Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | 3 | Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. 9 Вычисление поля решетки точечных магнитных диполей й Е.В. Розенфельд Институт физики металлов Уральского отделения Российской академии наук, 620219 Екатеринбург, Россия E-mail: rosenfeld@imp.uran.ru (Поступила в окончательном виде 16 февраля 2000 г.) Проведено разложение магнитного поля H, создаваемого пространственно-периодическим распределением точечных магнитных диполей, в ряд Фурье. При этом из-за быстрого (экспоненциального) спада амплитуд гармоник поле H в произвольной точке оказывается суммой полей всего нескольких ближайших плоскостей или цепочек диполей. Метод применен для вычисления магнитных полей в междоузлиях Sm, находящегося в различных антиферромагнитных состояниях.

Задача вычисления магнитного поля в различных точ- Таким образом, на наш взгляд, могла бы представлять ках внутри элементарной ячейки кристаллического маг- интерес возможность выделить в решетке небольшое нетика довольно часто возникает в физике твердого тела. число неких элементов, вносящих основные вклады в В частности, эта проблема является центральной при ин- поле в данной точке. Конечно, множество слагаемых терпретации результатов, получаемых в экспериментах в сумме (1) можно группировать практически бескос мюонами, позволяющими измерять локальные магнит- нечным числом способов, добиваясь того чтобы поля ные поля в междоузлиях. Имеется несколько вкладов в атомов из некоторых групп скомпенсировали друг друлокальное поле в кристалле Ч размагничивающее поле, га. Однако чисто интуитивно представляется наиболее поле Лоренца, поле Ферми и поле решетки точечных естественным, чтобы объекты, вносящие основные вкламагнитных диполей. Обсуждение способов вычисления ды в поле, имели достаточно простую геометрическую первых трех вкладов в некоторых возникающих при этом форму и были бы максимально близко (по сравнению проблем можно найти в [1Ц3]. Последний же вклад, с прочими подобными объектами) расположены к точке т. е. поле, создаваемое в произвольной точке r системой наблюдения поля.

диполей m, локализованных в точках R, определяется Цель настоящей работы Ч построение такой методивыражением ки, позволяющей свести вычисление дипольного поля в произвольной точке к вычислению поля, создаваемого в 3R(Rm) - mRэтой точке лишь несколькими ближайшими к ней атом Hdip(r) =, R = r - R, (1) R5 ными плоскостями или цепочками атомов. Вклады всех остальных атомов решетки с произвольной точностью учитываются в приближении сплошной среды. Сущеи никаких проблем при его вычислении обычно не возниственно, что и при вычислении поля атомных плоскостей кает. Единственным осложнением здесь является то, что или цепочек атомов не приходится вычислять суммы с из-за очень медленного уменьшения с ростом R вкладов большим количеством членов. Для достижения заданной в сумму (1) при суммировании приходится принимать в точности вычисления Hdip(r) оказывается достаточно расчет очень большое число координационных сфер.

учесть лишь несколько (точное число определяется поСитуация однако становится гораздо менее определенложением точки r) Фурье-гармоник поля плоскости или ной, если мы попытаемся не просто вычислить поле цепочки.

решетки точечных диполей (1) в некоторой точке, а Существование столь удобного представления для проанализировать вклады в это поле от различных групп дипольного поля связано с тем, что поле одномерной диполей. Поскольку вклады ближайших диполей лишь по (цепочка) и двумерной (атомная плоскость) периодичесчастливой случайности могут оказаться превалирующиских решеток диполей очень быстро (экспоненциально) ми над вкладами диполей из далеких координационных падает при удалении от них. В результате при удалении сфер, такой анализ, особенно для сложных магнитных всего на 3Ц4 периода решетки поле атомной плоскости структур, оказывается практически невозможным. Весьпрактически исчезает, а поле цепочки совпадает с полем ма показательна в этом смысле картина, наблюдавшаяся однородно намагниченной нити. Соответствующие форавторами [4]; при переходе образца из ферро- в антифермулы и оценки их точности приведены в первом разделе ромагнитное состояние измерявшееся ими поле на мюработы.

