Книги, научные публикации
Pages: | 1 | 2 | -- [ Страница 1 ] --
Мини ст ер ст во о б разо вания Р о с с и й с к о й Ф е д е р а ц и и М ар и й с к и й г о с у д а р ст в е н н ы й т е х н и ч е с к и й уни вер си т е т Н а правах р у к о п и с и Ш л ы ч к о в С е р г
е й Вл адим ир ович Методика расчета корпусных элементов музыкальных инструментов 01.02.06. Дин а ми ка, п р о ч н о с т ь м а ш и н, п р и б о р о в и аппаратуры Ди ссер т аци я н а с о и с к а н и е у ч е н о й ст епени к а н д и д а т а т ех н и ч е ск и х нау к Научный руководитель - доктор технических наук, п р о ф е с с о р Ю. А. Ку ли ков Йо шкар - О л а 2004 2 Огла вл ение Стр. П ер е ч е н ь со кр ащений............................................................. 5 В в е д е н и е.................................................................................. 6 1. М е то д ы и с с л е д о в а н и я м у з ы к а л ь н ы х и н с тр умен то в.......... 14 1. 1. Св едени я и з и с т о р и и му зы к альной аку ст ик и................ 14 1. 2. М ат ер и а л ы и к о н с т р у к ц и и.......................................... 17 1.3. Об зор и сследов ан ий д и н а м и к и т о н к о ст е н н ы х ко нстру к ций 22 1. 4. Р а сч ет ные мод е ли и м етод ы и сследо в ани я................. 25 1. 5. - е л и и з ад а ч и р а б о т ы................................................. 33 2. Методика расчета кор пу с ных э л ем е н т о в к о н с тр у к ц и й музы ка льных с т р у н н ы х и н с тр умен то в.................................. 35 2. 1. С и с т е м а р а з р е ш а ю щ и х у р а в н е н и й............................... 35 2. 2. Кон е чный э л е м ент тонко стенной о б о л о ч к и из В К М..... 40 2. 3. Ст ержн евой ко нечн ый э л е м ент.................................... 48 2. 4. Р а с ч е т соб с тв енных фор м и ч ас т о т.............................. 51 2. 5. Р а с ч е т а м п л и т у д у ст ано ви вших ся колеб ан и й............... 53 Вы воды по г л а в е 2............................................................ 56 3. Ана лиз р а с ч е т н о й м о д ел и М К Э......................................... 58 3. 1. Кон стру кци я и р а с ч е т н а я модель д е ки......................... 58 3.2. Упругое деформирование деки. Расчет и эк сп ери м ент....................................................................... 61 3. 3. Т е с т и р о в а н и е. Расчёт п л а с т и н о к................................. 64 3. 3. 1. З а д а ч а ст атики................................................... 64 3. 3. 2. З а д а ч а д и н а м и к и................................................ 67 3. 3. 3. З а д а ч а у ст о йчи во с ти.......................................... 70 Вы воды по г л а в е 3............................................................ 4.
Э к спер иментал ьно е исследование Стр. м еха нических к о л е б а н и й г и та р но й д е к и...................................................... 75 4. 1. Э к спери м ен тальн ая у с т а н о в к а..................................... 75 4. 2. Ан ализ соб с тв енных фор м. Ф и г у р ы Х л а д н и................. 78 4.3. По стро ение АЧХ и определение ко нст ан т д е м п ф и р о в а н и я....................................................................... 81 4. 4. Физико - м е х ан и ч е с к и е х ар а кт ер и ст ики м а т е р и а л о в....... 87 4.5. С о п о с т а в и т е л ь н ы й ан ализ р е з у л ь т а т о в р а с ч ё т о в и эксп е р и м е н т о в Е............................................................................ 90 4. 6. - и ф р о в о й с п е к т р а л ь н ы й а н а л и з.................................. 94 4. 6. 1. В л и я н и е а к у с т и ч е с к о г о р езо на то р а..................... 96 4. 6. 2. В л и я н и е струн.................................................. 99 Вы воды по г л а в е 4...........................................................103 5. Х а р а к т е р и с ти к и г ита р но й деки в зависимости от ко нстру к тив ны х фа кто р ов...................................................105 5. 1. Исследов ан ие н а п р я ж ё н н о г о с о с т о я н и я......................105 5.2. П а р а ме т р и ч е с к и й ан ализ спектра соб с тв енных к о л е б а н и й.............................................................................107 5. 2. 1. В л и я н и е сх емы п о д кр еп л ени я............................107 5. 2. 2. В л и я н и е н а ч а л ь н о г о н ап р яж ен н о г о состо яни я...111 5. 2. 3. В л и я н и е г ео м етр и ч е ск и х р аз м ер о в....................113 5. 2. 4. В л и я н и е к о н с т р у кт и в н ы х ф а к т о р о в....................114 5.3. Сопо ст авлен ие част от со бст в енн ы х колеб ани й деки и с т р у н..........................................................................116 Вы воды по г л а в е 5...........................................................120 6. А на лиз р езо на нсны х х а р а к т е р и с т и к.................................122 6. 1. С т а т и ч е с к и е и д и н а ми ч е ск и е п о д а т л и в о с т и................ Стр. 6.2. З ав и с и мо ст ь р ез о н а н с н ы х амплитуд от сх емы п о д кр еп л ени я........................................................................129 6.3. З а ви си мо с т ь р езо нансных а м п л и ту д о т высот ы р е б е р ж е с т к о с т и..............................................................................134 6.4. З ав и с и мо ст ь р е зо н ан сн ы х амплитуд от уровня д е м п ф и р о в а н и я......................................................................136 Вы воды по г л а в е 6...........................................................138 Общ и е выво ды.....................................................................140 С п и с о к л и т е р а т у р ы..............................................................144 Пр илож ения.........................................................................162 Пр и ло ж ени е 1. Резуль таты т е ст иров ани я............................163 Пр и ло ж ени е 2. Р езультаты в н е д р ен и я................................ П ер е ч е н ь с о к р а щ е н и й АМ АЧХ ВКМ ГУ КЭ М КЭ МИ НД С НИР асимптотический метод, а м п л и т у д н о - ч ас т о т н а я х ар а к тер и с ти к а, во ло книстый к о м п о з и ц и о н н ы й м а т е р и а л граничные условия, ко н ечный элем ент, метод ко нечн ых э л е м ент о в, музы к альны й и н с т р у м е н т, н а п р я ж е н н о - д е ф о р м и р о в а н н о е со стояние, н ау чн о - и с с л е д о в а т е л ь с к а я р а б о т а, ПЭ ВМ п е р с о н а л ь н а я Э В М, САПР - с и с т е м а а в т о м а т и ч е с к о г о п р о е к т и р о ва н и я, С П М - с п е к т р а л ь н а я п ло т н о ст ь мо щност и, ЭВМ - электронная вычислительная машина.
Введение И с т о р и я р а з в и т и я му з ы к альн ы х и н с т р у м е н т о в ( М И ) н еп о ср ед ст в енно св яз ан а с р а з в и т и е м ч е л о в е ч е с к о г о о б щ е с т в а - его культур ы, н ау к и и тех ники. З а многи е сто л ет ия в о б л а с т и р азр а ботки, ко н ст р у и р о в ани я и п р о и з в о д с т в а М И н а к о п л е н б о г а т ы й о п ы т, с ф о р м и р о в а н ы о п р е д е л е н н ы е т р а д и ц и и. Д ли т е л ьн ая э в о люц и я и е с т е с т в е н н ы й о т б о р п р и в е л и к созд ани ю со вер ш ен ны х ко н стру кций. От мети м зн амени тую к р е м о н с к у ю школу ( б л и з К р е м о н ы, Ит али я ). Г л а в а ш к о л ы А. А м а т и ( 1 5 3 5 - 1 6 1 1 ) и его п р о с л а в л е н н ы е у ч еники А. Г в а р н е р и ( 1 6 2 6 - 1 6 9 8 ), Д. Г в а р н е р и ( 1 6 6 6 - 1738), А. Стр а див ари ( 1 6 4 0 - 1 7 3 7 ) и з г о т о в и л и о к о л о 1 0 0 0 ск ри п о к, в и о ло н ч ел е й, контр аб а сов, гитар, д о сих п о р не п р ев зойд ен н ы х п о сво и м д о сто и н с тв а м. Т р а д и ц и и и т ай н ы н е п р е в з о й д ё н н о г о маст ер ств а п е р е д а в а л и с ь о т о тц а к сыну, о т м а с т е р а к у ч ени ку. С е г о д н я сто и мо ст ь лу чших и н с т р у м е н т о в Стр а див ари, Гвар нери п р е в ы ш а е т миллио н у сло в ны х е д и н и ц ( у. е. ). В то же вр емя стои мо сть со вр еменных п е р во к л а с с н ы х М И, к а к п р а в и л о, со ст ав л я е т н е б о л е е д е ся ти т ы с яч у. е., ц е н а ж е ф а б р и ч н ы х инстру м ен т о в д л я н а ч и н а ю щ и х и в о в с е н е п р е в ы ш а е т ст а у. е. Воз н и кает в о п р о с, в ч ё м р азн и ц а м е ж д у ними ? Отр аж а ет ли сло жив ши й с я у р о в е н ь ц ен сто л ь с у щ е с т в е н н у ю р а з н и ц у в к л а с с е ? М о г у т ли совр еменны е М И с о п е р н и ч а т ь с л у ч ш и м и об ра з ц а ми вели ких и т а л ь я н с к и х маст еров ? Д еб ат ы на э т и темы не у т и х а ю т уже о ко ло д в у х с о т лет. Эти в о п р о с ы в о ну ю т не то лько и сп о н и телей и муз ы к а льных маст еро в, но и у ч ё н ы х - и с с л е д о в а т е л е й, з ад а ча к о т о р ы х з а к л ю ч а е т с я в т о м, чт обы не только п о н я т ь эт о р аз ли чи е, но и о п и с а т ь его к о л и ч е с т в е н н о.
От мети м, что д о с и х по р лу чши е о б р а з ц ы МИ и з г о т а в л и в а ю т с я в р у ч н у ю. О с н о в н ы е пар а метры инстру м ентов о п р е д е л я ю т с я о п ы т н ы м п у т ё м, н а о сно ве с л о ж и в ш и х с я т р а д и ц и й и п р а в и л. О ч е в и д н о, во змо жно сти э мп и р и ч е ско г о пути р а з в и т и я к н а сто ящему вр емени в о с н о в н о м и сч ер п аны. В со временных у с л о в и я х, п р е ж д е в с е г о условиях ж е ст ко й к о н к у р е н ц и и, в о многи х областях тех ники п р о и с х о д и т б ы с т р а я с м е н а к о н с т р у к ц и о н н ы х м а т е р и а л о в, и д ет вн едрени е н о в ы х б о л е е с о в е р ш е н н ы х т е х н о л о г и й и кон стру кци й. С т р е м и т е л ь н о р а з в и в ает ся в ы ч и с л и т е л ь н а я м а т е м а т и к а и м е х а н и к а. Б о л ь ш о е в л и я н и е н а н ау к у и тех нику о к азы в а ет р а з в и т и е и совер ш ен ст вов ан и е ЭВМ. Получают развитие методы математического моделирован и я, н а б а з е к о т о р ы х разр аб атыв аю т с я САПР. Со вр еменн а я вы ч и с л и т е л ь н а я т ех н и к а и п р о г р а м м н о е о б е с п е ч е н и е по зво ляют с высо кой ст еп ен ью до стов ерно сти м о д е л и р о в а т ь р е а л ь н ы е п р о цессы и п р о е к т и р о в а т ь б о л е е со в ер ш енн ы е к о н с т р у к ц и и. В му зы к альной пром ыш ленно сти и д е т н а п р я ж е н н ы й п о и с к б о л е е р а ц и о н а л ь н ы х ф о р м и р а з м е р о в констр укций. Вн едр я ют ся прогрессивные ко н ст р у кц и о н н ы е материалы. Разрабатываются М И с н о вы м у р о в н е м а к у с т и ч е с к и х св ойст в. В с ё э т о п р е д ъ я в л я е т п о в ы ш е н н ы е т р е б о в а н и я к к а ч е ст в у п р о е к т и р о ва н и я. С е г о д н я п р и созд ани и и сов ер ш ен ст вов ании М И клю чево е зн ач ен и е п р и о б р етает н а у чн ая б аз а, к о т о р а я, с о д н о й с т о р о н ы, отражает и си ст е м ати з ирует о п ы т, с д р у г о й - и с п о л ь з у е т зн ани я и мет о ды т о ч н ы х нау к: математ ик и, фи зи ки, мех а ники. В д и с с е р т а ц и и р а с с м а т р и в а е т с я к л а с с с т р у н н ы х М И, к о т о р ы е в з ав и с и мо ст и о т спо с оба из в л еч ен ия звука д е л я т с я на к л а в и шн ы е, с м ы ч к о в ы е и щи пковы е. В к а ч е с т в е о б ъ е к т а и сследо в ани я принят струнный щипковый инструмент - семиструнная классич е с к а я г и тар а. П е р в ы е у п о м и н а н и я о г и т а р е о тно с ят с я к X I V - X V в в. Н азвани е "г и т а р а" п р о и з о ш л о о т н а з в а н и я д р е в н е г р е ч е с к о г о М И "ки ф ар а ". В кон це X V I в. ш и р о к о е р а с п р о с т р а н е н и е в Евро пе, з ат е м в А м е р и к е п о л у ч и л а ш е с т и с т р у н н а я и сп ан с ка я г и т ар а. В Р о ссии г и т а р а п о я в и л а с ь п о з д н е е, н ач и н а я с X V I I I в. ш и р о к о е п р и зн ани е п о л у ч и л а с е ми с т р у н н ая г и т а р а. В н а с т о я щ е е в р е м я г и т а р а - о д и н из н а и б о л е е п о п у л я р н ы х и люби мых МИ. Н а н е й играют м и л л и о н ы муз ы к анто в - л ю б и т е л е й, пр офессио налов. О с н о в н ы ми э л е м ент а ми л ю б о г о с т р у н н о г о М И я в л я ю т с я : Х С т р у н ы - исто ч ники м е х а н и ч е с к и х ко лебаний. Х Деки - у с и л и т е л и м е х а н и ч е с к и х ко лебаний. Х А к у с т и ч е с к и е в н у т р е н н и е поло сти - р езо на то р ы зву к овых колеб ан ий. Стр у н н ы й М И в цело м - это с в я з а н н а я у п р у г о - а к у с т и ч е с к а я си ст ема. У п р у г и е ко лебани я с т р у н, д е к и з в у к о в ы е колеб ан и я д а в л е н и я с в я з а н ы д р у г с д р у г о м. Стр у ны с д е ко й пр ед ст авляю т г е н е р а т о р и и з л у ч а т е л ь зву к а, у с т р о й с т в о д л я в о з б у жд е н и я зву ковых в о н в о к р у ж а ю щ е й во зд ушной с р е д е. Кон стру кци я М И со ч ет а ет в с е б е ц е лы й ряд дост ато ч но п р о т и в о р е ч и в ы х с в о й с т в и качест в. С о д н о й с т о р о н ы, М И д о л ж е н б ы т ь легки м, у д о б н ы м для и г р ы, с д р у г о й - о б л а д а т ь до ст ато ч н о й п р о ч н о с т ь ю, ж е ст к о ст ью и д о л г о в е ч н о с т ь ю в у сл о виях э к сп л у ат а ц и и. По ми мо п р о ч н о с т и и ж ё ст к о сти, р е ш а ю щ е е з н а ч е н и е п р и о ц е н к е к ач е ст в а МИ в с ё- т а ки и м е ют ег о аку с т ич е ск ие х а р а к т е р и сти ки. В сво ю оч еред ь аку ст ик а МИ о п р е д е л я е т с я у п р у г и м и, и н е р ц и о н н ы м и и д и с с и п а т и в н ы м и св ойст в а ми его о т д е л ь н ы х элем ент о в.
