базисных активов необходимо решить уравнение:

. e - л r - o N ц ) _ х. e-t{T-l)N (d 2 ), СРШ = s (2.54) (ррш = Х- e-f(T-t}N(-d2) - S Х e"л 7 '-,) N(-d,)), ( 2 - 55 ) l n | + ( T - t ) r -q + где d, = /f-t cL=d,- ojT - 1.

Пример 2.31. Рыночная цена 3-месячного европейского опциона колл на безн дивидендную акцию с ценой исполнения 20 долл. равна 1,88 долл. Найдем предн полагаемую волатильность базисной акции, если текущая цена акции 21 долл., а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении равна 10%.

В данном случае СРШ = 1( 8 8 д о л л. 5 = 21 ДОЛЛ.;

X = 20 ДОЛЛ.;

f = 0,1;

q = 0;

Г - t = 0,25.

Следовательно, уравнение (2.54) принимает вид 1,88 = 21N (d,) - 20e^>W5N (d 2 ), (2.56) ( а2Л I n Ч + 0,25 0,1 + Ч, 20 где dx = r =^= CTVO- d2 = d, - oJ0,25.

Найти решение уравнения (2.56) можно, например, методом проб и ошибок.

168 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Положим о 01 = 0,20. Тогда 2Л (0,2) I n Ч + 0,25 0,1 + ( = 0,79;

d" =, 0,2^ 4 " = d,(1) - 0,2^025 = 0,69;

N (d,(1)) = 1 - Ф (0,79) = 1 - 0,2148 = 0,7852;

N ( 4 ] ) ) = 1 - Ф (0,69) = 1 - 0,2451 = 0,7549;

с(<т(1)) = 21 Х 0,7852 - 20 Х е' 0 1 0 2 5 Х 0,7549 = 1,76 <,рын с Следовательно, значение а следует увеличить.

Положим <т<2) = 0,23. Тогда (0,23)2 \ In Ч + 0,25 0,1 + d<2> = = d<2) - 0,23 Х VoT25 = 0,59;

0,70;

df 0,23 Х л/ N(d<2)) = 1 - Ф (0,70) = 1 - 0,2420 = 0,7580;

N ( d f ) = 1 - Ф (0,59) = 1 - 0,2776 = 0,7224;

с (ст(2)) = 21 Х 0,7580 - 20е од '25 Х 0,7224 = 1,83 < с"".

Прист<3)= 0, d<3) = 0,67;

d<3) = 0,55;

N (d| 3) ) = 0,7486;

N (d<3)) = 0,7088;

с(сг(3)) = 1,89 долл. > с" г,РЬИ Таким образом, предполагаемая волатильность базисной акции находится между 0,23 и 0,24. Можно считать, что предполагаемая волатильность равна 0,235, или 23,50%.

Волатильность тех или иных активов можно оценивать на основе историн ческих данных (см. п. 1.22). Однако не всегда можно таким образом полун чить хорошую оценку волатильности. Тогда в качестве оценки волатильности можно рассматривать предполагаемую волатильность активов, определяемую на основе рынка опционов на эти активы.

2.24. Дельта-хеджирование Если финансовый институт продает на внебиржевом рынке тот или иной опн цион, то он подвергается рыночному риску, так как за опцион он получает фиксированную суммуЧ премию за опцион, а его доход (убыток) зависит от II. Рынки производных финансовых инструментов спот-цены базисных активов на момент исполнения опциона. Например, в случае продажи европейского опциона колл прибыль финансового инстин тута на момент исполнения этого опциона оценивается следующим образом:

W-t) ecnnST < X, се r(T-t) -max{S T -X;

0} + ce f(Tt) {X-ST + ce, если ST > X.

Зависимость прибыли от спот-цены активов изображена на рис. 2.27.

Таким образом, продавая опцион, финансовый институт может понести очень большие убытки и поэтому заинтересован в снижении этого рыночнон го риска.

Финансовый институт может полностью исключить какой бы то ни было рыночный риск, купив аналогичный биржевой опцион. Однако часто опцион создается специально, исходя из запросов конкретного клиента, и купить тан кой опцион на бирже не удается. Именно в таком случае может использон ваться дельта-хеджирование рыночного риска.

Рассмотрим финансовый инструмент, производный от некоторых базисных активов. Стоимость этого инструмента в текущий момент времени t зависит от спот-цены активов в этот момент времени и от многих других факторов.

Коэффициентом дельта (delta) финансового инструмента, производного от данных базисных активов, называется частная производная стоимости этон го инструмента по спот-цене базисных активов, т. е.

дП Л = dS Основное свойство коэффициента дельта Если спот-цена базисных активов мгновенно изменяется на величину SS, а все остальные факторы, влияющие на стоимость производного финансового инн струмента, останутся неизменными, то приращение стоимости этого инструн мента ЛП можно приближенно оценить следующим образом:

ЛП ~A(8S). (2.S7) Прибыль Рис. 2.27. Прибыль от продажи опциона колл 13 Ч Ж70 Энциклопедия финансового риск-менеджмента При этом, чем меньше 8S (по абсолютной величине), тем меньше погрешн ность равенства (2.57).

Имеют место следующие утверждения:

1. Коэффициент дельта базисных активов всегда равен 1.

2. Коэффициент дельта фьючерсного контракта на активы с постоянной дивидендной доходностью можно найти по формуле:

AF = e(f-л(T-'>, где q Ч постоянная дивидендная доходность при непрерывном начислении;

f Ч безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении;

Т Ч дата поставки активов.

3. Коэффициенты дельта европейских опционов на активы с постоянной дивидендной доходностью q определяются равенствами:

Ac=e-^N(d1);

V^'NK), m | + (r-t)(f-a + f где dj = o-Vf^t Пример 2.32. Рассмотрим 5-месячный европейский опцион пут на бездивин дендную акцию с ценой исполнения 100 долл., когда текущая спот-цена акн ции равна 100 долл., волатильность акции оценивается в 40%, а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении равна 8%.

В данном случае S = 100 долл.;

X = 100 долл.;

f = 0,08;

q = 0;

Т - t = Ч;

а = 0,4;

, 100 5 '*л + & ' In +Ч d.= = 0,26;

100 "Ш N(-d,) =

Следовательно, Лр = -0,3974.

Из приближенного равенства (2.57) следует, что, если цена базисной акн ции мгновенно вырастет на 1 долл., то цена опциона пут на эту акцию умень II. Рынки производных финансовых инструментов 17* шится на 0,397 долл. (точное значение снижения стоимости опциона составн ляет 0,392 долл.).

4. Коэффициенты дельта американских опционов можно найти приблин женно на основе n-этапной биномиальной модели:

_ Q(i)-Q(o).

_ А S(e^ Р:(1)"ХР.(о) Л Л Р S ( e ^ Х-е^)' где S Ч текущая цена базисных активов;

T-t а Ч волатильность базисных активов, fy, = ;

Cj(l) (Pj(I)) Ч стоимость американского опциона колл (лпут) в момент времени t + hn при условии, что поднялась цена базисных активов;

СДО) (Pj(0)) Ч стоимость американского опциона колл (лпут) в момент времени t + hn, если цена базисных активов упала.

5. Коэффициент дельта портфеля финансовых инструментов, производн ных от одних и тех же базисных активов, является линейной комбин нацией коэффициентов дельта этих финансовых инструментов.

Пример 2.33. Рассмотрим портфель, состоящий из покупки 10 000 английсн ких фунтов стерлингов: из короткой позиции по 9-месячному фьючерному конн тракту на 5000 фунтов стерлингов и из длинной позиции по 6-месячному евн ропейскому опциону пут на 2000 фунтов стерлингов с ценой исполнения 1.60 долл. Найдем коэффициент дельта портфеля, когда текущий обменный курсЧ 1,62 долл. за один фунт, волатильность обменного курса оценивается в 15%, а безрисковые процентные ставки при непрерывном начислении в США и Англии равны 10 и 13% соответственно.

Найдем коэффициент дельта фьючерсного контракта на один фунт стерн лингов.

Так как f = 0,10, f, = 0,13, Т* - 1 = Ч, то ' (f MIT 1 t\ (0,10-0,13) Ч Л, = e(r-f)(r- = е = 0,9778.

Вычислим коэффициент дельта опциона пут на один фунт стерлингов.

Так как S = 1,62 ДОЛЛ.;

X = 1,60 ДОЛЛ.;

ст = 0,15;

f = 0,10;

Т - t = Ч;

17* Энциклопедия финансового риск-менеджмента то 2Л, 1,62 I n - Ч + Ч 0,10-0,13 + ^f> I n f + (T-t)ff-f, ^ + = 0,03;

1,60 ^7тП 0,15 Д N (-d,) = Ф (0,03) = 0,4880.

Тогда Ap = -e^(Т~1)Ы (-d,) = -e" 0,13 ".0,4880 = -0,4573.

Следовательно, коэффициент дельта рассматриваемого портфеля можно найти следующим образом:

А = 10 000 Х 1 - 5000 Х 0,9778 + 2000 Х (-0,4573) = 4196,4.

Из приближенного равенства (2.57), в частности, следует, что при паден нии обменного курса на 0,01 долл. стоимость всего портфеля снизится на 41,96 долл.

Портфель финансовых инструментов, производных от одних и тех же бан зисных активов, называют дельта-нейтральным (delta-neutral), если коэффин циент дельта этого портфеля равен 0.

Если инвестор занимает некоторую позицию по производному финансон вому инструменту, то, занимая соответствующую позицию по какому-то друн гому финансовому инструменту на те же базисные активы, он может образон вывать дельта-нейтральный портфель, т. е. дельта-нейтрализовать свою перн воначальную позицию.

Пример 2.34. Финансовый институт продал 6-месячный европейский опцион пут на 2000 фунтов стерлингов с ценой исполнения 1,60 долл., когда текун щий обменный курсЧ 1,62 долл. за один фунт, волатильность обменного курса оценивается в 15%, а безрисковые процентные ставки при непрерывном нан числении в США и в Англии равны 10 и 13% соответственно.

Выясним, сколько фунтов стерлингов следует купить (или продать), чтон бы дельта-нейтрализовать базисную позицию.