оне практически не менялось. Насколько нам известно, результат этот так и остался необъясненным. Вообще, В стандартных расчетах вычисление Hdip(r) (1) провполне ясной ситуация при анализе дипольных полей водится внутри некоторого конечного объема, обычно оказывается лишь в точках с высокой (кубической и сферы. Вне этого объема распределение намагниченновыше) симметрией; в соответствии с известной теоремой сти считается сплошным, что приводит к возникновеполе в этих точках равно нулю. нию дополнительного вклада Ч поля Лоренца. Отли7 1634 Е.В. Розенфельд чие предлагаемой методики состоит в том, что объем, по узлам в (3) дает просто интеграл по x в бесконечных внутри которого дискретная структура решетки учиты- пределах, который легко сводится к функциям Макдовается явно, оказывается бесконечным в одном или двух нальда. В результате для компонент поля (3) получаем направлениях. Вопросы, возникающие в связи с этим 2qпри вычислении поля Лоренца, обсуждаются во втором line Hx = hline + k2 -m K0(qk) cos(qkx) x разделе работы. Наконец, в третьем разделе полученные k=результаты иллюстрируются на примере вычисления магнитного поля в различного типа междоузлиях сама+ mK1(qk) cos() sin(qkx), рия в двух его разных антиферромагнитных состояних.

2qline Hy = hline + k2 mK2(qk) cos() cos(qkx) y 1. Преобразование Фурье для полей k=простейших решеток + m K1(qk) sin(qkx) sin(), Разложение в ряд Фурье проводится по стандартным формулам qHzline = hline + k2 m K0(qk) z A0 x x k=f (x) = + Ak cos 2k + Bk sin 2k, 2 a a k=1 + K2(qk) cos(2) cos(qkx) a 2 x + 2m K1(qk) cos() sin(qkx). (4) Ak = f (x) cos 2k dx, a a 0 Здесь q = 2/a, m и m Ч компоненты m, параллельa ные оси x иплоскостиyz соответственно, Чпроекцияr 2 x на эту плоскость, Чугол между m и. В (4) и на Bk = f (x) sin 2k dx. (2) a a иллюстрирующем эти обозначения рис. 1 считается, что вектор m параллелен оси z.

В случае, если функция периодична по двум и более В теории функций Бесселя известно асимптотическое переменным, эти формулы применяются к каждому арпредставление для функций Макдональда при больших u гументу в отдельности.

1.1. Линейная цепочка. Рассмотрим цепочку K(u) exp(-u) 1 + O(1/u). (5) одинаковых диполей m(m, 0, m), расположенных вдоль 2u оси x на одинаковых расстояниях a друг от друга (рис. 1).

В частности, при = 0, 1 и 2 ФбольшимиФ можно Поле такой цепочки, определяемое формулой считать значения u > 10: в этом случае K(2) 10-3, K(4) 10-6, K(8) 10-12. Поэтому, если 3Rn(Rnm) - mRn Hline(r) =, расстояние от точки r до оси цепочки >3-4a, вклады Rn n=высших гармоник практически исчезают, и поле цепочки совпадает с полем однородно намагниченной нити, имеRn =(x - na, y, z), (3) ющей линейную плотность магнитного момента m/a, является периодической функцией x с периодом a и может быть разложено в ряд Фурье (2). При этом hline = 0, x комбинация интеграла по периоду в (2) и суммирования 2m 2m hline = sin(2), hline = cos(2). (6) y z a2 aСледовательно, цепочка, намагниченная вдоль оси, практически не создает вокруг себя поля уже на расстояниях, превышающих 2Ц3 ее периода. Из (6) также ясно, что равно нулю и поле, создаваемое на оси цилиндра равномерно распределенными по его поверхности цепочками.

