Книги, научные публикации
Pages: | 1 | 2 | 3 | 4 | ... | 14 | ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ФИНАНСОВОГО РИСК-МЕНЕДЖМЕНТА Под ред. А. А. Лобанова и А. В. Чугунова а л ь п и н а /ржа б л и ш е р Москва 2003 УДК 336.7(031) ББК ...
-- [ Страница 2 ] --Если а является элементом множества А, то пишут aGA.
I. Количественный анализ Задать множество можно, либо перечислив все его элементы, либо укан зав характеристическое свойство, которому должны удовлетворять все элен менты этого множества.
Например, запись А = {av a2, a3, aj означает, что множество А состоит из элементов а,, а,, а, а.
Г 2' 3 Множество В всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству х2 - 2х + 3 ^ 0, можно записать следующим образом:
В = {х е К | х2 - 2х + 3 < 0}, где R Ч множество всех действительных чисел.
Множество А называют подмножеством (subset) множества В, если кажн дый элемент множества А является элементом и множества В (рис. 1.13).
Рис. 1.13- Подмножество Если множество А является подмножеством множества В, то пишут:
А С В.
Например, множество А = {1, 2, 3} является подмножеством множества В = {I, 2, 3, 4, 5}. Множество Z всех целых чисел является подмножеством множества R всех действительных чисел.
Разностью А\В двух множеств А и В называют множество всех элементов А, не попавших в множество В (рис. 1.14).
Рис. 1.14. Разность множеств Если В с А, то разность А\В называют дополнением множества В до мнон жества А.
Например, если А = {1, 2, 3, 4}, а В = {3, 4, 5, 6}, то А\В = {1, 2}.
52 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Пересечением двух множеств А и В называют множество, обозначаемое АПВ, все элементы которого принадлежат как множеству А, так и множен ству В (рис. 1.15).
С^ГЗ Рис. 1.15. Пересечение множеств Например, если Л = {1, 2, 3}, а В = {I, 3, 4, 5}, то Л ПВ = {1, 3}.
Если множества А и В не содержат общих элементов, то говорят, что они не пересекаются, и пишут А П В = 0 (0 Ч символ пустого множества).
Аналогично можно определить пересечение трех, четырех и более мнон жеств. В частности, множество Появляется совокупностью всех элементов, i=i принадлежащих каждому из множеств А,, А2 А Объединением двух множеств А и В называют множество, обозначаен мое A U В, все элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств А и В (рис. 1.16).
Рис. 1.16. Объединение множеств Например, если А = {1, 2, 3, 4}, а В = {3, 4, 5, 6}, то A U В = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Точно так же определяется объединение трех, четырех и более множеств.
В частности, множество. U ^ Ч это совокупность всех элементов, принадле м жащих хотя бы одному из множеств А,, А2 At,...
I. Количественный анализ $ 1.19. Вероятностное пространство Пусть 1 Ч некоторое множество. В дальнейшем элементы множества О бун дем называть элементарными событиями, а само множество Q Ч пространн ством элементарных событий.
Набор /3 подмножеств множества П называется <х-алгеброй случайных сон бытий при выполнении следующих трех условий:
1. Ле/3.
2. Если А е /?, то и А е /J (А Ч дополнение множества А до всего прон странства П).
3. Если множества А,А,..., А.,... принадлежат /3, то ПД^ииДе/3.
' i=l i=l Если пространство элементарных событий конечно, т. е. состоит из кон нечного числа элементарных событий, то в качестве о--алгебры случайных сон бытий обычно рассматривают набор всех подмножеств этого пространства.
Пример 1.45. Бросается игральная кость. Пространство элементарных собын тий состоит из 6 событий: выпадение любого целого числа от 1 до 6. Выпан дение четного числа является случайным событием, так как состоит из трех элементарных событий: выпадение чисел 2, 4 или 6. Выпадение числа, меньн шего 3, также является случайным событием.
Говорят, что на сг-алгебре случайных событий р определена вероятностн ная мера Р, если каждому случайному событию Ае/3 поставлено в соответн ствие неотрицательное число Р(А) так, что выполняются следующие условия:
1. Р(П) = I.
2. Если Av А2,...,АГ... последовательность попарно непересекающихся г случайных событий, то Р 0 д 1 = 1Р(Д).
Если пространство элементарных событий конечно, т.е. О = {&>,,<и2,...,wn}, то на сг-алгебре случайных событий вероятностную меру можно задать слен дующим образом:
1. Элементарному событию &, поставить в соответствие неотрицатель > п ное число p r i = 1, 2,... п, так, чтобы Х,Р> = *Х i=l 2. Для случайного события А положить Р(А) = ^ R (суммирование ПрО изводится по тем номерам г, для которых а>. е А).
Пример 1.46. Бросаются две одинаковые игральные кости.
В данном случае элементарное событие характеризуется следующей парой чисел: числом, выпавшим на первой кости, и числом, выпавшим на второй кости, а пространство элементарных событий состоит из 36 событий:
S4 Энциклопедия финансового риск-менеджмента (1, 1), (1, 2),.... (I, 6) (2, 1), (2, 2),..., (2, 6) (6, 1), (6, 2),..., (6, 6).
Естественно считать, что вероятность каждого элементарного события равна Ч-. Тогда вероятность того, что на двух костях в сумме окажется 10, Зо 1 1 ^ равна 3 х Ч = Ч, так как это событие состоит из трех элементарных собын тий: (4, 6), (5, 5), (6, 4).
Основные свойства вероятностной меры 1. Для любого случайного события А 0*sP(A)=s I.
2. Если А и В случайные события и А С В, то Р(А) л Р(В).
3. Если А Ч случайное событие, то РТА) = 1 - Р(А).
4. Для любых двух случайных событий А и В имеет место равенство:
Р(А и В) = Р(А) + Р(В) - Р(А п В).
5. Если события А и В несовместны, т. е. An В = 0, то Р(А и В) = Р(А) + Р(В).
Случайные события А и В называются независимыми, если:
Р(А П В) = Р(А) Х Р(В).
Если события А и В независимы, то события А и В также независимы.
Вероятностное пространство определяется тройкой: пространством элен ментарных событий О, er-алгеброй случайных событий /3 и вероятностной мен рой Р на а--алгебре случайных событий.
Функция = (ы), определенная на пространстве элементарных событий Д называется случайной величиной (random variable), если для любого дейн ствительного числа х множество {<*} = {о>П\(<о) < х} является случайн ным событием.
I. Количественный анализ 5$ Если = f(л) является случайной величиной, то F(x) = Р{ < х}, х R, называется функцией распределения [вероятностей] (probability function) слун чайной величины Основные свойства функции распределения случайной величины 1. Р{>х} = 1-F^(x)-P{ = x}.
2. P{x x 3. F?(x) Ч неубывающая функция, причем 0 < F?(x) < 1, х е К 4. lim R(x) = 1, lim R(x) = 0. 5. lim R(x) = R(t), t e R. x-t-0 Пример 1.47. Функция R(x) является функцией распределения вероятностей случайной величины Найдем функцию распределения случайной величины 7} = а, + Ъ, где а и b Ч некоторые числа, аФО. Если а > 0, то F,(x) = Р{?7 < х} = ?{а, + Ъ < х} = Р{а < х - Ь} = = Р { < ^ } = ЕД Ч ). ? a a Если же a < 0, то FД(x) = Р{?7 < х} = ?{аЕ, + Ъ < х} = Р{а < х - Ь} = Р{ > ^ ^ } = a = l-F4(^) -Р{ = Ч }. a a 1.20. Дискретные случайные величины Случайная величина называется дискретной случайной величиной, если она принимает лишь конечное или счетное число различных значений. Чтобы задать дискретную случайную величину, достаточно указать закон распределения вероятностей этой случайной величины в следующем виде: X, X,... X, ( Х, < Х 2 <... < Х, <...), т. е. для каждого возможного значения случайной величины f задать вероятн ность этого значения. 56 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Ъ (*) 2 ^(- Pl+P Рг J у3 X-1 К.... < * Рис. 1.17- Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины $ показана на рис. 1.17. Основные числовые характеристики дискретной случайной величины f определяются следующим образом: 1. Математическое ожидание (mean, expected value) Щ) = ХГР, 2. Дисперсия (variance) D(4) = i(Xi-E(i)f.P, 3. Стандартное (среднее квадратическое) отклонение (standard deviation) <тв) = Щ). Свойства математического ожидания и дисперсии 1. E(af + b) = аЩ) + Ъ, где а и Ь - некоторые числа. 2. E(+7j) = E() + E(77). Ъ.Щ=Щг)-(Щ)Г. 4. D(c^ + b) = a2D(|), где а и b - некоторые числа. Пример 1.48. Дана 10%-ная облигация с полугодовыми купонами, продающан яся по номиналу, когда до ее погашения остается 20,5 лет. Инвестор считан ет, что доходность к погашению этой облигации через 6 месяцев может прин нять лишь следующие значения: Доходность к погашению 9, 9, 11,0 10,0 8, 10, через 6 месяцев (), % Вероятность 0,23 0,16 0,22 0,16 0,10 0, I. Количественный анализ $ Законы распределения вероятностей цены облигации (17) и годовой реан лизуемой доходности за 6 месяцев (т) указаны в таблице: Доходность к Цена облигации (rj), Реализуемая Вероятность погашению ($, % долл. ' доходность (т), % 11,0 91, 0,23 -6, 0,16 1, 95, 10, 0,22 100, 10,0 10, 0,16 18, 104, 9, 0,10 9,0 109,20 28, 38, 0,13 8,5 114, Например, если = 11,0%, то 5-2 = 91,98; 1-- 40, 0,11 (1,055)' (1,055)' 91.98 + 5-Ю0. т= те Математическое ожидание цены облигации через 6 месяцев и ее дисперн сия могут быть найдены следующим образом: Е(т)) = 91,98 0,23 + 95,85 0,16 + 100 Х 0,22 + 104,44 0,16 + + 109,20 0,10 + 114,31-0,13 = 100,9821 ДОЛЛ.; D(TJ) = (91,98 - 100.98)2 Х 0,23 + (95,85 - 100.98)2 Х 0,16 + + (100 - 100.98)2 Х 0,22 + (104,44 - 100.98)2 -0,16 + + (109,20 - 100,98) 2 0,10 + (114,31 - 100.98)2 Х 0,13 = 54,82. Д T + 5-100 Д J Так как г = - Х Х 2, то = Е(н)-95.2=100,98-95. Е(т) 100 Р( Т ) Ш^=54,82. = v (100)2 (100) ' о (т) = ^ / D ( T ) = 0,1481, т. е. 14,81%. Таким образом, ожидаемое значение реализуемой доходности облиган ции за 6 месяцев равно 11,96%, а ее стандартное отклонение составляет 14,81%. Закон совместного распределения вероятностей двух случайных величин и 1 может быть задан следующим образом: 6 Ч 58 Энциклопедия финансового риск-менеджмента N. Л у, v2 У. Р12 рД X, Р п р2, Р. р2, К р, Р,2 р X, II R Ч это вероятность того, что случайная величина принимает знан чение Xt, а случайная величина ri Ч значение Yjt i = 1,2, 3.-., j = 1- 2, 3--, причем IIPI=L i=l j=l Зная закон совместного распределения вероятностей двух случайных вен личин, можно найти закон распределения вероятностей каждой из этих слун чайных величин, так как P ( l = * i ) = X V = 1.2,3..., J=I 1,2,3 Р(^7=^) = 1РЙ.] = i=i Дискретные случайные величины и -ц называются независимыми, если Р,= Р{| = X) Х Р{т, = Y), i = 1, 2, 3..., j = 1, 2, 3... Для независимых случайных величин справедливы следующие два равенства: Е(-т,) = ЕШ Х E(TJ), D л + n ) = D(0 + D(i,). Ковариация (couariance) между двумя дискретными случайными величинами и т? определяется равенством COV&TJ) = Х Х № -Е(^))(У, -Е(т,)). i=i И Свойства ковариации 1. Cov(n) = E ( - T J ) - E ( 0 - E ( T J ). 2. D( + 7)) = D() + D(TJ) + 2Cov( т,). 3. D(a| + Ъ-п) = a2D + b2Dij + 2abCov( TJ). I. Количественный анализ Корреляция (correlation) между двумя случайными величинами и rj опн ределяется следующим образом: ,е Cov(|,rj) (T(l)-ff(fj) Случайные величины называются некоррелированными, если корреляция между ними равна 0. Свойства корреляции 1. - 1 л р ( ч ) * и. p(|,7j)=l ФФ 7 = а< 2. 7 ! +Ь, где а и Ъ Ч числа, причем а > 0. 3. p(,Tj)= -1<=>77 = а+Ь, г д е а и Ь Ч числа, причем а < 0. 4. Из независимости случайных величин всегда следует их некоррелирон ванность, но не наоборот. Пример 1.49. Совместное распределение вероятностей случайных величин и г) приведено в таблице: -2 -1 1 0,10 0,05 0, 0, 2 0,08 0, 0,20 0,10 0, - Распределение вероятностей случайных величин g, TJ И г) имеет следуюн щий вид: И - 1 2 - V -3 р р 0,30 0,36 0, 0,34 0,31 0, -1 -9 - -4 j Р 0,08 0, 0, 0,04 0,05 0, Тогда Е(# = 1 Х 0,30 + 2 Х 0,36 + (-3) Х 0,34 = 0; Е(т)) = (-2) Х 0,38 + (-1) Х 0,31 + 3 Х 0,31 = -0,14; Щф = (-9) Х 0,04 + (-4) Х 0,08 + (-2) Х 0,26 + (-1)0,05 + 3 Х 0,25 + 6 Х 0,32 = 1,42; D(> = I 2 Х 0,30 + 22 Х 0,36 + (-3)2 Х 0,34 = 4,8; D(TJ) = (-2 + 0,14)2 Х 0,38 + (-1 + 0.14)2 0,31 + (3 + 0.14)2 - 0,31 = 4,60; o(Q = 2,19; O-(TJ) = 2,14. бо Энциклопедия финансового риск-менеджмента Ковариация и корреляция между случайными величинами f и т? находятн ся следующим образом: Cov(|,77) = Е(f 77) - Щ ) Х Е(77) = 1,42 - 0 = 1,42; jCov^Tl = _ J 1 4 2 _ ^'" о-(^)а(г7) 2,19-2, 1.21. Непрерывные случайные величины Случайная величина f называется абсолютно непрерывной, если существует неотрицательная функция р?(х) такая, что W = j[P:(0 Функция р{(х), удовлетворяющая условию (1.50), называется плотностью распределения вероятностей (probability density function Ч PDF) случайной вен личины Равенство (1.50) означает, что заштрихованная площадь на рис. 1.18 под графиком плотности распределения равна вероятности того, что случайная величина принимает значение меньше х. i /><(*) Рис. 1.18. Плотность распределения вероятностей Свойства непрерывных случайных величин 1. Вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает значение между х: и х2 (х, < х2), совпадает с заштрихованной площан дью на рис. 1.19. I. Количественный анализ Рис. 1. 2. Если р? (х) Ч плотность распределения вероятностей случайной велин чины, то jp((x)dx = l. 3. Вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает то или иное значение всегда равна нулю, т. е. Р{ = х} = 0. 4. Производная функции распределения вероятностей непрерывной слун чайной величины равна плотности распределения вероятностей этой случайной величины, т. е. (1.51) = Р4(х). dx Из равенства (1.51) следует, что Р{х <, < х + Дх} = р? (х) Х Дх, (1.52) где х Ч любое число; Лх Ч достаточно малое положительное число. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величин ны f могут быть найдены следующим образом: Е($) = ]щ(х)с; D() = J ( x - E ( ) ) 2 p a * ) d x, где р^ (х) Ч плотность распределения вероятностей случайной величины Стандартное отклонение случайной величины определяется обычно как: 62 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Если f(t) Ч некоторая непрерывная функция, а f Ч непрерывная случайн ная величина, то E(f(з))=Jf(x)-p 4 (x)dx. Пример 1.50. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [а, Ь], если 0, при х <. [а, Ь], = Рл(*) 11 г ил [Ь-а -, при х Ё [а, Ъ\. Функцию распределения случайной величины можно найти следующим образом: если х < а, то F 4 (x)= ]p,{t)dt= J 0 d t = 0, если же a =s x =s Ъ, то Ft(*)= j ft (i)*= ]pi(0* + Jpt(0<* =.JcdfU^t-jJ-.'-^. J a ^ ab- a b- a b-a При x > b Ft{x) = j p,(t)dt = J p4(t)dt + jp,(t)dt }P{(t)dt = ]j^-dt = 1. + au u a b Таким образом, 0, если х < a; x a - г ui Ft M =, еслихе[а,Ь]; b-a 1, если x > b. Математическое ожидание и дисперсию случайной величины можно найти следующим образом: b 2 - а2 а + Ь I E() = 7xp,(x)dx = r _ x _ d x = - i - - Ч ab-a a i b-a 2 b-a зb E( ); w v ^' J 3V J b-a b-a 3~ 3' D(0 = E(^)-(E(0) 2 4(a 2 + ab + b 2 ) - ( ^ T = ^ I. Количественный анализ Пример 1.51. Случайная величина f распределена показательно, если ГО, при х < О 5v Лх V y ' [Яе", при х > О Функция распределения вероятностей случайной величины имеет вид: _. f 0, если х < 0; ч [1 - е, если х > 0. Тогда при А = Р{1 < 1,02} = F^ (1,02) - F. (1) = 1 - е 1 0 2 - (1 - е 1 ) = е"1 - е 1 0 2 = 0,00728. С другой стороны, из равенства (1.52) следует, что Р{1 < | < 1,02} л р? (1) Х 0,02 = е-1 Х 0,02 = 0,00736. Для показательно распределенной случайной величины имеем E(л) = I,D(S) =. Асимметрией (skewness) распределения вероятностей случайной величин ны называется число J(x-E())3P|(x)dx а(л где р (х) Ч плотность распределения вероятностей случайной величины, <*б ее стандартное отклонение. Если а($ = 0, то плотность распределения вероятностей случайной вен личины симметрична относительно математического ожидания этой случайн ной величины (рис. 1.20). Рис. 1. 