Коэффициент дельта европейского опциона пут равен -0,4573 (см. прин мер 2.33). Обозначим через х количество фунтов стерлингов, покупаемых для дельта-нейтрализации. Тогда х - 2000 Х (-0,4573) = 0.

Откуда найдем, что х = -914,6. Таким образом, для дельта-нейтрализации базисной позиции требуется произвести короткую продажу 914,6 фунтов стерн лингов.

Предположим, что инвестор занимает определенную позицию по финанн совому инструменту, производному от данных базисных активов. Дельта-хед II. Рынки производных финансовых инструментов жирование риска, связанного с изменением цены базисных активов на рынн ке, сводится к следующему:

1) выбирается некоторый биржевой инструмент, производный от тех же базисных активов;

2) покупая или продавая выбранный инструмент, базисная позиция дельта нейтрализуется;

3) инвестиционный портфель периодически ребалансируется, т. е. при помощи операций с выбранным инструментом восставливается дельн та-нейтральность этого портфеля, утрачиваемая из-за изменения цены базисных активов и течения времени.

По существу, при дельта-хеджировании искусственным образом воспрон изводится позиция, противоположная базисной, т. е. строится синтетический финансовый инструмент.

Пример 2.35. Финансовый институт продал 5-недельный европейский опцион колл на 100 000 бездивидендных акций с ценой исполнения 50 долл., когда текущая цена акции равна 49 долл., волатильность акции составляет 20%, а безрисковая процентная ставка равна 5%.

Для хеджирования своей позиции финансовый институт решает испольн зовать операции с базисной акцией и ребалансировать свою позицию еженен дельно. Ниже в табл. 2.3 приведен сценарий изменения цены базисной акции и расчет издержек финансового института на дельта-хеджирование.

В момент исполнения опциона финансовый институт обязан продать 100 000 акций по цене исполнения опциона в 50 долл.

Следовательно, чистые затраты финансового института составят 5 127 183 - 5 000 000 = 127 183 долл., а приведенные чистые затраты равны -0.0S-Ч 127 183 Х е п = 126 573.

Премия за опцион составляет 87 889 долл. Таким образом, чистые привен денные издержки финансового института (без учета комиссионных) равны 126 573 долл. - 87 889 долл. = 38 684 долл.

Отметим, что при отсутствии хеджирования чистые приведенные издержн ки составили бы -0.05 Ч п 312 500 долл. Х е - 87 889 долл. = 218 168 долл.

2.25. Гамма-хеджирование Коэффициентом гамма (gamma) финансового инструмента, производного от данных базисных активов, называется частная производная второго порядка от стоимости этого инструмента по цене базисных активов, т. е.

Э2П 3S2 " 174 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Таблица 2. ДЕЛЬТА-ХЕДЖИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ АКЦИЙ Количество Цена Коэффициент Стоимость Накопленные Номер покупаемых издержки акции дельта покупаемых акций недели i (продаваемых) акций д. Д-^ Si Q = Q M ^' ! A,-S, Д = 100 000(Д ) - Д м ) + 49,000 2 028 0 0,4140 2 028 41 1 0,2769 -13 710 1 370 -659 48, 2 -12 740 768 47,375 0,1495 -603 50,250 0,5776 42 810 2 920 2 151 51,750 32 370 4 598 4 0,9013 1 675 1,0000 9 53,125 5 127 S 524 Коэффициент гамма производного финансового инструмента можно опн ределить как частную производную от коэффициента дельта этого инструмента по цене базисных активов, т. е.

Основное свойство коэффициента гамма Если спот-цена базисных активов мгновенно изменится на величину SS, а все остальные факторы, влияющие на стоимость производного финансового инн струмента, останутся без изменения, то приращение стоимости этого инстн румента AU можно приближенно оценить следующим образом:

ДП = Д- (SS) + ^(8Sf, (2.58) причем при малых SS (по абсолютной величине) погрешности этого равенн ства значительно меньше погрешности равенства (2.57), учитывающего тольн ко коэффициент дельта.

Имеют место следующие утверждения:

1. Коэффициенты гамма базисных активов и фьючерсных контрактов на эти активы всегда равны 0.

II. Рынки производных финансовых инструментов 2. Коэффициенты гамма европейских опционов на активы с постоянной дивидендной доходностью q определяются равенством:

LЧе-* 7 " 0 Х е" т (я ~ 3,И), Гс = Г = - i _ s,Д. ^ Г. ~ о-2^ ln^ + (T-t) г - q + где d, = o-Vf^t Пример 2.36. Найдем коэффициент гамма европейского опциона пут из прин мера 2.32.

Так как S = 100 ДОЛЛ.;

X = 100 ДОЛЛ.;

f = 0,08;

С = 0;

а = 0,4;

Т - Г = Ч;

^ = 0,26;

/ то,, _

Г Р=-1= ^2ЛГ 100 0,4-JЧ \ Из равенства (2.58) следует, что если цена базисной акции мгновенно вырастет на 1 долл., то Ар = -0,3974 Х 1 + ' 1 4 9 Х 1 = -0,390, т. е. стоимость опциона упадет на 0,390 долл.

3. Коэффициенты гамма американских опционов можно найти приблин женно на основе n-этапной биномиальной модели:

2 [С2(2)-С2(1)С2(1)-С2(0) 2 [Р 2 (2)-Р 2 (1) | Р 2 (1)-Р 2 (0) S2{u*-d2n){ d n 2 -l " ul-l где un = eaJK, dn = e~a^, \ = Ч.

Коэффициент гамма портфеля финансовых инструментов, производных от одних и тех же базисных активов, является линейной комбинацией коэффин циентов гамма этих инструментов.

17* Энциклопедия финансового риск-менеджмента Портфель финансовых инструментов, производных от одних и тех же бан зисных активов, называется гамма-нейтральным (gamma-neutral), если коэфн фициенты дельта и гамма этого портфеля равны нулю.

Если инвестор занимает некоторую позицию по производному финансон вому инструменту, то, занимая соответствующие позиции по двум другим фин нансовым инструментам, производным от тех же самых базисных активов, он может образовать гамма-нейтральный портфель.

Пример 2.37. Инвестор приобрел финансовый инструмент, производный от некоторых базисных активов, коэффициенты дельта и гамма которого равны 0,50 и 0,02 соответственно.

Выясним, как гамма-нейтрализовать данную позицию, используя сами эти активы и биржевые опционы на них, если коэффициенты дельта и гамма бирн жевого опциона 1,5 и 0,01.

Предположим, что для гамма-нейтрализации позиций инвестора необхон димо купить х единиц базисных активов и у биржевых опционов на эти актин вы. Тогда должны выполняться следующие равенства:

0,50 + х-1 + у 1,5 = 0, 0,02 + у 0, 0 1 = 0.

Следовательно, у = -2, х = 2,5. Таким образом, необходимо купить 2,5 единиц базисных активов и произвести короткую продажу двух биржевых опционов на эти активы.

Гамма-хеджирование, как и дельта-хеджирование, применяется для снин жения риска, связанного с изменением цены активов на рынке при наличии определенной позиции по финансовому инструменту, производному от этих активов. Гамма-хеджирование предполагает следующие действия:

1) выбираются два биржевых инструмента, производных от тех же актин вов, что и базисный инструмент;

2) покупая или продавая выбранные финансовые инструменты, базисная позиция гамма-нейтрализуется;

3) инвестиционный портфель периодически ребалансируется, т. е. на осн нове операций с выбранными инструментами восстанавливается его гамма-нейтральность.

При гамма-хеджировании искусственным образом воспроизводится позин ция, противоположная исходной, причем такое воспроизведение оказывается значительно точнее, чем при дельта-хеджировании.

2.26. Коэффициенты тета, ро и вега Коэффициентом тета (й) производного финансового инструмента называют частную производную стоимости этого инструмента по времени, т. е.

II. Рынки производных финансовых инструментов Коэффициент тета оценивает скорость изменения стоимости производн ного инструмента при условии, что все остальные факторы, влияющие на его стоимость, остаются неизменными.

Для финансовых инструментов, производных от активов с постоянной дин видендной доходностью, цена которых определяется геометрическим броуновн ским движением, имеет место следующее равенство:

e + ( f - q ) S A + Ч Х ST 2 = f Х П. (2.59) В частности, если портфель финансовых инструментов, производных от одних и тех же активов, является гамма-нейтральным, то равенство (2.59) прин нимает вид:

Х 0 = f Х П.

Пример 2.38. Рассмотрим 6-месячный европейский опцион пут на 2000 фунн тов стерлингов с ценой 1,60 долл., когда текущий обменный курсЧ 1,62 долл.

за один фунт, волатильность обменного курса оценивается в 15%, а безрисн ковые процентные ставки при непрерывном начислении в США и в Англии равны 10 и 13% соответственно.

Коэффициент дельта опциона равен 2000 Х (-0,4573) = -914,6 (см. прин мер 2.33), а его коэффициент гамма можно найти следующим образом:

г^2000 1 с_,(Т_0 4^ с л/2/г SoslT^l ( 2000 I 5-^ е-<ш 0.. е Чг" 4349,35.

= Х42к 1,62-0,15-л/О, Стоимость данного опциона можно найти по формуле (2.53), где q = ff :

р = 2000 {1,60 Х е о ю 05 N (-d2) - 1,62 Х е"013 a5 N (-d,)} = = 2000{l, 60e-'I0OS Х 0,5319 - 1,62 Х e 0I3 ' s Х 0,4880} = 147,17 долл.

Тогда из соотношения (2.59) получим, что 0 = 0,10 Х 147,17 - (0,10 - 0,13) Х 1,62 Х (-914,6) _ (015)_ ^ 62 ^ 2 4 3 4 9 j 3 5 = _158> н Таким образом, за 10 дней стоимость опциона снизится на 158,14 Х Ч = 4,33 долл. только за счет фактора времени.

Ч Коэффициентом ро (р) финансового инструмента называется частная прон изводная стоимости этого инструмента по безрисковой процентной ставке, т. е.

ЭП 178 Энциклопедия финансового риск-менеджмента В случае фьючерсного контракта на активы с постоянной дивидендной доходностью q коэффициент р находится по формуле:

p = S-(r-t)-eM(T-".