При малых, однако, высшие гармоники начинают играть все более существенную роль. Причина этого становится вполне ясной при рассмотрении зависимости от x напряженности поля цепочки на расстоянии a от ее оси. Вблизи любого узла в соответствии с (3) поле в основном определяется локализованным на нем моменРис. 1. Цепочка магнитных диполей m(m, 0, m). Проектом. Поэтому ясно, что такая зависимость представляет ция радиус-вектора r на плоскость yz составляет с осью z угол. собой набор локализованных вблизи каждого узла пиков, Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. Вычисление поля решетки точечных магнитных диполей тем более узких и высоких, чем меньше. Форма этих Видно, что при удалении от плоскости напряженность поля падает экспоненциально. Фактически это означает, пиков хорошо описывается функцией ((x-na)2+2)-3/2, что сколько-нибудь заметные вклады в поле в любой так что ширина их порядка, а высота пропорциональточке могут вносить лишь две-три ближайших к ней на -3. Для того чтобы разложение Фурье с конечатомных плоскости, а вкладами остальных плоскостей ным числом членов правильно воспроизводило такую можно пренебречь.

ФгребенкуФ, длина волны гармоники с максимальным номером kmax должна быть достаточно мала по сравнеПри малых |z| зависимость поля (7) от x и y, как нию с шириной пика. Практически вполне достаточную и в случае поля цепочки, имеет локализованные на относительную погрешность <10-5 обеспечивает в узлах пики с шириной порядка |z|. Поэтому снова области >a/1000 выбор kmax = 5a/.

максимальные номера используемых в расчете гармоник 1.2. Плоские прямоугольная и гексагоkmax и lmax определяются значением |z| и требуемой н а л ь н а я р е ш е т к и. Рассмотрим плоскость xy, точностью.

равномерно заполненную такими цепочками, лежащими Используя (7), (8), очень просто вычислить и пона расстояниях b друг от друга. Если сдвиг цепочек ле плоской гексагональной решетки. Такая решетка с вдоль x отсутствует, с одинаковым основанием можно межатомным расстоянием a может рассматриваться как рассматривать такую систему и как набор параллельных комбинация двух плоских прямоугольных решеток с оси y цепочек с периодом b, лежащих на расстояниях a параметрами ячейки a и a 3 вдоль осей x и y содруг от друга. Разложение (2) по x и y даетответственно. Подрешетки сдвинуты друг относительно друга так, что узлы одной оказываются в центрах ячеек 82 2 Hplain(r) = Al,k cos kx cos ly другой. Поэтому координаты x и y произвольной точки ab a b k,l=относительно центральных узлов подрешеток отличаются в точности на половины периодов вдоль этих осей.

2 + Bl,k cos kx sin ly В результате при сложении вкладов с любыми индексаa b ми l, k от этих двух подрешеток возникает множитель 1 +(-1)k+l, и мы получаем те же формулы (7), (8) 2 + Cl,k sin kx cos ly с двумя a b изменениями: a) необходимо провести замену b a 3, b) в сумме (7) остаются лишь слагаемые 2 2 с четными значениями l + k, а вся сумма умножается + Dl,k sin kx sin ly на два.

a b 1.3. Трехмерные решетки. Использование ре exp -2Ql,k|z|, (7) зультатов предыдущих пунктов весьма удобно и при вычислениях, и при анализе вкладов. Если однако необхогде слагаемое с k = l = 0 отсутствует, и димо получить полностью трансляционно-инвариантное 2 k l выражение для H (скажем, при расчете электронного Ql,k = +, спектра), (7) должно быть разложено еще и по z. Такое a b разложение не составляет труда провести, используя (x) mx известные тождества Al,k 0,k 2 - l,k,0 -Q(y) = -Q2, m, Al,k Ql,k +Ql20my A (z) z l,k l,k sin(Qx) Q e-px cos(Qx) dx =. (9) (x) p Q2 + p Dl,k 2Ql,0Q0,k my (y) = mx, Dl,k Ql,k D (z) Если все перпендикулярные к оси z плоскости одинаl,k ковы и расположены вдоль z с периодом c, (9) можно (x) B l,k применять к (7) непосредственно, положив Q = 2/c.