64 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Рис. 1.21. Распределение с правосторонней асимметрией Рис. 1.22. Распределение с левосторонней асимметрией При положительной (отрицательной) асимметрии распределения правая ветвь (tail) плотности распределения вероятностей случайной величины длинн нее левой ветви. Соответственно, при отрицательной (левосторонней) асимн метрии левая ветвь плотности распределения вероятностей случайной велин чины будет короче правой ветви (рис. 1.21 и 1.22). Эксцессом (kurtosis) распределения вероятностей случайной величины называется число J(x-E())4pjx)dx *(л) I. Количественный анализ При одном и том же стандартном отклонении, чем больше эксцесс, тем тяжелее ветви плотности распределения вероятностей случайной величины (рис. 1.23). ' тГш "" * Рис. 1.23- Распределения с различным эксцессом Распределение вероятностей с большим эксцессом называют распреден лением с тяжелыми ветвями Qeptokurticlfat-tailed distribution). Если даны две случайные величины, и 2, то можно рассмотреть двун мерную случайную величину | = (, 2). Двумерная случайная величина \ = (, 2) называется абсолютно непре рывной, если существует неотрицательная функция р^ (xv x2) такая, что при любых числах х, и х2 справедливо равенство Pfe < *,.& < *2} = J J Pf (ti.t2)dt,dt2. (153) Функция Р|(*1.*г)> удовлетворяющая равенству (1.53), называется плотн ностью совместного распределения случайных величин и 2. Если двумерная случайная величина | = (, з2) является абсолютно нен прерывной, то ковариацией между случайными величинами и 2 является число Gov ($Д,) = J J (х, -Е())(х 2 -Ei^ 2 ))p l (x v x 2 )dx i dx 2, а корреляция между ними определяется следующим образом: p( ^j a(5,)^(&)" 66 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Если p^(xvx2) Ч плотность совместного распределения случайных велин чин, и 2, то случайные величины и 2 независимы тогда и только тогда, когда ^(хДх 2 ) = р й (х 1 )-р й (х 2 ). Все основные свойства числовых характеристик, рассмотренные нами для дискретных случайных величин, сохраняются и в непрерывном случае. 1.22. Важнейшие виды распределений случайных величин 1.22.1. Нормальное распределение Говорят, что случайная величина f распределена нормально, если ее плотн ность распределения вероятностей имеет вид: p w= 7iheV' (1 54) * где 7 л3,14; а Ч некоторое действительное число; S Ч положительное число. График плотности нормального распределения приведен на рис. 1.24. РЛХ) Рис. 1.24- График плотности нормального распределения I. Количественный анализ Основные свойства нормального распределения 1. Если случайная величина распределена нормально с плотностью (x-af 1 2S Рл(*) = j2nS то Е(ф = а-МО = S. 2. Плотность нормально распределенной случайной величины симметн рична относительно математического ожидания этой случайной вен личины, т. е. асимметрия а(ф = 0. В частности, Р{^Е(&} = Р{^Е(ф} = 0,5. Эксцесс нормального распределения всегда равен 3. 3. Вероятность того, что нормально распределенная случайная величин на будет отличаться от своего ожидаемого значения на величину, не превышающую одного, двух или трех ее стандартных отклонений, равн на 68,3, 95,5 и 99,75% соответственно. Пример 1.52. Инвестор считает, что реализуемая доходность его портфеля облигаций за 6 месяцев имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 7% и стандартным отклонением 4%. Вероятность того, что реализуемая доходность окажется. между 7% Ч 4% = 3% и 7% + 4% = 11% равна 68,3%, между 7% Ч 2 Х 4% = - 1 % и 7% + 2 Х 4% = 15% равна 95,5%. 4. Если случайная величина распределена нормально с параметрами (a, S), то случайная величина,7 = ^ ( a = E(S),S = <7(S)) распределена нормально с параметрами (0, 1), т. е. имеет стандартн ное нормальное распределение. х х- а х2 - а При этом если х1 < х2, z: = Ч-Ч, z2 = Ч-Ч, то Р{Х, < Х2} = P{Zl < 7 < 22} = Ф^-Ф^), если z,>0; (1.55) = Х 1-Ф(г 2 )-Ф(-г,), если гх < 0, а z2 > 0; Ф(-г 2 )-Ф(-г1), если z2 < 0. 6 8 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Таблица 1. ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Ф(Я) = P{T)>Z} Z 0,00 0,01 0,02 0,06 0,08 0, 0,03 0,04 0,05 0, 0,0 0,5000 0,4960 0, 0,4920 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,, 0,4602 0,4562 0,4522 0, 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0, 0,2 0,4168 0,4090 0,4052 0, 0,4129 0, 0,4207 0, 0,4013 0,, 0,3821 0,3632 0, 0,3783 0,3707 0,3669 0, 0,3745 0,3594 0, 0,3336 0,3192 0, 0,3446 0,3372 0,3300 0,3228 0, 0,4 0,3409 0, 0,2981 0,2912 0, 0,5 0,2946 0, 0,3085 0,305 0,3015 0,2877 0, 0,6 0,2676 0,2611 0,2578 0, 0, 0,2743 0,2643 0,2514 0,2483 0, 0,2420 0,2266 0,2236 0,2206 0, 0, 0,7 0,2389 0,2327 0, 0, 0,8 0,2061 0, 0,2119 0,209 0,2005 0,1977 0,1949 0, 0,2033 0, 0,9 0,1788 0,1762 0,1736 0,1660 0, 0,1841 0,1814 0,1711 0,1685 0, 1 0 0,, 0,1562 0, 0, 0,1539 0,1469 0, 0,1515 0,1445 0, 0,1210 0,1190 0, 0,1292 0, 0,1357 0,1335 0,1314 0,1271 0,. , 0, 0,1112 0,1056 0,1038 0,1003 0, 0,1131 0, 0,1151 0, 0,0918 0,, 0,0968 0, 0,0951 0,0885 0,0869 0,0853 0, 0, ы 0, 0,0808 0,0778 0,0721 0, 0,0793 0,0764 0,0749 0,0735 0, 0,0668 0,0630 0,0618 0,0606 0,, 0, 0, 0,0655 0,0643 0,, 0,0548 0,0526 0,0516 0,0465 0, 0,0537 0,0505 0,0495 0,0485 0, 0, 1 7 0,0446 0,0401 0,, 0,0436 0,0409 0,0384 0,0375 0, 0, 1 8 0,, 0,0322 0, 0,0336 0,0329 0,0307 0, 0,0351 0,0344 0,, 0,0281 0, 0,0268 0,0262 0,0250 0, 0,0244 0, 0,0287 0, 2,0 0, 0,0228 0,0222 0,0212 0,0202 0, 0,0217 0,0207 0,0197 0, 0,0166 0, 0,0170 0,0162 0,0158 0, 2,1 0,0179 0, 0,0174 0, 2,2 0, 0, 0,0136 0,0132 0, 0,0129 0,0119 0, 0,0139 0, 0, 2,3 0,0102 0,0089 0,0087 0, 0,0107 0,0104 0,0099 0,0094 0, 0,0082 0,0080 0,0078 0,0068 0, 2,4 0,0071 0,0069 0, 0,0075 0, 0, 0,0060 0, 2,5 0,0062 0, 0,0059 0,0057 0,0054 0, 0, 2,6 0,0038 0, 0, 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0039 0, 0,0028 0, 0,0032 0, 2,7 0,0029 0, 0,0034 0, 0,0035 0, 2,8 0,0026 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0, 0,0025 0,0024 0,0023 0, 2,9 0,0018 0,0018 0,0016 0, 0,0019 0,0014 0, 0,0017 0,0015 0, 3,0 0,0010 0, 0,0012 0,0011 0,0011 0, 0, 0,0013 0,0013 0, I. Количественный анализ Ь Следовательно, соотношение (1.55) позволяет находить различные вероятн ности вида P{x,лf*x2} для произвольных нормально распределенных случайных величин. Пример 1.53. Менеджер считает, что стоимость, управляемого им портфеля облигаций распределена нормально с математическим ожиданием 10 млн. долл. и стандартным отклонением 2 млн. долл. Его интересует, какова верон ятность, что стоимость портфеля окажется между 6 млн. и 11 млн. долл. В данном случае 6 млн. долл. - 10 млн. долл. 2 млн. долл. 11 млн. долл. -10 млн. долл. 0,5; = 2 млн. долл. O(-Zi) = 0,0228; Ф(г2) = 0,3085 (см. табл. 1.1). Тогда Р{6 млн. долл. < 11 млн. долл.} = 1 - Ф (-z,) - Ф (z2) = = 1-0,0228 - 0,3085 = 0,6687, или 66,87%. Пример 1.54- Предположим, что в условиях примера 1.53 менеджер хочет найти доверительный интервал для стоимости управляемого им портфеля с надежностью 95%. Иными словами, требуется найти интервал так, чтобы Р{лз G и} = 0,95. Имеем следующее равенство: 0.95 = Р{е и} = 1-2Ф(г), у mez = -. Тогда Ф(г) = 0,025. С помощью табл. 1.1 найдем значение z = 1,96. Знан чит, у = z Х S = 1,96-2 млн. долл. = 3,92 млн. долл. Искомый доверительный интервал: (6,08 млн. долл.; 13,92 млн. долл.). 5. Линейная комбинация нормально распределенных случайных величин также распределена нормально. В частности, если случайные велин чины f и г) независимы и распределены нормально с параметрами (a,, S,) и (а2, S2) соответственно, то их сумма f + TJ распределена норн мально с параметрами № + a2,^S* + Sly 7Q Энциклопедия финансового риск-менеджмента 6. Некоррелированные нормально распределенные случайные величины всегда независимы. 7. Последовательность случайных величин сходится к нормально распределенной случайной величине, если слун чайные величины (*,, 2)...,,,... взаимно независимы и одинаково расн пределены (центральная предельная теорема). Это означает, что при взаимно независимых одинаково распределенн ных случайных величинах, %2,...,,,... с математическим ожиданин ем, равным а, и дисперсией а2 случайная величина Д = 6 + & + - +, '" п ст Г Q-i=1Х распределена асимптотически нормально с параметрами V V" J 1.22.2. Логарифмически нормальное (логнормальное) распределение Говорят, что положительная случайная величина распределена логнормаль но, если In имеет нормальное распределение вероятностей. Таким образом, плотность логнормального распределения имеет вид: (1пх-а) где а = Е(1п), S = График плотности логнормального распределения показан на рис. 1.25. Свойства логнормального распределения 1. Логнормальное распределение обладает правосторонней асимметрин ей (positively skewed), а при малых значениях S = с(1п) близко к норн мальному распределению. 2. Если случайная величина имеет логнормальное распределение с пан раметрами а и S, то s E() = e 4 D ( ) = e 2 a + s 2 (e S 2 -l), a а+Ч I. Количественный анализ S = 0, Рис. 1.25. График плотности логнормального распределения а при 0 < xt < х Ф(г,)-Ф(г 2 ), если Zj > 0, Р{х,<х 2 } = 1-Ф(г 2 )-Ф(-г,), если Z; < 0, z2 > О, Ф(-г 2 )-Ф(-г,), если z2 < О, lnx, - a где zx = ' S lnx 2 -- a Ф(г) Ч вероятность, что случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение, принимает значение, большее z. Пример 1.55. Будем считать, что доходность 10-летних облигаций с нулевын ми купонами имеет логнормальное распределение с параметрами а = -2,70; S = 0,30. Чтобы найти вероятность Р{ < 0,05}, т.е. вероятность того, что доходн ность окажется меньше 5%, положим z, = -о, z, = 'Х 'Ч = -0,99. 0, Тогда Р{ < 0,05} = Ф(-22) - 0(-z,) = Ф(0,99) - 0 = 0,1611, т.е. 16,11%. Если нас интересует вероятность Р {0,06 < Е, < 0,08}, то In 0,06 + 2,7 1п0,08 + 2, = -0,38, z2 = 0,58. 0,3 0, 7* Энциклопедия финансового риск-менеджмента Значит, Р{0,06<,< 0,08} = 1-Ф(г 2 )-Ф(-г,) = = 1 - Ф(0,58) - Ф(0,38) = 0,3670, т.е. 36,7%. 3. Если две случайные величины распределены логнормально, то их прон изведение также имеет логнормальное распределение. 1.22.3- Распределение X2 (хи-квадрат) Говорят, что случайная величина z имеет распределение х2 с п степенями свободы, если она представима в виде суммы п квадратов взаимно независин мых величин со стандартными нормальными распределениями. Свойства распределения X 1. Если случайная величина z имеет распределение х2 с п степенями свон боды, то E(z) = n.D(z) = 2n, асимметрия распределения х2 положительна. 2. При возрастании числа степеней свободы распределение х2 стремитн ся к нормальному. Таким образом, случайная величина, имеющая расн пределение ^ с п степенями свободы, распределена асимптотически нормально с параметрами (n,V2nj. 3. Критическим значением распределения ^ с п степенями свободы нан зывают число xl (п) > удовлетворяющее условию P{z>x2a(n)} = a, где аЧ заданная вероятность. Критические значения распределения х2 указаны в табл. 1.2. 4. Если случайные величины |,, | 2,..., п взаимно независимы и распрен делены нормально с параметрами (а, а), то случайная величина (п-1)& &2 = - р - г 2 ( & - of, a = 1 &, Где имеет распределение ^ с п - 1 степенями свободы. I. Количественный анализ Таблица 1. КРИТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ X Вероятность а \. 0,98 0,02 0, 0,99 0,95 0, Число ^\ степеней свободы п \ ^ 9,488 11, 4 0,297 0,429 13, 0, 5 0,752 11,070 13,388 15, 0,554 1, 6 0,872 12,592 16, 1,134 1,635 15, 16, 7 1,239 1,564 2,167 14,067 18, 8 1,646 2,032 18,168 20, 15, 2, 9 2,068 2,532 21, 16,919 19, 3, 10 2,558 21, 3, 3,059 18,307 23, Это, в частности, означает, что оценка дисперсии а2 распределена асимн птотически нормально с параметрами о2,о\Р^. Vn- Пример 1.56. Даны 10 дневных наблюдений доходности 30-летних казначейсн ких облигаций с нулевым купоном: t 1 2 6 8 4 3,.% 6,694 6,699 6,710 6,675 6,583 6,569 6, 6,555 6,555 6, Если допустить, что доходность распределена нормально, то оценки матеман тического ожидания и дисперсии доходности можно найти следующим образом. H-af t t 1 0, 6, 2 0, 6, 3 6,710 0, 4 0, 6, 0, 5 6, 6 0, 6, 7 6,569 0, 8 0, 6, 0, 9 6, 10 0, 6, I 66,216 0, 7 Ч 74 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Д 66,2 6,, Д,, Д2 0,037337 ДДД,,ДД а=Ч = 6,6216; а =- = 0,004149. 10 Доверительный интервал для дисперсии доходности с надежностью 96% можно найти из условия Р { * О, 9 8 ( 9 ) < ^ < Ж О, О 2 (9)1 = 0,96, т. е. 9-<Г 2,532 < ^ - < 19,676 = 0,96. Р< а Таким образом, с надежностью 96% д. л2 д. л 0,0147 = >а > = 0,0019. 2,532 19, 1.22.4. Распределение Стъюдента Распределение вероятностей случайной величины называется распределением Стъюдента с п степенями свободы, если случайн ные величины и у) независимы, имеет стандартное нормальное распреден ление, а у) Ч распределение х2 с п степенями свободы. Свойства распределения Стъюдента 1. Если случайная величина t имеет распределение Стьюдента с п стен пенями свободы, то E(0 = 0,D(?) = ^ -. и- Асимметрия распределения Стьюдента равна О. 2. При возрастании числа степеней свободы распределение Стьюдента стремится к стандартному нормальному распределению. При этом расн пределение Стьюдента имеет более тяжелые ветви, чем стандартное нормальное распределение. На рис. 1.26 изображены плотности станн дартного нормального распределения и распределения Стьюдента с тремя степенями свободы. I. Количественный анализ Рис. 1.26. Графики плотности нормального распределения и распределения Стьюдента 3. Критическим значением распределения Стьюдента с п степенями свон боды называют число ta{n), удовлетворяющее условию: ?{t > ta (n)} = а, где а Ч заданная вероятность. Критические значения распределения Стьюдента указаны в табл. 1.3. 4. Если случайные величины ^,Е,2,...,Е,п взаимно независимы и распреден лены нормально с параметрами (а, &), то случайная величина sfn(a - a) 1 л 1 " rf где e = - X & ; =ЧrZ(&-л)' л i =l Я Ч1 *=| имеет распределение Стьюдента с п - 1 степенями свободы. Пример. 1.57. В условиях примера 1.56 найдем доверительный интервал для ожидаемой доходности с надежностью 95%. Так как а = 6,6216, а = 0,0644, то искомый доверительный интервал можно найти на основе равенства гЛ 1г^ VlO (6,6216-а).. Р 2 5 (9) < to025 ( 9 ) = | ' 95 р ^ 7* 76 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Таблица 1. КРИТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТЬЮДЕНТА ^Хv. Вероятность а 0,10 0, 0,05 0,025 0, Число ^ч степеней свободы п ^ \ 2, 4 2, 1,533 3,747 4, 1,476 4, 2,571 3, 5 2, 6 1,440 3, 2,447 3, 1, 2, 2,365 3, 7 1,415 1, 8 2, 1,860 2, 1,397 3, 9 2,262 2,821 3, 1,383 1, 1,372 1,812 2, Ю 3, 2, Согласно табл. 1.3, t002S{9) = 2,262. Следовательно, 0 0644 0 6,6216 - 2,262 Х '"ГГ <а< 6,6216 + 2,262 Х ' ; Г Г \ л/10 VlO Таким образом, с надежностью 95% ожидаемая доходность казначейских облигаций находится между 6,57 и 6,67%. 1.23. Расчет волатильности финансовых показателей на основе исторических данных Волатилъностъ, или изменчивость (volatility), финансовых показателей игн рает очень важную роль в управлении финансовыми рисками. Пусть У( Ч некоторый финансовый показатель (например, цена или дон ходность некоторого финансового инструмента), наблюдаемый в день t, t = 0, 1, 2,..., Т. Положим у X, = 100 In ЧЧ t = 1,2,..., Т. Ч-i Случайная величина ^представляет собой натуральный логарифм отнон сительного изменения этого показателя за один день, выраженный в проценн тах. Тогда дневную волатильность данного показателя можно оценить следун ющим образом: |i(*t-*)2 _ i * '* У Г - 1 Г Иными словами, дневная волатильность принимается равной стандартнон му отклонению логарифма относительного изменения финансового показатен ля за один день. I. Количественный анализ Пример 1.58. В течение 11 последовательных рабочих дней биржи определян лась доходность 30-летних казначейских облигаций с нулевыми купонами. Расн чет дневной волатильности доходности на основе этой информации привен ден ниже. Xt = 1 0 0 l n i t У,, % (*-*)' Ч Ч 0 6, 1 6,699 0,07467 0, 2 6,710 0, 0, 3 6,675 -0,52297 0, 4 -1,81411 2, 6, S 6,583 0,42624 0, 6 -0, 6,569 0, 0, 6, 7 0, 8 0, 6,555 -0, 9 6,593 0,57804 0, 10 6,620 0,40869 0, I Ч -1,11162 4, х=М _о.