Для европейских опционов на активы с постоянной дивидендной доходн ностью рс = Х(Г - г) Х <Г(Т-'> Х N(d2), Pp = -Х(Т - г) Х е-'(Т-() Х N(-d2).

Коэффициент ро используется при хеджировании процентного риска, т. е. риска, связанного с изменениями безрисковой процентной ставки, точно так же, как коэффициент дельта используется для хеджирования рыночного риска. Кроме того, если на биржевом рынке имеется несколько различных финансовых инструментов, производных от одних и тех же активов, то с пон мощью коэффициентов ро и дельта можно построить хеджирование однон временно и рыночного, и процентного рисков. Для этого достаточно сфорн мировать портфель с нулевыми коэффициентами ро и дельта и периодичесн ки его ребалансировать.

Пример 2.39. Предположим, что финансовый институт продал 6-месячный европейский опцион пут в условиях примера 2.38.

Выясним, как в начальный момент времени построить инвестиционный портфель для хеджирования рыночного и процентного (в США) рисков, исн пользуя операции с фунтами стерлингов и с 9-месячными фьючерсными конн трактами на фунт стерлингов.

Коэффициенты дельта опциона и фьючерсного контракта на один фунт стерлингов были уже найдены:

AF = 0,9778, Др = -0,4573 (см. пример 2.33).

Коэффициент ро для фьючерсного контракта находится следующим обн разом:

( - дз) - = 1,1880, pF = S Х (Т - t) Х е Щ Щ = 1,62 Х е а для опциона:

рр = -X Х (Г - t) Х e-f(T" Х N (-d2) - -1,60 Х 0,5 Х е"010'5 Х 0,5319 = -0,4048.

Так как инвестиционный портфель должен иметь нулевые коэффициенты дельта и ро, то мы имеем систему уравнений:

-2000 Х (-0,4573) + х Х 1 + у Х 0,9778 = 0, -2000 Х (-0,4048) + у Х 1,1880 = 0, где х Ч количество покупаемых фунтов стерлингов, у Ч число покупаемых фьючерсов.

Решив систему уравнений, получим х = -248,25, у = -681,48.

II. Рынки производных финансовых инструментов Следовательно, в начальный момент времени необходимо произвести кон роткую продажу 248,25 фунтов стерлингов и занять короткую позицию по фьючерсу на 681 фунтов стерлингов.

Коэффициентом вега производного финансового инструмента называетн ся частная производная стоимости этого инструмента по волатильности бан зисных активов, т. е.

Эст Для европейских опционов на активы с постоянной дивидендной доходн ностью справедливо равенство:

Х е-лт-".

Лс = Л = SjT^l Х -jLe^ Коэффициент вега используется для хеджирования риска, обусловленнон го возможными изменениями волатильности базисных активов.

Если на биржевом рынке имеется достаточно много различных финансон вых инструментов, производных от одних и тех же активов, то, используя кон эффициенты дельта, гамма, ро, вега и др., можно осуществить хеджирование разных рисков одновременно. Однако следует учитывать, что такое хеджирон вание потребует большого числа различных операций с биржевыми инструн ментами, что значительно увеличит транзакционные расходы, которые могут сделать такое хеджирование заведомо убыточным.

2.27. Специальные виды опционов В настоящее время наряду с основными видами опционов существует и мнон го других их видов, при этом постоянно появляются и новые разновидности опционов.

Рассмотрим некоторые, наиболее часто встречающиеся специальные виды опционов (exotic options).

2.27.1. Опцион на обмен активами Держатель опциона на обмен активами (exchange option) имеет право в мон мент исполнения опциона получить некоторый актив А в обмен на другой актив В. Платежная функция такого опциона записывается в виде:

max {STA-Sl, О}, где Si, SiЧ спот-цены активов А и В соответственно в момент исполнения опциона.

ISO Энциклопедия финансового риск-менеджмента Стоимость опциона на обмен активами находится по формуле*:

S B e^ (r -N(d 2 ), с = Sjfi-b^Nfa) ( ст ъ - ЧА + у \(т - О где dj = 2 crVf^t 0/2 = 6!! Ч o-JY^t;

а2 = а\ + а\ - 2раА Х ав;

SA, SB Ч спот-цены активов в текущий момент времени t;

Ч дивидендные доходности обмениваемых активов;

QA'QB агА, <тв Ч волатильности базисных активов А и В;

р Ч мгновенная корреляция между их ценами.

2.27.2. Бинарные опционы Держатель бинарного опциона (binary option) получает в момент исполнения этого опциона заданную денежную сумму Q, если спот-цена базисных актин вов оказывается выше цены исполнения X. Платежная функция бинарного опциона записывается в виде:

QJ(ST-X) от где ST Ч спот-цена активов на момент исполнения опциона;

1, если z > О, v ' ' 0, если z < 0.

Стоимость бинарного опциона может быть найдена по формуле:

Qe-riT-')N(d2), c= - о-2^ S,Д J ln| (T-t) г - q + + где (12 = ^ - а^Т - г, dx = o-Vf^T Хеджировать бинарные опционы достаточно сложно, так как даже небольн шие изменения спот-цены активов на момент исполнения опциона могут вын зывать значительные изменения дохода держателя опциона.

* Эта модель, впервые опубликованная в 1978 г, называется моделью Маргрейба (Margrabe) по фамилии ее автора.

II. Рынки производных финансовых инструментов 2.273. Азиатские опционы Платежная функция азиатского опциона (Asian option) колл (лпут) имеет вид:

т а х ^ - Х, 0 } ( т а х { Х - 5 ф, о}), где X Ч цена исполнения опциона;

Scp Ч среднее геометрическое значение цены базисных активов за время существования опциона.

Если базисные активы обладают постоянной дивидендной доходностью, а их цена определяется геометрическим броуновским движением, то азиатский опцион можно рассматривать как обычный европейский опцион на активы с дивидендной доходностью "г r + q + волатильность которых равна Чj=.

Значит, стоимости азиатских опционов можно находить по формулам Блэка Шоулза. При этом азиатские опционы стоят дешевле, чем соответствующие европейские опционы, и их проще хеджировать.

2.27-4. Барьерные опционы Барьерные опционы (barrier option) бывают двух основных видов/ выходящие (knock-out) и входящие (knock-in).

Выходящий опцион колл или пут прекращает свое существование как соответствующий опцион, когда цена базисных активов достигает некоторой заданной величины Н. При этом если Н < S (S Ч начальная цена базисных активов), то опцион называют выходящим при понижении (down-and-out), а r если Н > SЧ выходящим при повышении (up-and-out).

Входящий опцион колл или пут начинает существовать как соответн ствующий европейский опцион, когда цена базисных активов достигает заданн ной величины Н. Такой опцион называют входящим при понижении (down and-iri), если Н < S, и входящим при повышении (up-and-in), если Н > S.

Очевидно, что покупка входящего и дополняющего его выходящего опн ционов равносильна покупке соответствующего европейского опциона. Знан чит, сумма стоимостей таких опционов, входящего и выходящего, всегда сон впадает со стоимостью соответствующего европейского опциона.

Если базисные активы обладают постоянной дивидендной доходностью, а их цена определяется геометрическим броуновским движением, то имеют место следующие формулы:

/ U \2Л Г и \2Я- г-"г-" Я s. e-*r-o H.N(y)-X-.N ( y - o V f ^ ) с= (входящий при понижении колл), / u \2A~2 / и \2Я г р = Х.е-'< -'> 1.Ni-y + oJT^A-S-e-^ Ш N(-y) \ь ) \ь ) (входящий при повышении пут), ХШХ Энциклопедия финансового риск-менеджмента (U2\ ln Н_ г- q+ SX + ACTVT - t.

У= где а >/т- Стоимость барьерного опциона всегда меньше стоимости соответствуюн щего европейского опциона, а хеджировать его в общем случае сложнее.

2.27.5. Бермудские опционы Держатель бермудского опциона (Bermudan option) колл (лпут) имеет пран во купить (продать) базисные активы в один из будущих моментов времени:

Т,, Т2,...,ТП по заранее установленной цене, соответствующей этому моменн ту времени.

В каждый момент времени t, t

Если цена базисных активов определяется геометрическим броуновским движением, то стоимость бермудского опциона можно приближенно найти с помощью биномиальной модели.

2.28. Финансовые инструменты, производные от процентных ставок 2.28.1. Кэпы, флоры и коллары Рассмотрим некоторую рыночную процентную ставку на срок в S лет (наприн мер, 6-месячную ставку LIBOR). Ее значение в момент времени t будем обон значать г (г, 8).

Поток платежей от кэпа номиналом А на рассматриваемую процентную ставку, стартующего в момент времени Г0 при ставке исполнения х, опреден ляется следующим образом:

Дата г, = т0 + s ТД = Т0 + п Г = Т0 + М платежа Платеж AS -max{r(TД_,,<5)-x,o} Абтах{г(Г 0,5)-х,0} AS max{r(Tk_vS)-x,o} Таким образом, кэп (cap) представляет собой портфель из европейских опционов колл на данную процентную ставку.

Поток платежей от флора номиналом А на данную процентную ставку, стартующего в момент времени Т0 при ставке исполнения х, имеет вид:

II. Рынки производных финансовых инструментов Дата 7, = Т0 + S П = Г0 + кд ТД = ТД + пб платежа AS max{x-r(Tn_Д5),o} Платеж A5max{x-r(T0,5),0} AS Х maxjx - г(Т,.,,5),о} Иными словами, флор (floor) Ч это портфель из европейских опционов пут на процентную ставку.

Портфель, состоящий из покупки кэпа и продажи флора с одинаковыми характеристиками, называют колларом (collar) заемщика.

Поток платежей от коллара заемщика, стартующего в момент времени Т0:

Дата Т, = Т0 + S ТД = Т0 + nS Тк = Т0 + kS платежа AS(r(Tn_b8)-x) А8(г(Т0,8)-х) Платеж AS(r(Jiv6)-x) Следовательно, стоимость коллара заемщика в момент времени t может быть оценена следующим образом:

(collar\ = ^ -X IT Ж> Г 8 M s (l + 5r 0 ) (l + Srk)' (I + 5r n ) где г., г.,..., г Ч ставки дисконтирования при начислении процентов Ч раз в год на сроки: Т0- t, Г,- t Tn-t соответственно.