Од ни э л е м ент ы имеют повышенные ж е ст ко ст ь и д е м п ф и р у ю щ у ю спо соб ност ь ( это, п р е ж д е в с е г о, э л е м ент ы к о р п у с а), д р у г и е, н а о б о р о т, - в м еру п о д а т л и в ы е и и м е ют э кс т р е м а л ь н о н и з к о е д е м п ф и р о в а н и е ( с т р у н ы ). К л ю ч е в ы м э ле м ент о м констр укции муз ы к а льного с т р у н н о г о и н с т р у м е н т а я в л я е т с я д е ка ( з в у ч а щ а я д о с ка ). Ф у н к ц и о н а л ь н о д ек а п р е д н а з н а ч е н а д л я у си л ени я м е х а н и ч е с к и х к о л е б а н и й стр у н. "Зву ки с к р и п к и, г и т а р ы исходят о т е ё деки, а не о т струн, и б о д е к а в с о с т о я н и и в т о р и т ь т е м з в у к а м, к о т о р ы е п е р во н а ч а л ь н о вы зывает с т р у н а " [2 4 ]. К о л е б а н и я струн "р а с к а ч и в а ю т " деку. Д е к а о к а з ы в а е т р е ш а ю щ е е в ли я н и е на фо р мир о в ан ие т е мб р а, си лу и д л и т е л ь н о с т ь и з л у ч е н и я з в у к о в. Ид еальн а я д е к а д о л ж н а [ 1 0, 4 2, 5 9, 1 1 3, 1 1 4 ] : Х Об есп ечив ат ь м и н и м а л ь н ы е п о т е р и п р и п е р ед а ч е эн ер гии у п р у г и х к о л е б а н и й стр у н о кр у жа ю щ ей во зду ш ной ср еде. Х Р а в н о м е р н о у с и л и в а т ь колеб ан и я всех ч а сто т сп ектр а возбуждения. Одн а ко в р е ал ь ны х условиях д е ка о б л а д а е т о пр е д е л е н н о й и з б и р а т е л ь н о с т ь ю. Он а у с или в ае т о д н и с о с т а в л я ю щ и е с п е к т р а возб у ж д е н и я и о с л аб л я ет д р у г и е. Ч а с т о т н а я з а в иси мо ст ь д и н а м и ч е с к о й р е а к ц и и д е ки и с к а ж а е т с о с т а в с п е к т р а возбу жд ени я. Я в л е н и е и зб и р ат е л ь н о ст и и и с к а ж е н и я п р о яв л я е т с я т е м с и л ь н е е, ч е м с л а б е е д е мп фи р о ва н и е, ч е м "о с тр е е " р е зо н ан сы деки. П о в ы ш е н и е д е м п ф и р у ю щ е й спо соб ност и, в с в о ю о ч еред ь, у в е л и ч и в а е т п о т е р и эн ергии м е х ан и ч е с к и х колеб ан и й, ч т о п р и в о д и т к у м ен ьшен ию п р о д о л ж и т е л ь н о с т и зву ч ани я и у х у д ш е н и ю к а ч е ст в а М И. В а ж н о й х а р а к т е р и с т и к о й деки я в л я е т с я е ё у п р у г а я по да т л и в о с т ь. Х о р о ш а я д е к а в с е г д а п о д а т л и в а я. Ч е м вы ше п о д а т л и в о ст ь, т е м н и ж е соб ст в енны е ч а сто т ы, в к л ю ч а я ч а сто т у о с н о в н о г о т о н а, и вы ше а м п л и т у д ы колебани й. Т а к а я д е ка и з л у ч ае т с и л ь н ы й зву к с н и з к и м о сн о в н ы м то ном. Од нако п о в ы ш е н н а я п о д а т л и в о ст ь, в сво ю о ч ер ед ь, п р и в о д и т к з н а ч и т е л ь н ы м д ефо р м аци я м деки п р и н а с т р о й к е и н ат яж ен и и струн к о л к а м и. Т а к и м о б р а з о м, г ар мо нию "и н т ер е со в " п р и х о д и т с я и с к а т ь ко мпро ми ссны м п у т е м, и м е я в вид у следу ю щи е к р и т е р и и к а ч е ст ва : 1. Г л а д к и й, о т н о с и т е л ь н о р о в н ы й характер резо нансно й кри вой [10 5, 106 ]. 2. Ни зкая ч ас т о т а о с н о в н о г о т о н а, и ли дост ато чно в ы со к а я податливость [10, 59]. А к т у а л ь н о с т ь р аб о ты о п р ед е ля ет с я н е о б х о д и м о с т ь ю ре ш е н и я в а ж н о й нау чно - т е х н и ч е с к о й и с о ц и а л ь н о - к у л ь т у р н о й п р о б л е м ы, св я занн о й с р азр аб о т ко й методики р а с ч е т а и п р о е к т и р о в а н и я к о р п у с н ы х э л е м ент о в ко нстру к ций стр у нных М И. Н а з а щи т у выно сят ся р е зу л ьт ат ы, с о д е р ж а щ и е элемен ты нау ч но й новизны: Х М ет о д и к а и с с л е д о в а н и я д и н а м и к и т о н к о ст е н н ы х э л е м ен т о в кон стру кци й МИ. Х Математическая модель и вычислительные алгоритмы р а с ч е т а п а р а м е т р о в со бст в енн ы х и в ы н у ж д е н н ы х к о л еб ан и й с у ч е т о м п о д к р еп л е н и й и н а ч а л ь н о г о Н Д С, о б у с л о в л е н н о г о пр ед вар и т е льны м н а т яж е н и е м струн. Х Р езультаты фи зическог о и м а т е м а т и ч е с к о г о м о д е л и р о в а н и я, у ст ан ав ли в а ю щи е з ав и с и мо сти д и н а м и ч е с к и х х а р а к т е р и с т и к резо нансных д е к о т к о н с т р у кт и в н ы х ф а к т о р о в. Д л я р е ш е н и я пр облемы п р и в л е к а ю т с я м етод ы т е о р и и т о н к и х пластин и о б о л о ч е к из В К М, т е о р и и к о л еб ан и й, в ы ч и с л и т е л ь н о й м а т е м а т и к и и м е х а н и к и, э к сп ери м ент а льны е м етод ы и с с л е д о в а ния. Ди ссер т аци я п р е д у с м а т р и в а л а с ь п л ано м НИР к аф ед р ы сопро тивл е н и я м а т е р и а л о в и п р и к л а д н о й м еханики М а р и й с к о г о г о с у д а р с т в е н н о г о т е х н и ч е с к о г о у н и в е р с и т е т а в рамках г о с б ю д ж е т н о й темы л М ех ан и к а к о н с т р у к ц и й и м а т е р и а л о в ( 1 9 9 9 - 2 0 0 3 г о д ы ). Он а со стоит и з вв ед ени я, ш е с т и г л а в, общих в ы в о д о в, сп иск а и с п о л ь з о в а н н о й л и т ер ат у р ы и п р и л о ж е н и й. В п е р в о й г л а в е дан о б з о р и си ст емати ч ески й ан ализ и с с л е д о ван и й М И, как в н а ш е й стр ан е, т а к и за р у б е ж о м. Прив едены св ед ен и я и з и с т о р и и м у з ы к а л ь н о й аку сти ки. Р а с с м о т р е н ы су щест вую щ ие р а с ч ё т н ы е модели и м етод ы и с с л е д о в а н и я. В ы п о л н е н ан ализ и з в е с т н ы х к о н с т р у к ц и й г и т а р н ы х д е к. Пр ед ст ав лены х ар а к т е р н ы е а к у с т и ч е с к и е х ар а к тер и с ти ки в ы с о к о к л а с с н ы х и фаб р и чн ы х о б р а з ц о в М И. С ф о р м у л и р о в а н ы ц е ли и зад а чи р аб о ты. В т о р а я глава п о с в я щ е н а р азр аб о т к е м е т о д и к и р а с ч ё т а кор пусных элемен тов кон стру кци й МИ. У ч и ты в а ю т с я пер е менна я кривизна поверхности оболочек, анизотропия физико м е х ан и ч е с к и х с в о й с т в м а т е р и а л а, н а л и чи е п о д к р еп л е н и й в в и д е а с и м м е т р и ч н о г о набор а рёбер ж е с т к о с т и. И с п о л ь з у е т с я в ар и а н т М КЭ, о сн о в а н н ы й н а с м е ш а н н о й в а р иа ц и о н н о й ф о р м у л и р о в к е п р и н ц и п а Х е л л и н г е р а - Р е й с с н е р а и т е о р и и то нких о б о л о ч е к Ти мо шен к о. З ад а ч а д и н а м и к и фо р му лир у е тс я к а к зад а ча на вы ну ж д е н н ы е колеб ан ия п р е д в а р ит е л ь н о н ап р яж ен н о й к о н с т р у к ц и и. С учётом демпфирования рассматривается вычислительный алгор и тм р а с ч е т а у с т а н о в и в ш и х с я а м п л и т у д к о л е б а н и й. В тр етьей гла в е д ан а н а л и з р а сч ё тно й м о д ел и. Р а с с м о т р е н а кон стру кци я и р а с ч е т н а я м о д е л ь д е ки к л а с с и ч е с к о й г и т а р ы. И сс л е д о в а н о у п р у г о е д е ф о р м и р о в а н и е по д д ей ст ви е м с и л н ат яж е н и я стр у н к о л к а м и. Д а н н ы е р а с ч ё т о в с о п о с т а в л е н ы с р езу л ьт ат ами э к сп ери м ент о в. Р е ш е н р я д т е сто вы х зад а ч с т а т и к и, д и н а м и к и и усто йчиво с ти тонких п л а с т и н о к. До сто в ерн о ст ь р а с ч е т н о й мо дели п о д т в е р ж д а е т с я с о г л а с о в а н н о с т ь ю полу ченных р е зу л ьт ат о в : п а р а м е т р о в Н Д С, с п е к т р о в со бст в енн ы х ч а ст о т, к р и т и ч е с к и х н агрузок с известными данными классических решений. Исследован ы сх одимо ст ь и т о ч н о с т ь мо делей М КЭ. Четвер та я глава сод е ржит результаты расчётноэк сп ери м ент а льных и с с л е д о в а н и й м е х а н и ч е с к и х ко лебаний г и тарно й деки. Пред ст ав лены методики и апп а ратур а и з м е р е н и й с о б с т в е н н ы х частот и ф о р м, к о н ст ан т д е м п ф и р о в а н и я, а мп ли т у д в ы н у ж д е н н ы х колеб ан ий п р и с и л о в о м мо но гар мони ч еско м возбуждении. У с т ан о в л е н ы фи зико - м е х ан и ч е с к и е х ар а кт ери с тики к о н с т р у кц и о н н ы х м а т е р и а л о в. П о к а з а н о, что д е к а с п о д к р е п л е ниями о б л ад а ет б о л е е р о в н ы м со ст ав ом р езо нансных а м п л и т у д, ч е м д е к а б ез п о д к р еп л е н и й. Р е зу л ьт ат ы физи ческих э к сп ери м ен т о в: р ез о н а н с н ы е а мп ли т у д ы, с о б с т в е н н ы е ч а с т о т ы и ф о р м ы ко л е б а н и й с о п о с т а в л е н ы с д а н н ы м и р а с ч е т а М КЭ. Пут ё м ц и ф р о в о г о с п е к т р а л ь н о г о ан ализ а и с с л е д о в а н о в ли я н и е а к у с т и ч е с к о й в н у т ренней поло сти и с т р у н на сп ек тр с о б с т в е н н ы х ч ас т о т к о л еб ан и й деки. В п я то й г л а в е и с с л е д у е т с я н ап р яж ен н о е со сто яни е д е ки п о д д ей ст ви е м с и л н а т я ж е н и я с т р у н. По казаны 1 0 низших собств ен н ы х фо рм в з а в и си мо с т и о т схем ы п о д кр еп л ени я. Исследо в аны зави си мости с п е к т р о в с о б с т в е н н ы х ч а сто т о т к о н с т р у к т и в н ы х ф а к т о р о в. У ст а н о в л е н ы о с н о в н ы е з ак о н о м ер н о ст и. Со бст в енн ы е ч ас т о т ы деки сопо ст авлены с ч а сто т н ы ми х ар ак т е р и ст и к а ми струн. Д е к а и струны р а с с м а т р и в а ю т с я к а к п а р ц и а л ьн ы е д и н а ми ч ес к и е системы.
В ш е ст о й г л а в е п р и в о д я т с я р ез у ль т аты в ы ч и с л и т е л ь н ы х э к сп е р и м е н т о в. Р а с с м а т р и в а ю т с я ст ат ич ески е и д и н а м и ч е с к и е п о д а т л и в о с т и т о ч е к кр еп лени я с т р у н к д е к е. В зави си мости о т сх емы п о д к р еп л ени я, р а з м е р о в р ёб ер ж е ст ко сти и у р о в н я д е м п ф и р о ван и я и сследо в аны сп ектры р е зо н ан сн ы х а м п л и т у д. В о б щ и х в ы в о д а х п о д в о д я т с я и т о г и д и с с е р т а ц и о н н о й р аб о ты. В п р и л о ж е н и я х п р и в о д я т с я р езу л ьт аты р е ш е н и й зад а ч ст ат и ки, д и н а м и к и и усто йчиво сти п л а с т и н о к, п о д тв ер жд а ю щи е д о с т о в е р н о ст ь р а с ч е т н о й мод е ли МКЭ. Пр ед ст авлены р е з у л ь т а т ы вн едр ен ия д и с с е р т а ц и о н н о й р а б о ты.