ш16; ^.^Ш.^. = Таким образом, дневная волатильность доходности 30-летних облигаций с нулевыми купонами оценивается в 0,70%. Если случайные величины Xt не коррелируют между собой, то, зная дневн ную волатильность доходности финансового инструмента, можно оценить вон латильность доходности этого инструмента за данный период времени: где о- Ч волатильность доходности за рассматриваемый период времени; <тдн Ч дневная волатильность; тпер Ч число дней в периоде. В частности, для того чтобы определить годовую волатильность, необн ходимо для каждого конкретного случая правильно определить число рабон чих дней в году. Число рабочих дней в году может быть равным 250, или 365. Пример 1.59. В примере 1.58 была найдена дневная волатильность доходносн ти 30-летних казначейских облигаций с нулевыми купонами: <тдн= 0,70147%. В таблице, приведенной ниже, указана годовая волатильность доходности при разных оценках числа дней в году. 78 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Число дней Годовая волатильность, % в году 250 11, 260 11, 360 13, 13, Предположим, что в данный момент времени доходность финансового инн струмента равна г. Можно считать, что доходности за один день распределены логнормально с параметрами 0 и а^. Если логарифмы относительных изменен ний доходности не коррелируют между собой, то отношение доходности чен рез год к доходности г будет распределено также логнормально, но с параметн рами (0, о-гоа). Следовательно, сама доходность финансового инструмента через год должна иметь логнормальное распределение с параметрами On г, агЫ). Если годовая волатильность доходности достаточно мала, то можно счин тать, что доходность финансового инструмента через год распределена прин близительно нормально с параметрами г и гсггод. Пример 1.60. Текущая доходность 10-летних казначейских облигаций с нулен вым купоном равна 8%, а годовая волатильность этой доходности равна 15%. Тогда можно предположить, что доходность 10-летних облигаций с нулен выми купонами через год будет приблизительно распределена нормально с ожидаемым значением 0,08 и стандартным отклонением 0,08 0,15 = 0,012. Отсюда, в частности, следует, что с вероятностью 95,5% доходность через год окажется между 0,08-2 Х 0,012 = 0,056 и 0,08 + 2 Х 0,012 = 0,104, т.е. будет принимать значение между 5,60 и 10,40%. 1.24. Элементы регрессионного анализа Во многих случаях требуется установить зависимость между двумя случайнын ми величинами. Чаще всего предполагается линейная зависимость. Например, при обмене облигаций использовалась линейная зависимость между изменен ниями доходностей двух облигаций. Рассмотрим две случайные величины f и i) и предположим, что, когда случайная величина принимает значения Xv X2 Хп, то случайная величин на т) принимает соответственно значения У,, У2,..., Уп. Линейной регрессионной моделью называют уравнение следующего вида: ? = а + Ь + е, 7 (1.56) где а и b Ч некоторые числа (коэффициенты регрессии), е Ч случайная погрешность. При построении линейной регрессионной модели коэффициенты а и b необходимо подобрать так, чтобы влияние случайной погрешности е на слун чайную величину г/ было как можно меньше. I. Количественный анализ Из уравнения (1.56) следует, в частности, что Yk= а+ ЬХк+ ек, к = 1, 2,..., п. Коэффициенты регрессии а и Ъ чаще всего подбираются методом наин меньших квадратов. Метод наименьших квадратов сводится к отысканию знан чений а и b так, чтобы достигалось наименьшее значение функции ^(Yk-a-bXkf. (1.57) Нетрудно проверить, что наименьшее значение функции (1.57) достиган ется при а = а, Ъ = Ь, П 1( П \( П \.ы Iw-iSJUXr где (П п \ П 1/ п Ы \ Ы п 1 Тл п а= ^ - ^ Ь Х ^. При выборе коэффициентов регрессии указанным выше способом будут выполняться следующие соотношения: Х >, = 0,]ГХ,-* = 0 & = Ук-а-ЬХк), k=l fc=l Е** _ Еу> (1.58) fcЧX fc=l У = а + ЪХ х Пример 1.61. Построение линейной регрессионной зависимости доходности среднесрочных облигаций промышленных корпораций одного и того же крен дитного рейтинга (TJ) от доходности 10-летних казначейских облигаций (ф. Исн ходная информация и предварительные расчеты приведены ниже в таблице. Коэффициенты регрессии находятся следующим образом: 846,5312 - Ч (87,555) (96,400) Ъ= = 0,9696, (87,555) 769,1671 - \ v a = Ч Х 96,400 - Ч Х 0,9696 Х 87,555 = 1,1507. 10 во Энциклопедия финансового риск-менеджмента Доходность облигаций, % ft *Л Л *> ( № наблюдения) казначейских Хк промышленных Y, 1 9,900 82,0292 98, 9,057 89, 2 10,000 91,4000 83,5396 100, 9, 9,800 96, 88, 3 8,983 80, 9,298 10,250 86,4528 105, 4 95, 86, 10,100 102, 9,279 93, 6 82, 9,950 90, 9,057 99, 73, 8,598 9,550 82, 7 91, 8 9,000 72,7110 65,2702 81, 8, 7,808 8,700 67,9296 75, 60, 10 8,256 9,150 75,5424 68,1615 83, I 96,400 846,5312 931, 769, 87, Таким образом, уравнение регрессии в данном случае имеет следующий вид: 7 = 1,1507 + 0,9696+ е. Из соотношения (1.58) следует, что I (у* - Y)2 =Ыl f a + 6х* + л* - (а + ьх4' k=l =&(Хк-Х)2 +1<.7 П ? = (Ь(Хк-Х) + ек) + е Ы fc=X Ы Таким образом, полная сумма квадратов отклонений зависимой величины -2 п, Ч. от своего среднего значения состоит из двух частей: Ъ У\[Хк - X), НаЗЫВае 'г мой суммой квадратов, объясняемой регрессией, и ^ е ь, называемой сум ы мой квадратов, не объясненной регрессией. Отношение суммы квадратов, объясняемой регрессией, к полной сумме квадратов называют коэффициентом детерминации и обозначают R2. Таким образом, к2 = 8 ^ U=i Л п т( п in2 4 Хп Коэффициент детерминации всегда находится между 0 и 1, причем, чем ближе коэффициент детерминации к единице, тем выше качество регрессин онной модели. I. Количественный анализ Пример 1.62. Оценим качество регрессионной модели, построенной в прин мере 1.61. В данном случае коэффициент детерминации может быть найден следун ющим образом: 846,5312 - Ч (87,400) (96,400) R2 = 0,9696 1^Чj = 0,9963. 931,7300-Ч(96,400) Так как коэффициент детерминации очень близок к единице, то качество регрессионной модели достаточно высокое. Оценка коэффициентов регрессии получена нами в зависимости от вын борки значений X,, Х2,..., Хп независимой случайной величины f и соответствун ющих им значений зависимой случайной величины ту. ДЛЯ другой выборки знан чений случайной величины будут получены, вообще говоря, другие оценки коэффициентов регрессии и другая случайная погрешность. В связи с этим возникает задача построения доверительных интервалов для коэффициентов регрессии. Если предположить, что случайные погрешности не коррелируют межн ду собой (т.е. отсутствует автокорреляция), то доверительные интерван лы для коэффициентов регрессии с надежностью 95% строятся следуюн щим образом: b - t W B S ( n - 2 ) - - r ^ = < b < b + r < w a s (n-2) хл йх Х * к=1 VЫ X2 \\ - IX а - W (п-2)-цт- -+ <а<а + t0025 (п-2)-цт- -+. 2 IX, f IX k=l \ k=l где to,025 ( п ~ 2 ) Ч критическое значение для распределения Стыодента с п - 2 степенями свободы (табл. 1.3); h-R2 2\ (п стандартная оценка ошибки. in-г Vcm = Чп-2 n[k=1 j Ы Если случайная величина f принимает значение X, то, согласно линейной регрессионной модели: ?} = а + Щ + е, ожидаемое значение случайной величины т равно у уож = а+ьх. 8а Энциклопедия финансового риск-менеджмента При отсутствии автокорреляции и гетероскедастичности* доверительный интервал для значения случайной величины т/ при заданном уровне надежнон сти может быть найден в виде: (У^-дУ.У^ + дУ), (Х-Щ Ч п Ч -. + -. л. л (JL f ( где ДУ = t0,025 (n - 2) Х На П Пример 1.63. Инвестор считает, что через месяц доходность 10-летних казн начейских облигаций окажется равной 8%. Тогда, согласно регрессивной мон дели, построенной в примере 1.61, ожидаемое значение доходности облиган ции промышленных корпораций будет равно 1,1507 + 0,9696-8% = 8,91%. Для определения доверительного интервала для доходности промышленн ных облигаций с надежностью 95% найдем: t 0i025 (n-2) = 2,31 ( n - 2 = 8); 1-0, 931,7300-^ (96,400)2 = 0,0336; Мст = (х-х)' Х + 1 = %-8,7555%) + Ч = 0,5668; Ч Ю i%--JX.) j " Нб7.->,555)> n^i ДУ = 2,31 Х 0,0336 Х 0,5668 = 0,044. Следовательно, искомый доверительный интервал: (8,87%; 8,95%). 1.25. Метод имитационного моделирования Монте-Карло Случайная величина у, принимающая 10 значений: 0, 1, 2, 3 9 с одинакон вой вероятностью, называется случайной цифрой. Предположим, что мы произвели N независимых опытов, в результате которых получили N случайных цифр. Записав эти цифры (в порядке их пон явления) в таблицу, получим то, что называется таблицей случайных цифр. Гетероскедастичность (heteroscedasticity) Ч отсутствие гомоскедастичности, т. е. неоднородность дисперсии, подсчитанной по разным группам (в данном случае Ч неоднородность дисперсии во времени). I Количественный анализ. Например, таблица из 150 случайных цифр может иметь следующий вид (цифн ры разбиты на группы для удобства чтения таблицы): 86515 90795 66155 66434 56558 69186 03393 42502 99224 88955 41686 42163 85181 38967 33181 86522 47171 88059 89342 67248 72587 93000 89688 78416 27589 Случайным числом (random number) называется случайная величина Ъ, + _Ь_ +. + Ъ- +.,.. s.. s= 10 100 где ft, у2..... ys,...Ч независимые случайные цифры. Иными словами, случайн ное число Ч это случайная величина, равномерно распределенная на прон межутке [0, I). Если задана таблица случайных цифр, то можно строить различные слун чайные числа, как, например: 0,86; 0,51; 0,59; 0,07; 0,95; 0,66; 0,15; 0,56; 0,64; 0,34; ,. с9\ 0,45; 0,65; 0,58; 0,12; 0,33; 0,26; 0,91; 0,86; 0,03; 0,39. В настоящее время существуют специальные компьютерные программы для построения случайных чисел в любом количестве. Такие программы нан зывают генераторами случайных чисел. Рассмотрим теперь дискретную случайную величину распределение кон торой имеет вид: X, X,... X Для моделирования случайной величины промежуток [0, 1) разделим на участки At так, чтобы длина промежутка А.[ равнялась Р., = 1, 2,.... п. Новая случайная величина | t определяемая равенством: \ = ХД если 8 е A; , i = 1, 2 n, (1.60) где 5 Ч случайное число, имеет такое же распределение, что и случайная величина. Равенство (1.60) позволяет каждому случайному числу приписать определенн ное значение случайной величине Такой процесс приписывания значений слун чайной величине часто называют разыгрыванием этой случайной величины. Пример 1.64. Случайная величина принимает два значения: 1 и 2 с вероятн ностью 0,6 и 0,4 соответственно. В данном случае А1 = [0; 0,6), Д2 = [0,6; 1). 84 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Значения этой случайной величины, приписываемые случайным числом из последовательности (1.59), приведены ниже: 0,86 0,66 0, i 0,51 0,59 0,07 0,64 0, 0,95 0, 2 1 1 1 2 2 1 1 2 { i 0, 0,58 0,12 0, 0,45 0,65 0,91 0,03 0, 0, i 2 1 1 1 1 2 2 1 Частоты появления 1 и 2 соответственно равны Ч = 0,65; Ч = 0,35 и 20 близки к их вероятностям. Чтобы получить лучшую модель, необходимо расн смотреть большее количество случайных чисел. Предположим, что даны две случайные величины ^ и ту, совместное расн пределение которых имеет вид: У Y ! Y, п р,Д РД X, Рп ра х, р,Д Р, р Д К р Р М тп Для моделирования пары случайных величин ( т?) промежуток [0, 1) разн делим на части 4S так, чтобы длина полуинтервала 4. равнялась Pir i = 1, 2,..., т.) = 1, 2 п. В этом случае пара случайных величин 11. Л I, где | =ХД п = X при 8е А^ (1.61) имеет такое же распределение, что и пара (, TJ). Равенство (1.61) позволяет каждому случайному числу приписать опреден ленную пару значений случайных величин f и т). Такой процесс приписыван ния значений паре случайных величин ( т?) называют разыгрыванием этой пары. Если случайные величины и -q независимы, то для разыгрывания пары (, TJ) достаточно разыграть каждую случайную величину в отдельности. Для разыгрывания непрерывной случайной величины можно вначале найти дискн ретную случайную величину, близкую к данной случайной величине, а затем разыграть эту дискретную случайную величину. Метод Монте-Карло позволяет численно находить различные вероятностн ные характеристики случайной величины TJ, зависящей от большого числа I. Количественный анализ 9S других случайных величин E,v 2,...,,. Этот метод сводится к следующему: разыгрывается последовательность случайных величин (^, 2,..., 4), для кажн дого розыгрыша определяется соответствующее значение случайной величин ны 7j, а по найденным значениям строится эмпирическое распределение вен роятностей этой случайной величины. Пример 1.65 [5]. Инвестор владеет портфелем, состоящим из одной казнан чейской облигации и двух корпоративных облигаций одного и того же крен дитного рейтинга. Основные параметры портфеля указаны в таблице: Срок до Купонная ставка, Номинал, Доходность к Облигация погашения, лет млн. долл. погашению, % % Казначейская 6, 6, 5,5 Корпоративная 9, 9, 15,5 Корпоративная 25,5 10,5 10, Инвестора интересует реализуемая доходность портфеля облигаций за 6 месяцев. По его мнению, реализуемая доходность портфеля будет опреден ляться следующими двумя факторами: кривой доходностей казначейских обн лигаций через 6 месяцев и спредом между доходностями корпоративных и казначейской облигаций. Предположим, что инвестор располагает еще и слен дующей информацией: Разбиение Доходности казначейских облигаций, % Вероятность промежутка [0, I) 5 лет 25 лет 15 лет 6 [0; 0,20) 0, 4 8 9 [0,20; 0,35) 5 0, 6 0, 7 7 [0,35; 0,45) 8 8 0, 7 [0,45; 0,55) 0, 9 9 [0,55; 0,75) 10 8 8 0,25 [0,75; 1,00) Величина спреда Разбиение промежутка между Вероятность [0,1) доходностями, б. п.* 0,10 [0; 0,10) 100 0,20 [0,10; 0,30) [0,30; 0,55) 125 0, 150 0,25 [0,55; 0,80) [0,80; 0,95) 175 0, 200 0,05 [0,95; 1,00) * б. п. Ч базисный пункт. М Энциклопедия финансового риск-менеджмента Для определения реализуемой доходности портфеля облигаций можно использовать метод Монте-Карло. Первая итерация (случайные числа: 0,91 для кривой доходностей и 0, для спреда между доходностями). В этом случае доходности казначейских обн лигаций со сроком до погашения 5, 15 и 25 лет составят соответственно 10, 8 и 8%, а доходности корпоративных облигаций со сроком до погашения и 25 лет Ч 9 и 9%. Тогда цены облигаций (на номинал в 100 долл.) через 6 месяцев опреден ляются следующим образом: 1 Р= = 84,55653, 0,1 (1 + 0,05) (1 + 0.05) Р2 = 100 (купонная ставка совпадает с доходностью), 10,5 1 Р, = 114,82151. I 0,09 (l,045f (1,045)* Значит, реализуемая доходность портфеля облигаций составит: Pt 50 000 + Р2 Х 40 000 + Р3 60 000 + 150 000 + 180 000 + 315 000 - 15 000 15 000 0,1016, т.е. 10,16%. Предположим, что было проведено 100 итераций. При этом оказалось, что наименьшая реализуемая доходность портфеля равна -3,905%, а наибольн шая реализуемая доходность составляет 24,97%. Разделив отрезок [-3,905%; 24,97%] на достаточно большое число частей, подсчитаем для каждой части число итераций, дающих реализуемую доходн ность из этой части. Таким образом, будет построено эмпирическое распределение вероятнон стей реализуемой доходности портфеля облигаций. После чего можно полун чить различные числовые характеристики этой реализуемой доходности: средн нее значение, стандартное отклонение и т. д. 1.26. Случайные процессы и их основные характеристики Дано основное вероятное пространство (П./9.