Аналогичным образом можно оценивать и коллар кредитора, состоящий из покупки флора и продажи кэпа с одинаковыми характеристиками.

2.28.2. Опционы на купонные облигации Европейские, американские и бермудские опционы на купонные облигации определяются стандартным образом.

Например, европейский опцион колл на купонную облигацию с дан той погашения 7", имеющий дату истечения Т, Т < Т, предоставляет дерн жателю право купить базисную купонную облигацию в момент времени Т по цене X.

Применение формул Блэка-Шоулза для оценки стоимости европейских опционов на купонные облигации может давать неверные оценки, так как в модели Блэка-Шоулза не учитывается эффект приближения к номиналу и предполагается детерминированность процентной ставки.

184 Энциклопедия финансового риск-менеджмента 2.28.3- Свопционы Держатель европейского свопциона (swaptiori) имеет право войти в заранее установленный своповый контракт в определенный будущий момент времени Т (когда должен происходить обмен платежами).

Если покупатель европейского процентного свопциона желает получать проценты по плавающей ставке, а платить проценты по фиксированной прон центной ставке г то, исполнив свопцион, он должен в моменты времени *! = Г + 8, t2=T + 28,..., tn = 7 + nS выплачивать одну и ту же сумму 8 Х А Х гф1 а получать суммы 8Аг(Т,8), 8Аг(^,8) SAr^S) соответственно.

Держатель бермудского процентного опциона имеет право войти в прон центный своп в любой из моментов времени:

Г, Т + 8 T + k8, где k < п.

Очевидно, что стоимость бермудского опциона в момент времени t, t < Т, не может быть ниже стоимости европейского свопциона с датой исполнения Т.

С другой стороны, стоимость бермудского опциона не может быть выше стоимости соответствующего кэпа со ставкой исполнения гф.

2.28.4. Облигации со встроенными опционами Говорят, что облигация содержит встроенный опцион (embedded option), если эмитент облигации или ее держатель по условиям эмиссии имеет право изн менить денежный поток от облигации.

Отзывная облигация (callable bond) является облигацией со встроенным опционом, так как эмитент такой облигации имеет право ее выкупить и тем самым прекратить платежи по облигации. Отзывная облигация эквивалентна портфелю, состоящему из покупки соответствующей безопционной облигации и продажи опциона отзыва, являющегося бермудским опционом колл на эту безопционную облигацию. Это означает, что стоимость отзывной облигации должна равняться разности между стоимостью соответствующей безопционн ной облигации и стоимостью опциона отзыва.

Продаваемая облигация (putable bond) также является облигацией со встроенным опционом, так как ее держатель имеет право продать облиган цию эмитенту до ее погашения. Продаваемая облигация совпадает с портфен лем, состоящим из покупки соответствующей безопционной облигации и пон купки опциона на продажу этой облигации, который является бермудским опционом пут.

Другими важными примерами облигаций со встроенными опционами явн ляются облигации с встроенными кэпами и флорами.

Облигация с полугодовой плавающей купонной ставкой называется облин гацией с кэпом (capped bond), если установлен уровень купонной ставки х, та II. Рынки производных финансовых инструментов кой, что купонный платеж за fe-й купонный период определяется следующим образом:

f Ч Х А, если ffe_j < х, Их' Ч Х А, если fk_, > х, где qfe Ч купонный платеж за k-й купонный период, к = 1, 2 п;

fM Ч значение купонной ставки в конце (к - 1)-го купонного периода;

А Ч номинал облигации.

Текущая цена облигации с кэпом должна равняться текущей цене аналон гичной безопционной облигации за вычетом текущей цены кэпа на соответн ствующую процентную ставку.

Облигация с полугодовой плавающей купонной ставкой называется облин гацией с флором (bond with embedded floor), если установлен уровень купонн ной ставки х такой, что купонный платеж за k-й купонный период определян ется следующим образом:

Ч Х А, если fk i > х, q H*-2 Х А,если f,,., < х.

Цена облигации с флором должна совпадать с суммой цены аналогичной безопционной облигации и цены флора на соответствующую процентную ставку.

Для оценки стоимости финансовых инструментов, производных от прон центной ставки, часто используется так называемая биномиальная модель процентных ставок.

2.29. Биномиальная модель эволюции процентной ставки Обозначим через kZ, форвардную процентную ставку на один год через к гон довых периодов от текущего момента времени, к = О, 1, 2, В биномиальной модели процентной ставки предполагается, что форвардн ная ставка 0ZX известна с определенностью и равна 50, а остальные форвардн ные процентные ставки kZv k = 1, 2, 3,..., являются случайными величинами и определяются следующим образом.

Форвардная ставка Д принимает значения <, и л^е2" с вероятностью Ч, где 8 Ч наименьшее значение форвардной ставки через один год, а а Ч гон довая волатильность процентных ставок.

Форвардная ставка 2Z, принимает значения 82 и 62е2а с вероятностью Ч, если JZJ = 8V и значения 52е2а и 8ге4а с вероятностью Ч если iZ, = Ste ".

14 Ч 186 Энциклопедия финансового риск-менеджмента В общем случае форвардные ставки kZv k = 1, 2, 3, Х ХХ, принимают знан чения 5ке2ю и 8ke2{,+i)a с вероятностью Ч при условии, что =8k^e2ia, i = 0,l,2,...,k, fc_,Z, где 8kЧнаименьшее значение форвардной ставки через k годовых периодов, а Ч годовая волатильность процентных ставок.

Биномиальную модель процентной ставки удобно изображать графичесн ки с помощью биномиального дерева (рис. 2.28).

Пример 2.40. Трехэтапная биномиальная модель процентной ставки при слен дующих параметрах: а = 10%;

б0 = 6%;

81 = 6,5%;

52 = 7% и 53 = 7,5% привен дена на рис. 2.29.

В данной модели форвардная процентная ставка на один год через три года от текущего момента времени принимает значения: 7,5;

9,161;

11,189 и 13 3 13,666% с вероятностями, равными -, -, - и - соответственно.

ооо о Рассмотренная нами биномиальная модель дает возможность находить цены безопционных облигаций с годовыми купонами.

Обозначим через Q(k, i) цену n-летней облигации с годовыми купонами, которая окажется через k лет при условии, что Ske2ia, i = 0,1, feZ, = k, k = 0,1,2,..., п.

Очевидно, что цена этой облигации через п лет всегда будет равной ее номиналу, т. е.

Q(n, i) = А при i = 0, 1, 2,..., п.

Рис. 2.28. Биномиальная модель процентной ставки II, Рынки производных финансовых инструментов 13,666% 10,443%.

7,939% 11,189% 9,161% 7,5% Рис. 2.29. Трехэтапная биномиальная модель Цена облигации в другие будущие моменты времени должна совпадать с приведенной стоимостью ожидаемого потока платежей от этой облигации.

Поток платежей от облигации через к пет можно изобразить в следующем виде:

i Ч, Q(k+1, i+l)+qt Ster" IGftOI " (q, Ч купонный платеж в конце k-го периода) ^ г>У Q{k+l,i)+q, Следовательно, должно выполняться следующее равенство:

[Q(k + I,i + 1) + qk] Х I + [Q(fe + 1,i) + qk] Х \ Q(U) = 1 + 8 ke2 (2.60) k = 0,l,2 n - I;

i = 0,1,2,...X Так как цены облигации Q{n, i) при! = 0, I, 2,..., пнам известны, то рекурн рентное равенство (2.60) позволяет последовательно найти цены Q(n - 1, i) при i = 0, I, 2 n - 1 ;

Q(n-2, i) при i = 0, 1, 2 п - 2 и т. д. до цены Q(0, 0), которая и является ценой облигации на текущий момент времени.

Пример 2.41. На рис. 2.30 приведен расчет цены 8%-ной облигации номинан лом 100 долл. с годовыми купонами, до погашения которой остается 4 года, в условиях биномиальной модели процентной ставки из примера 2.40.

Например, л"'-Т^ПЙГ'"3* 14* 188 Энциклопедия финансового риск-менеджмента 13,666% 10,443% 1100,465+8| Рис. 2.30. Расчет цены облигации по биномиальной модели (97,132 + 8) Х \ + (98,936 + 8) Х 0(2,1) = 2. = 97,682;

1 + 0, (96,307 + 8) Х - + (100,628 + 8) Х 0(0,0) 100,441.

1 + 0, Следовательно, текущая цена данной облигации равна 100,441 долл.

Для построения биномиальной модели процентной ставки необходимо предн варительно определить следующие параметры: волатильность процентной ставки ст и наименьшие значения форвардных процентных ставокЧ б0, 5,, 82,...

Возможный способ оценки волатильности процентной ставки был рассмотн рен ранее. Выясним, как при заданной волатильности о- можно на основе рыночной информации подобрать параметры: 50, 5,, 52,...

Предположим, что в данный момент времени известны рыночные доходн ности: г,, г2,..., rk,... (гкЧрыночная доходность на срок в k лет). Заметим, что в этом случае можно найти цену безопционной облигации номиналом 100 долл. с нулевым купоном, погашаемой через k лет:

100 -,fe= 1,2,3,....

Рн = (1 + r J Очевидно, что S0 совпадает с рыночной доходностью г г Параметр St вын бирается так, чтобы цена 2-летней облигации с нулевым купоном и номинан лом 100 долл., определяемая биномиальной моделью б/" 5в 5, II. Рынки производных финансовых инструментов совпала с ценой Р2 (для отыскания 5;

можно использовать метод проб и ошибок).

Если параметры б0 и 8: уже найдены, то 82 подбирается так, чтобы цена 3-летней облигации с нулевым купоном, определяемая биномиальн ной моделью совпала с ценой Р3 и т. д.

Пример 2.42. Построим биномиальную модель процентной ставки в случае, когда волатильность процентной ставки равна 10%, а рыночные доходности на один, два, три и четыре года равны соответственно 6,00;

6,606;

7,272 и 8,00%.

6,00%.

1. Полагаем 8п 2. Положим 81 = 6,00%.