1. М е то д ы и с с л е д о в а н и я м у з ы к а л ь н ы х и н с тр умен то в В п ер во й г л а в е дан кр ат кий а н а л и з и с с л е д о в а н и й в о б л а с т и д и н а м и к и т о н к о ст е н н ы х к о н с т р у к ц и й. Р а с с м о т р е н ы с у щ е с т в у ющи е р а с ч е т н ы е мод е ли и м е т о д ы и с с л е д о в а н и я МИ. Прив ед ен ы св ед ен и я из и с т о р и и м у з ы к а л ь н о й а к у с т и к и. Пр ед ст авлены к о н с т р у к ц и о н н ы е м а т е р и а л ы, р а с с м о т р е н ы к о н с т р у к ц и и резо нанс н ы х д е к. С ф о р м у л и р о в а н ы цели работы и пост ав лены зад а чи и сследований. 1. 1. Сведения и з истор и и м у з ы к а л ь н о й а ку с т ик и Музы кальн ая а к у с т и к а - о д н а из н аи б о л е е д р е в н и х о б л а с т е й з н ан и й. Е щ е д р е в н е г р е ч е с к и й м а т е м а т и к и фило соф Пи ф аго р ( 6 век д о н.э.) вид ел с в я з ь м е ж д у вы сотой то на и д ли н о й стр у ны. С и м е н е м П и ф а г о р а с в я з а н о по стро ени е п ер во г о в и с т о р и и чело в е ч е с т в а му зы к а ль ного с т р о я, в котор о м в к а ч ес т в е осно в ы и сп о л ь з о в а н а ч и с т а я к в и н т а с о т н о ш е н и е м ч а ст о т 3 : 2. - е л о с т н а я с и с т е м а зн ан ий о движении и музы к е п р е д с т а в л е н а в э н ц и к л о п ед и ч е ск и х труд ах Ари стот е ля ( 4 в е к д о н. э.). У ж е в то д а л ё к о е о т н а с вр емя А р и с т о т е л ь п р ав и л ьн о т р а к т о в а л п р и р о д у зву к а. З ву к о н с в я з ы в а л с р а с п р о с т р а н е н и е м во н разр еж ени я и сж ат и я в о з д у х а. О с н о в ы у ч е н и я о музы к альной аку сти к е д р е в н и х и з л о ж е н ы в к л а с с и ч е с к и х трудах С. Б е т и у с а (480 - 525). Мно г ие и з его взг лядо в б л и з к и н а ш и м п р е д с т а в л е н и я м. В ч а стно ст и о н п и с а л : "Если д в и ж е н и е п р и у д ар е м е д л е н н о е, то в о з б у ж д а е т с я б о л е е н и з к и й т о н, и б о п о д о б н о тому, к ак м е д л е н н о е д в и ж е н и е б л и ж е к со сто ян ию по ко я, т а к и н и з к и й т о н б л и ж е к м о л ч а н и ю. Б ы с т р о е д в и ж е н и е п р и в о д и т к в ы со к о м у зву чанию. Вся со во купность час тей со единя ет ся в и зв е стн о й п р о п о р ц и и. П р о п о р ц и и ж е п о з н а ю т с я, г л ав н ы м о б р а з о м, в числах. В з ави си мо сти о т мно г о кр атн ы х или п о д р а з д е л е н н ы х п р о п о р ц и й с л ы ш а т с я л и б о соз ву ч ные, ли бо н е с о з в у чн ы е то ны. Со з вучны е т о н ы - это т а к и е т о н ы, котор ы е, взяты е одновр еменно, созд ают п р и я т н о е и с л и т н о е з в у ч ани е. Н есоз ву чн ы е т о н ы - это т а к и е то ны, к о т о р ы е, в з я т ы е о д но вр е м ен но, не создают приятного и слитного звучания". По след н е е по ло жение п о чти д о с л о в н о с о в п а д а е т с со в р емен ными пр ед ст авлени я ми к о н с о н а н с а и д и с с о н а н с а. Одни м из о сно ва т ел ей со вр еменной муз ы к а льной а к у с т и к и п р и н я т о сч ит ат ь в е ли к о г о Г. Г а л и л е я ( 1 5 6 4 - 1 6 4 2 ). Г али л ей пред ст авля л, чт о з в у ч а щ е е т е л о и с п ы т ы в а е т у п р у г и е колеб ан и я. П р и ч ё м высот а звука о п р е д е л я е т с я ч а сто т о й к о л е б а н и й, и н т е н си вно ст ь з в у к а - а мп ли т у д о й. Г а л и л е й п ы т а л с я п о н я т ь и о б ъ я снить, п о ч е му м у з ы к а л ь н ы е и н т ер в а лы с про стыми о т н о ш е н и я м и 1 : 1, 1 : 2, 2 : 3 и н е к о т о р ы е д р у г и е - к а ж у т с я п р и я т н ы м и на с л у х, а муз ы к а льны е интер в алы с о т н о ш е н и я м и б о л ь ш и х ч и с е л, н а п р и мер 1 5 : 1 6, - н е п р и я т н ы м и. В и ст о р и и му зык а льн о й аку с тики о с о б о е место з а н и м а е т с т р у н а к ак и с т о чни к з в у к а [69 ]. Пр и и зу ч ени и м е х ан и ч е с к и х ко л е б а н и й с т р у н были о т к р ы т ы многи е законы а к у с т и к и. Р е ш е н и е зад а чи о колеб ани ях с т р у н по служило о с н о в о й р я д о в Ф у р ь е ( о сн о в о й г ар мо н и ч е ско г о а н а л и з а). З д е с ь, п р ежд е в с ег о, о т м е т и м т р у д ы Ж. С а в е р а ( 1 6 5 3 - 1 7 1 6 ), о п у б л и к о в а н н ы е Пар иж с кой а к а д е м и е й нау к в 1 7 0 0 - 1 7 0 7 годах. В н и х и з л о ж е н ы р е з у л ь т а т ы э к сп ери м ент а льн ы х исследов ан ий колеб ан ий с т р у н и вп ервые и с п о л ь з о в а н ы т е р ми н ы : у зе л и п у чн о с т ь к о л еб ан и й, о с н о в н о й и в ы с ш и й т о н ы. По каз ан о, что п р и колеб ан иях стр у н излу чается з в у к, со о т в ет ст в у ю щий н е с к о л ь к и м т о н а м, взяты м одновр еменно. Б о л е е в ы со ки е т о н ы н а х о д я т с я в кр атно м отно шении к ч а сто т е о сно вно г о т о н а. В с е э т и пред ст ав л е н и я, в в е д е н н ы е в 1 7 0 0 г о д у, со х р ани ли с ь н е и з м е н н ы м и д о н а ших д н е й. П е р в о е р е ш е н и е з ад ач и о ко лебани ях струн было п о л у ч е н о Б. Т э й л о р о м ( 1 6 8 5 - 1 7 3 1 ). Т е й л о р р а с с ч и т а л ч а сто т у о с н о в н о г о т о н а в з ав и с и мо сти о т д л и н ы, м а с с ы и силы н ат яж ен и я струны. П р о б л е м ы ко лебани й с т р у н занимали видно е место в р а бо т а х Л. Эйлера (1707 - 1783), Д. Б ер н у л ли (1700 - 1782), Ж. Д 'А л а мб е р а ( 1 7 1 7 - 1 7 8 3 ), Ж. Л аг р а н ж а ( 1 7 3 6 - 1 8 1 3 ). В э т и х р аб о тах р а з р а б о т а н а о б щ а я в о л н о в а я т е о р и я и полу чено р е ш е н и е зад а чи о б у с т а н о в и в ш и х с я ко леб ани ях струн. Дин амическо е п о вед е ни е струн пред ст ав лено суп ерпо зици ей д в у х п о п е р е ч н ы х волн, б е г у щих н ав с т р е ч у д р у г д р у г у в п р о д о л ь н о м н а п р а в л е н и и. З а д а ч а о неу с тано вивших ся колеб ан иях стр у н с у п р у г и м и опорами на основе р е ш е н и я в о л н о в о г о у р а в н е н и я в ф о р м е Ф у р ь е р а с с м о т р е н а С. П. Ти мо шен ко [ 1 2 4 ]. П о к а з а н о, что во новы е эффекты п р ед ст ав ля ют п р а к т и ч е с к и й и н т ер е с ли шь п р и и с с л е д о в а нии переходных процессов, обусловленных ударным нагружением. Задачи о колеб ани ях с т р у н вы зывают и н т е р е с и в н а ши д н и. В р а б о т а х Ю. А. Демьян ова [39 ], Н. А. Ко маро ва [56, 57 ] с т р у н а пред ст авлен а к а к элемент кон стру кци и МИ. У ч и ты в а ю т с я и зм е н е н и я д л и н ы и р а с т я г и в а ю щ е й с и л ы в р езу ль т ат е п р и жи м а ст ру н ы к л а д у п р и У пер ебо ре Ф стр у н. Р а с с м а т р и в а ю т с я п а р а м ет р и ч е с к и е э ф ф е кты : нар яду с р а сп р о стр ан е н и е м п о п е р е ч н ы х во н и сс л е д у ю т с я п р о д о л ь н ы е волн ы, св я занн ы е с к о л е б а т е л ь н ы м и дви жениями опорной ко нстру кц ии. Од нако результаты решений пред ст авля ют о г р а н и ч е н н ы й и н т е р е с, по ско л ьку п о л у ч е н ы п р и о т су т с т ви и д о с т о в е р н ы х д а н н ы х о д и н а м и ч е с к и х х а р а кт ер и сти к ах о п о р н о й ко нстру кц и и. З а м ет и м, ч т о о п о р о й стру ны с л у ж и т д е к а. Х а р а к т е р и с т и к и о п о р н о й констр укции о пр ед е ля ют ся, п р еж д е в с ег о, д и н а м и ч е ск и м и податливо с тями д ек и. О с н о в а т е л е м э к сп ери м ентально й а к у с т и к и по п р а в у с ч и т а е т с я Э. Х л а д н и ( 1 7 5 6 - 1 8 2 7 ). В с в о е й к н и г е по а к у с т и к е [1 56 ] о н п р и в ё л р е з у л ь т а т ы и сследов ан ий колебани й з в у ч а щи х т е л - м е мбран, п л а ст и н, коло ко лов. О н пер вый п р о д е м о н с т р и р о в а л су щест вов ан ие у з л о в ы х лин и й п р и колеб ан иях п л а с т и н о к. Большо й вклад в р а звит и е му зы к а ль ной акустики вн ес Г. Г е ль мг о л ьц ( 1 8 2 1 - 1 8 9 4 ). Гельмго л ьц г л у б о к о п р о н и к в со ст ав му зык а льн ы х зву к ов;
т е м б р зву к а о б ъ я с н и л н ал и чи е м д о б а вочных т о н о в ( о б е р т о н о в ) ;
п о с т р о и л м а т е м а т и ч е с к у ю мод е ль ч ел о в е ч е с к о г о у х а, о ткр ы в пр и эт ом к о м б и н а ц и о н н ы е р ез о нан сы. Работы по ак усти к е на у р о в н е конц а XI X в е к а п о л у ч и л и систематическое изложение в фундаментальном труде Дж.У. Р эл е я ( Д ж. В. С т р е т т а) [ 1 2 2 ]. В н е м с е д и н ы х позиций р а сс м о т р е н ы к о л е б а т е л ь н ы е и во н овые п р о ц е с с ы, и м е ю щ и е р аз ли чн у ю фи зическу ю п р и р о д у. 1. 2. Ма тер иал ы и к о н с тр у к ц и и кор п усных э л ем е н т о в О с н о в н ы ми элемент а ми к о р п у с а М И я в л я ет с я д е к а. Р а с с м о т р и м о со б енно с т и к о н с т р у к ц и й резо нансных д е к, х ар а к тер ны е для щип ко в ых и смычко вы х с т р у н н ы х М И [ 1 0, 1 5, 5 9, 61, 113]. Р езо н ан сн а я д е к а, п р е ж д е в с е г о, это т о н к о ст е н н а я к о н ст р у к ц и я. Р а з м е р ы и ф о р м а д е ки о п р е д е л я ю т вид М И. У к л а с с и ч е с к и х гитар и скрипо к д е к а н а п о м и н а е т в о с ь м ё р ку, у м а н д о л и н и д о м р - н е п р а в и л ь н ы й овал, у балалаек - т р е у г о л ь н и к. У о д н и х М И д е к а п ло с к ая, у д р у г и х - п р о с т р а н с т в е н н а я кр и в о ли н ейн а я. Ст ен к а, к ак пр авило, и м е ет п е р е м е н н у ю т о л щ и н у.