Р). где О Ч пространство элементарных событий, /3 Чст-алгебраслучайных событий, Р Ч вероятностная мера. Рассмотрим некоторое числовое множество V, элементы которого в дальн нейшем будем считать моментами времени. I. Количественный анализ в Функция (w, г) двух переменных ы И fl и t V называется случайным прон цессом, определенном на множестве V, если для любых t 6 V и х е Я (R Ч множество всех действительных чисел) множество { Из условия (1.62) следует, что если на множестве V определен случайн ный процесс (ш, г), то каждому моменту времени t V поставлена в соотн ветствие случайная величина ft(w) = (&>, 0- Случайная величина t( Таким образом, чтобы на множестве V задать некоторый случайный прон цесс, достаточно каждому моменту времени t e V поставить в соответствие ту или иную случайную величину ^(ш), сечение этого случайного процесса. В силу этого случайный процесс можно обозначить ((ю) или просто j. Если на множестве V задан случайный процесс |(, г), то при каждом фиксированном элементарном событии ы О мы имеем функцию одного пен ременного t. Эту функцию, определенную на множестве V, называют траекн торией, или реализацией случайного процесса f(w, г). Пример 1.66. Рассмотрим случайный процесс (fi>,t) = t-7j(fi)) + l, где ГЕ [0,+), 1 с вероятностью 0,4, г) (со) =, [ - 1 с вероятностью 0,6. Сечением данного случайного процесса в момент времени f = 2 являетн ся случайная величина 2тг)(ш)+1. Траектории случайного процесса (&>, t) изобн ражены на рис. 1.27. Пример 1.67. Случайный процесс на [0, +) определен следующим образом: 1, если t < 77(a)); 2, если t > 77(a)), где TJ(W) Ч некоторая положительная случайная величина. Сечением случайного процесса &ш, t) в момент времени t является случайн ная величина, принимающая значение 1 с вероятностью, равной Р{г](ш) > г}, и значение 2 с вероятностью, равной Р{г)(ш) =s t}. Траектория случайного процесса з(а, г) имеет вид, изображенный на рис. 1.28. Важнейшими характеристиками случайных процессов являются математин ческое ожидание и дисперсия. Математическим ожиданием случайного процесса Кл, г), t e V, называн ется функция m{(r), равная математическому ожиданию сечения (w), т. е. rrk(t) = E{$t(a>)),teV. 88 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Дисперсией случайного процесса gto, r), t e V, является функция De(t), равная дисперсии сечения (ы) этого случайного процесса, т. е. D4(t) = D ( 6 H ), t e V. Пример 1.68. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайного прон цесса из примера 1.66. По определению т. (Г) = Е((а>)) = Е ( , И + I) = tE(7j) + 1. если т)(со)= если T ) ( U > ) = - Рис. 1. #л Т)(<л) Рис. 1.28. Траектория случайного процесса I, Количественный анализ Так как E(TJ)= 1 Х 0,4 + (-1) Х 0,6 = -0,2,то rr^(t) = -0,2t+ 1. С другой стороны, D, (t) = D(|, ()) = D(ft7 (о>) + 1) = t2D(r,), D(rj)= (l + 0, 2 ) 2 0, 4 + ( - l + 0, 2 ) 2 0, 6 = 0,96. Значит, D ? (t) = 0,96-t2. Пример 1.69. Рассмотрим случайный процесс из примера 1.67, считая, что случайная величина TJ(W) распределена показательно с плотностью еслих< Р(х) = 1' : 4 х V, если х > 0. < t} = 1 - е', Р{г/ (а) > г} = e_t, то Так как P{TJ (СО) Е( (ft))) = 1 Х е-' + 2 Х (1 - е"') = 2 - е"1; D & (й)) = (1 - (2 - е')) 2 е- + (2 - (2 - e")f (l - е"') = е" (1 - г ' ). Следовательно, m e (0 = 2-e-',D 4 (t) = e - ( l - e - ). Говорят, что случайный процесс (e>,t), t e V, обладает независимыми приращениями, если при любых г,, t2,..., tn e V, t, < t2 <... < tn, случайные величины 2 -,, 3 - 2,.-., Д - 4Д_! независимы. Случайные процессы с независимыми приращениями играют важную роль при моделировании эволюции финансовых показателей. Это объясняется тем, что финансовый рынок принято считать эффективным (efficient), если цены активов на этом рынке полностью отражают всю имеющуюся информацию об этих активах. На эффективном финансовом рынке изменения цен активов могут происходить только из-за появления новой информации (которая, вон обще говоря, непредсказуема). Это означает, что изменения цены активов на таком рынке должны быть в некотором смысле независимы. 1.27. Важнейшие виды случайных процессов 1.27Л. Случайное блуждание Случайный процесс a (a, t), определенный на множестве V = {t0, t0 + h, t0 + 2h t0 +feh,...},h>0, 8 Ч 90 Энциклопедия финансового риск-менеджмента называется случайным блужданием (random walk), если [а,о (со) = х (х - некоторое число), K + № H = л l o + ( M h H + ^ H, Ь = Х 2, 3,..., где случайные величины цх, ц2,..., цк,... независимы, Д с вероятностью 0,5, Mfe = i " (А > О). A [-Д с вероятностью 0, Сечением случайного блуждания в момент времени t0 + kh является дисн кретная случайная величина, закон распределения вероятностей которой имен ет вид: x-feA X х - (ft - 2)Д х - (ft - 2i)A x + (ft - 2|')Д x + (ft - 2)Д x + kA с; -г Х (o,5)" р (0,5)к Cf* Х (0,5)k Cf-2 Х (0,5)" C/-2i Х (0,5)" (0,5)* fe! C' = fe! = l-2-3-...-fe M(fe-l)! Траектории случайного блуждания изображены на рис. 1.29 (точками вын делена одна из траекторий). Рис. 1.29. Траектории случайного блуждания I. Количественный анализ Случайное блуждание а (со, t) обладает независимыми приращениями, причем та (t0 +feh)= x, Da (r0 +feh)=feХ Д2, k = 0, 1, 2, 3,... 1.27.2. Биномиальная модель Случайный процесс /}(<л, г), определенный на множестве V = {t0,t0 + h,t0 + 2h t0 + feh,...}, h > 0, называется биномиальной моделью, если fp,a (a>) - х (х Ч некоторое число), [Ры* И = A0+(*-,>h И Х(й). fe = 1- 2, где случайные величины eve2,...,ek,... независимы, [и с вероятностью р к=Ь Г (u>l, 0 < d < l ). [d с вероятностью 1 - р Сечением биномиальной модели в момент времени r0 + feh является дискретн ная случайная величина, закон распределения вероятностей которой имеет вид: xudk' X xd* МсР- хи" ш"' Х d с' ь Р | -(1-р) ы d-\pt-4l-p) р с'кр(1-Р)ы О-Р)" р* Траектории биноминальной модели изображены на рис. 1.30. Если случайный процесс P(co,t) является биномиальной моделью с паран метрами и, d, р, то т и (fo +feh)= x[up + d(l - p)]*, D, (t0 +feh)= x2 {[u2p + d2 (1 - p)] * - [up + d(l - p ) f }, fe = 0, 1, 2, Приращения биномиальной модели, вообще говоря, не являются независин мыми. Однако случайный процесс In/}(и,г) имеет независимые приращения. Случайное блуждание и биноминальная модель относятся к случайн ным процессам с дискретным временем (discrete time process). Важнейшим примером случайного процесса с непрерывным временем (continuous time process) является винеровский случайный процесс. 8* 9 Энциклопедия финансового риск-менеджмента h 1,+h t,+2h t0+3h h+4h Рис. 1.30. Траектории биномиальной модели 1.27-3. Винеровский случайный процесс Случайный процесс w(co, r), определенный на промежутке [t0,+<*>), называетн ся винеровским случайным процессом (Wiener process), если выполняются слен дующие условия: 1. ш,о (со) = х (х Ч некоторое число). 2. Приращения случайного процесса w(co,t) независимы. 3. Приращение ш, (со) - ws( Основные утверждения о винеровском случайней процессе 1. Винеровский случайный процесс может быть построен из случайных блужданий с помощью некоторого предельного перехода. 2. Сечение ш, (со) винеровского случайного процесса распределено норн мально с параметрами (х,,/г - t0 J, т. е. гМО = Е ( ш, И ) = х, ЦДг) = 0 ( ш ) = t - t 0. 3. Если wt (со) и ш5 (й)) Ч два сечения винеровского случайного процесн са, то Cov (шДш5) = min{t,s}-t 0. I. Количественный анализ 4. Плотность совместного распределения вероятностей системы сечений винеровского случайного процесса wti(co),wt2(a)) ш,п(ш), где г0 < г, < г2 <... < tn, имеет вид tn \ * 1 ' X2' Х " ' Х"' 4 ht 2 ~ (Ч-xf, (>2-"l)2,, (*n-*n-l) 1 "2 ti-to '2-I е (2л f2 ^-Г0)(Г2-0...(1Д-и Для моделирования траекторий винеровского случайного процесса ш(й>, г) на заданном промежутке времени [г0, Т] можно применить метод Монте-Карло. Сам винеровский случайный процесс редко используется для моделирон вания финансовых показателей, так как имеет постоянное математическое ожидание. Однако на основе винеровского процесса строятся почти все слун чайные процессы, используемые в настоящее время для моделирования разн личных финансовых показателей. 1.28. Понятие о стохастических дифференциальных уравнениях Стохастическим дифференциальным уравнением (stochastic differential equation) называется уравнение вида дх - a(x,r)dr + a(x,r)dwl, (1-63) где а (х, т), а (х, т) Ч функции двух переменных хит, wx{co) = w(w,z) Ч винеровский случайный процесс. Решением стохастического дифференциального уравнения (1.63) на прон межутке [t, T] называется случайный процесс х (со, т), удовлетворяющий слен дующим условиям: 1) все траектории случайного процесса х(а>, т) непрерывны на промен жутке [t, Г); 2) для любого т е [t, T] при достаточно малом Лт хг+дг И - хг (й)) = а (хт (со), т) Дт + о (хг (со), т) (шг+Л1 (a)-wT (a)) (1.64) (объяснение точного смысла приближенного равенства (1.64) выходит за рамки книги). Любое решение стохастического дифференциального уравнения (1.63), удовлетворяющее некоторому начальному условию xt(co) = x(x - число), (1.65) называют случайным процессом Ито (ho process). 94 Энциклопедия финансового риск-менеджмента В частности, геометрическим броуновским движением (geometric Brow nian motion) является случайный процесс, удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению: dS = (aS)dr + (oS)dwT (а, о- Ч числа, а > 0) (1.66) и начальному условию St(at) = S. (1.67) Геометрическое броуновское движение, определяемое условиями (1.66) и (1.67), можно найти в явном виде: а-Ч (т-t) S=Se^2> Х ео(ш<-щ). Свойства геометрического броуновского движения стМ ms(T) = S.ea<->. (г-t), Eln а v В силу второго соотношения параметр а называют коэффициентом смещения (drift) геометрического броуновского движения. D l n f | - ) = 2. Это означает, что а является годовой волатильностью показателя, опин сываемого геометрическим броуновским движением (см. разд. 1.23). 1nfS распределена нормально с m 3. При любом т случайная величина а2> параметрами \ \ а (t -t); CTVT - t [. Тогда Sr имеет логнормаль ное распределение. Во многих случаях можно считать, что эволюция цены финансовых активов описывается геометрическим броуновским движением. Достаточно аккуратным такое моделирование оказывается, например, в случае обыкновенных акций. Пример 1.70. Инвестор считает, что цена бездивидендной акции описывается геометрическим броуновским движением с коэффициентом смещения 0,1 и годовой волатильностью 40%. В данный момент времени цена акции равна 100 долл. Инвестора интересует цена этой акции через месяц. В данном случае а = 0,1; о- = 0,4; r-t = ЧХ; S = 100 долл. I. Количественный анализ 9S Следовательно, ожидаемое значение цены акции через месяц Sea(l" = 100 Х е ^ = 100,84 долл. Если S, Ч цена акции через месяц, то InЧ- распределен нормально с f <х2^ (т - t) = 0,0017; ojz^i = 0,1155. a параметрами V Следовательно, с надежностью 95,5% 0,00117-2-0,1155 < 1п|-^- ]< 0,0017+2 0,1155. Тогда 79,51 долл. < S: < 126,90 долл. Кроме того, можно вычислить вероятность того, что через месяц цена акции, например, окажется ниже 90 долл. Действительно, P{S, <90} = pjln^ Эволюцию цены Вг облигации с нулевым купоном можно описывать с помощью геометрического броуновского движения, лишь когда до погашен ния облигации остается достаточно много времени. Действительно, в момент погашения Т ее цена всегда равна номиналу, т. е. известна достоверно. Это №1 0 и зависимость Din -~ | от времени должна иметь означает, что Din W В вид, изображенный на рис. 1.31. Таким образом, при моделировании эволюции цены облигации с нулевым купоном необходимо учитывать эффект приближения к номиналу (pull to par), а геометрическое броуновское движение этот эффект не учитывает, так как Din Ч растет во времени линейно. В общем случае найти решение стохастического дифференциального уравн нения (1.63) в явном виде не удается. Поэтому для моделирования траектон рий случайного процесса Ито часто применяется метод Монте-Карло. 96 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Dlnll^ Рис. 1. t Т Чтобы смоделировать траекторию случайного процесса Ито на отрезке [t, Т ], этот отрезок разбивается на п равных частей (п должно быть больн шим), а затем разыгрывается случайная величина распределенная нормально T-t с параметрами О, Тогда для последовательности случайных чисел (T-t х1 = х + а(х, г)- + о-(х, г)-!,; T-t + a(xvxl)l х2 = х1+а(х1,т1) T-O T-t хп = хп_1 + а(хп_1,тп_1)- + o-(x n _ 1,v,)-4 k =t+b Указанным выше способом, можно построить сколь угодно много траекн торий случайного процесса Ито. Литература 1. Барбаумов В. Е., Гладких И. М, Чуйко А. С. Финансовые инвестиции. Ч. 1. Ч М.: РЭА им. Г. В. Плеханова, 2000. 2. Доугерти К. Введение в эконометрику. Ч М.: ИНФРА-М, 2001. 3. Дуглас Л. Г. Анализ рисков операций с облигациями на рынке ценн ных бумаг. Ч М.: Филинъ, 1998. 4. Количественные методы финансового анализа/Под ред. Брауна С. Дж., Крицмена М. П. Ч М.: Инфра-М, 1996. 5. Fabozzi F. J. Fixed income mathematics. 3rd ed. Ч N.Y.: McGraw-Hill, 1997 6. Fabozzi F. J. (ed.) Advances in fixed income valuation, modeling and risk management. Ч Pennsylvania: Associates New Hope, 1997. I I. Рынки производных финансовых инструментов в 2.1. Введение В настоящее время для идентификации и измерения рисков широко используется теория производных финансовых инстн рументов. Изучение производных финансовых инструментов важно еще и потому, что сами эти инструменты являются исн точниками рисков как для различных финансовых институтов, так и для финансового рынка в целом. Кроме того, произн водные финансовые инструменты Ч это одно из важнейших средств хеджирования тех или иных рисков. Именно поэтому данная глава книги посвящена изучению производных финанн совых инструментов. В главе рассматриваются как простейшие производные финансовые инструменты Ч форвардные и фьючерсные конн тракты, свопы, так и более сложные Ч опционы различных видов и инструменты со встроенными опционами. Основное внимание уделяется методам оценки таких инструментов и основным направлениям их использования. Важнейшими производными финансовыми инструментан ми являются классические европейские и американские опн ционы. Подробно рассматриваются методы оценки таких опционов в случае, когда стоимость исходных активов опрен деляется геометрическим броуновским движением. В частн ности, приводятся формулы Блэка-Шоулза для оценки еврон пейских опционов и разбирается их использование. Примен нение классических опционов для хеджирования основных финансовых рисков также рассматривается в данной главе. В заключительной части главы обосновьюается построен ние биномиальной модели процентной ставки и ее использон вание для оценки финансовых инструментов, производных от процентных ставок: кэпов, флоров, свопционов и облигаций со встроенными опционами. Кроме того, приводится обзор и других моделей временной структуры процентных ставок. 