Ниже приведен расчет цены 2-летней облигации с нулевым купоном на основе биномиальной модели:

7,328% 6,00% Так как 88,449 > Р2 87,991, то значение 8 следует увен (1 + 0,06606) личить.

Если 5, = 6,5%, то 7,939% 6,00% 190 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Так как 87,991 = Р2, то 8г = 6,50%.

3. Положим &,= 7,20%.

Тогда для 3-летней облигации с нулевым купоном имеем:

10,741% 7,939%^-^ " 190, 6, 0 0 % ^ - Х ^ 184,4081 "*-4^,794% - \^6,50%^' 180,8291 |91,917| 186,9491 ^""^J.20% '- ЩР |93,284| Так как 80,829 < Р, = 81,010, то значение 8 следует (1 + 0,07272) уменьшить.

Если 82 = 7,00%, то 10,443% 7,939%, 6,00% Так как 81,011 ~ Р то 8г = 7,00%. Аналогичным образом найдем, что 53 = 7,50%.

Таким образом, мы построим биномиальную модель процентной ставки, которую уже рассматривали в примере 2.40.

Отметим важное свойство биномиальной модели процентной ставки.

На основе рыночных доходностей (при заданной волатильности) можно построить биномиальную модель процентной ставки, с помощью которой нан ходится цена любой безопционной облигации с годовыми купонами. С другой стороны, цену безопционной облигации можно определить, зная рыночные доходности для различных сроков. Однако цены безопционной облигации, найн денные этими двумя разными способами, всегда совпадают.

II. Рынки производных финансовых инструментов 19* Пример 2.43. В примере 2.41 было установлено, что цена 8%-ной облигации номиналом 100 долл. с годовыми купонами, до погашения которой остается 4 года, равна 100,441 долл.

С другой стороны, цена данной облигации может быть найдена на оснон ве рыночных доходностей из примера 2.42:

8 8 8 100,450 долл.

Р= (1.07272) (1,08) 1,06 (1.06606) Небольшое расхождение цен объясняется погрешностями при расчетах.

Замечание. Мы рассмотрели биномиальную модель процентной ставки с гон довыми этапами. Аналогичным образом можно определить биномиальную модель с этапами, составляющими только части года. В частности, биномин альная модель с полугодовыми этапами имеет следующий вид (рис. 2.31).

' ^ ^ Рис. 2.31. Биномиальная модель с полугодовыми этапами 2.30. Оценка стоимости облигаций со встроенными опционами Будем считать, что построена биномиальная модель процентной ставки с гон довыми купонами следующего вида (рис. 2.32).

1. Рассмотрим n-летнюю облигацию с годовыми купонами, отзываемую через п0 лет. Предположим, что номинал облигации равен А, а цена отзыва в k-м году равна Fk, k = n0, л0+1 n - 1.

Обозначим через Q(k,i) цену отзывной облигации через к лет при условии, что форвардная ставка kZ1 на один год через к лет приниман ет значение, равное 8ке2ю, k = 0,1,2 n, i = 0,1,2,..., k.

19* Энциклопедия финансового риск-менеджмента Цена отзывной облигации в каждый момент времени должна совпан дать с приведенной стоимостью ожидаемого потока платежей от этой облигации. Следовательно, имеют место следующие соотношения:

Q(n,i) = A, i = 0,l,2,...,n;

[Q(fe + l,i + l) + ( b ].I [Q(fc + l I i) + q k ]. I + Q (fe, i) = min 1 + dhe2i k = П01По + 1.....П-1;

i = 0,1,2,...,fe;

(2.61).. _[Q(fe + l,i + l) + q. ] - | + [Q(fe + U) + q f c ] - | k = 0,I,2,...,n0 - 1 ;

i = 0,1,2 k, где q. Ч купонный платеж за k-й год.

Пример 2.44- Дана 8%-ная облигация номиналом 100 долл. с годовыми купон нами, отзываемая через 2 года по номиналу, срок до погашения которой 4 года. Расчет цены облигации в условиях биномиальной модели процентной ставки из примера 2.40 приведен на рис. 2.33.

Ь**^** b Чfc *-*^ " - * ^ &. Х "*^ 5, ^^^ ^&-'-"~' г.

8, Д 5, М л ь, Л,2, г2, 2,,Z, Рис. 2. II. Рынки производных финансовых инструментов 13,666% |100+8| 1 0, 4 4 3 % ^ ^195,015+ 7, 9 3 9 % ^ * |94,233+8| 01,189% ^8,550%^.J |97,132+8| " |96,311+8| 6%<*^ Д9^61% |100,30|^л *~ [97,682+8| 6^5%\ ^|98,936+8| 1100,32+ 7%*\ Х 1100+8| ^ ^ 7, 5 % 1100+8| Рис. 2. Например, Q (3,0) = min IlOO,, 1 0 0 Д + J. } = 100;

1 + 0, (98,936 + 8) - + (100 + 8) Q(2,0) = min 100, 1 + 0, = min{100, 100,44} = 100.

Таким образом, текущая цена данной отзывной облигации равна 100,30 долл. Так как цена аналогичной безопционной облигации равна 100,44 долл. (см. пример 2.41), то текущая цена опциона отзыва, встроеннон го в данную облигацию, определяется следующим образом:

100,44 долл. - 100,30 долл.= 0,14 долл.

2. Рассмотрим n-летнюю облигацию с годовыми купонами, продаваемую эмитенту через п0 лет. Предположим, что номинал облигации равен А, а цена продажи эмитенту в k-м году равна ФД, k = n0, n0 +1,..., п - 1.

Обозначим через Р (к, i) Ч цену продаваемой облигации через к лет при условии, что форвардная процентная ставка kZi принимает значение Ske2ia, к = 0,1,2 n, i = 0,1,2 к.

194 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Имеет место следующее равенство:

P(n,i) = A,i = 0,1,2 n;

(ft + I, i + 1) + (jj 4 + [ P (ft + 1, i) + qk] Х | [Р P (k, i) = max 4 V Х. (2.62) 1 + <5fee2fa k = n0, n0 + 1,..., n - 1;

i = 0,1, 2 k;

[ p (k + I, i + 1) + qk] Х I + [ P (k + !,/) + qfe] Х \ P(k,i) I + 8 ke k = 0,1 n0 - I;

i = 0,l,2,...,k.

Пример 2.45. В условиях примера 2.44 предположим, что облигация является продаваемой после двух лет по номиналу. Расчет цены такой облигации прин веден на рис. 2.34.

Например, (100+ 8 ) - + (100+ 8 ). А " = max {100, 95,02} = 100;

Р(3, 3) = т а х 100, 1 + 0, (100 + 8) - + (100,465 + 8) Р(2, 0) = max 100, = 101,15;

1 + 0, 13,666% 10,443% Рис. 2. И. Рынки производных финансовых инструментов (100 + 8 ) - + (100 + 8) Р(1, 1) = 2 2-= 100,06.

v ' 1 + 0, Таким образом, текущая цена данной продаваемой облигации равна 102,81 долл., а цена опциона продажи, встроенного в облигацию, может быть найдена следующим образом:

102,81 д о л л. - 100,44 долл. = 2,37 долл.

3. Пусть дана n-летняя облигация номиналом А с годовой плавающей купонной ставкой при наличии встроенного кэпа на уровне х%. Предн положим, что плавающая купонная ставка определяется биномиальн ной моделью, изображенной на рис. 2.28.

Обозначим через й(к, i) цену данной облигации на конец (к + 1)-го года, при условии, что форвардная процентная ставка fcZ, принимает значение 8ke2ia, к = 0,1 п - 1;

i = 0,1,2 к.

Так как цена облигации в каждый момент времени должна совпадать с приведенной стоимостью ожидаемого потока платежей, то A-min{x,c5 n l e 2 t o ) й v - 1,0 = А + (п 1^ L, i = о, 1,2,..., п - 1;

' гпп{х,5ке2Ь} fu(k + l,i + l)) 1 (u(k + l,i))i U(fe,i): Ч+ +А l + 8Me^ 2, 1 + 5 ^ 2 ШО ' (2-63) fe = 0,l,2,...,n-2;

i = 0,1,2 fe.

й (0,0) Цена облигации в текущий момент времени и = 1 + л Пример 2.46. Дана 4-летняя облигация с годовой плавающей ставкой, опре делямой биномиальной моделью из примера 2.40, при наличии встроенного кэпа на уровне 8%.

Расчет цены облигации приведен ниже на рис. 2.35.

Например, Ш8 Ю7 - 1 + 1 0 0 т 1 П ^ 7 Ь 106,47, 0 (v 2, 0 ) - -1+ ' ' 1 + 0,09161 2 1 + 0,075 2 I03 89 т fl(0,0)= - -1 ". 1 + 6 = 103,46.

+ v ;

1 + 0,07939 2 1 + 0,065 19Ь Энциклопедия финансового риск-менеджмента Так как и (0,0)Ч это цена облигации на конец первого года, то текун щая цена облигации. 0(0,0) 103, и = Ч- = = 97,61 долл.

1 + 0, 06 1, Цена безопционной облигации с плавающей купонной ставкой в моменн ты времени, когда производятся купонные платежи, всегда равна ее номинан лу. Следовательно, текущая цена кэпового опциона, встроенного в облиган цию, равна 100,00 долл. Ч 97,61 долл. = 2,39 долл.

Аналогичным образом можно находить цены и других облигаций со встрон енными опционами.

Замечание 1. Предположим, что ведется активная торговля некоторой облин гацией со встроенным опционом, и нам известна рыночная цена этой облин гации. С другой стороны, по заданному значению волатильности < можно пон т строить биномиальную модель процентной ставки, на основе которой можно найти теоретическую цену данной облигации. Значение ст, при котором теон ретическая цена облигации совпадает с ее рыночной ценой, называют предн полагаемой волатильностью процентной ставки (implied interest rate volatility).

Найти предполагаемую волатильность можно, например, методом проб и ошибок. Предполагаемую волатильность процентной ставки можно использон вать для оценки других облигаций со встроенными опционами.

Замечание 2. На основе биномиальной модели можно оценивать стоимость и других финансовых инструментов, производных от процентных ставок.