Деки со времен н ы х М И ( даже в пред елах о д н о г о вид а ) отли ч аю т с я б о л ь ш и м р азно о б р аз и е м фор м. В н а с т о я щ е е в р е м я идёт широ ки й п о и с к н о в ы х ф о р м ( к о н ф и г у р а ц и й ), о д на ко э т о т п о и с к п р о в о д и т с я и ск л юч и т ел ь н о э м п и р и ч е ск и м п у т ё м. Н е с м о т р я н а ук аз ан ны е р а з л и ч и я, в с е д е к и с о д е р ж а т о д н о т и п н ы е элемент ы : р е з о н а н с н ы й щи т в вид е п л а ст и н к и или о б о лочки, п р у ж и н к и, п о д с т а в к у для стр у н. В р е з о н а н с н ы х щи тах преду с матри в аю тся о т в е р с т и я - к р у г л ы е и ли в вид е буквы У S Ф ( У эфы Ф у с к р и п о к ). От в ер сти я служат д ля пер е дачи а к у с т и ч е с к и х колеб ан ий сто л ба в о з д у х а, з ак лю ч ённ о г о в н у тр и к о р пу с а, в о кр у ж а ю щ у ю возд ушну ю ср еду. Р азр ы в а я поверх ность верхн е й д еки, о н и не то лько о к а з ы в а ю т вли ян и е на е ё с о б с т в е н н ы е фо рмы колеб ан ий, о со б е н н о в о б л а сти высо ких ч ас т о т, но и, ч т о в аж н е е, у си ли ва ют зву к в о б л а с т и н и з к и х ч а ст о т. Э т о п р о и с х о д и т з а с ч е т явлени я "в о з д у шн о г о р е з о н а н с а Г е ль мг о л ьц а ", пр и возвр а т н о п о с т у п а т е л ь н о м д в и ж е н и и ч ер е з о т в е р с т и я в о з д у х а. Д л я у ве ли ч ени я ж ёс т ко сти р е з о н а н с н о г о щи т а п р и м е н я ю т с я п р у ж и н к и. Пру жин ки п р ед ст ав ля ют д е р ев ян н ы е б р у с к и, п р и к л е и в а е м ы е к в н у т р ен н ей п о вер х н о сти д ек и. Они служат для аку сти ч ес к о й настройки М И. Сх ема р а спо лож ени я пр ужино к, их р а з м е р ы о к а з ы в а ю т с у щ е с т в е н н о е в л и я н и е н а с п е к т р колебаний д е ки, н а си лу и т е мб р зву к а М И [ 1 0, 5 9, 1 1 3 ]. Н а р и с. 1.1 и з о б р а ж е н ы х а р а к т е р н ы е сх емы п о д к р еп л е н и й г и тарно й деки. Р аз ли ч а ю т п о п е р е ч н у ю, веерну ю и к о м б и н и р о в а н н у ю сх емы [59, 93, 95]. С х е м а 2 х а р а к т е р н а д ля г и т а р м а с с о в о г о п р о и з в о д с т в а. С хемы 3 - 9 - для в ы с о к о к л а с с н ы х г и т а р. О ч е в и д н о, ч т о к аж д а я из этих с х е м и м е ет св ои д о с т о и н с т в а и свои н е дост ат к и. М ат ер и а л о м д л я изг о то вления д е к т р а д и ц и о н н о с л у ж и т резо н ан сн а я д р е в е с и н а. А к у с т и ч е с к и е с в о й с т в а д р ев е си н ы х ар ак тер и 19 1 Рис.1.1. Характерные схемы подкреплений зуют ся акустической к он ст а нтой, и ли ко н ст ан т о й излу чения Н. Н. А н д р е е в а [ 5, 1 6 1 ] : K= E = c, ( 1.1 ) г д е Е - м о д у л ь у п р у г о с т и, - пло тно сть, с - с к о р о с т ь р а сп р о стр ан ен и я зву к а в д р е в е с и н е. Ч е м б о л ь ш е в ел и ч и н а K, т е м лу чше древесина. Н а и б о л е е п о д х о д я щ и м и м а т е р и а л а м и д ля д ек с ч и т а ю т с я ель, со сн а, п и х т а к а в к а з с к а я, кед р сибир с кий. И з них н а и б о л ь ш е е р а с п р о с т р а н е н и е п о л у ч и л а р е зо н ан сн а я ель [1 3 0 ]. К н а с т о я щ е м у времен и р е з о н а н с н ы е п о р о д ы д р ев е си н ы с т ан о в я т с я у н и к а л ь н ы м п р и р о д н ы м сыр ь ём. Ст оимо ст ь кубо метр а с е р т и ф и ц и р о в а н н ы х заг о товок на миро вом р ы н к е д о с т и г а е т 1 - 1, 5 ты с. д о л л а р о в С Ш А. Вы со к а я сто и мо ст ь р ез о н а н с н о й д р е в есины з а с т а в л я е т п р о и з в о д и т е л е й М И в е сти эн ергичный п о и с к альтернативных материалов. В к а ч е ст в е з а м ен и т е л ей древесины находят при м ен ени е м е т а л л ы, к а р т о н, клеён а я фанер а, ст екло, р аз ли чны е п л а с т м а с с ы [90, 96, 97]. Од нако ни о д и н м а т е р и а л не п о л у ч и л ш и р о к о г о р а сп р о с т р а н е н и я. Опыт ы НИИ му зык а льн о й п р о м ы ш л е н н о с т и п о к азали [1 13 ], что з а ме н а к о н с т р у к ц и о н н о г о м а т е р и а л а д о л ж н а со п р о в о ж д а т ь с я и з м ен ен и я ми ф о р м ы д е ки. То лько пр и этих усло виях д о с т и г а ю т с я у д о в л е т в о р и т е л ь н ы е р езу л ьт аты. В р аб о т ах [91, 98 ] д л я и зг о т о вл ен и я к о р п у с н ы х э л е м ен т о в с т р у н н ы х М И и сп о л ьзу ют ся п о р и с т ы е п л а с т и к и. От мечает ся, что М И и з п о р о п л а с т о в о б л а д а ю т п о вы ше н н ы ми а к у с т и ч е с к и м и к а ч е ст в а ми. В то ж е в р е м я и х о т л и ч а ю т ср ав нит ельно м а л ы й ве с, вы со ки е п р о ч н о с т ь и д о л г о в е ч н о с т ь. П о р и с т ы е п ен о м ат ер и а лы : п о л и у р е т а н, п о л и с т и р о л и А В Сп л а с т и к о б л а д а ю т а к у с т и ч е с к и м и х ар а кт ер и ст и к а ми, б л и з к и м и к х ар ак т е р и ст и к а м р е зо н ан сн о й д р е в е с и н ы [ 1 3 3 ]. К д о с т о и н с т в а м п о л и у р е т а н а о т н о с я т с я высо ки е п р о ч н о с т ь и эл а ст и ч н о ст ь, п р о ст ая т е х н о л о г и я м ех ан и ч е ско й о б р а б о т к и. К н е д о с т а т к а м - б ы стро е ст ар ени е и по зу ч есть. В р аб о т ах [9 9 - 1 0 1 ] п р и и з г о т о в л е н и и д ек п р ед лаг а ет ся и сп о л ь з о в а т ь с п е ц и а л ь н ы е п о к р ы т и я. В [ 9 4 ] р а с с м а т р и в а е т с я в ар и ант н ан е с ен и я в и б р о п о г л о щ а ю щ и х ( д е мп фир у ю щи х ) п о к р ы т и й н а о т д е л ь н ы е у ч а с т к и п о в е р х н о с т и д ек и. С е г о д н я в к ач е ст в е п е р сп е кти вн ы х к о н с т р у к ц и о н н ы х м а т ер и а л о в для п р о и з в о д с т в а М И р а с с м а т р и в а ю т с я ко мпо зиты. И з в е с т н ы р е а л ь н ы е к о н с т р у к ц и и гитар и скрипо к, у к о т о р ы х д е к и и з г о т о в л е н ы из п л а с т и к о в, ар миро в ан ных ст еклянн ы ми и у г л ер о д н ы м и воло кнами [ 4 4, 5 5, 9 2 ]. И сп ы т ан и я, п р о в е д ё н н ы е в Уни вер си т ете ш т а т а Ю ж н о й К а р о л и н ы ( С Ш А), по казали, что п р о чн о стны е и а к у с т и ч е с к и е х а р а к т е р и с т и к и М И из у г л е п л а с т и к о в ( г р а ф и т - э п о к с и д н а я с м о л а) не у сту па ют х а р а кт ер и сти к а м М И, и з г о т о в л е н н ы х из лу чших п о р о д р ез о н а н с н о й д р ев е си н ы. От мети м, что иску сственные к о н с т р у к ц и о н н ы е м а т е р и а л ы п р и м е н я ю т с я н е то лько в о п ы т н о - кон с труктор с ких р а зр аб о тк ах. Н а ф аб р и к е по п р о и з в о д с т в у н а р о д н ы х музы к а льных и н стр у м е н т о в и м. А. В. Лун ачар с кого ( А О О Т У Арф а Ф) для п р о и з в о д с т в а щип ко в ых М И: г и т а р, домр, б а л а л а е к в н а сто я щ ее вр емя и сп о ль зуют ся п л а с т м а с с ы [10 ]. Д л я э т о г о п р и м е н я ю т с я т е х н о л о г и и вакуу мног о ф о р м о в а н и я. Ш и р о к о й и з в е с т н о с т ь ю п о л ь з у ю т с я к о мп а н и и R u s s t o n e X X I, C a t a l y s t I n s t r u m e n t s и CA Guit ars, у с п е ш н о вн едряющи е в п р о и з в о д с т в о с т р у н н ы х М И и с к у с с т в е н н ы е м а т ериалы. К а ч е с т в о МИ н а о с н о в е с о в р е м е н н ы х м а т е р и а л о в не у ст у пает лу чши м т р а д и ц и о н н ы м о б р а з ц а м. Т а к и м о б р а з о м, в о б щ е м слу ч ае р езо н а н сн а я д е к а с т р у н н о г о М И - эт о т о н к о ст е н н а я простр ан ст в ен ная кон стру кци я, ко т о р а я имеет ц е лы й р я д сп еци фич ески х о с о б е н н о с т е й. Е ё о т л и ч а ю т п ер е м е н н ы е кр и в и зн а по верх ности и т о л щ и н а ст ен ки ;
дост ат очно с л о ж н а я и р а з н о о б р а з н а я к о н ф и г у р а ц и я конту р а;
н е о д н о р о д н а я с л о и с т о - воло кн ист а я с т р у к т у р а м а т е р и а л а пр и ярко в ы р а ж е н н о й ан и з о тр о пии ф и з и ко - м е х ан и ч е с к и х св ойст в ;
н а л и ч и е а с и м м е т р и ч н о г о набор а рёбер ж ё ст ко ст и ( п р у ж и н о к ) ;
п о л е н а ч а л ь н ы х н ап р я ж е н и й, о б у с л о в л е н н ы х п р е д в а р ит е л ь н ы м н а т яж е н и е м струн. 1.3. Об зор и с с л е д о в а н и й д и н а м и к и т о н к о с т е н н ы х ко нструкций Р а з р а б о т к е м е т о д о в и с с л е д о в а н и й д и н а м и к и тонко с тенны х к о н стру кций по св я щ ен ы много чи с ленн ые р аб о ты. Р е зу л ьт аты р аб о т о п у б л и к о в а н ы во многих ст ат ьях, р я д е м о н о г р а ф и й, п р е д ст авлен ы в у ч е б н о й и с п р а в о ч н о й лит е ратур е [ 4, 8, 1 7, 2 8, 2 9, 3 1, 32, 40, 41, 52 - 54, 73, 75, 76, 81, 85, 111, 117]. С у щ е с т в у ю т н е с к о л ь к о вари ан тов т ео р и и мно г ослойн ых п л асти н и о б о л о ч е к из В К М. В о т л и ч и е о т о д н о р о д н ы х и и з о т р о п н ы х м а т е р и а л о в, з д е с ь в аж н ы м ф а к т о р о м р а сч ё тно й сх емы я вл я ю т с я дефор м ации попер е чно г о сдви га и си лы и н е р ц и и, с в я з а н н ы е с п о в о р о т о м нор м али. Одни м из п ер в ы х в ар и ан т о в т е о р и и т о н к и х п л а ст и н, учиты вающей попер е чный сд виг, б ы л п р е д л о ж е н Е. Р ей сн е р о м в 1 9 4 4 г о д у [17 2 ]. Результаты ф у н д а м е н т а л ь н ы х и с с л е д о в а н и й п р ед ст ав лены в работах Н.А. Алфутова, П.А. Зиновьева, Б.Г. Попова [1, 2, 104], С.А. Амбарцумяна [3], В.Л. Бидермана [18], В. В. Б о л о т и н а [ 2 0 - 2 3 ], Г. А. В а н и н а [25 ], В. В. В а с и л ь е в а [27 ], Р. Кр и ст ен с ен а [60], С.Г. Л е х н и ц к о г о [6 8 ], Ю. Н.Р а б о тн о г о [108], С.П. Т и м о ш е н к о [ 1 2 4 - 1 2 6 ], Л.А. Ш ап о в а ло в а [1 32 ] и д р у г и х а в т о р о в.
К а к пр авило, у р а в н е н и я д и н а м и к и с т р о я т с я н а б а зе у р а в н ен и й ст атики, п у т ё м в в е д ени я в них д и н а м и ч е с к и х ч л ен о в, у чи т ы вающих си лы и н ер ц и и и си лы со п р о т и вл ен и я д в и ж е н и ю. Д ля это г о п р и м е н я ю т с я п р и н ц и п Даламбер а и л и в а р иа ц и о н н ы й п р и н ц и п Гамильтона - Остроградского. От мети м д в а п р и н ц и п и а л ь н ы х п о д х о д а к п о с т р о е н и ю р а с ч ё т н ы х мо делей т о н к о ст е н н ы х ко нстру кц ий. П е р в ы й п о д х о д п р е д у сматри в а ет применение уравнений пространственной (общей) т е о р и и у п р у г о с т и. В т о р о й п р е д п о л а г а е т с в е д е н и е т р ё х м е р н о й за дачи к д в у м е р н о й на основе р яд а у п р о щ а ю щ и х п р ед п о ло ж ен и й ( г и п о т е з). Из в е стн ы два т и п а ф и з и ч е с к и х г и п о т е з. Г и п о т е зы пер вого т и п а о п и с ы в а ю т д ефо р мир о в ан ие к а ж д о г о сло я в о т д е л ь н о с т и, поэто му носят н а з в а н и е г и п о т е з ло маной н о р м а л и. П о р я д о к раз р е ш а ю щ и х у р а в н е н и й в это м с л у ч а е п о л у ч а е т с я кр ат ным чи слу слоёв. Гипотезы второго типа отражают деформирование пакета с л о ё в в цело м, поэто му их называют п а ке т н ы м и гипотезами. По р я д о к р а з р е ш а ю щ и х у р а в н е н и й в это м слу ч ае не з а в и с и т о т чи сла слоёв. В м о н о г р а ф и и В. В. В а с и л ь е в а [ 2 7 ] п р е д с т а в л е н а у н и в е р с а л ь н а я р а с ч ё т н а я мод е ль т онко стенных э л е м ент о в к о н с т р у к ц и й и з к о м п о з и т о в, у ч и т ы в а ю щ а я п о п е р еч н ы й сдвиг. Р а с с м о т р е н шир о кий к л а с с з ад ач ст ати ки и д и н а м и к и п л а ст и н и о б о л о ч е к. В с л у ч а е, если т о л щ и н а о б о ло чк и и с д в и г о в а я ж ё ст к о ст ь п ак ет а до ст ато чн о малы, х о р о ш е е п р и б л и ж е н и е п о л у ч а е т с я н а о сн о в е г и п о т е з, п р е д л о ж е н н ы х С.П. Ти мо шен к о [126]. Г и п о т е з ы т и п а Ти мо шен к о позво ляют п о л у ч а т ь дост ато чно кор р ектны е и ко мп акт ные р е ш е н и я : п о р я д о к р а з р е ш а ю щ и х у р а в н е н и й по лу чает ся н е з а в и с и м ы м о т ч и с л а с л о ё в.