98 Энциклопедия финансового риск-менеджмента 2.2. Форвардные контракты и их основные характеристики В настоящее время на развитых финансовых рынках важную роль играют так называемые производные инструменты (derivatives). Простейшим из произн водных инструментов является форвардный контракт. Форвардный контракт (forward) представляет собой соглашение купить или продать некоторые активы, называемые базисными (underlying), в определенный момент времени в будущем по заранее установленной цене. Обычно форвардные контракты заключаются между финансовым институн том и одним из его корпоративных клиентов. Таким образом, в форвардн ном контракте всегда присутствуют две стороны. При этом говорят, что сторона, согласившаяся в будущем купить активы, занимает длинную позин цию, а сторона, согласившаяся продать активы,Ч короткую. Так как стороны форвардного контракта равноправны и подвержены одн ному и тому же риску, то при заключении форвардного контракта никто нин кому ничего не платит. Это означает, что в момент заключения форвардного контракта стоимость его равна нулю. Цену, по которой стороны согласились купить (и, соответственно, прон дать) активы, называют ценой поставки активов. Цену поставки обозначим через К. Момент времени, когда происходит покупка и продажа активов, нан зывают датой исполнения форвардного контракта или датой поставки. Мон мент исполнения форвардного контракта обозначим через Т. В момент исполнения форвардного контракта доход (выигрыш) от той или иной позиции определяется в зависимости от цены поставки К и спот-цены активов Sr Доход от длинной позиции в момент Т равен ST- К, а от коротн кой позиции K-ST (рис. 2.1 и 2.2). В дальнейшем мы будем исходить из следующих предположений: 1. Рынки являются совершенными (efficient): Х отсутствуют транзакционные расходы и налоги; Х ни один инвестор, покупая или продавая активы, не может повлин ять на цены; Х разрешены короткие продажи. 2. Участники рынка могут неограниченно кредитовать или занимать деньги под одну и ту же безрисковую ставку f (при непрерывном начислении). 3. По форвардным сделкам отсутствует кредитный риск. 4. Отсутствуют прибыльные арбитражные возможности, т. е. нельзя пон лучить безрисковый доход за счет различия цен на активы. При соблюдении этих условий все форвардные контракты на один и тот же вид активов с датой поставки Т будут в данный момент времени заклюн чаться по одной и той же цене поставки. Действительно, предположим, что в данный момент времени можно закн лючить форвардные контракты с ценами поставки К, и Ку где К1 > К2. II. Рынки производных финансовых инструментов Доход Рис. 2.1. Длинная позиция по форвардному контракту Доход * ST Рис. 2.2. Короткая позиция по форвардному контракту Тогда можно занять короткую позицию по первому контракту и одноврен менно занять длинную позицию по второму контракту, при этом начальные затраты будут нулевыми. В момент Т исполнения контрактов будет получен доход К, - К, на каждую единицу активов. Так как отсутствуют прибыльные арбитражные возможности, то этого быть не может. В силу этого закона одн ной цены имеет смысл следующее определение: Цена поставки, по которой в данный момент времени t заключаются форн вардные контракты на данный вид активов с датой исполнения Т, называется форвардной ценой активов на срок eT-t лет. Итак, в начальный момент времени стоимость форвардного контракта равна нулю, так как в этот момент времени форвардная цена активов совпан дает с ценой поставки этих активов. Однако через некоторое время форвардн ная цена активов может измениться, а цена поставки зафиксирована в кон IPO Энциклопедия финансового риск-менеджмента тракте. Значит, после заключения форвардного контракта та или иная позин ция по этому контракту может приобрести положительную или отрицательн ную стоимость. Эта величина показывает, что можно было бы получить, прон дав форвардный контракт, если бы существовал вторичный рынок для таких контрактов. Если бы существовал вторичный рынок для форвардных контрактов, то стоимости длинной и короткой позиций в форвардном контракте определян лись бы следующими равенствами: f a,=(F-K).e- f ( T -", (2.1) fmp = (K-F)-e~^\ (22) где t Ч текущий момент времени (после заключения форвардного контракта); Т Ч дата поставки; К Ч цена поставки; F Ч форвардная цена на момент t. Докажем, например, равенство (2.1). Если fa, < (F - К) Х е-^-'К (2.3) то займем сумму f8j] под безрисковую ставку f на срок Т - 1 лет, приобретем длинную позицию по форвардному контракту с ценой поставки К и займем короткую позицию по контракту с ценой поставки F. В момент времени Т будет получен безрисковый доход: F - К - fa/"-<> = е Щ [(F - К) Х е Щ - f j > 0. При отсутствии прибыльных арбитражных возможностей этого быть не может. Предположим теперь, что fa, > (F - К) Х е ^ \ (2.4) В этом случае произведем короткую продажу длинной позиции по форн вардному контракту с ценой поставки К, полученную денежную сумму fdji инн вестируем под ставку г на Т - 1 лет и займем длинную позицию по форвардн ному контракту с ценой поставки F. В момент времени Т доход составит: fd/^ -F K = e*--> [ L - (F - К) Х е-^""] > 0. + Так как этот доход, очевидно, является безрисковым, то и неравенство (2.4) выполняться не может. Значит, fan=(F-K)-e^T-'K II, Рынки производных финансовых инструментов 1QI 2.3. Форвардная цена финансовых активов Форвардная цена активов зависит от вида этих активов и от того, приносят ли эти активы доходы. В данном разделе мы рассмотрим, как оцениваются форвардные цены финансовых активов, т. е. таких, которые рассматриваются участниками рынка только как средство инвестирования, в отличие от тован ров, которые участники рынка рассматривают как средство потребления. В зависимости от того, приносят ли данные финансовые активы доходы, мы будем рассматривать три различных случая. В каждом из этих случаев предполагается, что соблюдаются предположения о рынке 1-4, изложенные в предыдущем разделе. 2.3.1. Форвардная цена активов, не приносящих доходов Такими активами, например, являются облигации с нулевыми купонами и акн ции, по которым не выплачиваются дивиденды. Покажем, что форвардная цена F таких активов определяется равенством: F = Sef{T'\ (2.5) где S Ч спот-цена активов в текущий момент времени t; f Ч безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении по инвестициям на Т - 1 лет; Т Ч дата поставки активов. Если F > Se^7"1', то возьмем кредит в размере S под безрисковую прон центную ставку f на Т- t лет, купим единицу базисных активов и одноврен менно займем короткую позицию по форвардному контракту на эти активы. В момент поставки активов доход инвестора составит F - Se f(T,) > 0. (2.6) При рассматриваемой стратегии не требуется производить начальных затн рат, и эта стратегия не содержит риска. По условию на рынке отсутствуют прибыльные арбитражные возможносн ти. Тогда F < Se4T-l\ Если же F < Ser{T~'\ то можно произвести короткую продажу базисных активов, полученную денежную сумму инвестировать под безрисковую ставку f на Т - 1 лет и занять длинную позицию по форвардному контракту на эти активы. Тогда в момент поставки активов будет получен безрисковый доход Sef (Т"'> - F > 0, что противоречит нашим предложениям о рынке. Следовательно: F = Sef(T-'>. (2.7) lOZ Энциклопедия финансового риск-менеджмента Стоимости длинной и короткой позиций по форвардному контракту на активы, не приносящие доходов, определяются равенствами: fan=(F~K)e-f{T-t) = S-Ke-f(T-'\ fmp = (K-F)-e-f^ Kef^-S, = где S Ч спот-цена активов в текущий момент времени t; К Ч цена поставки активов; Т Ч дата поставки активов; f Ч безрисковая процентная ставка по инвестициям на Т - 1 лет. Пример 2.1. Найдем форвардную цену акции, не приносящей дивидендов, с поставкой через 3 месяца, если текущая цена акции 40 долл., а безрисковая процентная ставка на 3 месяца равна 3%. В данном случае S = 40, f = 0,03, Т - Г = Ч = 0,25 Тогда F = 40е0030'25 =40,30. Если на рынке форвардная цена акции оказалась равной 42 долл., то возн можна следующая прибыльная арбитражная стратегия: занять 40 долл. на 3 мен сяца под безрисковую ставку 3%, купить на спот-рынке акцию и занять кон роткую позицию по форвардному контракту. В момент поставки акции будет получен доход: 42 - 40е003'25 = 1,70 долл. 2.3.2. Форвардная цена активов, приносящих известные доходы Такими активами могут служить купонные облигации или акции с известнын ми заранее дивидендами. Форвардная цена F активов с известными доходами определяется ран венством: F = (S-I)- ef{T~'\ где S Ч спот-цена активов в текущий момент времени t; Г Ч приведенное значение доходов, поступающих от активов за время от t до Т; Т Ч дата поставки активов. В самом деле, если F > (S - I)- ег(Т~'\ то возможна следующая прибыльн ная арбитражная стратегия: занять сумму S на Т - t лет под безрисковую II. Рынки производных финансовых инструментов ставку г, купить на спот-рынке активы и занять короткую позицию по форн вардному контракту. Тогда в момент поставки Т будет получен безрисковый доход, так как F + 1вг^ - Se^-" = F-(S-I)- е?(Т-'> > 0. Так как по условию отсутствуют прибыльные арбитражные стратегии, то eftJ~l\ F<(S-1) Если же F < (S - I) Х ег(Т~'\ то прибыльная арбитражная стратегия может быть таковой: производится короткая продажа базисных активов на спот-рынке, полученные средства инвестируются на Т - г лет под безрисковую ставку г и занимается длинная позиция по форвардному контракту на данные активы. Тогда f(Tt) ef(T-'> = (S - /) Х ef{T~l) - F > 0. 5. -F-I e Следовательно, неравенство F < (S - I) Х er(T_t) также выполняться не мон жет, и остается единственная возможность: eHT-']. F = (S-I) Стоимости длинной и короткой позиций по форвардному контракту на активы с известными доходами можно найти следующим образом: fa^S-I-K-e-Щ. L p = K-e^ T - t >-S J, + где К Ч цена поставки активов; S Ч спот-цена активов в текущий момент времени Г; 1 Ч приведенное значение доходов за время существования форвардного контракта; г Ч безрисковая процентная ставка на срок Т - г лет при непрерывном начислении процентов; Т Ч дата поставки активов. Пример 2.2. Найдем форвардную цену акции с поставкой через 8 месяцев, по которой дивиденды в размере 5 долл. ожидаются через 2 и 5 месяцев, если текущая цена акции равна 100 долл., а безрисковые процентные ставки на 2, 5 и 8 месяцев соответственно равны 5, 5,5 и 6% (при непрерывном нан числении процентов). В данном случае Д -0,05Ч -0,055 Ч 12 S = 100 долл.; / = 5 е +5е = 9,85Долл. 1Q4 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Тогда форвардная цена активов определяется равенством: ч 0.06 F = (100 - 9,85) в = 93,83 долл. 2.33. Форвардная цена активов, обладающих постоянной дивидендной доходностью Предположим, что доходы от активов выплачиваются в виде самих этих активов, причем так, что за время т единица активов с учетом накопленных доходов прен вращается в е*г единиц активов. В этом случае говорят, что активы обладают постоянной дивидендной доходностью q при непрерывном начислении. Иностранную валюту можно рассматривать как актив с постоянной дивин дендной доходностью. В самом деле, единицу иностранной валюты можно инвестировать под безрисковую ставку ff в той стране, где действует эта ван люта. Тогда через т лет единица иностранной валюты превратится в вг,Т един ниц этой валюты. Таким образом, иностранная валюта обладает постоянной дивидендной доходностью, и эта дивидендная доходность совпадает с безрисн ковой процентной ставкой ff. Во многих случаях фондовые индексы также можно рассматривать как активы с постоянной дивидендной доходностью. Форвардная цена F активов с постоянной дивидендной доходностью q при непрерывном начислении может быть найдена по формуле: F = йР^Л (2.8) где S Ч спот-цена активов в текущий момент времени t; Т Ч дата поставки активов; f Ч безрисковая процентная ставка на срок в Т - 1 лет при непрерывном начислении. В этом случае для стоимости длинной и короткой позиций по форвардн ному контракту имеем равенства: fa, = S Х е"^-" - К Х е-*7-", K.e-f^-S-e^-'\ fKop = Пример 2.3. Найдем 8-месячную форвардную цену английского фунта стерн лингов, если текущий обменный курс равен 1,8 долл. за фунт, а безрисковые процентные ставки в США и в Англии при непрерывном начислении проценн тов равны 6 и 4% соответственно. В данном случае S = 1,8; Г - t = Ч; f = 0,06; q = ff = 0,04. II. Рынки производных финансовых инструментов 1Q Тогда форвардный обменный курс через 8 месяцев составит Д (0,06-0,04)Ч F = 1,8 Х е = 1,8242 долл. Если же рыночный форвардный обменный курс окажется равным 1,9 долл., то возможна следующая прибыльная арбитражная стратегия: взять -0,04-? и кредит в размере 1,8 Х е = 1,7526 долл. и купить на валютном спот-рын -0,04Ч ке в и = 0,9737 фунта, инвестировать их в Англии под безрисковую прон центную ставку 4% и занять короткую позицию по форвардному контракту на один фунт стерлингов. Тогда через 8 месяцев будет получен положительный доход в размере: -0,04Ч 0,06Ч (0,06-0,04)Ч и п 1,9 - 1,8 Х е е = 1,9 - 1,8е = 1,9 - 1,8242 = 0,0758 долл. 2.4. Форвардная цена товаров Пусть FЧ форвардная цена некоторого товара в момент времени t с датой поставки Т. Покажем, что при отсутствии прибыльных арбитражных возможностей справедливо неравенство: F<(S + u)- e?(T-", (2.9) где S Ч спот-цена единицы активов в момент времени t, и Ч приведенные значения затрат на хранение единицы товара в течение Г - t лет, г Ч безрисковая процентная ставка на период от t до Г при непрерывном начислении процентов. В самом деле, если F>(S + u)- ef{T-'\ то инвестор может поступить следующим образом: занять сумму S + и под безрисковую ставку f на Т - t лет, купить единицу товара, оплатить затраты на его хранение и занять короткую позицию по форвардному контракту. Тогн да в момент Т будет получен доход: + u)- ef(T- > 0. F-{S Так как данная стратегия не требует никаких начальных затрат и не сон держит риска, то это прибыльная арбитражная стратегия. Следовательно: F < (S + и) Х е'(Т ". 9 Ч 106 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Выясним теперь, существует ли прибыльная арбитражная стратегия, если F <(S + u)- ef(T4). Для получения безрискового дохода необходимо произвести короткую продажу единицы товара. Однако, если этот товар большинством инвесторов используется для потребления или в производстве, сделать это без дополнин тельных затрат невозможно. Если же товар в основном используется как средство инвестирования, то возможна следующая стратегия: произвести короткую продажу единицы тон вара, экономя при этом затраты на хранение товара, полученные средства инвестировать под безрисковую процентную ставку f на T - t лет и занять длинную позицию по форвардному контракту. В момент Т будет получен доход (S + u)- е^-1 - F > 0. Таким образом, если товар используется в основном как средство инвесн тирования, а не потребления, то F = (S + u)- ег{Т-'\ Отметим, что к товарам, являющимся средством инвестирования, отнон сятся, например, драгоценные металлы: золото, серебро, платина. Если же товар в основном используется как средство потребления, то F <(S + u)- ef(T-. В этом случае существует такое положительное число й, что F Х ей(Т-[) = (S + u)- ef(T-'\ которое можно интерпретировать как меру физической полезности данного товара. Если мера физической полезности товара равна а, то форвардная цена этого товара может быть найдена следующим образом: F = (S + u)- е (м)(Т - [), где S Ч спот-цена товара в текущий момент времени t; и Ч приведенное значение затрат на хранение товара; Г Ч дата поставки товара; f Ч безрисковая процентная ставка на Т - 1 лет. Пример 2.4- Найдем 10-месячную форвардную цену унции серебра, если тен кущая цена унции серебра равна 9 долл., затраты на хранение (охрану) сон ставляют 0,24 долл. и выплачиваются поквартально вперед, а безрисковая процентная ставка для всех сроков при непрерывном начислении процентов составляет 10%. II. Рынки производных финансовых инструментов Ю В данном случае 3 6 -0,10Ч -0,10Ч -0,10 Ч 12 12 S = 9, и = 0,24 + 0,24 Х е + 0,24 Х е + 0,24 Х е = 0,93 долл. Тогда F = (9 + 0,93) Х е0'1" = 10,79 долл. Пример 2.5. Оценим 9-месячную меру физической полезности одного баррен ля сырой нефти, если текущая цена барреля нефти равна 20,00 долл., затран ты на хранение барреля нефти равны 0,5 долл. и оплачиваются в конце срон ка хранения, 9-месячная форвардная цена барреля нефти составляет 20,20 долл., а безрисковая процентная ставка на 9 месяцев при непрерывном начислении равна 8%. В данном случае S = 20,00; F = 20,20; и = 0,5 Х e^'Щ72 = 0,47 ДОЛЛ. Значит, для определения физической полезности барреля нефти имеем уравнение: 9 Я 'ХЧ, Д 0,08 Ч 12 20,20 Х е = (20,00 + 0,47) Х е. Откуда найдем, что а = 0,0977 Таким образом, 9-месячная мера физической полезности барреля сырой нефти составляет 9,77%. 