13,666% Гй5г Рис. 2. II. Рынки производных финансовых инструментов 2.31. Меры риска для облигаций со встроенными опционами Рассмотрим некоторую облигацию со встроенным опционом, текущая рыночн ная стоимость которой равна V0.

Предположим, что построена биномиальная модель процентной ставки.

Тогда на основе этой биномиальной модели можно определить теоретичесн кую стоимость данной облигации. Теоретическая стоимость облигации со встроенным опционом может отличаться от ее рыночной стоимости.

Величина Дг, которую необходимо добавить ко всем форвардным процентн ным ставкам биномиальной модели, чтобы теоретическая стоимость облиган ции со встроенным опционом совпала с ее рыночной стоимостью, называетн ся спредом с учетом опциона (option-adjusted spread).

Спред с учетом опциона является мерой того, насколько облигация со встроенным опционом отличается от аналогичной безопционной облигации.

При заданной рыночной стоимости облигации с возрастанием волатиль ности процентной ставки спред с учетом опциона для отзывной облигации уменьшается, а для продаваемой облигации, наоборот, увеличивается.

Пример 2.47- Предположим, что текущая рыночная стоимость отзывной обн лигации, рассмотренной в примере 2.44, равна 99,43 долл.

Расчеты, приведенные на рис. 2.36, показывают, что спред с учетом опн циона для данной облигации составляет 29,9 базисного пункта (б. п.).

Так как теоретическая цена отзывной облигации, равная 99,429 долл., практически совпадает с ее рыночной ценой, то спред с учетом опциона действительно составляет 29,9 б. п. (рис. 2.36).

Кроме спреда с учетом опциона в качестве меры риска облигации со встроенным опционом рассматривают эффективную дюрацию и эффективную выпуклость этой облигации.

13,965% 94,766+ 10,742%, 8,238%^"^ 93,748+8 11,488% 96,891+ 8,849%, 6,299%^ """ 95,585+8 ^ |99,429| "* 9,460% 97,170+ 98,666+ 6,799%"^^ 199,80+8| 7,299%^ 7,779% 100+ 1100+ Рис. 2. 198 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Эффективная дюрация и эффективная выпуклость облигации со встрон енным опционом определяются следующим образом:

э_ V-V+ р _ У+ + У_ - 2У э = К(АУ)2 (2 65) ' ' где D Ч эффективная дюрация облигации;

Сэ Ч эффективная выпуклость облигации;

V0 Ч начальная рыночная стоимость облигации;

V+(VJ Ч стоимость облигации при параллельном сдвиге кривой рыночных доходностей на величину Лу (-Ау).

Для определения стоимости V+(V ) можно поступить следующим образом:

1) выбрать достаточно малую величину Лу > 0;

2) ко всем заданным рыночным доходностям прибавить (отнять) Лу и построить биномиальную модель процентной ставки при новых рын ночных ДОХОДНОСТЯХ;

3) ко всем форвардным процентным ставкам добавить спред с учетом опциона;

4) по полученной модели процентной ставки рассчитать стоимости V+(V).

Пример 2.48. Рассмотрим отзывную облигацию из примера 2.47. Исходная биномиальная модель процентной ставки была построена на основе рыночн ных доходностей: 6,00;

6,606;

7,272 и 8,00% (см. пример 2.42). Начальная рын ночная цена облигации V0 = 99,43 долл.

При сдвиге кривой рыночных доходностей на величину Лу = 10 б. п. рын ночные доходности окажутся равными 6,10;

6,706;

7,372 и 8,10%, а биномин альная модель процентной ставки примет вид, указанный на рис. 2.37.

13,813% 10,565% 8,050% 6,1% 6,591% 7,082% 7,581% Рис. 2. II. Рынки производных финансовых инструментов Добавив ко всем форвардным процентным ставкам спред с учетом опцин она, равный 29,9 б. п. (см. пример 2.47), найдем стоимость V+. Расчеты прин ведены на рис. 2.38.

Следовательно, V+ = 99,1088 долл.

Если все рыночные доходности уменьшатся на Ау = 10 б. п., то они окан жутся равными 5,9;

6,506;

7,172 и 7,9% соответственно. Соответствующая бин номиальная модель процентной ставки представлена на рис. 2.39.

Расчет стоимости V приведен на рис. 2.40.

Таким образом, V = 99,7399 долл.

Эффективная дюрация и эффективная выпуклость облигации могут быть найдены по формулам (2.64) и (2.65):

99,7399-99,1088 = D3 = 2 Х 99,43 Х 0, С = 99,7399 + 99,1088 - 2 - 9 9, 4 6,399% |99,088| 100+8| Рис. 2. 13,498% 10,323%, 7,829% 11,051% (а = 0,1) 5,90% 9,048% 6,410% 6,92% 7,408% Рис. 2. Z O Энциклопедия финансового риск-менеджмента O 13,797% 10,622% Рис. 2. 2.32. Модели временной структуры процентных ставок с непрерывным временем Для оценки стоимости финансовых инструментов, производных от процентн ных ставок, используются модели временной структуры процентных ставок с непрерывным временем.

Временная структура процентных ставок определяется внутренними доход ностями облигаций с нулевыми купонами при различных сроках до погашения.

Таким образом, процентная ставка f (t, t + т) при непрерывном начислении в момент времени t по инвестициям на т лет удовлетворяет равенству f(t, t + r) = - l n Ч - Ч -, v ' т B(t, t + т) где B(t, t + т ) Ч стоимость (в момент г) облигации с нулевым купоном, погашаемой через тлет;

А Ч номинал облигации.

Краткосрочной процентной ставкой f(0 на момент времени t называют limf (t,t + т), v r->0 ' т. е. f(t) = limf (t,t + т).

Если известна траектория краткосрочной процентной ставки f(t) на прон межутке времени [t0, Г], то при t, t + т е [t0, T]:

f(t, t + r ) = J f (u)du;

i B(t,t + r) = A e - r f ( M + l ).

II. Рынки производных финансовых инструментов 20I Следовательно, зная траекторию краткосрочной процентной ставки на некотором временном промежутке, можно определить и временную структун ру процентных ставок на этом промежутке.

Во многих моделях временной структуры процентных ставок эволюция краткосрочной процентной ставки задается с помощью стохастических дифн ференциальных уравнений.

Модель Ренделъмана-Барттера В частности, в модели Рендельмана-Барттера краткосрочная процентная ставка удовлетворяет уравнению dfT = (а?Т) с(т + (стгг) diur, (2.66) т. е. определяется геометрическим броуновским движением.

Следует отметить, что в модели Рендельмана-Барттера не учитывается эффект возвращения к среднему (mean reuersion): если процентная ставка сильно отклонится от некоторого своего среднего значения, то в дальнейн шем проявляется тенденция возвращения этой процентной ставки к среднен му значению.

Модель Васичека Эффект возвращения к среднему учитывается в модели Васичека:

dfr = a (b - fr) dx + odwT, (2.67) где а и Ъ Ч некоторые числа;

о- Ч годовая волатильность процентной ставки.

Одним из недостатков модели Васичека является то, что в ней допускается появление отрицательных процентных ставок с положительной вероятностью.

Модель Кокса-Ингерсолла-Росса Модель dfz = a (b - rr)dx + OyJTdwT (2.68) учитывает эффект возвращения к среднему, и в ней отрицательные прон центные ставки появляться с положительной вероятностью не могут.

Параметры моделей (2.66), (2.67) и (2.68) подбираются на основе предн положения об отсутствии прибыльных арбитражных возможностей. Поэтому эти модели называют арбитражными моделями временной структуры процентн ных ставок. Арбитражные модели временной структуры процентных ставок часто оказываются не согласованными с текущей временной структурой прон центных ставок.

Важнейшими примерами неарбитражных моделей являются:

модель Хо-Ли dft = G ( T ) d T + <7dwr;

(2-69) 15 Ч Z02 Энциклопедия финансового риск-менеджмента модель Халла-Уайта О-70) dfT = (0 (т) - щ) дх + adwT, в которых функция @(т) подбирается так, чтобы модель была согласована с текущей временной структурой процентных ставок. Кроме того, в модели Халла-Уайта учитывается еще и эффект возвращения к среднему.

К числу неарбитражных моделей временной структуры процентных стан вок относится также модель Хиза-Джерроу-Мортона, обобщающая модель Халла-Уайта.

Литература 1. Буренин А. Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инн струментов. Ч М.: 1-я Федеративная Книготорговая Компания, 1998.

2. Das S. Swap and derivatives financing. Ч N.Y.: McGraw-Hill, 1994.

3. Elton E. J., Gruber M. J. Modern portfolio theory and investment analysis.

5th ed.Ч N.Y.: John Wiley & Sons, Ltd., 1995.

4. Figlewsky S., Silber W. L., Subrahmanyan M. G. Financial options: From theory to practice.Ч N.Y.: McGraw-Hill, 1990.

5. Hull J. С Options, futures, and other derivaties. 4th ed. Ч L.: Prentice Hall, 2000.

6. Martellini L., Priaulet P. Fixed-income securities.Ч John Wiley & Sons, Ltd., 2001.

I I I. Управление рыночными рисками М. А. Рогов 3.1. Введение Настоящий раздел посвящен управлению рыночными рисками, но, заметим, по ходу изложения материала, в целом соответствующего программе экзамена на квалификацию Financial Risk Manager (FRM), нен редко возникает потребность в более подробных пояснениях. Поэтон му основной текст сопровождается самостоятельными примерами, пон священными отдельным общим и частным вопросам риск-менеджменн та, новейшим разработкам, а также российской специфике предмен та**. Общие для различных направлений риск-менеджмента вопросы могут освещаться в настоящем разделе несколько иначе, чем автон рами смежных разделов. Это не снижает правомерности выводов, но позволяет по-другому взглянуть на проблему, что представляется плон дотворным.

Следует упомянуть, что материал настоящей главы опирается на базовые понятия количественного анализа рынков капиталов, производных финансовых инструментов и др., которые предполан гаются усвоенными читателями ранее.