С л е д у е т и м е т ь в вид у, что к л а с с и ч е с к и е т е о р и и о б о л о ч е к спр ав ед лив ы д л я о б л а с т и н и з ш и х ч ас т о т колебани й п р и у с л о в и и, что т о л щ и н а ст ен ки до ст ато чн о м а л а по ср ав нени ю с д л и н а м и п о лу во н р а сч ёт ных фор м ко лебаний. Д л я р е ш е н и я з а д а ч д и н а м и к и т о н к о ст е н н ы х ко нстру кц и й ши роко п р и м е н я ю т с я а си мп т о т и ч е ск и й метод [ 2 0, 2 2, 2 8 ], в ар и а ц и о н н ы е методы Р эл е я - Р и тц а, Г а л ёр к и н а [8, 18, 26, 124]. Од н ако о б л а с т ь применимо с ти к л асси ч еских м е т о д о в о г р а н и ч е н а в о сновно м а к а д е м и ч е с к и м и п р о б л е м а м и. Д л я р а с ч ё т а р е а л ь н ы х констру к ций ш и р о к о е р а с п р о с т р а н е н и е п о л у ч и л и ч и с л е н н ы е метод ы. При м ен ени е ч и с л е н н ы х м е т о д о в о с о б е н н о э ф ф е к т и в н о д ля к о н с т р у к ц и й со с л о ж н о й г е о м е т р и е й, с р а з р ы в а м и ф и з и ко - м е х ан и ч е с к и х свой ст в м а т е р и а л а, п р и с л о жн ы х Г У [11, 12, 33, 83, 104, 107, 109, 119]. В основу ч и с л е н н ы х м е т о д о в поло жены д и с к р е т н ы е р а с ч е т н ы е сх емы. В р езу л ьт ат е д и с к р ет и з а ц и и к о н т и н у а л ь н а я си ст ема с б е с ч и с л е н н ы м ч и с л о м ст еп ен ей свобо д ы п р и в о д и т с я к с и с т е м е с ко нечны м чи сло м ст епеней с в о б о д ы. Д л я д и с к р ет и з а ц и и констру к ций п р и м е н я ю т с я к о н еч н о - р а з н о с т н ы е и к о н еч н о - элемен тные сх емы. Э ф ф е к т и в н ы м ср ед ст в о м р еа л и з а ц и и ч и с л е н н ы х м е т о д о в являют ся в а р и а ц и о н н ы е ф о р м у л и р о в к и : у с л о в и я ст ац ионарно ст и н е к о т о р ы х э н е р г е т и ч е с к и х фу н кц и о н а л о в [16, 26 ]. О с о б е н н о р ац и о н а л ь н ы м о к а з ы в а е т с я с о ч е т а н и е в а р иа ц и о н н ы х ф о р м у л и р о в о к с апп ар ато м м а т р и ч н о й а л г е б р ы. В р а б о те Б. Г. Попо ва [ 1 0 4 ] такой п о д х о д н аз ва н в а р и а ц и о н н о - м а т р и ч н ы м. При о п и с а н и и с л о ж н ы х п р о ц е с с о в д е ф о р м и р о в а н и я, х а р а к терных для м н о г о с л о й н ы х т о н к о с т е н н ы х к о н с т р у к ц и й с н ео д н о р о д н о й с т р у к т у р о й, с ярко в ы р а ж е н н о й ан и зо т р о п и ей физи ко м е х ан и ч е с к и х с в о й с т в, в а р иа ц и о н н о - м а т р и ч н ы е м етод ы позво л яют стро ить с и с т е м ы р а з р е ш а ю щ и х у р а в н е н и й с т р о г о в с о о т в е т с т вии с и с х о д н ы м и д о п у щ е н и я м и и гипотезам и. П р и б л и ж е н н ы е р еш е н и я в это м случ ае п о л у ч а ю т с я н а и б о л е е до ст овер ны ми. С е г о д н я о д н и м из н аи б о л е е р а с п р о с т р а н е н н ы х ч и с л е н н ы х мет о д о в я в л я ет с я метод к о н еч н ы х э л е м е н т о в ( М КЭ ). О н п р е д п о л агает я в н у ю ап прок си маци ю р е ш е н и я на м а л ы х п о д о б л а с т я х ( ко н е ч н ы х элемент ах ). Д л я интер поляции п р и м е н я ю т с я к о о р д и н а т н ы е фу нкции, и м е ю щ и е р а з л и ч н ы й п о р я д о к. Это о б с т о я т е л ь с т в о позво л яет с т р о и т ь р е ш е н и я с " р а з у м н о й с т р о г о с т ь ю " [43 ]. Кр оме т о г о, чт о и с к л ю ч и т е л ь н о важно, а л г о р и т м ы М К Э отличает вы со к ая у сто йчи во с т ь п р о ц е с с о в в ы ч и с л е н и й. Ин жен е рная и н т е р п р е т а ц и я М КЭ д а н а в и з в е с т н ы х мо ногра фиях О. З е н к е в и ч а [ 4 7, 4 8 ], Р. Галлаг ер а [35 ], Д. Нор р и и Ж. ДТ Ф р и з а [82 ], Л. С е г е р ли н д а [118], В. А. П о с т н о в а [ 1 0 7 ]. М атематические аспекты теории М КЭ рассм отрены в кн игах Г. С т р е н г а и Д ж. Фи кс а [ 1 2 1 ], С. Ю. Ер еменко [43 ]. Вы чи сли тельн ы е а л г о р и т м ы и п р о г р а м м ы п р е д с т а в л е н ы в р а б о т а х К. Б а т е и Е. Ви сон а [11], Б. А й р о н с а и С. А х м а д и [ 1 6 5 ], У. Вив ер а и П. Д жо нсто на [ 1 7 8 ]. О т м е т и м разраб отки н а основе М КЭ - у н и в е р с а л ь н ы е п р о г р а м м н ы е ко мп лексы A N S Y S, N A S T R A N [7 9, 1 3 4 ]. Пр и ло ж ени е М КЭ к р а с ч е т у м н о г о с л о й н ы х п л а ст и н и о бо л о ч ек п р е д с т а в л е н о в раб отах Н. А. А л ф у т о в а, П. А. З и н о в ь е в а, Б.Г. По пов а [1 ], Р. Б. Р и к ар д с а и А. К. Ч а т е [1 12 ], а т а кж е д р у г и х авторов [9, 36, 37, 109, 110, 150, 162, 177]. 1. 4. Р а с ч е т н ы е м о д е л и и м е то д ы и с с л е д о в а н и я К н а с т о я щ е м у в р е м ен и в нашей стр ан е и за р у б е ж о м о п у б л и ковано зн ачи т ельно е ч и с л о р а б о т, по св я щ енн ы х т е о р е т и ч е с к о м у и эк сп еримен тально му и с с л е д о в а н и я м э л е м е н т о в ко нстру кц и й М И.
О ч е в и д н о, н а ч а ло т ео р ети ч е с ки м и с с л е д о в а н и я м п о ло ж ен о р а б о т а м и [ 3 8, 8 4, 1 2 9 ]. Пр и м ени т е л ь н о к д е к е р о я л я в в о д и т с я п о н я т и е э к в и в а л ен т н о й о д н о р о д н о й модели : тонкой п л а с т и н к и без б р у с а и рёбер ж ё ст ко сти. Д е к а пр ед ст авля ет ся д и н а м и ч е с к о й си ст емо й с о д н о й ст еп ен ью с в о б о д ы. По лучены п р и б л и ж ё н н ы е зн ач ен и я п ер во й с о б с т в е н н о й ч ас т о т ы и скорости р а спро стр ан ен и я в о л н и зг и б а. З н а ч и т е л ь н ы й в к л ад в р а з в и т и е т е о р и и М И в н ё с А. В. Р и мский - Ко рсако в [1 1 3, 1 1 4 ]. Е г о м о н о г р а ф и я [ 1 1 3 ] ст ала с в о е о б р а з н ы м р у к о в о д с т в о м п о п р о е к т и р о в а н и ю и п р о и з в о д с т в у МИ. В ней р а с с м а т р и в а ю т с я деки с т р у н н ы х М И. Р а с ч ё т н ы е мод е ли пред ст авля ют ся в вид е и з о т р о п н ы х к р у г л о й п л а с т и н к и, з а щ е млённой по к о н т у р у, и п р я м о у г о л ь н о й п л а с т и н к и, п о д к р еп л ё н н о й ц е н т р а л ь н ы м р е б р о м ж ё ст ко сти. Р е ш а е т с я з ад а ч а на вы н у жд е н н ы е колебани я п р и моно гар мо н и ч е с к о м си лов о м во зб уждени и. В ы н у ж д а ю щ а я с и л а п р и к л а д ы в а е т с я по н о р м а л и к п оверх ности деки. Р а с с м а т р и в а ю т с я д в а п р е д е л ь н ы х п о л о ж е н и я : в о д н о м слу ч ае то чка п р и л о ж е н и я вы ну ж д а ю щ е й си лы с о в м е щ а е т с я с у з л о в о й лин ией, в д р у г о м - с п у чн о с т ь ю колеб ан ий. Д ля д в у х п о ло ж ен и й с и л ы в у с ло виях резо н а н с а р а с с ч и т ы в а ю т с я д и н а м и ч е с к и е п о д а т л и в о с т и. В з ав и с и мо сти о т п о д ат ли во с т ей о п р е д е л я ю т с я х ар ак т ер ист ики излу чения деки. Произв ед ени е с к о р о с т и колеб ан и й то чки п р и л о же н и я силы н а а м п л и т у д у силы о п р е д е л я е т мо щно ст ь и з л у ч е н и я деки. Пред п о л а г а е т с я, что в с е то чки деки п р и это м ко леб лют ся синф аз н о. Отно шениями Kд = Wи K = Wс частоте. Здесь ( 1.2 ) х ар ак т е р изу ет с я к о э ф ф и ц и е н т п о л е з н о г о д ей с т ви я д е ки н а р езо нансно й Wи - мо щност ь излу чат е ля ( д е ки ), W с - м о щ н о с т ь стру ны, К а к у с т и ч е с к а я ко нст ан т а, ло гарифмический декремент. А. В. Р и м с к и й - К о р с а к о в п р о в ё л с е р и ю эк сп ери м енто в, в х о д е к о т о р ы х сопо ст ав ил сп ектры к о л еб ан и й с к р и п о к р азн о г о к ач е ст ва. О н п о к а з а л, что п о д о б и е А Ч Х р е з о н а т о р о в в поло се ч а ст о т 260 - 270 Гц и излучателей в поло сах 400 - 500 Гц и 7 0 0 - 1 5 0 0 Гц о б е с п е ч и в а е т х о р о ш е е со о т в ет ст ви е а к у с т и ч е с к и х х а р а к т е р и с т и к. При э т и х условиях му зык ан ты - п р о ф е с с и о н а л ы н е мог л и о т л и ч и т ь з в у к и копии скри пк и о т з в у к о в о р и г и н а л а. Вни м ан ие и с с л е д о в а т е л е й у д е л я е т с я и ср ав н ительно му ан ализу а к у с т и ч е с к и х х ар а кт ер и с ти к г о т о в ы х М И. В [16 3 ] а к у с т и ч е ские характеристики виолончелей получены при равномерном д в и ж е н и и с м ы ч к а, пр и это м и н т ен си вн о ст ь з в у к а и з м е р я л а с ь п р и помо щи м и к р о ф о н а. Н а р и с. 1. 2 п р и в е д е н ы у с р е д н ё н н ы е А Ч Х виоло нчелей р а з л и ч н о г о к л а с с а [88 ]. С р авнительный ан ализ п о к аз ы в ае т, что в и о л о н ч е л и, и з г о т о в л е н н ы е в маст ер ско й Г в а р н ер и, о т л и ч а е т б о л е е р о в н ы й сп ек тр р езо н ан сн ы х а м п л и т у д. В р аб о те Г. Г. З в е з д к и н о й [4 6 ] р а с с м а т р и в а е т с я м е т о д и к а ср авн ит е льной оценки а к у с т и ч е с к и х к а ч е с т в щип ко в ых М И. С это й ц е л ью п р о в о д я т с я и с п ы т а н и я 1 8 домр. В вод ит ся п о н я т и е мод е ль н о го д и с к а : кру г лой и з о т р о п н о й п л а с т и н к и, шарнир но о п е р т о й по к о н т у р у. В к ач е ст в е о сно в ны х а к у с т и ч е с к и х х ар а кт ер и с т и к деки р а с с м а т р и в а ю т с я м а с с а д и с к а, н и з ш ая с о б с т в е н н а я ч ас т о т а, мак си м аль н ый п р о г и б п о д д ей ст ви е м со ср едо точ енно й си лы, м о д у л ь упругост и м а т ер и а л а, к о э ф ф и ц и е н т П у а с с о н а и во но во е с о п р о ти в л е н и е. Э т и х а р а к т е р и с т и к и с н и м а л и с ь с л у ч ших о б р а з ц о в, з ат е м к о п и р о в а л и с ь п р и и з г о т о в л е н и и серии. Наиболее обстоятельный обзор зарубежных исследований на у р о в н е 1 9 6 7 г о д а выпо н ен Ф. В и н к е л е м [ 1 7 9 ].