2.5. Фьючерсные контракты Форвардные контракты, торговля которыми производится на специальных бирн жах, называют фьючерсными контрактами (future contract), или просто фьюн черсами (futures). Естественно, что для организации торговли форвардными контактами по бирже эти контракты должны быть стандартизированы по слен дующим параметрам: Х объему и качеству поставляемых активов; Х времени, месту и условиям поставки активов. Еще одним важным отличием фьючерсных контрактов от форвардных является то, что биржа гарантирует исполнение всех фьючерсов, покупаемых или продаваемых на бирже. Для этого каждый форвардный контракт разбин вается на два контракта: Х контракт между биржей и стороной, занимающей длинную позицию, Х контракт между биржей и стороной, занимающей короткую пон зицию. В каждый момент времени длинная позиция биржи по любому форварднон му контракту уравновешивается соответствующей короткой позицией. Таким обн разом, чистая фьючерсная позиция биржи в каждый момент времени равна нулю. 9* IPS Энциклопедия финансового риск-менеджмента При такой организации торговли биржа берет на себя весь риск дефолн та, так как, если одна из сторон не сможет выполнить свои обязательства по фьючерсному контракту, биржа все равно обязана исполнить другой контракт. Для уменьшения риска дефолта биржа требует, чтобы при открытии той или иной позиции вносилось специальное обеспечение. При каждой фьючерсной бирже существует клиринговая палата. Все учан стники фьючерсного рынка должны иметь специальные счета в фирмах, явн ляющихся членами клиринговой палаты. В момент открытия фьючерсной пон зиции на этот счет вносится специальное обеспечение, называемое начальн ной маржой (initial margin). Начальная маржа вносится либо наличными деньн гами, либо высоколиквидными ценными бумагами, либо обеспечивается банн ковской гарантией. При этом начальная маржа составляет лишь малую долю от объема всего фьючерсного контракта, а счет маржи ежедневно корректин руется. Эта процедура носит название переоценки фьючерсной позиции по рыночной стоимости (mark to marker). Для описания процедуры приведения фьючерсной позиции по рыночной стоимости предположим, что фьючерсная цена закрытия оказалась равной F2, в то время как фьючерсная цена закрытия предыдущего дня была равна F r Если F2< Fv то счет маржи стороны, занимающей длинную позицию, ден бетуется на величину A(F2- Ft), где АЧ объем контракта, и кредитуется счет маржи стороны, занимающей короткую позицию. Если же F2> Fv то дебетун ется счет маржи стороны с короткой позицией, а кредитуется счет маржи стороны с длинной позицией. Если в конце дня сальдо счета маржи превысит размер начальной марн жи, то инвестор имеет право снять излишек с этого счета и использовать его по своему усмотрению. Если же это сальдо окажется меньше размера начальной маржи, то возможны следующие два случая: Х сальдо счета маржи больше некоторой определенной величины, нан зываемой маржой поддержки; Х сальдо счета маржи меньше маржи поддержки. В первом случае от инвестора не требуют дополнительного обеспечен ния. А во втором инвестор получает требование о внесении дополнительн ного обеспечения для того, чтобы сальдо счета маржи сравнялось с начальн ной маржой. Это дополнительное обеспечение называют вариационной марн жой (uariation margin). Обычно маржа поддержки составляет от 75 до 80% начальной маржи. Важнейшей особенностью организации фьючерсной торговли является то, что любая открытая позиция может быть закрыта в любой момент времени. Для этого достаточно занять противоположную позицию. При этом доход (убын ток) стороны, занимающей длинную позицию, если по счету маржи не нан числяются проценты, составит А(^з-^агк). где А Ч объем контракта; FomK Ч фьючерсная цена при открытии позиции; Рз Ч фьючерсная цена при закрытии позиции. II. Рынки производных финансовых инструментов Аналогично доход (убыток) стороны, занимающей короткую позицию, бун дет равен Арж-Ъ) Предположим, что в понедельник 1 марта 1999 г. открыта длинная позин ция по казначейским облигациям США номиналом 100 000 долл. при фьюн черсной цене 98 Ч. Это означает, что при покупке казначейской облигации з~ номиналом 100 000 долл. инвестор должен будет уплатить сумму, равную 98 Ч 1000 = 98 156,25 долл. Начальная маржа для данного контракта составляет 2500 долл., а маржа поддержки установлена в 2000 долл. Данная позиция сохраняется до пятнин цы 5 марта, а затем закрывается при цене открытия биржи в понедельник 8 марта. Будем считать, что по счету маржи проценты не начисляются и изн лишки не снимаются. В табл. 2.1 показано, как происходила переоценка фьюн черсной позиции по рыночной стоимости. Таким образом, убыток инвестора составляет 1062,50 долл. С другой стороны, доход инвестора можно вычислить следующим образом: 98- 1000 = -1062,50. 97 32 Таблица 2. ПЕРЕОЦЕНКА ФЬЮЧЕРСНОЙ ПОЗИЦИИ ПО РЫНОЧНОЙ СТОИМОСТИ Сальдо счета Приведение к Фьючерсная цена Прочие Дата торгов рыночному маржи закрытия поступления состоянию *1 2593, 1.03 +93, 2500, 96^ -1562, 2.03 1468, 2812, з.оз +312, 3406, 4.03 +593, *1 2750, 5.03 -656, ч 8.03 -2.906, + 156, (цена открытия) 1062, 110 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Отметим еще несколько особенностей организации фьючерсной торговн ли на биржах. 1. Биржа устанавливает два вида ограничений: Х на размер чистой позиции инвестора по тем или иным активам. Цель СОСТОИТ в снижении влияния одного инвестора на фьючерсный рынок; Х на величину дневного изменения фьючерсной цены. Если фьючерсная цена в течение одного дня изменяется на величину, превышающую установленный предел, торги останавливаются на определенное врен мя. Цель установления таких пределов Ч ограничить размеры трен бований по марже. 2. В отличие от форвардных контрактов большая часть фьючерсных пон зиций закрывается до момента исполнения контрактов. Лишь очень небольшая доля контрактов заканчивается поставкой актива. Более того, много фьючерсных контрактов вообще не предполагают поставку активов, а по определенной схеме происходят расчеты наличными. Во многих случаях биржа требует специального уведомления, если инн вестор будет настаивать на поставке активов. 2.6. Фьючерсные и форвардные цены активов Биржевой фьючерсный рынок существует для большего числа активов. С друн гой стороны, банки и другие финансовые институты предлагают различные виды форвардных сделок, т. е. существует еще и внебиржевой (over the counter Ч OTQ рынок форвардных контрактов. Таким образом, для одного и того же вида активов могут одновременно существовать две цены: форвардн ная и фьючерсная. Однако если рынки удовлетворяют следующим условиям: Х отсутствуют транзакционные расходы и налоги; Х на форвардном и фьючерсном рынках инвесторы могут занимать длинные и короткие позиции на любые количества активов (хотя на биржевых рынках и существуют ограничения на чистые фьючерсные позиции); Х все инвесторы обладают достаточным капиталом (или кредитом), чтобы выполнить в случае необходимости все требования по марже; Х отсутствуют прибыльные арбитражные возможности; Х существует безрисковая процентная ставка, причем она одинакова для всех сроков и не меняется во времени, то форвардная и фьючерсная цены на один и тот же вид активов с одинакон выми датами поставки должны совпадать. Именно вследствие этого утверждения во многих случаях при исследован нии фьючерсных цен активов предполагается, что эти цены совпадают с сон ответствующими форвардными ценами. II. Рынки производных финансовых инструментов ill Кроме того, при соблюдении вышеперечисленных условий имеет место следующее равенство: Р = Я(5 т )-е (М)(Т ", (2.10) где F Ч фьючерсная цена активов на момент времени t, Т Ч дата поставки активов, E(ST) Ч ожидаемая спот-цена активов на дату поставки активов, k Ч ожидаемая доходность рассматриваемых активов за период от t до Т. Равенство (2.10) показывает, что фьючерсные цены активов в ряде случан ев могут служить оценкой ожидаемой в будущем спот-цены этих активов. В частности, если активы положительно (отрицательно) коррелируют с рынн ком, то фьючерсная цена активов будет меньше (больше) ожидаемой спот цены этих активов. 2.7. Спекулятивные стратегии на фьючерсных рынках Всех участников фьючерсных рынков можно разделить на три категории: спен кулянты, арбитражеры и хеджеры. Спекулянтами (speculator) называют участников рынка, основная цель кон торых сводится к получению прибыли на основе прогнозирования будущих цен на рынке. Арбитражерами (arbitrageur) считают тех участников рынка, которые пон лучают безрисковую прибыль за счет временных рассогласований цен на разн личные виды активов. Наконец, к хеджерам (hedger) относят тех, кто занимает определенные позиции по базисным активам и стремится застраховать свои позиции от нен благоприятных изменений цен на эти активы. Обычно на биржах ведется торговля теми фьючерсными контрактами, к которым проявляют интерес все три категории участников рынка. Рассмотрим вначале простейшие спекулятивные стратегии на фьючерсн ных рынках. Предположим, что инвестор убежден в том, что между моментами врен мени tt и tг фьючерсная цена некоторых активов будет расти. В этом случае он в момент времени t, занимает длинную позицию по фьючерсному контракту на эти активы. Закрыв свою позицию в момент времени t2, инвестор получит прибыль (убыток) в размере: A[F(t 2 )-F(t,)], где А Ч объем одного фьючерсного контракта с датой поставки Т, Т > t2; F(tj), F(t2) Ч фьючерсные цены на базисные активы в моменты времени t, и t2 соответственно. 112 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Таким образом, если оправдается прогноз инвестора о росте фьючерсн ной цены активов, то он получит прибыль. Однако если его прогноз окажетн ся неверным, то он может понести и большие убытки. С другой стороны, если инвестор считает, что между моментами времени tj и t2 фьючерсная цена будет падать, то он может в момент времени t, занять короткую позицию по соответствующему фьючерсному контракту. Закрыв эту позицию в момент времени t2, инвестор получит прибыль (убыток) в размере: A[F(t,)-F(t2)]. Следовательно, если оправдается прогноз инвестора о падении фьючерн сной цены, то он получит прибыль, в противном случае инвестор может пон нести большие убытки. В целом простейшие спекулятивные стратегии на фьючерсных рынках хан рактеризуются высоким уровнем риска, но при благоприятных обстоятельствах могут обеспечить большую прибыль. По существу, эти стратегии эквивалентны аналогичным стратегиям на спот-рынках активов. Однако транзакционные расн ходы на фьючерсных рынках значительно ниже таких расходов на спот-рынн ках. Поэтому спекулятивные стратегии на фьючерсных рынках более привлен кательны для инвесторов, чем аналогичные стратегии на спот-рынках. Вторая группа спекулятивных стратегий на фьючерсных рынках опираетн ся на прогноз поведения спреда (разницы) между фьючерсными ценами одн них и тех же активов с различными датами поставок. Предположим, что в данный момент времени t фьючерсные цены некон торых активов с датами поставок Т1 и Т2, Т, < Т2, соответственно равны МО И М0 Если инвестор считает, что между моментами времени t, и г2 межврен менной спред будет возрастать, то он может в момент времени t, занять длинн ную позицию по долгосрочному фьючерсному контракту и короткуюЧ по краткосрочному контракту. Закрыв свои позиции в момент времени с2, инвесн тор получит прибыль (убыток) в размере: A[FT2(t2)-FT2(tl)] A[FTi(tl)-FTi(t2)] = + = A[(F r 2 (t 2 )-F r i (r 2 ))-(F T 2 (t 1 )-F 7,(t 1 ))]. Если же инвестор убежден, что между моментами времени t, и t2 межн временной спред будет уменьшаться, то в момент времени t: он может зан нять короткую позицию по долгосрочному контракту и длинную Ч по кратн косрочному фьючерсному контракту. Закрыв эти позиции в момент времени г2, инвестор получит прибыль (убыток) в размере: A[FTi(t1)-Fh(t2)] + A[FTi{t2)-FTi{t1)] = = A[(F T2 (t 1 )-F Ti (t 1 ))-(F T2 (t 2 )-F T,(t 2 ))]. В обоих случаях, если оправдается прогноз инвестора о поведении межн временного спреда фьючерсных цен, он получит прибыль. Если же прогноз инвестора окажется неверным, то он понесет убытки. II. Рынки производных финансовых инструментов ИЗ В целом стратегии, опирающиеся на межвременные спреды фьючерсных цен, являются менее рискованными, чем простейшие спекулятивные стратен гии, и в то же время менее доходными. Спекулятивные стратегии могут строиться и на основе прогнозирования отношения фьючерсных цен на различные виды активов. Пусть F(t) и Ф(0 Ч фьючерсные цены в момент времени t на активы двух разных видов (и, вообще говоря, с разными датами поставок). Если инвестор считает, что за время от момента t, до момента г2 отно F (0 * шение фьючерсных цен будет расти, то он может в момент времени t, занять длинную позицию по фьючерсным контрактам на активы первого вида и короткую позицию по фьючерсным контрактам на активы второго вида. При этом количества фьючерсных контрактов Nt и N2 инвестор должен выбрать так, чтобы соблюдалось следующее равенство: NAF^-N^M. Закрыв свои позиции в момент времени г2, инвестор получит прибыль (убын ток) в размере: NA [F(t 2 ) - F(tl)] + N A [Ф (Г,) - Ф (У] = F(t 2 ) NA = N 1 AF(t 2 )-N 2 A 2 *(t 2 ) = NA#(t 2 ) 0(t2) NA NA*(t 2 ) > ( 0 F(t.) 0(t2) 0(1,) Аналогичным образом инвестор может применить спекулятивную стратен гию, если он прогнозирует убывание отношения фьючерсных цен активов. В обоих случаях, если оправдается прогноз инвестора, он получит соответн ствующую прибыль. Пример 2.6. Текущие фьючерсные цены американского доллара и немецкой марки 30 и 16 руб. соответственно. Объемы имеющихся на рынке фьючерсн ных контрактов: 1000 долл. и 2000 марок. Инвестор, считающий, что отнон шение фьючерсных цен доллара и марки будет снижаться, занимает коротн кую позицию по 32 фьючерсам на доллары и длинную позицию по 30 фьюн черсам на марки (в этом случае 32 Х 1000 -30 = 30 Х 2000 16). Если через месяц фьючерсные цены доллара и марки окажутся равнын ми 29 и 15,50 руб. соответственно, то инвестор должен получить прибыль, так как !Mi ( I, 8 7 5 > 1, 8 7 I ). Действительно, прибыль инвестора составит: 32 Х 1000 Х (30 - 29) + 30 Х 2000 Х (15,5 - 16) = 2000 руб. 114 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Если же через месяц фьючерсные цены доллара и марки будут равны: и 16,4 руб., то инвестор должен понести убытки, так как ^ <-^-(1,875 < 1,890). 16 16,4 v ; Действительно, 32 Х 1000 (30-31) + 30 Х 2000 Х (16,4-16,0) = -8,000 руб. 2.8. Фьючерсы на казначейские векселя. Процентный арбитраж Рассмотрим Т-летний фьючерсный контракт на казначейский вексель номин налом А, погашаемый через тлет после момента его поставки. Фьючерсную цену казначейского векселя в данный (нулевой) момент времени обозначим через FT (т). Если данный фьючерсный контракт можно рассматривать как форвардн ный, то имеет место следующее равенство: F T (T) = Ae-f(T'T+r)r, (2.11).,. г(Т + т)-(Т + т ) - г ( Т ) - Т >- кЧ1Ч; где f (T, T + т) = - i 'Ч т ?