Помня, что со времен Мартина Лютера образование становится национальным при условии обучения на национальном языке, автор старался не злоупотреблять иностранной лексикой, но в связи с тем, что языком оригинала большинства ведущих работ в этой области (а также экзаменов по курсу) остается американский вариант ангн лийского языка, специальные термины и ключевые понятия, вводин мые или используемые в настоящей главе, выделены жирным шрифн том и по возможности (обычно Ч после первого упоминания в текн сте) снабжены в скобках их аналогами на английском языке для удобн ства при чтении литературы и подготовке к экзамену.

* В разделах 3.20-3.22 и в примерах 3.5, 3-10-3.15 автор с благодарностью исн пользует материалы проведенных под его научным руководством расчетов и исследований аспиранта Международного университета Дубна А. С. Громон ва. Автор выражает большую благодарность за редакцию и вклад в создание данного раздела А. А. Лобанову, а также проф., д-ру физ.-мат. наук, зав. кан федрой С. К. Завриеву за неоценимое плодотворное влияние на научное мин ровоззрение автора.

** Читатель может без ущерба для усвоения основного материала пропускать прин меры, рекомендуемые, однако, для более глубокого погружения в материал.

ZQ4 Энциклопедия финансового риск-менеджмента 3.2. Рыночные риски: определения и классификация Рыночный риск (marketrisk)Ч это возможность несоответствия характерисн тик экономического состояния объекта значениям, ожидаемым.лицами, прин нимающими решения под действием рыночных факторов.

Однако часто используется (прежде всего, при объяснении методологии value at risk) понятие риска, связанное с возможностью лишь неблагоприятн ных исходов, убытков и негативных последствий.

Например, инвестор ожидает, что доходность портфеля ценных бумаг бун дет находиться в пределах некоторого диапазона. Возможность отклонения рыночного уровня доходности за пределы этого интервала является рыночн ным риском. При этом часто под риском понимается возможность отклонен ния доходности только в отрицательном диапазоне.

Рыночные рискиЧ одна из трех, часто выделяемых на практике основных групп экономических рисков, включающих также кредитные и операционные риски. Рыночные риски связаны с неопределенностью колебаний рыночной конъюнктуры Ч ценовыми и курсовыми (валютными) рисками, процентным рисн ком, ликвидностью и т. п. Ч и чувствительностью к этим колебаниям несущих риски объектов (например, активов и т. п.). Рыночные риски иногда называют техническими (не путать с разновидностями операционных и иных рисков!) по ассоциации с техническим анализом, применяемым для исследования и прон гнозирования цен, курсов, объемов и иных индикаторов, связанных с рынком.

Не только прямые ценовые факторы являются источниками рыночных рисков.

Например, корреляция между доходностью различных инструментов не являн ется прямым ценовым фактором, но косвенно влияет на ценовые характерисн тики портфеля, содержащего эти инструменты.

Классификация рыночных рисков нужна, потому что она позволяет четн ко структурировать проблемы и влияет на анализ ситуаций и выбор эффекн тивного управления. Классификация рисков должна соответствовать конкретн ным целям каждого исследования и проводиться с позиций системного подн хода. Исходя из этих принципов, можно выделить наиболее широко употребн ляемую классификацию рыночных рисков по сегментам рынка, в том числе:

Х процентный риск (interest rate risk), Х валютный риск (exchange rate risk), Х ценовой риск рынка акций, или фондовый риск (equity risk), Х ценовой риск товарных рынков, или товарный риск (commodity risk), Х риск рынка производных финансовых инструментов (deriuatiue risk).

По мере рассмотрения проблемы, тех или иных измерителей риска, часн то вводят в употребление виды рисков, связанные с конкретным аспектом проблемы или параметром, например риск, связанный с возможностью пан раллельного сдвига кривой процентных ставок, риск, связанный с возможнон стью поворота кривой процентных ставок, риск, связанный с изменением финансовых результатов из-за колебания валютных курсов, риск, связанный с изменением показателей при трансляции финансовых отчетов в разных валюн тах для консолидированной финансовой отчетности из-за колебания валютн ных курсов (так называемый трансляционный риск) и т. д.

III. Управление рыночными рисками 3.3. Портфельный подход и система управления рисками Риски, ассоциируемые с какими-либо конкретными активами или пассивами предприятия, не могут рассматриваться изолированно. Любое новое эконон мическое решение должно анализироваться с позиции его влияния на измен нения доходности и риска всей совокупности активов и пассивов (портфеля) предприятия, поскольку возможные сочетания этих решений могут значительно изменять характеристики всего портфеля в целом.

Портфельный подход (portfolio approach) предполагает восприятие актин вов и пассивов предприятия (а в общем случае и иных благ) как элементов единого целогоЧ портфеля, сообщающих ему характеристики риска и дон ходности, что позволяет эффективно проводить анализ возможностей и оптин мизацию параметров экономических рисков.

Портфель Ч это набор активов (пассивов), являющихся титулами собственн ности или иных благ, который представляет собой композитный (составной) актив (пассив), имеющий параметры риска и доходности (стоимости), измен няющиеся под воздействием комбинации двух факторов:

Х изменения состава портфеля (выбытие активов, обмен);

Х изменения риска и доходности (стоимости) составляющих портфель активов (пассивов) в связи с изменениями как самих активов (пассин вов), так и прочей конъюнктуры.

Понятие портфеля наиболее широко используется для обозначения совон купности ценных бумаг, и присущие им рыночные риски формируют резульн тирующий портфельный риск.

В свете проблемы управления портфельным риском выделяют три элен мента системы экономических отношений:

Х лицо, принимающее решения (субъект риска);

Х объект принимаемых решений (портфель);

Х среда субъекта риска и портфеля (рынок).

Субъект риска Ч это экономический агент, представленный одним лицом или группой лиц, характеризующийся индивидуальными предпочтениями и возможностями. Субъект риска решает некоторую многокритериальную задан чу оптимизации портфеля, одним из критериев которой выступают предпочн тения по риску.

Рынок Ч это среда, в которой находятся портфель и субъект риска. Здесь рынок понимается как совокупность возможных вариантов портфеля, к котон рым может перейти субъект риска в результате выполнения принимаемых решений (рынок задан также изменением конъюнктуры).

Основные блоки системы управления риском явно или неявно выполняют следующие функции:

Х построение критерия управления на основе выявленных предпочтен ний по риску субъекта риска с решением проблемы согласования инн тересов, если это необходимо;

Х диагностика портфеля (анализ параметров риска) с учетом колен бания конъюнктуры и использованием соответствующих банков данных;

206 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Х оптимизация портфеля по критерию управления с применением фин нансовой инженерии для синтеза финансовых инструментов с нужн ными для управления рисковыми и другими параметрами.

3.4. Тактический и стратегический риск-менеджмент Риск-менеджмент оказывает влияние на стоимость и финансовых, и нефинанн совых предприятий. Используя тактический риск-менеджмент, можно сокран тить стоимость финансирования. Это происходит в силу различных факторов.

Во-первых, иногда менеджеры прогнозируют отличное от рынка поведение процентных ставок. Например, такие производные финансовые инструменты, как свопы, оцениваются на основе прогнозируемых рынком процентных стан вок, отражаемых в кривой доходности. Если менеджеры прогнозируют иное движение ставок в будущем, чем это заложено в текущей рыночной стоимон сти свопа, они могут сыграть на этом.

Во-вторых, можно понизить стоимость путем арбитража на различных рынн ках. Арбитраж на развитых западных рынках в основном является результан том асимметричности налогового и иного государственного регулирования различных сегментов рынка.

Различие налогового режима дает вполне понятный эффект, не требуюн щий особых пояснений. А вот пример влияния государственного регулирован ния: иногда арбитраж связан с барьером к доступу на конкретный рынок зан имствований. Если такой барьер реально существует, предложение инструн ментов с фиксированным доходом на этом рынке ограничено, их цена выше цены, которая могла бы быть определена на свободном рынке. Соответственн но эти ценные бумаги приносят купонный доход на уровне ниже рыночного.

Те игроки, которые могут иметь доступ на эти сегменты рынка (например, государственные учреждения, Мировой банк, транснациональные корпорации), могут прибегнуть к арбитражу и, таким образом, сократить стоимость фин нансирования.

Финансирование можно удешевить путем снижения транзакционных издерн жек. Например, свопы, не требующие отвлечения основной суммы кредита, позволяют экономить на разнице (спреде) между ценами спроса и предложен ния, на затратах на поиск информации, на ликвидности и т. д. Международн ные компании могут заимствовать капиталы на более дешевых для них рынн ках и трансформировать их с помощью свопов в синтетический заемный кан питал на нужном им рынке (в нужной валюте), на котором у них нет прен имуществ.

Пример 3.1. Можно снизить стоимость капитала путем продажи опционов.

Например, предприятие, финансируемое за счет заимствований с плавающей ставкой, может купить процентный кэп для защиты от роста ставок. Можно поступить иначеЧ продать пакет процентных опционов флор*. Премии, пон лучаемые за них, снижают стоимость финансирования. Например, фирма, * Процентный флор (interest ratefloor)Ч пакет процентных опционов, предусматрин вающих выплату продавцом покупателю в обмен на премию разницы между III. Управление рыночными рисками J которая платит по трехлетним долгам ставку LIBOR* + 50 б. п.**, продает 4%-ный флор. Предположим, стоимость этого погашаемого за три года флон ра составляет 35 б. п.. Если ставка LIBOR равна или превышает 4%, фирма в итоге будет выплачивать LIBOR + 50-35 = LIBOR + 15 б. п., но если LIBOR упадет ниже 4%, фирма будет выплачивать ровно 4,15% (4% по ставке флора плюс спред в 15 б. п.). Если ставка LIBOR возрастет, процентные платежи, выплачиваемые фирмой, увеличатся, однако фирма получит выгоду от снин жения LIBOR только до уровня ставки флора. Фирма не получит выгоду от понижения ставок до уровня ниже ставки флора.

Корпорации могут пытаться снизить стоимость финансирования путем выпуска гибридных долговых обязательств (hybrid debts). Например, облин гации со встроенным опционом на покупку акций заемщика Ч варранты (warrant) Ч позволяют снизить стоимость обслуживания долга за счет опцин онной премии, выплачиваемой покупателями таких облигаций. Другим примен ром является встроенный опцион в таком инструменте, как отзывная облиган ция (callable bond). Фактически, это облигация с правом заемщика в опреден ленный момент погасить долг (процентный опцион пут).