28 P, дБ МИ Гварнери f, кГц 0,08 P, дБ 0,125 0,2 0,315 0,5 0,8 1,25 2 3,15 5 Улучшенный МИ f, кГц 0,08 0,125 0,2 P, дБ 0,315 0,5 0,8 1,25 2 3,15 5 8 Фабричный МИ f, кГц 0,08 0,125 0,2 0,315 0,5 0,8 1,25 2 3,15 Ри с. 1. 2. У с р е д н е н н а я А Ч Х в и о л о н ч е л е й 5 Изучени е м д и н а м и ч е с к и х сво йств констр укций г и тар з а н и м а л с я а в с т р а л и й с к и й у ч ёны й Г. К о л д е р с м и т [ 1 5 4, 1 5 5 ]. В св оих р аб о тах р а с ч ё т н ы м и э к сп ери м ент а льн ы м п у т ё м о н п о л у ч и л з н ач ен и я н и з ш ей с о б с т в е н н о й ч а с т о т ы ко лебаний деки. Р а с ч ё т н а я сх ема в ы б и р а л а с ь в вид е к р у г л о й п л а с т и н к и. Эк сп ери м ент а льны е д а н н ы е п о л у ч е н ы м е т о д о м г о л о г р а ф и ч е с к о й ин тер ф еро м етри и. От мети м, ч т о п р ед ст ав ленны е вы ше р а с ч е т н ы е мод е ли н о с я т явно у п р о щ ё н н ы й характер. О н и н е п о зво ля ю т по лучить д о с т о вер ны е р е з у л ь т а т ы и с дост ато чной п о л н о т о й о п и с а т ь д и н а м и ч е с к и е с в о й с т в а р е а л ь н ы х констру кций. В м е с т е с т е м, с л е д у е т о т м ет и т ь, что в н а с т о я щ е е вр емя д л я и с с л е д о в а н и й к о р п у с н ы х э л е м е н т о в М И п р и в л е к а ю т с я совр емен н ы е в ы ч и с л и т е л ь н ы е и эк сп ери м ент а льные м е т о д ы, р а з р а б а т ы в а ют ся р а с ч ё т н ы е м о д ел и вы со ко го у р о в н я. В [152] на б а зе п р о г р а м м н о г о к о мп л е к с а A B A Q U S п о с т р о е н а к о н еч н о - э л е м е н т н а я мо дель к о р п у с а с к р и п к и. Д л я эт ого и с п о л ь зованы 1 7 0 0 0 пло ских и 2 5 0 0 п р о с т р а н с т в е н н ы х КЭ. Р а с ч е т н ы е с о б с т в е н н ы е ч а сто т ы и формы колеб ан и й сопо ст авлен ы с р е з у л ьт а т а м и эк сп ери м ент а. О т м е ч е н о х о р о ш е е со о т в ет ст в и е р е зу л ьт ат о в. В [ 1 5 7, 1 5 8 ] г р у п п о й и сп ан с ки х и с с л е д о в а т е л е й п р и помо щи М КЭ р а с с ч и т а н ы н и з ш и е соб с тв енны е ч а сто т ы г и т а р н о й д е к и н а р аз ли чн ы х с т а д и я х е е и з г о т о в л е н и я. Р езультаты р а с ч ё т о в с о п о ст а в л е н ы с эк сп еримен тальны ми данными. Исследов ан о д и н а м и ч е с к и е с в о й с т в а г и т а р ы. В [89 ] пред ст авлен а к о н е ч н о - э л е м е н т н а я д и н а ми ч е ск а я мо дель ко локо ла. При это м испо льзо ваны 3 0 0 0 К Э с 8 6 0 0 ст еп еня ми свободы. Пут ё м математического моделирования разр або тан а ко н стру ктор с кая и т е х н о л о г и ч е с к а я д о ку м ентация д ля коло ко лов влияние а к у с т и ч е с к о й п о ло сти и к о н с т р у к т и в н ы х э л ементо в к о р п у с а н а с н ап ер ёд з а д а н н ы м и а к у с т и ч е с к и м и сво й ств а ми. Н а б а з е ли тей н о г о п р о и з в о д с т в а А М О З ИЛ о т л и т а н с а м б л ь б р о н з о в ы х ко локо лов в е со м о т 0, 0 4 д о 2 0 к Н В [ 1 7 4 ] д л я о п р е д е л е н и я фор м ко лебаний р е зо н ан сн о й деки и с п о л ь з о в а л а с ь э л е к т р о н н а я т е л е в и з и о н н а я г о л о г р а ф и я. Р а с с м о т рены ко леб ани я г и т а р н о й деки, п о д к р еп л е н н о й р е б р а м и ж е ст ко сти ( п р у ж и н к а м и ). И с с л е д о в а н о в л и я н и е сх емы п о д к р еп л е н и я н а сп ектр с о б с т в е н н ы х фор м и ч а ст о т колебани й. К о р о л е в с к и й т е х н о л о г и ч е с к и й институ т в С т о кг о л ь м е - о д н о и з н аи б о л е е и з в е с т н ы х в мир е мест к о мп л е к с н ы х и сследов ан и й МИ (наряду с Кембриджским и Стэндфордским университетами). Р а б о т а ю щ и й т а м Е. В. Йенсен у ж е б о л е е т р и д ц а т и лет з а н и м а е т с я и зу ч ен и е м М И. В его и с с л е д о в а н и я х [ 1 6 7, 1 7 0 ] р а с с м а т р и в а е т с я вли ян и е п а р а м е т р о в в н у т р е н н и х полостей скр ипок и гитар н а тембр з в у к а. П о к а з а н о, что о т о б ъ ё м а а к у с т и ч е с к о й внутр ен н ей поло сти зави сит высо т а о с н о в н о г о т о н а М И. А н а л и з и р у ют с я со б с т в е н н ы е фор мы ко лебаний. В [ 1 6 6, 1 7 6 ] н а р яд у с а к у с т и ч е с к и м и методами и с п о л ь з у ю т с я г о л о г р а ф и ч е с к и е м е т о д ы и с с л е д о в а н и й. С их помо щью о п р е д е ляют ся п я т ь н и з ш и х со бст в енн ы х ф о р м ко лебаний г и т а р н о й деки, а т ак ж е формы к о л е б а н и й в ер х н ей и нижней скри пи чных д е к. При э т о м колеб ани я во збужд а ют ся в р я д е то чек, и п р и помощи микрофона определяются з а в иси мо ст и давления от ч а ст о т ы возбу жд ени я. В р аб о т е [169] пред ст авлены р езу л ьт а ты а к у с т и ч е с к и х и сп ы т а н и й 9 0 скрип о к р а з н ы х м а с т е р о в, в кл ю ч ая 2 0 староит а л ь я н ских. Д ля во зб уждени я ко лебаний и сп о ль зу ет с я э л е к т р о д и н а м и ч е с к а я с и с т е м а. При по мо щи шести м и к р о ф о н о в ( д л я п о д ав л ен и я эффект а направленности) з а п и сы в аю т с я резонансные кривые. Ан ализ резонансных кривых позво л яет вы явит ь р я д т и п и ч н ы х особ енн о ст ей, п р и су щи х с т а р о и т а л ь я н с к и м и н с т р у м е н т а м. Пр еж д е в с ег о, с т а б и л ь н о е значен ие н и з ш е й р е зо н ан сн о й ч ас т о т ы верх ней деки. Кро м е т о г о, д о с т а т о ч н о высо ки е а мп ли т у д ы ко леб а н и й н а р е з о н а н с н ы х ч а стот ах в по ло сах 6 0 0 - 1 0 0 0 Гц и 1 6 0 0 Г ц. Из мер ен ия по казывают, что с п е к т р ы и злу ч ен и я зву к а ст аро и т а л ь я н с к и х с к р и п о к с у щ е с т в е н н о о т л и ч а ю т с я о т спектров д р у г и х ск р ипок. Э т и м о б ъ я с н я е т с я их к а ч е ст в е н н о е р аз л ичи е. А в т о р д е л а е т в ы в о д, ч т о п о в ы ш е н и е и н т е н с и в н о с т и и злу ч ен и я з в у к а в о в с е м ди ап азо н е а к у с т и ч е с к и х ч ас т о т не эффекти вно. Д л я со вер ш е н с т в о в а н и я М И д о с т а т о ч н о о г р а н и ч и т ь с я и з м ен ен и я ми сп ек т р а л ь н о г о со ст ав а и з л у ч ен и я ли шь в н е к о т о р ы х, д о с т а т о ч н о у зких п о л о с а х ч а с т о т. Пр ед ст авля ют и н т ер е с р е з у л ь т а т ы Н И Р, по лу ченные н а э кс п е р и м е н т а л ь н о й фабри к е щип ко вых М И [15, 148]. В эт их р а бо т а х р а с с м а т р и в а е т с я в ли я н и е р а з м е р о в и сх емы распо ло жения п р у жино к на сп ек тр ко лебани й деки. У с т а н а в л и в а е т с я, что фор м а п о п е р е ч н о г о с е ч е н и я п р у ж и н о к н е о к а з ы в а е т заметн ого вли яни я н а к ач е ст в о з в у к а. Пу т ё м и з м е н е н и я в ы со т ы п р у ж и н о к р ег у л и р у ет ся о с но вно й т о н. П о н и ж е н и е о сно в но г о то на суб ъ екти вно восп р и н и м а е т с я к а к у лу ч ш ени е к а ч е с т в а з в у к а М И [ 1 5, 5 9 ]. В з ак л ю ч ен и е с л е д у е т о т м ет и т ь н а ши работы, п р о в о д и м ы е с 1 9 9 8 г о д а, п о с в я щ ё н н ы е о ц е н к е влиян ия к о н с т р у к т и в н ы х и фи з и ко - м е х а н и ч е с к и х пар а м етр о в н а д и н а м и ч е ск и е с в о й с т в а г и т ар н о й деки [ 6 2 - 6 5, 1 3 5 - 1 4 5 ]. О б о б щ а я ск аз ан ное, о т м е т и м с л е д у ю щ е е. Об есп е чени е в ы со к о го к а ч ес т в а М И с в я з а н о с р е ш е н и е м к о м п л е к с а з а д а ч, к ак п о сов ер шенст вов а нию с а м о й ко нстру кц ии, т а к и по р а с ш и р е н и ю н о м е н к л а т у р ы к о н с т р у кц и о н н ы х м а т е р и а л о в. С и с т е м а т и ч е с к и й ан ализ позво л яет выд е лит ь тр и характерных напр авления и с с л едований:
1. С р а в н и т е л ь н ы е и с с л е д о в а н и я а к у с т и ч е с к и х х а р а кт ер и сти к г о т о в ы х МИ с ц е л ь ю о пр е д е л е н и я и к о п и р о в а н и я лучших о б р а з цов [30, 34, 42, 46, 56, 67, 103, 113, 114, 148, 149, 151, 163, 168, 170, 171 173, 174]. 2. И с с л е д о ва н и я ф изи ко - м е х а н и ч е с к и х и акустических сво йств к о н с т р у к ц и о н н ы х м а т е р и а л о в с ц ел ь ю у л у ч ш е н и я и х к ач ес т в а [ 4 4, 5 5, 7 0, 7 1, 9 2, 1 2 7, 1 2 8, 1 3 0 ]. 3. Р а з р а б о т к а р а с ч ё т н ы х мод е лей и м о д е л и р о в а н и е п о в е д е н и я элем ент о в к о н с т р у к ц и й М И [ 6, 1 3, 1 4, 3 8, 6 2 - 6 5, 7 2, 8 4, 1 1 5, 135 - 145, 152 - 155, 158, 160, 166 Ц168, 175, 176]. От мети м, ср ав нит ельн ые и с с л е д о в а н и я а к у с т и ч е с к и х с в о й с т в г о т о в ы х М И о б ы ч н о в ы п о н я ю т ся с п р и в л е ч е н и е м а к у с т и ч е с к и х и г о л о г р а ф и ч е с к и х м е т о д о в, а т ак ж е метод о в т е л е в и з и о н н о й сп ек тр о с копии. Пр и м е н ен и е э т и х м е т о д о в я в л я е т с я дост ато чно д о р о г о с т о я щ и м и т р у д о ё м к и м д е ло м. Кро м е т о г о, р езу л ьт аты эк сп ери м ент а льных исследов ан ий г о т о в ы х М И не п о з в о л я ю т а н а л и з и р о в а т ь и пр огнозир о вать и х свой ств а на р анн ей с т а д и и - ст ад и и р аз р аб о т ки и п р о ек т и р о в а н и я и з д е л и й. При и с с л е д о в а н и и д и н а м и ч е с к и х с в о й с т в э л е м ент о в кон ст р у кц и й М И т р а д и ц и о н н о о с н о в н о е в н и м ани е у д е ля е тс я с т р у н е к ак г е н е р а т о р у колеб ан и й. З н а ч и т е л ь н о м е н ь ш е р а б о т п о с в я щ е н о и с с л е д о в а н и я м к о р п у с н ы х э ле м ент о в констру к ций : к а к и злу ч ат елей, т а к и р е з о н а т о р о в з в у к а. П р а к т и ч е с к и во в с ех р аб о тах г е н е ратор, и злу ч ат е л ь и р е з о н ато р зву к а р а с с м а т р и в а ю т с я р а з д е л ь н о, к ак п а р ц и а л ь н ы е д и н а м и ч е с к и е си ст емы. По с у щ е с т в у о т с у т с т вуют р а б о ты, в котор ы х М И р а с с м а т р и в а е т с я ц ели ко м к а к связанн ая у п р у г о - а к у с т и ч е с к а я с и с т е м а. С л е д у е т и м е т ь в в и д у, что в с е п е р е ч и с л е н н ы е вы ше р а б о ты, п о с в я щ ё н н ы е т е о р е т и ч е с к и м и эк сп ери м ент а льным и сследов ан и я м д и н а м и к и элементо в констр укций М И, с о д ер ж а т л и ш ь о т д е л ь н ы е, до ст ато чн о р а з р о зн е н н ы е р е з у л ь т а т ы. В о мног и х р а бо т а х о т су т с т ву ют и с х о д н ы е д а н н ы е. Эти об сто ят е льств а н е п о з в о ля е т в о с п о л ь з о в а т ь с я о п у б л и к о в а н н ы м и д а н н ы м и, д а ж е д л я со по ста вит е льн о го ан ализ а р е зу л ьт ато в. 1. 5. - ел и и з а д а ч и р а б о т ы Ан ализ с у щ е с т в у ю щ и х р а з р а б о т о к п о зво ля е т сд елать с л ед у ю щ и е вы воды : Х Дин а ми ч ес ки е сво йств а к о р п у с н ы х э л е м ент о в констр укций с т р у н н ы х М И и с с л е д о в а н ы н едо ст ато чн о. Х Вв иду о т с у т с т в и я совр еменны х р а с ч е т н ы х м о д е л е й и п р о г р а м м н ы х ср ед ст в со в ер ш ен ст вов ани е МИ вы полн яет с я в о с н о вном эмпирически, путём проб и ошибок. Х Недостаточно проработаны вопросы, связанные с влиянием к о н с т р у кт и в н ы х ф а к т о р о в на д и н а м и ч е с к и е с в о й с т в а к о р п у с н ы х элем ент о в стру нных М И. Х Не и сследов ан о влияние п р е д в а р ит е л ь н о г о натяжения струн н а с п е к т р к о л е б а н и й М И. Х От су т ст ву е т д е та л ьн ы й ан ализ вли ян и я д е м п ф и р о в а н и я н а д и н а м и ч е с к и е х а р а к т е р и с т и к и э л е м ен т о в М И. - е л ь ю насто я щей р аб о ты я в л я е т с я со з д ани е методики р а с ч е та и п р о е к т и р о в а н и я к о р п у с н ы х элемен тов кон стру кци й М И, р азр а б о т к а на б аз е м е т о д и к и совр еменных п р о г р а м м н ы х ср ед ст в. В д и с с е р т а ц и и с т а в я т с я и р е ш а ю т с я с л е д у ю щ и е з ад а ч и : 1. Разработка расчётной динамической модели корпусных элем ент о в М И, как т о н к о ст е н н ы х п р е д в а р ит е л ь н о н а п р я ж е н н ы х к о н стру кций с а с и м м е т р и ч н ы м н а б о р о м рёбер ж ё ст ко ст и.