(Т), г (Г + т) Ч безрисковые процентные ставки по инвестициям на Т и Т + т лет соответственно (при непрерывном начислении процентов). В самом деле, рассмотрим следующую стратегию: 1. Взять кредит в размере FT (т) Х е Г<Г)Т на срок Т + тлет под безрискон вую ставку г(Т + т). 2. Занять длинную позицию по фьючерсному контракту на казначейсн кий вексель. 3. Инвестировать имеющуюся денежную сумму FT (т) Х е"г(Т)Т на Т лет под безрисковую ставку г(Т). Тогда в момент Т будет получена сумма FT (т) Х е'г(Г)Т Х ег(Т)Г = FT (т), за счет которой будет приобретен казначейский вексель согласно фьючерсному контракту. На момент времени Т + т лет доход инвестора от данной стратен гии составит A-Fr (т) Х e"f(T)T Х ef(T+r)(r+r) = A - FT (т) Х ef(T'T+r)r. II. Рынки производных финансовых инструментов Так как стратегия, очевидно, является безрисковой, то при отсутствии прин быльных арбитражных возможностей доход от стратегии должен быть нулен вым, т. е. A-F T (T)-e f ( T ' r + l ) r = и FT(T) = A-e- f(r ' T+l)T. Пример 2.7. Определим фьючерсную цену 90-дневного казначейского вексен ля номиналом 1 млн. долл., когда до момента передачи остается 140 дней, а безрисковые процентные ставки (при непрерывном начислении) на 140 и 230 дней равны 8 и 8,25% соответственно. В данном случае Т =^ = 0,383562; г = - ^ = 0,246575; Г + т = ^ = 0,630137; 365 365 = 0,0825 0,630137-0.08.0,383562 = 0, Тогда фьючерсная цена казначейского векселя, определяемая равенством (2.11), составит FT ( т ) = 1000 000 Х e-.<*л89,246s75 = 9у8 924 долл Предположим теперь, что рыночная фьючерсная цена казначейского векн селя номиналом А, погашаемого через тлет после его передачи, равна FTpw(r) и F ^ d ) * FT(r). Тогда F/"" ( т ) * А Х e f ( T > T - f ( T + r л T + r ), где г(Т), г(Т + т)Чбезрисковые процентные ставки при непрерывном начислении на сроки в Т и Т + т лет соответственно. Число R(T), удовлетворяющее равенству FT(J) = A Х е*Т)Т-~лт+^\ (2.12) называется неявной (предполагаемой) ставкой репо (implied repo rate). Замечание. Корпоративные клиенты финансовых институтов, владеющие рын ночными ценными бумагами, могут получать краткосрочные кредиты под льготн ную процентную ставку, называемую ставкой репо (reporate). Для этого корн порация продает ценные бумаги финансовому институту и одновременно закн лючает соглашение с ним о выкупе этих ценных бумаг. Так как такой кредит имеет хорошее обеспечение, то ставка по нему может быть снижена. Неяв 116 Энциклопедия финансового риск-менеджмента ная же ставка репо Ч это, в сущности, такая ставка, под которую можно брать краткосрочный кредит с помощью фьючерсного рынка. Неявная ставка репо позволяет выявить наличие прибыльных арбитражн ных возможностей и выбрать соответствующую стратегию. Действительно, если R(T) Ф Г(Т), где ?{Т) Ч безрисковая процентная ставн ка на Т лет, a Я (Т) Ч неявная ставка репо, то на рынке должна быть прин быльная арбитражная возможность. Если Я (Т) < f (Т), то прибыльной будет следующая арбитражная стратегия: 1. Занять сумму Р/ын(т)е^(Г)Т на Т + тлет под ставку г(Т + т). 2. Инвестировать полученную сумму на Т лет под ставку г(Т). 3. Занять длинную позицию по фьючерсному контракту на казначейсн кий вексель. Если же Я (Т) > f (Т), то прибыльной является арбитражная стратегия: 1. Занять сумму Ае~г(Т+т)<т+т) на Т лет под безрисковую процентную ставн ку г(Г). 2. Купить казначейский вексель номиналом А, погашаемый через Т + т лет. 3- Занять короткую позицию по фьючерсному контракту на казначейсн кий вексель, погашаемый через тлет после передачи. Пример 2.8. Рыночная фьючерсная цена 90-дневного казначейского векселя номиналом 1 млн. долл. с передачей через 56 дней равна 969 500 долл. Опн ределим неявную ставку репо по кредитам на 56 дней, если безрисковая прон центная ставка на 146 дней равна 12,27%. В данном случае FfXr) = 969 500 долл.; f(J + т) = 0,1227; Т + т = ^ = 0,4; Т = - ^ - = 0,153425. 365 Неявная ставка репо является решением уравнения 969 500 = 1 000 оооей(Г)0153425-0122704, значит, Я(Г) = 0,1180, т.е. 11,80%. Предположим, что безрисковая процентная ставка на 56 дней равна 11%. Тогда можно поступить следующим образом: занять 1 000 000 Х е~01227 4 = =952 105 долл. на 56 дней под ставку 11% и купить казначейский вексель номиналом 1 млн. долл., погашаемый через 146 дней (его цена в точности равна 952 105 долл.), одновременно заняв короткую позицию по 56-дневному П. Рынки производных финансовых инструментов Ж Ж фьючерсному контракту на данный казначейский вексель. Через 56 дней бун дет получен арбитражный доход в размере: од 1-15. 969 500 долл. - 952 105 долл. Х е = 1190,24 долл. 2.9. Фьючерсные контракты на краткосрочные процентные ставки Рассмотрим фьючерсный контракт на 3-месячную ставку LIBOR, который являн ется одним из наиболее популярных фьючерсных контрактов на процентные ставн ки. Такой контракт можно интерпретировать следующим образом: сторона, зан нимающая длинную позицию, обязана в определенный будущий момент времен ни Т (дату поставки) разместить 1 млн. долл. на евродолларовом депозите под установленную заранее 3-месячную ставку f (играющую роль цены поставки). Рассмотренная выше ситуация эквивалентна тому, что сторона, занимаюн щая длинную позицию, размещает в момент времени Т сумму в 1 млн. долл.' под 3-месячную ставку LIBOR г, действующую в этот момент времени, а чен рез 3 месяца после расчетной даты Т получает еще и компенсацию в размен f Действительно, имеет место равенство: ре 1 000 f-0 f + 1 000 000 1 000 000 1+ = 1 000 000 1 + 4J Поэтому во фьючерсном контракте на 3-месячную ставку LIBOR не предн полагается размещение средств на евродолларовых депозитах, а все расчеты производятся в наличной форме: Через 3 месяца после расчетной даты Т сторона, занимающая длинную f-r позицию, получает денежную сумму в размере 1 000 I 4 J, а сторона, занимающая короткую позицию, ее платит. Стандартные арбитражные рассуждения показывают, что форвардная трехн месячная ставка LIBOR должна удовлетворять следующему равенству: 1 + Ьа nfi (2.13) \п 1+ L V где nf, Ч форвардная 3-месячная ставка LIBOR через п трехмесячных периодов; гп(гп+1) Ч процентная ставка при начислении процентов 4 раза в год, под которую можно в данный момент времени размещать средства на евродолларовом рынке на п (соответственно, на п + 1) трехмесячных периодов. 118 Энциклопедия финансового риск-менеджмента 2.10. Фьючерсные контракты на казначейские облигации Фьючерсные контракты на казначейские облигации рассмотрим на примере фьючерсных контрактов на долгосрочные казначейские облигации США, торн говля которыми ведется на Chicago Board of Trade (CBOT). По условиям такого контракта производится передача любой казначейсн кой облигации номиналом 100 000 долл., не погашаемой и не отзываемой в течение 15 лет после даты передачи. После передачи облигации сторона, занимающая короткую позицию по фьючерсному контракту, получает денежную сумму в размере: (2.14) 1000 Х KF Х k' + AI, где KF Ч котировка фьючерсной цены, рассчитанная на номинал облигации в 100 долл.; k" Ч специальный поправочный коэффициент (conversion factor), AI Ч накопленные проценты с момента последнего купонного платежа. Поправочный коэффициент к* находится в виде отношения стоимости передаваемой облигации к ее номиналу, когда стоимость облигации опреден ляется исходя из следующих условий: срок до погашения снижен так, чтобы оставалось целое число 3-месячных периодов, а все безрисковые процентные ставки одинаковы и равны 8% (при начислении процентов дважды в год). Если до погашения передаваемой облигации остается п полугодовых пен риодов, то поправочный коэффициент находится по формуле: 1 100 fe* = т+ 100 000 (2.15) '1+0Д) i=1 11 + где q Ч полугодовой купонный платеж. Если же до погашения передаваемой облигации остается п полугодовых периодов и 3 месяца, то 1 100 к' (2.16) 100 000 0,08 0, 1+ 1+ Пример 2.9. Определим поправочный коэффициент для 14%-ной купонной облигации, до погашения которой остается 20 лет и 2 месяца. Для расчета поправочного коэффициента срок до погашения облигации считается равным 20 годам. Значит, в данном случае п = 40, q = 7000. II. Рынки производных финансовых инструментов Тогда / 7000-2 / 1 100 к* = 1,5938. I- 100 000 0,08 (1,04) (1.04Г Пример 2.10. Определим поправочный коэффициент для 14%-ной купонной облигации, когда до ее погашения остается 18 лет 4 месяца. Для расчета поправочного коэффициента мы должны считать, что до пон гашения облигации остается 18 лет и 3 месяца. Значит, в данном случае п = 36, q = 7000, а поправочный коэффициент находится по формуле (2.16): 1 Я 7000 100 000 fe* 11 ~т~ 100 000 ы (1,04) 2 (1,04) ) 1 7000-2 100 (1,04)2 = 1,50705. (1,04)3 0,08 (1,04) Обычно на рынке имеется несколько долгосрочных казначейских облиган ций, которые можно использовать для передачи в рамках данного фьючерсн ного контракта. Естественно, что сторона, занимающая короткую позицию по такому контракту, выберет для передачи самую дешевую для передачи обн лигацию. Самая дешевая для передачи облигация может быть найдена при сравнении разности между рыночной ценой той или иной облигации и сумн мой, выплачиваемой стороной, занимающей длинную позицию по фьючерсн ному контракту. Эта разность определяется следующим образом: 1000К, + (Щ - (1000XF Х к* + (А1\) = 1000(К, - KFfe*), где К Ч котировка цены i-й облигации; KF Ч котировка фьючерсной цены; к* Ч поправочный коэффициент для i-й облигации. Таким образом, самую дешевую для передачи облигацию следует выбин рать так, чтобы разность КЧKF Х к' была наименьшей. Котировку фьючерсной цены долгосрочной казначейской облигации можно оценить с помощью формулы: of(T-t) (2.17) F 1000v ; где KF Ч котировка фьючерсной цены долгосрочной казначейской облигации с датой передачи Т; S Ч цена облигации на текущий момент времени t самой дешевой для передачи; 1 Ч приведенное значение купонных платежей за время действия фьючерсного контракта; f Ч безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении процентов по инвестициям на Т - t лет. Х О Энциклопедия финансового риск-менеджмента Ж Применение формулы (2.17) для оценки котировки фьючерсной цены обн лигации затруднено тем, что заранее необходимо угадать облигацию, самую дешевую для передачи. 2.11. Хеджирование позиций по базисным активам с помощью фьючерсных контрактов Предположим, что в данный момент времени t инвестор владеет некоторыми активами и собирается их продать в момент времени Т. В этом случае говон рят, что инвестор на временном отрезке [t, Т] занимает короткую позицию по данным активам. Если же в момент времени t инвестор узнает, что ему в момент времени Т придется купить некоторые активы, то говорят, что на временном отрезке [t,T] инвестор занимает длинную позицию по базисным активам. Обе позиции инвестора по базисным активам являются рискованными, так как при неблагоприятных изменениях цен базисных активов он будет нести убытки. В данном случае под убытками следует понимать упущенную выгоду. Чтобы исключить или по крайней мере уменьшить риск позиций инвестора по базисным активам, используется хеджирование. В некоторых случаях возможны следующие простейшие стратегии хеджин рования. 1. Короткий хедж (short hedge). Если инвестор на временном отрезке [t, T] занимает короткую позицию по базисным активам, то в момент времени t он может занять короткую позицию по фьючерсному контракту на данные активы с датой поставки Т. Если Фт(0Ч контрактная фьючерсная цена бан зисных активов на момент времени t, то инвестор в момент Г сможет прон дать свои активы за Фт(0. 2. Длинный хедж (long hedge). Инвестор, занимающий длинную позицию по базисным активам на отрезке времени [г, Т], может в момент времени t занять длинную позицию по соответствующему фьючерсному контракту. В этом случае инвестор в момент времени Т сможет купить необходимые ему актин вы по известной заранее цене Фт(0. Простейшие стратегии хеджирования являются безрисковыми, но имеют существенные недостатки. Во-первых, эти стратегии исключают возможность получения прибыли при благоприятных изменениях цен на спот-рынке. Во вторых, чтобы применить простейшие стратегии хеджирования, необходимо существование фьючерсного контракта на данный вид активов, который сон гласован с позицией инвестора как по срокам, так и по объемам. Такой фьюн черсный контракт существует далеко не всегда. Если простейшие стратегии хеджирования невозможны или не устраиван ют по тем или иным причинам инвестора, то он может применить более сложн ные стратегии, в которых: 1) используются фьючерсные контракты на активы, отличные от базисных; 2) хеджируется не вся позиция инвестора по базисным активам, а лишь некоторая ее часть. II. Рынки производных финансовых инструментов 1Z Предположим, что на временном отрезке [t, T] инвестор занимает опрен деленную позицию по базисным активам и для хеджирования единицы базисн ных активов решает использовать фьючерсный контракт на единицу каких-то других активов с датой поставки Т, где Т > Т. При коротком хедже чистый доход (убыток) от хеджируемой позиции можно оценить следующим образом: Rsh = S(T)-S(0 + [F(t)-F(T)], (2Л8) где S(t), S(T) Ч цены базисных активов на спот-рынке в моменты времени t и Т соответственно, F(t), F(T) Ч фьючерсные цены хеджирующих активов в эти же моменты времени t и Т. Чистый доход (убыток) от нехеджируемой позиции при коротком хедже определяется следующим образом: Rs = S(T) - S(t). (2.19) При длинном хедже чистый доход (убыток) от хеджируемой позиции сон ставит R,h = S(t) - S(T) + [F(T) - F(t)], (2.20) а от нехеджируемой позиции К, = S(t) - S(T). (2.21) На основе равенств (2.18)-(2.21) легко найти ожидаемые доходы и дисн персии дохода от хеджируемых и нехеджируемых позиций: R^=W)-S(f) + [F(t) - W)}, К = W) - S(t); \ = S(t) - W) + [W) - F(t)]; Д = S(t) - W>, o\R*) = (72(ДД) = as2m - 2Cov(S(T), F(T)) + a2F(T}; a2(Rs) = o-2(R,) = <7S2(T). Определение. Отношение количества хеджируемых позиций к объему всей позиции инвестора по базисным активам называется показателем хедн жирования (hedge/hedging ratio). Если известен показатель хеджирования к, то можно определить количен ство фьючерсных контрактов, необходимых для хеджирования: N = Q.fc А где Q Ч объем позиции инвестора по базисным активам, А Ч объем одного фьючерсного контракта. 10 Ч 122 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Оптимальный показатель хеджирования находится так, чтобы риск стран тегии хеджирования был минимальным. Если минимизируется дисперсия совокупного дохода при хеджирующей стратегии на отрезке времени [г, T], то оптимальным будет показатель хеджин рования k ' = PZT> (2.22) AF где aUS Ч стандартное отклонение приращения спот-цены активов за время Т - г; aAF Ч стандартное отклонение приращения фьючерсной цены хеджирующих активов за время Т - г; р Ч коэффициент корреляции между указанными выше приращениями. Пример 2.11. Компания узнает, что через 3 месяца ей придется закупить 1 млн. галлонов дизельного топлива. Для хеджирования своей позиции решан ет использовать фьючерсы на сырую нефть. Объем одного фьючерсного конн тракта на сырую нефть 42 000 галлонов. Стандартные отклонения приращен ний цены на дизельное топливо и фьючерсной цены сырой нефти за 3 месян ца равны соответственно 0,032 и 0,040, а коэффициент корреляции между этими приращениями равен 0,8. В данном случае аА$ = 0,032; о^ = 0,040; р = 0,8. Оптимальный показатель хеджирования находится следующим образом: к* = 0, 8 - ^ = 0,64. 0, Тогда количество фьючерсных контрактов, необходимых для хеджирован ния, равно - 0, 6 4 = 15.2. 42 Таким образом, для хеджирования необходимо занять длинную позицию по 15 фьючерсным контрактам на сырую нефть. 