(y) = sign (z)(2 - k,0)Ql,0 m, В более сложных решетках всегда могут быть выделены Bl,k mz B (z) y простейшие подрешетки, суперпозиция полей которых и l,k дает полное поле.

(x) mz C l,k В целях экономии места мы не приводим здесь полу(y) = sign (z)(2 - l,0)Q0,k 0. (8) чающиеся в результате простые, но довольно громоздкие Cl(z) m C,k x формулы. Заметим лишь, что эти выражения не выглядят l,k симметричными относительно x, y, z и a, b, c, хотя такая На первый взгляд, может показаться, что антисимметричная по z симметрия в действительности существует. Причина, часть (7) не обращается в нуль при z 0. Однако, используя тожде естественно, в очередности проведения разложений Фуства типа lim e-a sin(t) = 0, lim e-a cos(t) = -1/2, рье по x, y и z, и соответствующая симметризация легко a0 a=1 =нетрудно убедиться, что это не так. может быть проведена (см. также сноску 1).

7 Физика твердого тела, 2000, том 42, вып. 1636 Е.В. Розенфельд 2. Поле Лоренца нормальной компоненте намагниченности, никакого особого физического смысла не имеют. В этом, собственно, При расчетах локальных полей в кристаллах обычно и заключается ответ на вопрос, почему после перехода к используется метод Лоренца. Вокруг точки, в которой приближению сплошной среды поверхности разрыва навычисляется поле, выделяется некий достаточно боль- магниченности начинают вносить дополнительные вклашой объем V, внутри которого дискретная структура ды, отсутствующие при суммировании полей точечных решетки учитывается явно. Вне этого объема использу- диполей.

ется приближение сплошной среды, и магнитные диполи Используя обсуждавшиеся в предыдущем разделе разсчитаются не локализованными на узлах, а однородно ложения Фурье, для поля в произвольной точке кристаФразмазаннымиФ в пределах своей элементарной ячейки.

а получаем теперь Вклад такого непрерывного распределения диполей в поле в точке r равен [1] H(r)=H(F)(r)+Hcont(r)=H(F)(r)+HL(r)+H (r). (12) R Здесь H(F) Ч вклад в поле от диполей, учтенных в разлоHcont(r) =HL(r) +H (r), HL(r) = I(r )ds, жении Фурье, а Hcont Ч вклад оставшейся части решетRS(V) ки диполей, распределение намагниченности в которой мы считаем непрерывным. Остается выяснить только, R R почему не все узлы решетки удается учесть в H(F) и H (r) =- m(r )dr + I(r )ds, R3 R3 как вычислять поле Лоренца в случае, когда объем V S r V / оказывается бесконечным в одном и двух направлениях.

Проще всего начать выяснение этих вопросов со m(r) =-div I(r), I(r) =I2(r) - I1(r), случая, когда H(F) представляется в виде суммы полей R = r - r. (10) нескольких ближайших атомных плоскостей (7). В эту сумму можно включить и более удаленные плоскости, Здесь I(r) Ч намагниченность (суммарная плотность что практически не изменит результата из-за экспоненвсех магнитных моментов) в точке r, I(r) Ч разрыв циального спада поля плоскости с удалением от нее.

намагниченности в точке r на поверхности раздела S Однако экспоненциально спадает лишь полное поле всей различных магнитных сред 1 и 2, в частности на поверхбесконечной плоскости, что связано с практически полности тела. Вклады в поле вносят как неоднородности ной компенсацией вкладов ФцентральнойФ (ближайшей намагниченности внутри тела (это вклады, пропорциок точке наблюдения) и ФпериферийнойФ ее частей. Преднальные плотности Фобъемных магнитных зарядовФ m), ставив себе тело произвольной формы разбитым на плостак и ее разрывы I, которым считается пропорциональкие параллельные слои, легко видеть, что ФполнымиФ ной плотность Фповерхностных магнитных зарядовФ.

Pages:     | 1 | 2 | 3 |    Книги по разным темам