2. О б о сн о в а н и е до сто в ерн о сти р а с ч е т н о й м о д ел и п у т е м т е ст и р о в а н и я и со пост ав лени я р е зу л ьт ат о в р а с ч ё т о в с известными данными. 3. П р о в е д е н и е с е р и и эк спери м ен тальных и с с л е д о в а н и й д еф о р м и р о в а н и я и колебаний элементо в МИ с ц е л ь ю апроб ац ии р а с ч е т н о й мод е ли. 4. Эк сп ери м ент а льное о пр ед е ле ни е ф и з и к о - м е х а н и ч е с к и х х арактеристик с целью идентификации конструкционных материалов. 5. Эк сп ери м ент а льная о ц е н к а в ли я н и я а к у с т и ч е с к о й в н у т р ен ней по лости и с т р у н н а сп ектр с о б с т в е н н ы х колебаний деки. 6. Р а с ч ё т н о - эк сп еримен тально е и сследо в ани е у п р у г и х п ер ем е щ е н и й и н ап р яж ён н о г о со сто яни я, и н д у ц и р о ва н н о г о н а т я ж е н и ем струн колками. 7. И с с л е д о ва н и е с т а т и ч е с к и х и д и н а м и ч е с к и х п о д ат ли во ст ей т о ч е к к р еп л ен и я с т р у н к д е к е. 8. Оц енка влияния уровня демпфирования на АЧХ резо нансной д е ки. 9. Ан ализ вли ян и я сх емы и р а з м е р о в п о д к р еп л е н и й на спектр колеб ан ий д е ки.
2. Методика расчета корпусных элементов конструкций музыкальных струнных инструментов Во в т о р о й главе приводится описание методики расчёта. Элементы корпуса МИ рассматриваются в вид е тонкостенных конструкций, подкрепленных рёбрами жесткости. Учитываются асимметрия подкрепления и нелинейности, связанные с влиянием мембранных усилий на и з г и б н у ю жесткость стенки. Мембранные усилия определяются в зависимости о т предварительного натяжения струн. Используется о д и н из вариантов МКЭ, основанный н а смешанной вариационной формулировке п р и н ц и п а Хеллингер а- Рейсснера и теории тонких оболочек Тимошенко. Расчетные соотношения строятся на основе независимой аппроксимации п еремещений и деформаций. Применяются криволинейные о бо л о чечный и стержневой КЭ. Задача динамики описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Амплитуды установившихся колебаний определяются путем разложения движен и я п о собственным формам. Для решения задачи на собственные значения применяется метод итераций в подпространстве собст венных векторов. 2.1. Система разрешающих уравнений Для вывода разрешающих уравнений, описывающих малые колебательные движения, воспользуемся МКЭ и п р и н ц и п о м возможных перемещений в сочетании с п р и н ц и п о м Даламбера. В качестве примера рассмотрим гитарную деку. Представим её Рис. 2.1. Конечно-элементная модель гитарной деки в ви д е ансамбля тонкостенных оболочечных и стержневых КЭ ( р и с.2.1). Согласно п р и н ц и п у возможных перемещений работа внешних и внутренних сил, включая силы инерции и силы сопротивления движению, на малых виртуальных отклонениях системы равна нулю :
T T T & & { } { }dS + {u} [m0 ]{u&}dS + {u} [b]{u}dS n =1 S S S N T T {u} {p}dS {} [N o ]{ }dS = 0 S S (2.1) Здесь n - порядковый номер КЭ, N - число КЭ, знак вирту альной вариации, S - площадь КЭ, { } вектор деформаций, {} & && вектор напряжений, {u }, {u} и {u} - векторы обобщенных перемещений, скоростей и ускорений (точка определяет операцию дифференцирования функции по времени ), {} - вектор углов поворота поперечного сечения, [N 0 ] матрица мембранных уси лий, {p (t)} вектор внешних нагрузок, [m 0 ] - матрица инерцион ных характеристик, [b ] - матрица коэффициентов сопротивления. Интегралы (2.1) вычисляются в произвольный момент времени t. В соответствии с процедурой МКЭ используется следующая аппроксимация упругих перемещений в пределах КЭ:
{u ( 1, 2, t )} = [( 1, 2 )]{q ( n) (t )}, (2.2) где {u} - вектор перемещений, [Ф] - матрица интерполяционных функций, {q ( n ) } вектор обобщенных перемещений узлов КЭ, 1 и 2 - криволинейные пространственные координаты. Дифференцируя функции перемещений (2.2) по пространст венным координатам, находим углы поворота поперечного сечения (нормали ): {}=[Q]{u}=[Q][Ф]{q ( n ) (t)}. Здесь [Q] - матрица дифференциальных операторов. Зависимости напряжений от деформаций описываем при помощи модели линейно -упругого тела и формул обобщенного закона Гука (2.3) { } = [D]{ }, где [D] - матрица упругих постоянных материала.
(2.4) Далее, используя подстановки (2.2), (2.3) и (2.4), перепишем (2.1) в следующем виде && & + {q}T M (n ) {q} + B (n ) {q} R (n ) {q} = 0. Здесь [M ( n ) ], [B ( n ) ] и [R ( n ) ] - матрицы масс;
демпфирования и гео метрической жесткости, или начальных напряжений КЭ. Коэффи циенты этих матриц определяются следующими выражениями : [M ( n ) ]= [ ] [m][ ]dS, T S n =1 S { }T [D]{ }dS {u}T {p}dS + N ([ ] [ ] [ ] )] S (2.5) (2.6) [B ( n ) ]= [ ] [b][ ]dS, T S (2.7) (2.8) [R ( n ) ]= ([Q ][ ])T [N o ][Q ][ ]dS.
S В свою очередь компоненты вектора деформаций {} выража ем через перемещения. С этой целью воспользуемся дифференци альными соотношениями типа Коши {} = [L]{u} или [L]{u} - {} = 0, (2.9) где [L] - матрица дифференциальных операторов. Расчетные соотношения МКЭ строятся на основе смешанной вариационной [26, 104, 172]:
([L] {u})T [D]{ }dS W ( {u}) = 0, n =1 N формулировки принципа Хеллингера-Рейсснера S (2.1 0 ) { }T [D ]([L]{u} { })dS = 0 n =1 S N (2.1 1 ) Здесь W({u } ) - работа внешних сил на возможных перемещениях в момент времени t, определяется следующим выражением :
W ( {u}) = {u} {p}dS {q} T S T & & ([M ]{q&} + [B]{q} [R]{q}).
(2.12) Отметим, смешанная вариационная формулировка (2.10) и (2.11) предполагает независимое варьирование перемещений и деформаций. Из вариационного уравнения (2.10) следуют условия равновесия, из (2.11) - условия непрерывности. Для деформаций {} применяется следующая аппроксимация {( 1, 2, t)}=[( 1, 2 ) ]{( t)}, извольных постоянных. Подставляя интерполяционные функции (2.2) и (2.13) в вариационные уравнения (2.10) и (2.11), получим (2.1 3 ) г д е [] - матрица интерполяционных функций, {} - вектор про T (n) T (n) [{} ( [G ] {q}-[H ]{})]=0, N n=1 N (2.14) (2.15) n= T (n) T (n) (n) (n) && & [{q} ( [G ] {}-{P}+[M ] {q} +[B ] {q} - [R ]{q})]=0.
Здесь [G ( ) ]= [ ] [D][L][]dS, [H ( ) ] = [ ] [D][ ]dS, n T n T { F }= [] {p} dS.
(n ) T S S S (2.16) Обозначим [C ( n ) ]=[G ( n ) ] T [H ( n ) ] - 1 [G ( n ) ]. Очевидно, что [C ( n ) ] - это матрица жесткости КЭ. Исключая из уравнений (2.14) и (2.15) вектор {} и суммируя по n согласно алгоритма ансамблирования МКЭ [36, 43, 47, 48, 82, 121], с учетом (2.17) получим систему линеаризованных обыкновенных дифференциальных уравнений вида (2.1 7 ) & & [M ]{q&} + [B]{q} + ([C ] [R ]){q} = {F (t )}.
(2.1 8 ) Здесь [M], [B], [С] и [R] - матрицы, характеризующие инерцион ные, диссипативные и упругие свойства конструкции, как ан самбля КЭ;
{F( t)} - вектор обобщенных вынуждающих сил. Предполагается, что источником возбуждения элементов корпуса МИ являются колебательные движения струн. В свою очередь, предварительное натяжение струн иницииру ет начальное НДС. Параметры НДС находятся из решения системы алгебраических уравнений вида [С ]{qm } = {Fm }, натяжению струн. Таким образом, система (2.1 9 ) г д е {F m } - вектор нагрузки, соответствующей предварительному дифференциальных уравнений (2.18) описывает вынужденные колебания предвари тельно напряженной динамической системы относительно равно весного состояния (2.19).
2.2. Конечный элемент тонкостенной оболочки из ВКМ Для расчета тонкостенных пластин и оболочек разработано большое число разнообразных КЭ. Описания некоторых из них содержатся в работах [12, 35 - 37, 43, 47, 48, 118]. В этих рабо тах, как правило, для вывода расчетных соотношений МКЭ используются классические гипотезы Кирхгофа- Лява и метод перемещений, основанный на вариационной формулировке принципа Лагранжа и процедуре кусочной интерполяции перемещений. В этом случае условие сходимости приближенного решения МКЭ к точному предъявляет к интерполяционным функциям ( функциям формы ) следующие требования :
Х Функции перемещений и их производные должны быть достаточно гладкими и сохранять непрерывность при переходе через границы КЭ.
Х Функции перемещений должны включать слагаемые, отражающие смещения КЭ, как жесткого целого. Эти требования определяют класс допустимых интерполяци онных функций. В противном случае КЭ приобретает нежела тельные свойства, о н не обеспечивает "хорошую" сходимость и вносит существенные погрешности в решение. Неудачный выбор функций формы приводит к необходимости чрезмерно мелкого деления конструкции на КЭ и, как следствие, - к неоправданным расходам ресурсов ЭВМ. Область применимости большинства известных оболочечных КЭ ограничена традиционными, то есть однородными и изотропными материалами. Однако для изготовления элементов корпуса МИ обычно используется резонансная древесина, в последнее время - полимерные композиты ( углепластики, стеклопластики и д р.) [10, 44, 55, 92, 133]. В отличие о т традиционных материалов естественные и искусственные волокнистые композиты (ВКМ) обладают ярко выраженной анизотропией физико - механических свойств. Для них характерна неоднородная слоисто - волокнистая структура. При выборе КЭ следует иметь в виду и геометрические осо бенности. Форма поверхностей корпуса МИ бывает как плоской, так и искривленной. Их отличает разнообразная, чаще всего до вольно сложная конфигурация контура, а также наличие отвер стий и вырезов, переменные толщина стенки и кривизна поверх ности. Известно, что при расчете тонкостенных слоистых конструкций из ВКМ важно учитывать деформации поперечного сдвига и силы инерции, связанные с поворотом нормали. Учет сдвиговых деформаций в рамках классической формулировки метода перемещений, как правило, приводит к появлению ложных деформа ций и, тем самым, вносит существенную погрешность в решение [104]. Эти недостатки сглаживаются при использовании смешан ной вариационной формулировки. Независимая аппроксимация перемещений и деформаций позволяет, в частности, минимизиро вать энергию ложных деформаций. Таким образом, особенности конструкции, характерные для корпусных элементов МИ, предъявляют следующие требования к КЭ:
Х КЭ должны быть универсальными, пригодными для аппроксимации поверхностей произвольной гауссовой кривизны при сложной конфигурации контура.
Х Расчетные соотношения должны строиться с учетом анизо тропии стенки. физико - механических свойств, слоисто - волокнистой структуры материала и отражать заданное распределение толщин Х Жесткость стенки на изгиб должна рассчитываться с учетом мембранных усилий, обусловленных предварительным натяжени ем струн. Перечисленным требованиям наилучшим образом отвечает треугольный КЭ Б.Г. Попова [104]. Это - универсальный КЭ с поверхностью произвольной гауссовой кривизны. Он имеет 3 0 степеней свободы и предназначен для аппроксимации разнооб разных поверхностей (рис.2.2). Конечно -элементные зависимости для треугольного КЭ [104] строятся на основе независимой интерполяции перемещений (2.2) и деформаций (2.13). При этом [Ф]=[[Ф] ( 1 ), [Ф] ( 2 ), [Ф] ( 3 ), [Ф] ( 4 ), [Ф] ( 5 ), [Ф] ( 6 ) ], {q }= {{q}( ),{q}( ),{q}( ),{q}( ),{q}( ),{q}( )}, T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 TT (2.20) {q} ( i ) ={ u1(i ), u 2(i ), w(i ), 1(i ), 2(i ) } T, 5 3 z 6 4 Рис.2.2. Конечный элемент многослойной оболочки 2 z 1' O O' b 2' Рис.2.3. Стержневой конечный элемент {}={ 1, 2, 1 2, 1, 2, 1 2, 3 1, 3 2 } Т. Здесь u1(i ), u2(i ), w(i ), 1(i ), 2(i ) составляющие вектора линейного и углового перемещений узла i ( i=1, 2, Е, 6);
1, 2 и 1 2 линей ные и угловая деформации базисной координатной поверхно сти ;
1, 2 и 1 2 изменения кривизн и крутка ;
3 1 и 3 2 дефор мации поперечного сдвига. Матрица интерполяционных функций [Ф] имеет размерность ( 5 х 3 0 ) и блочную структуру заполнения. Каждый блок определяется равенством [Ф] ( i ) = i [E], г д е [Е] - единичная матрица ( 5 х 5). Базисные функции i записываются в L - координатах ( естественные или барицентрические координатах ) в виде 1 =L 1 ( 2 L 1 - 1 ) ;
2 =L 2 ( 2 L 2 - 1 ) ;
3 =L 3 ( 2 L 3 Ц1);
4 =4 L 1 L 2 ;
5 =4 L 2 L 3 ;
6 =4 L 3 L 1.
(2.21) В свою очередь L координаты выражаются через простран ственные координаты 1 и 2 [1, 104]. При этом нумерация i ( i = 1,Е,6) согласуется с нумерацией узлов КЭ. Для интерполяции обобщенных деформаций {} используют ся полные полиномы. При этом число независимых компонент вектора {} равно 24. Берётся разность между общим числом степеней свободы КЭ и числом независимых ф о р м движения КЭ, как жесткого целого. В результате матрица [] получает размер ность (8 х 24). Считаем, что в общем случае стенка имеет перекрестную схему армирования : волокна составляют углы с главной коор динатной осью 1. Число однонаправленных слоев ( монослоев ) в пакете принимаем 2 k. Монослои предполагаем ортотропными и линейно - упругими, связи волокон и связующего, а также отдель ных слоёв д р у г с д р у г о м - идеальными.