2.12. Хеджирование портфелей облигаций против процентного риска Предположим, что инвестор владеет портфелем облигаций и решает его хедн жировать против процентного риска с помощью фьючерсов на казначейские облигации (или казначейские вексели) с датой передачи Т. Можно показать, что относительное изменение фьючерсной цены облин гации, лежащей в основе фьючерсного контракта, при изменении безриско II. Рынки производных-'финансовых инструментов ХХЪ вых процентных ставок на величину Af (при непрерывном начислении прон центов) удовлетворяет следующему приближенному равенству: [D s - (Т - г)] Af, (2-23) F Др где -=- Ч относительное изменение фьючерсной цены облигации, соответствующее изменению безрисковых процентных ставок на величину АГ\ t Ч текущий момент времени; Т Ч дата передачи облигации; Ds Ч дюрация потока платежей, поступающих от облигации после даты ее передачи (при непрерывном начислении). Для облигации с нулевым купоном Ds - (Т - г) = Т* - Т, где Т Ч дата погашения облигации, а для долгосрочных облигаций можно считать, что Ds - (Т - 0 совпадает с обычной дюрацией этой облигации при непрерывном начислении процентов. Если инвестор для хеджирования своего портфеля облигаций займет кон роткую позицию по N фьючерсным контрактам на казначейские облигации, а безрисковые процентные ставки изменятся на величину Af, то его доход составит величину: ДР- N-AF, где АР Ч изменение стоимости портфеля облигаций; AF Ч изменение фьючерсной цены облигации. Так как где Р Ч текущая стоимость портфеля облигаций, D Ч его дюрация (при непрерывном начислении процентов), то АР - NAF = -D p Х Р Х Аг + N Х F Х [D s - (Т - t)] 4? = = {N-F[Ds-(T-t)]-Dp-P}-Af. ю* 1X4 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Следовательно, риск позиции инвестора с учетом хеджирования будет наименьшим, если N---^-^E. (22А) {2 24) F Ds-(T-t) Равенство (2.24) позволяет находить количество фьючерсных контрактов, необходимых для хеджирования портфеля облигаций против процентного рисн ка. Однако следует отметить, что такая стратегия хеджирования обеспечиван ет защиту от процентного риска лишь в течение небольшого периода времен ни. Для защиты процентного риска на продолжительном отрезке времени стратегию хеджирования необходимо периодически пересматривать. Пример 2.12. Инвестор владеет портфелем казначейских облигаций, поток платежей от которого указан в таблице: Срок платежа, лет 2, 1, 0,5 1, Платеж, долл. 10 000 10 000 10 000 400 Для хеджирования портфеля облигаций против процентного риска инвесн тор решает использовать фьючерсные контракты на 3-месячные казначейские вексели. Определим, сколько потребуется таких контрактов в начальный мон мент времени для хеджирования, если все безрисковые процентные ставки одинаковы и равны 8%. Текущую стоимость портфеля облигаций и его дюрацию можно найти следующим образом: Р = 10 000 Х е"0'50'08 + 10 000 Х е' 10008 + 10 000 Х е"150'08 + 400 000 Х е' 20008 = = 368 565,78 долл.; Dp = I ( 1 0 000 Х 0,5 Х е-0-50-08 + 10 000 Х 1,0 Х е"10008 + 10 000-1,5- е"15008 + + 400 000 Х 2,0 Х е-20008) = 7 0 9 5 3 ' 9 5 = 1,92. ; 368 565, Текущую фьючерсную цену казначейского векселя найдем по формуле (2.11): F = 1 000 ОООе'0080'25 = 980 198,67. Количество фьючерсных контрактов, необходимых для хеджирования, опн ределим по формуле (2.24): N_P DP _ 368 565,78 1, FDs-(T-t) 980198,67 0, II. Рынки производных финансовых инструментов 1X Таким образом, в начальный момент времени для хеджирования портфен ля облигаций следует занять короткую позицию по трем фьючерсным конн трактам на казначейские вексели. 2.13. Фондовые индексы. Фьючерсные контракты на фондовые индексы Для отслеживания конъюнктуры цен акций используется много различных рыночных индексов. Эти индексы различаются как по составу учитываемых акций, так и по методам их расчета. Например, фондовый индекс S&P 500 рассчитывается на основе акций крупнейших американских компаний, среди которых 400 промышленных корн пораций, 40 коммунальных предприятий, 20 транспортных компаний и финансовых институтов. Этот индекс, как и многие другие, рассчитывается на основе метода взвен шивания по стоимости, который сводится к следующему. В каждый момент времени t можно определить суммарную рыночную стоимость всех акций расн сматриваемых корпораций по формуле: V(0 = S 4 ( t ) - $ ( t > (2.25) где S(t) Ч рыночная цена одной акции i-й корпорации в момент времени t, u.(t) Ч количество акций i-й корпорации, находящихся в обращении на момент времени t. В некоторый момент времени t0 индексу приписывается определенное значение, скажем А. Тогда значение индекса в момент t определяется следун ющим образом: (2- 26 > КО = Ш:-А *Ч'о-' Нетрудно заметить, что имеет место равенство: ,(t ) 'ь>- т '' Таким образом, для определения значения индекса в момент времени г не обязательно знать, какое значение было приписано индексу в начальный момент времени. Достаточно иметь информацию для некоторого предыдущен го момента времени t, Главной особенностью фьючерсных контрактов на фондовые индексы явн ляется то, что никакие активы не меняют своих владельцев, а все расчеты производятся в денежной форме. 126 Энциклопедия финансового риск-менеджмента По условиям фьючерсного контракта на фондовый индекс сторона, занин мающая длинную позицию, в момент окончания действия контракта получает денежную сумму в размере L[l(T)-FT(t)], где 1(Т) Ч значение фондового индекса в момент Т окончания действия контракта; FT(t) Ч фьючерсное значение фондового индекса в момент времени t; L Ч денежная сумма, определенная биржей для данного вида контрактов. Аналогично, сторона, занявшая в момент времени t короткую позин цию по фьючерсу на фондовый индекс, получает в момент Т денежную сумму L[FT(t)-I(T)}. Для фьючерсных контрактов на фондовый индекс S&P 500 денежная сумн ма L определена в 500 долл. Фьючерсные контракты на фондовые индексы широко используются для хеджирования портфелей акций. Оптимальное количество фьючерсных конн трактов на фондовый индекс, необходимых для хеджирования данного портн феля акций, можно найти по формуле: N (227) 'iW)"'' где N Ч количество фьючерсных контрактов; FT(r) Ч текущее фьючерсное значение фондового индекса с датой передачи Т; /Зр Ч коэффициент бета данного портфеля акций относительно рассматриваемого фондового индекса. Коэффициент бета портфеля акций определяется следующим образом: Соу(гр,г; ) = Рр of ' где г Чдоходность портфеля акций; г, Ч доходность фондового индекса; При этом коэффициент бета портфеля акций является средневзвешенн ной суммой коэффициентов бета акций, составляющих этот портфель. Вен совыми коэффициентами являются доли средств, инвестированных в тот или иной вид акций. II. Рынки производных финансовых инструментов 1X Пример 2.13. Инвестор собирается хеджировать имеющийся у него портфель акций с помощью фьючерсов на фондовый индекс S&P 500. Исходная инфорн мация приведена в таблице: Начальное Количество акций Коэффициент Начальная цена фьючерсное Акции в портфеле бета акции акции, долл. значение индекса S&P 1 900 1,25 8,75 225, 2 0,80 21, 3 0,75 14, 2000 33, 4 0, 1600 1,05 68, Начальная стоимость портфеля акций находится следующим образом: Р = 8,75 Х 900+21,25 Х 700+14,75 Х 1400+33,50 Х 2000+68,25 Х 1600 = 219 600 долл. Найдем коэффициент бета портфеля акций: РР - 8 :219 600 1.25+ 2219 6000 Х о. so+ 14219 6004 Г О. о, 75 + \ 2 1; I ; Л >21 А 33,50 2000 68,25- 0,95 + 1,05 = 0,9815. 219 600 219 Количество фьючерсных контрактов, необходимых для хеджирования портн феля акций, определим с помощью формулы (2.27): 1 219 600 0,9815 = 2. N 500 225, Если через месяц, когда инвестор закрывает свою позицию, цены акций окажутся равными 8,25, 20,75, 15,50, 32,50 и 65,25 долл. соответственно, а фьючерсное значение индекса S&P 500Ч 221,50, то доход инвестора состан вил бы без хеджирования: (8,25- 8,75) 900 + (20,75- 21,25) 700 + (15,50- 14,75) Х 1400 + + (32,50- 33,50) Х 2000 + (65,25- 68,25) Х 1600 = -6550 долл., а при хеджировании: -6550 +2 -500 (225,75- 221,50) = -2300 долл. 128 Энциклопедия финансового риск-менеджмента 2.14. Процентные свопы Свопом, или своповым контрактом (swap), называется соглашение об обмен не потока будущих платежей от одних активов на поток будущих платежей от других активов. В зависимости от того, какие активы положены в основу свопового контракта, выделяют различные виды свопов. В частности, в процентном свопе (interest rate swap) производится обмен процентных платежей от условной основной суммы займа с фиксированной процентной ставкой на процентные платежи от той же условной основной суммы займа с плавающей процентной ставкой. Во многих процентных свопах плавающая процентная ставка привязана к ставке предложения на лондонском межбанковском рынке 6-месячных еврон долларовых депозитов. Эту процентную ставку будем называть ставкой LIBOR (London Interbank Offered Rate). Например, в своповом контракте плавающая прон центная ставка может быть установлена в размере LIBOR+0,5%. Тогда, если на начало 6-месячного периода ставка LIBOR равна 8%, то при условной основной сумме в 1000 долл. плательщик плавающей ставки в конце рассматриваемого периода должен уплатить 1000 Х * * Ч2- = 42,5 долл. Выясним теперь, при каких обстоятельствах своповый контракт может быть выгодным обеим сторонам. Предположим, что компаниям А и В необходимы займы на определенн ный срок в размере Q, причем компании А необходим займ с плавающей процентной ставкой (а такие займы удобны для финансирования оборотного капитала), а компании ВЧ займ с фиксированной ставкой (например, для финансирования крупной инвестиции). На рынках ссудного капитала компаниям А и В предлагаются следуюн щие ставки: Фиксированная ставка Плавающая ставка LIBOR + rnA Компания А 'ф LIBOR + гпв Компания В Ф Будем считать, что соблюдаются следующие условия. i- 4 < ГФВ; гпЛ < гпв Это условие можно интерпретировать следующим образом: кредитн ный рейтинг компании А значительно выше кредитного рейтинга комн пании В. Поэтому компания А обладает абсолютным преимуществом на обоих рынках. II. Рынки производных финансовых инструментов -В ДА 2. > Г" -Г" Г Г Ф Ф Это означает, что у компании А относительное преимущество на рынн ке с фиксированными ставками, а у компании В относительное прен имущество на рынке с плавающими ставками. Например, если АЧ крупная компания, то она может привлекать средн ства за счет эмиссии облигаций с фиксированной процентной ставкой, а комн пания В этого не может. С другой стороны, компания В может быть лучше известна местному банку, который выдает кредиты с плавающей ставкой. Покажем, что при соблюдении условий 1 и 2 можно построить процентн ный своп, выгодный обеим компаниям. Компания А берет займ с фиксированной процентной ставкой, т. е. там, где у нее есть относительное преимущество, а компания В берет займ с план вающей процентной ставкой, т. е. там, где у нее относительное преимущен ство, и они договариваются об обмене. Предположим, что компания А платит компании В плавающую ставку уп, а получает от нее фиксированную ставку хф. Чтобы такой обмен был выгоден обеим компаниям, чистый процентный платеж компании А: гф + уп - хф должен быть меньше LIBOR + гпА, а чистый процентный платеж компании В: хф + LIBOR + rns -.уп должен быть меньше г$ (рис. 2.3). Если числа 5, и 82 удовлетворяют условию: *1 + 52 = (г ф в -г ф Л )-(г п в -г п Л ), то система линейных уравнении к А + Уп - хф = LIBOR+ ^ - 5, (2.28) [хф + LIBOR + гв - уп = гфв - всегда имеет решение. Это означает, что при соблюдении условий 1 и 2 можно организовать обмен платежами, выгодный обеим компаниям А и В. В реальных условиях компаниям, желающим заключить своповый контракт, трудно найти друг друга. Поэтому им приходится прибегать к услугам посредн ника, в качестве которого может выступать, например, банк. При этом пон средник берет на себя обязательство по гарантированию соблюдения услон вий контракта. ** 4 в А LIBOR + Гп уп Рис. 2.3. Процентный своп 130 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Обмен платежами при наличии посредника можно организовать так, как показано на рис. 2.4. Если положительные числа 8,, 82 и р удовлетворяют условию 51 + 52 + р = г ф в -г ф А -(г п в -г п А ), то процентные платежи хд и ув можно подобрать так, чтобы компания А имен ла выигрыш, равный 5,, компания ВЧ выигрыш, равный <52, а маржа банка составила бы р. Пример 2.14. Компаниям А и В предлагаются следующие фиксированные и плавающие процентные ставки на рынках ссудного капитала: Плавающая ставка Фиксированная ставка Компания А 10,0% LIBOR+0,4% Компания В 11,20% LIBOR+1,00% Выясним, как организовать обмен платежами, если компании А необхон дим займ с плавающей процентной ставкой, компании ВЧ займ с фиксирон ванной ставкой, а маржа посредника должна составить 0,2%. Если компании согласны иметь одинаковый выигрыш 8, то должно сон блюдаться следующее равенство: 25 + О,2 = (11,20 - 10) - (1,00 - 0,4) = 1,20 - 0,6 = 0,6. Тогда 8 = 0,2%. Следовательно, обмен платежами можно организовать как показано на рис. 2.5. ув \ LIBOR + Гпв Банк А В LIBOR LIBOR Рис. 2.4- Схема расчетов по процентному свопу с участием посредника 10% 9,8% LIBOR + 1% 10% А Банк В LIBOR LIBOR Рис. 2.5. Обмен платежами по свопу II. Рынки производных финансовых инструментов 2.15. Оценка стоимости процентных свопов Предположим, что компания X согласилась в течение определенного перион да времени каждые полгода платить проценты от условной суммы Q по план вающей ставке LIBOR и получать взамен проценты от той же суммы Q по фиксированной ставке гф (рис. 2.6). Г Ф л LIBOR Рис. 2. Нетрудно заметить, что поток платежей при таком обмене совпадает с потоком платежей от портфеля, состоящего из длинной позиции по облиган ции номиналом Q с полугодовыми купонами при ставке гф и короткой позин ции по облигации такого же номинала Q с плавающей купонной ставкой, совпадающей с 6-месячной ставкой LIBOR. Тогда имеет место равенство: V(t) = Bl(t)-B2(t), (2.29) где V(t) Ч стоимость процентного свопа для компании X в момент времени t; Bft) Ч стоимость облигации с фиксированной купонной ставкой гф в мон мент времени t; Bft) Ч стоимость облигации с плавающей купонной ставкой LIBOR в момент времени t. Чтобы определить стоимость облигации с фиксированной купонной ставн кой, необходимо знать соответствующие ставки для дисконтирования платен жей от этой облигации. Если ставки дисконтирования определены, стоимость облигации с фиксированной купонной ставкой может быть найдена следуюн щим образом: Q г ДМ = Х 7 - \2(!Д- Ж-О (2.30) 1+ * 1+ Bft) стоимость в момент времени t облигации где с фиксированной купонной ставкой г и номиналом Q; tn Ч даты обмена платежами; t,. t2 гп Ч ставки дисконтирования на периоды времени продолжительностью г,- t, t - t, t - 1 лет соответственно. При оценке облигации с плавающей купонной ставкой следует учитывать, что при отсутствии прибыльных арбитражных возможностей стоимость обли 13* Энциклопедия финансового риск-менеджмента гации должна совпадать с ее номиналом во все моменты времени, когда прон исходит оплата купонов. Следовательно, Q(LIBOR)0 +Q Bz(0 = \2(t,-t) ' (2.31) 1-Л где B2(t) Ч стоимость облигации номиналом Q с полугодовыми купонами при 6-месячной ставке LIBOR в момент времени t; (LIBOR)0 Ч 6-месячная ставка LIBOR, установленная в момент последнего обмена платежами; Q(LIBOR) + У Ч полный платеж по облигации в момент времени tT (дата первого купонного платежа после текущего момента времени г); гj Ч ставка дисконтирования на период продолжительностью t,-t лет. Определив стоимости облигаций по формулам (2.30) и (2.31), можно найти стоимость процентного свопа по формуле (2.29). Книги, научные публикации