Поскольку стоимость компании отражает прогнозируемые дисконтированн ные финансовые потоки, то стратегический риск-менеджмент связан с двумя основными моментами: во-первых, с оптимизацией чувствительности стоимосн ти фирмы к изменчивости ставки дисконтирования (портфельный риск), во-втон рых, с оптимизацией объемов прогнозируемых денежных потоков. Хотя известн ная теорема Модильяни-Миллера (Modigliani-Miller theorem) гласит, что стон имость фирмы не зависит от структуры капитала, на реальном рынке допун щения, на которых она основана, не выполняются. Поэтому если риск-менедн жмент ставит своей целью повлиять на стоимость фирмы, он должен влиять на такие факторы, как налоги, транзакционные издержки, инвестиционные рен шения и т. п. (рис. 3-1). Риск-менеджмент позволяет сузить разброс прибыли.

Управление риском может увеличить стоимость фирмы путем снижения налоговых выплат и сопутствующих потерь. Во-первых, это теоретически возн можно, в случае если функция объема налогов выпуклая. Такая зависимость может существовать в силу прогрессивной шкалы налогообложения, или, нан пример, при наличии налоговых льгот, зависящих от объема налогооблагаен мой базы или другого показателя (оборота и т. д.). Фактически выпуклая зан висимость может появиться из-за возможности применить для некоторых объен мов базы обложения альтернативный.минимальный налог, например налог на вмененный доход (патент), налоговый кредит и т. д.

базисной ставкой (например, LIBOR) и ставкой флора, в случае если базисная ставка ниже ставки флора. Профиль риска флора аналогичен профилю риска опциона пут. Процентный кэп (interest rate cap) Ч это пакет процентных опционов, предусн матривающих выплату продавцом покупателю в обмен на премию разницы между базисной ставкой и ставкой флора, в случае если базисная ставка выше ставки кэпа. Профиль риска кэпа аналогичен профилю риска опциона колл.

* LIBOR (London interbank offered rate) Ч ставка предложения на лондонском межн банковском рынке депозитов.

** б. п. Ч базисный пункт.

Z08 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Пример 3.2. Предположим что фирма в отсутствие риск-менеджмента полун чала прибыль чрезвычайно неравномерно (рис. 3-2): в одном годуЧ очень большую (900 млн. руб.), а в следующем годуЧ маленькую (100 млн. руб.).

Пусть шкала ставок налога на прибыль будет прогрессивной, т. е. кривая функции налога является выпуклой (рис. 3.3). Например, налог с 100 тыс. руб.

составляет 20% (20 тыс. руб.), с 500 тыс. руб.Ч 22% (ПО тыс. руб.), а с 900 тыс. руб. Ч 30% (270 тыс. руб.).

Фирма за два года выплатила 290 тыс. руб. налогов, что составило 29% прибыли, полученной за два года, или в среднем 145 тыс. руб. в год.

После введения на фирме риск-менеджмента прибыль стала устойчивой Ч на уровне 500 тыс. руб. в год, а налог за два года составил 220 тыс. руб., т. е. 22%, или в среднем ПО тыс. руб. в год. Эффект риск-менеджмента пон зволил снизить налоговые выплаты в среднем на 35 тыс. руб. в год.

Во-вторых, авансовые налоговые платежи делают очень эффективным рен шение проблемы неравномерности распределения прибыли во времени, связанн ной с выгодой, упущенной из-за неравномерно больших авансовых налоговых выплат, несоответствующих средней прибыли за отчетный период. Например, в отсутствие риск-менеджмента фирма получила в первом квартале большую Ч Ч Ч До риск-менеджмента ЧЧЧ ЧЧ После риск-менеджмента Прибыль Рис. 3.1. Влияние риск-менеджмента на распределение прибыли 1 L ю о ю о ю о й о ю о л о ё о ю О ю о ю о Х ^ t - { N C 4 l C O C O T j - T j - m i n ( D ( O h - h - 0 0 0 0 0 > C 3 > г Прибыль Рис. 3.2. Распределение прибыли до и после риск-менеджмента III. Управление рыночными рисками ZQ часть годовой прибыли, заплатила авансом намного больше налоговых платен жей, чем потребовалось бы в целом за год, и, таким образом, упустила выгон ду от вложения отвлеченных в налоговые выплаты средств.

Пример 33. Российский социальный налог (рис. 3-4) и риск-менеджмент.

В современной налоговой системе России не предусмотрены налоги с прогресн сивной шкалой. Более того, доходы таких групп, как, например, индивидуальн ные предприниматели и адвокаты, в России с 2001 г. подлежат обложению социальным налогом по регрессивной шкале.

Средняя величина выплат социального налога на доход у таких предприн нимателей будет снижаться, если их риск-менеджмент приведет не к уменьн шению величины разброса дохода, как было бы в случае прогрессивной шкан лы налога, а к его росту (это тоже риск-менеджмент, только целью оптимин зации является не снижение риска, а его рост). При прочих равных условиях российский предприниматель, как и адвокат, имеет мотивы зарабатывать дисн кретно, неравномерно, предпочитая разовые большие притоки денег их стан бильному равномерному течению. Иначе говоря, адвокату гораздо выгоднее изредка находить себе особо крупные дела с большими гонорарами, чем мак " *- т- oj Рис. 3.3. Эффект от риск-менеджмента при прогрессивном налоге на прибыль я I СО I % ло 10 Ч~ЩХ Ч ~~ ~ Ч Ч Ч ~ сэ о о О О < о m 1Л О с э 00 О) со со База налогообложения Рис. 3-4- Кривая социального налога МО Энциклопедия финансового риск-менеджмента симально диверсифицировать портфель мелких дел. Если предположить, что величина гонорара положительно коррелирует с тяжестью преступного деян ния или объемом споров, то можно сделать спекулятивный вывод, что в тан ких условиях государством стимулируется ситуация, при которой будут выигн рывать судебные разбирательства в первую очередь как мафия, так и крупн ный капитал и еще дольше ждать своей очереди малый бизнес и обыватели.

Однако, например, альтернативный налог на вмененный доход (патент), обеспечивающий выпуклость кривой налогообложения, российским налогон вым кодексом предусмотрен. Поэтому для определения налогового эффекн та всегда следует строить конкретную модель налогообложения предприян тия с учетом распределения по-разному облагаемых видов деятельности и налоговых льгот. В любом случае сохраняется эффект риск-менеджмента, если он снижает упущенную из-за неравномерных авансовых налоговых план тежей выгоду.

Управление риском может увеличить стоимость фирмы путем снижения стоимости финансового краха (financial distress). Эффект риск-менеджмента зависит от двух факторов: насколько сильно хеджированы риски финансового краха фирмы и насколько велики их последствия в стоимостном выражении.

Вероятность финансового краха и отказа выплачивать долги определяется также двумя факторами Ч покрытием фиксированных требований кредитон ров (fixed-claims coverage) (вероятность разорения растет с падением покрын тия фиксированных требований) и волатильностью дохода (вероятность дефолта растет с ростом волатильности дохода).

Стоимость финансового краха складывается из прямых затрат, связанн ных с разорением, процессами банкротства, реорганизации или ликвидации, и косвенных убытков, связанных с изменением поведения различных партнен ров фирмыЧ кредиторов, клиентов, поставщиков, персонала и т. д. Сущен ствует точка зрения, согласно которой наименее устойчиво доверие клиенн тов к качеству производимого фирмой продукта в условиях кризиса для фирм, занимающихся производством продукции или оказанием услуг, которые не имеют образцов для демонстрации качества в каждый данный момент (credence goods): сравните, например, авиаперевозки Ч в их реальном качестве можно удостовериться только после оказания услуги, и руду, качество которой можно оценить по образцу. Исходя из этой точки зрения, риск-менеджмент особенн но эффективен для таких фирм.

Пример 3.4- Диверсификация клиентского портфеля в условиях современного российского рынка.

В российской экономике 90-х годов крупный отечественный бизнес в основн ном представлен так называемыми кэптивами (captive) Ч различными финанн сово-промышленными и банковскими группами, объединениями, холдингами, представляющими собой унаследованную от советского прошлого или разросн шуюся в период перехода к рынку систему предприятий различных отраслей в различных регионах, а также предприятий-инструментов, решающих опрен деленные управленческие задачи, связанные с технологией, маркетингом, нан логовой оптимизацией и т. д.

III. Управление рыночными рисками Входящие в эти объединения финансовые организации подчиняются писанн ным или неписанным правилам, сводящимся в основном к необходимости удовн летворения любых нужд головного офиса группы, приоритетного обслуживания участников группы (системных предприятий) в соответствии с установившимися деловыми обычаями внутри группы (холдинга) и более или менее самостоятельн ной работе на открытом рынке (с внешними клиентами). При этом часто при удовлетворении своих потребностей предприятие отдает приоритет поставщин кам Ч участникам той же системы, в которое оно входит. Это объясняется, во первых, меркантилистской политикой головных офисов Ч минимизацией расхон дов, сопровождающихся денежными оттоками за пределы системы (группы, холн динга), а во-вторых, минимизацией кредитных рисков для данного предприятия Ч рисков невыполнения обязательств партнерами в полном объеме, часто весьма высокими, если партнер не является участником той же системы.

Концепция стратегии развития предприятий в таких группах или холдинн гах может базироваться на следующих принципах:

1. Заданные факторы Ч текущие условия рынка и правила взаимодейн ствия в группе (холдинге).

2. Управляемые факторы Ч выбор направлений деятельности в пределах, не затрагивающих компетенцию головного офиса группы (управляюн щей компании холдинга).

3. В качестве меры деятельности предлагается система критериев для различных горизонтов планирования:

Х долгосрочной стратегической целью является, например, наращиван ние консолидированной стоимости компаний группы (холдинга);

Х среднесрочнойЧ обеспечение устойчивости и динамичности развин тия, т. е. оптимизация риска отклонений от тенденции развития;

Х краткосрочнойЧ обеспечение уровня рентабельности бизнеса не ниже некоторого приемлемого (например, текущего) уровня.

Pages:     | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 14 |    Книги, научные публикации