При симметричном армировании соотношения упругости мно гослойного пакета имеют вид [1, 27, 104]:
{N } = [D]{ }, {N}={N 1, N 2, N 1 2, M 1, M 2, M 1 2, Q 1, Q 2 } Т, ( 2.2 2 ) В11 В 21 0 С 11 [D] = С21 0 0 0 где В12 В22 0 С12 С 22 0 0 k 0 0 В33 0 0 С33 0 С11 С12 0 D11 D21 0 0 С12 С 22 0 D12 D22 0 0 0 0 С33 0 0 D33 0 0 0 0 0 0 0 K11 0 0 0 0 0, 0 0 K 22 ( В11, C11, D11 ) = g11 j H12 j (t Bj, tCj, t Dj ), j =1 k ( В12, C12, D12 ) = g12 j (t Bj, tCj, t Dj ), j =1 k ( В33, C33, K D33 ) = g 44 j H 12 j (t Bj, tCj, t Dj ), (1, 2);
j = k H 12 j t Bj = h 2, g 55 j i = 2 + k 2 (z j + z j 1 ) 2 + k1 (z j + z j 1 ), 2 j k H 21 j t Bj K11 = h 2 ;
g 66 j i = (1, 2);
z 21 j H 12 j = t Bj = z j z j 1, t Cj (z = ), t Dj (z = 3 j z 31 j ).
Здесь j - порядковый номер слоя ( каждый слой составляется из двух монослоёв ), h - толщина стенки, z j 1 и z j - нормальные ко ординаты соответственно внутренней и наружной поверхностей jг о слоя ( отсчитываются о т базисной координатной поверхности и в случае переменной толщины стенки являются функциями коор динат 1 и 2 ), k 1 и k 2 - главные кривизны координатной поверх ности оболочки, g n m j ( m, n = 1, 2, 4, 5, 6) - коэффициенты матри цы упругости, связывающие напряжения и деформации j- г о слоя. Коэффициенты g n m j определяются в зависимости о т угла ар мирования и коэффициентов упругости монослоя на основании известных соотношений [52]. Коэффициенты упругости моно слоя, записанные в главных осях, определяются следующими вы ражениями :
0 g11 =Е 1 / ( 1 - 1 2 2 1 ), 0 g12 = 2 1 Е 1 / ( 1 - 1 2 2 1 ), 0 g 22 =Е 2 / ( 1 - 1 2 2 1 ), 0 0 0 0 0 g 44 =G 1 2, g 21 = g12, g 55 = G 3 2, g 66 = G 3 1.
Здесь Е 1, Е 2 - модули упругости, G 1 2, G 3 1 и G 3 2 - модули сдвига, 1 2 и 2 1 - коэффициенты Пуассона. Индекс 1 соответствует направлению оси 1, индекс 2 - оси 2, индекс 3 - направлению нормали к координатной поверхности оболочки. Эти характери стики называются эффективными упругими постоянными. Они определяются в зависимости о т упругих характеристик волокна и матрицы, а также объемной доли волокон в композите. Симметричные матрицы [B] ( 3 х 3 ), [D] ( 3 х 3 ), [C] ( 3 х 3 ) и [K] ( 2 х 2 ) х арактеризуют приведенные мембранные, изгибные, мембранно изгибные и сдвиговые жёсткости пакета слоев. В случае симмет ричной, по толщине пакета слоёв, структуры базисная коорди натная поверхность совмещается со срединной поверхностью оболочки. В этом случае компоненты матрицы [C] ( 3 х 3 ) обращают ся в нули. При переменных параметрах армирования и толщинах стенки коэффициенты матриц приведенных жёсткостей являются функциями координат 1 и 2. Обобщенные деформации выражаются через перемещения с помощью соотношения (2.9), г д е {u }= { u1, u2, w, 1, 2 }т, ( 2.2 3 ) 1 21 2 12 0 [L] = 0 0 k 1 0 Здесь 1 = Ламэ. 1 () ;
А1 1 21 0 0 0 0 k2 k1 k2 0 0 0 0 2 0 0 0 21 2 1 0 0 12. 2 1 21 0 1 12 = 1 А1 А1 А2 (1 2), А 1 и А 2 - параметры Распределение перемещений по толщине пакета слоев описы вается на основе гипотез Тимошенко. Считается, что v1 = u1 + z (1 2);
v3 = w, (2.24) где u1, u 2 и w - тангенциальные и нормальная составляющие перемещения точки базисной координатной поверхности z = 0;
1 и 2 - углы по в о р о т а прямой, нормальной д о деформи рования к координатной поверхности. При выводе выражения для матрицы геометрической жёстко сти используется формула (2.8). Считается, что N0 [N 0 ]= 1 0 N 0 N12, 0 N k [Q]= 1 0 k 1 0 0. (2.25) 0 0 0 Мембранные усилия N1, N 2 и N12 о т предварительного натяже ния струн определяются на основании решения (2.19). Матрица масс КЭ определяется формулой (2.6). При этом [m] =d i a g [m 0, m 0, m 0, I 1, I 2 ]. Здесь m 0 - погонная масса ;
I 1, I 2 - моменты инерции массы m 0 относительно координатных осей 1 и 2.
Кинематические граничные условия, или условия на переме щения задаются путем исключения из разрешающей системы тех уравнений, которые соответствуют заданным ( нулевым) переме щениям. Этот вычислительный прием достаточно эффективен, о н сохраняет симметрию матриц. Интегралы (2.6), (2.7), (2.8), (2.16) вычисляются численно посредством семиточечной схемы квадратур Гаусса на треуголь н о й области.
2.3. Стержневой конечный элемент Для моделирования подкреплений ( пружинок ) выбирается криволинейный стержневой КЭ, совместимый с оболочечным КЭ [104]. Элемент имеет 3 узла, по 3 степени свободы в каждом ( р и с.2.3). Осевая линия КЭ на расстояние b равноудалена о т ко ординатной поверхности оболочки. Перемещения произвольной точки КЭ определяются выраже нием {u} = [ ]{s}.
Деформации выражаются зависимостью {}=[]{} ( 3 х 9). Она имеет следующую структуру заполнения [Ф] = [[Ф](1), [Ф](2), [Ф](3)].
( 2.2 6 ) ( 2.2 7 ) Здесь [Ф] - матрица интерполяционных функций размерности Каждый блок определяется равенством [Ф]i = i [E], г д е [E] еди ничная матрица (3 х 3). Базисные функции имеют вид :
1 = 2 2 - 3 +1, 3 = 2 2 -, 2 = -4 2 +4, (2.28) = ( 1 - 1 ( 1 ) ) / ( 1 ( 3 ) - 1 ( 1 ) ), г д е 1 ( 1 ), 1 ( 3 ) - координаты первого и третьего узлов КЭ ( р и с.2.3). Нумерация функций i соответствует нумерации узлов. В свою очередь матрица [] имеет размерность ( 3 х 6 ) и блочн у ю структуру заполнения [] = diag[[ F], [F], [F]], деформаций принимаем : {s } ( i ) ={ u (i ), w(i ), ( i ) } T ;
{}={,, } T. (2. 3 0 ) ( 2.3 1 ) [F] = [1 -, ]. (2.29) В качестве обобщенных перемещений узлов и обобщённых Здесь u ( i ), w ( i ) - перемещения узла i ( i = 1, 2, 3) в направлениях 1 и z соответственно, ( i ) у г о л п о в о р о т а поперечного сечения стержня ( узла i) относительно оси 2, линейная деформация, изменение кривизны оси стержня, деформация попереч н о г о сдвига. Считаем, что многослойный стержень включает k слоев. Каж д ы й слой имеет свои структуру и физико - механические свойства материала. Оси 2 и z - главные центральные оси поперечного сечения. Упругие свойства монослоя описываем п р и помощи мо дели о р т о т р о п н о г о тела. Соотношения упругости записываем в форме (2.22), г д е {N}={N, M, Q} Т, ( 2.3 2 ) d11 [D] = d 21 d12 d 22 k 0 0. d k k При этом d 1 1 = E j f j t1 j, d 1 2 = d 2 1 = E j f j t 2 j, d 22 = E j f j t 3 j, j =1 j =1 j = d 33 = G13 j f i t1 j, t1 j = z j z j 1, t 2 j j = k (z = 2 j z 21 j ), t3 j (z = 3 j z 31 j ).
Здесь j - порядковый номер слоя, z j - 1 и z i - нормальные коорди наты соответственно внутренней и наружной поверхностей j- го слоя, E j и G 1 3 j модуль упругости и модуль сдвига, f j - ширина j-г о слоя. Далее, при помощи соотношений (2.9) выражаем деформации через перемещения. Считая перемещения и деформации малыми, в рамках линейного приближения записываем : [L] = 0 k Здесь = k 0 0. 1 (2.3 3 ) (), k - изменение кривизны оси стержня. (2.3 4 ) Матрица масс КЭ определяется формулой (2.6). При этом [m] = d i a g[m 0, m 0, J 2 ]. массы m 0 относительно оси 2. В связи с тем, что стержневые КЭ расположены асимметрич но относительно срединной поверхности оболочки, процедуре формирования разрешающих уравнений (2.18) и (2.19) предшест вует процедура преобразований матриц вида ~ ~ (n) С ( n ) = [T][С ( n ) ][T ' ] - 1, M = [T][M ( n ) ][T ' ] - 1. Здесь m 0 и J 2 соответственно погонная масса и момент инерции [] [ ] (2.35) При этом [T] = d iag [[T], [T], [T]], 1 [T] = 0 b 0 1 0 0 0, 1 [T] ' = diag[[T ' ], [T ' ], [T ' ]], 1 [ T ] = 0 ' 0 1 b 0. Матрица масс [M ( n ) ] и матрица жесткости [С ( n ) ] стержневого КЭ определяются формулами (2.6) и (2.17). Только в этом случае интегралы вычисляются не по площади, а по длине КЭ. Для чис ленного интегрирования применяется пятиточечная схема квад ратур Гаусса.
2.4. Расчет собственных форм и частот Собственные колебания предварительно напряженной динамической системы без демпфирования описываются о дно родной системой линейных дифференциальных уравнений ~ & [M ]{q&} + C {q} = 0, (2.3 6 ) ~ гд е С = [С ] [R ] приведенная матрица жесткости конструкции.
[] [] Для систем высокой размерности (в нашем случае порядка 1 0 0 0 0 ) одним из наиболее эффективных вычислительных методов решения задач на собственные значения является метод обратных итераций. Ограничимся расчетом р низших собственных форм и частот, причем p < m, г д е m порядок разрешающих уравнений. В этом случае наиболее рациональным оказывается улучшенный вариант метода итераций метод итераций в подпространстве собствен ных векторов [11, 53]. Решение (2.36) находим в виде {q(t)}=ejt{w}. на собственные значения ~ С {w j } = j 2 [M]{w j }, (2.37) В результате задача (2.36) сводится к алгебраической проблеме [] (2.3 8 ) гд е j и {w j } - соответственно собственное число и собственный вектор ( j = 1, 2,..., p ). Согласно алгоритму метода итераций в подпространстве предварительно строится начальное подпространство с матрицей [X O ] размерности ( r x m). При формировании матрицы [X O ] для ускорения сходимости используются единичные векторы. Причем, одновременно считаются не p, а r = min (2 p, p +8) собствен ных векторов. Этот приём позволяет при вычислении наибольшего собственного значения p обеспечить заданную точность (до 6 значащих цифр ) не более, чем за 9 итераций. Решение (2.38) находим при помощи процедуры обратных итераций для r собственных векторов: [YO] = [M][XO] ~ С [X к ] = [Yк 1 ] (2.3 9 ) [X к ] = [X к ][Qk ] [Yк ] = [M ][X к ] с одновременным проектированием матриц на подпространство ~ T T С к = [X к ] С [X к ], M к = [X к ] [М ][X к ]. (2.40) и решением задачи на собственные значения подпространства С к [Qк ] = M к [Qк ][ к ], итерации.
(2.4 1 ) гд е [] диагональная матрица с элементами j = j 2, к - номер В результате преобразований (2.40) имеет место редукция размерности задачи с m до r, как правило r < m. Задача (2.41) с редуцированными симметричными матрицами решается методом Якоби. Критерием сходимости итерационного процесса является условие (j(k)- j(k-1))/j(k), где ность Штурма. = 1 0 - 6 заданная точность. Для контроля правильности вычислений используется последователь 2.5. Расчет амплитуд установившихся колебаний Рассмотрим силовое моногармоническое возбуждение {F( t)} = { F 0 } sin(t). (2.4 2 ) Здесь - круговая частота, {F 0 } - вектор амплитуд нагрузки. При расчете резонансных амплитуд необходимо учесть эффекты демпфирования колебаний. Основные результаты исследо ваний процессов демпфирования изложены в классических работах В.В. Болотина [21], В.Л. Бидермана [18], Я.Г. Пановко [86], Г.С. Писаренко [102], В.А. Постнова [107] и многих других исследо вателей. В этих работах рассматриваются традиционные одно родные и изотропные материалы. В работах П.А. Зиновьева [49 - 51, 180] построена энергетическая теория демпфирования анизо тропных тел и многослойных волокнистых композитов. Для описания рассеяния энергии колебаний корпусных элементов МИ воспользуемся моделью пропорционального демпфи рования [11, 18, 45]. В этом случае уравнения движения (2.18) приводятся к несвязанной форме. Считаем [11] j [B] = M j [M p j= 1 ~ С ], (2.4 3 ) гд е k параметры Рэлея. Они определяются из решения системы p уравнений : 1 j = 1 + 2 j + 3 3 +... + p (j2 p 3 ). j 2 j (2.4 4 ) Здесь j и j относительное демпфирование и круговая частота для jо й собственной формы (определяются на основе экспери ментальных данных ). В общем случае количество коэффициентов демпфирования j равняется p. При p = 2 уравнение (2.44) приво дится к классической формуле Рэлея:
~ [B] = 1[M] + 2[ С ], 2 j j = 1 + 2 2. j (2.4 5 ) Первое слагаемое (2.45) учитывает У внешнееФ трение, второе - У внутреннее Ф трение, связанное с рассеянием энергии в материа ле. Значения коэффициентов демпфирования j на резонансных частотах j для разнообразных элементов конструкций МИ оказываются различными, поэтому получить единые данные на все случаи практически невозможно. Имеющиеся данные о б интен сивности рассеяния энергии колебаний получены путём обработ ки экспериментальных данных для конкретных условий [113, 127]. В условиях ограниченной информации с некоторым прибли жением можно воспользоваться экстраполяцией [178]:
e j = 1 j, (0,5 e 0,7).
(2.46) Для первой собственной формы 1 = 2, где логарифмиче ский декремент колебаний (определяется экспериментально ). Колебательные движения деки представляются в виде линей ной комбинации (суперпозиции ) p низших собственных форм. Принимается {q(t )} = [ ]{Z (t )}.
(2.47) Здесь [Ф] = [ 1, 2 Е, p,] матрица, составленная из p низших собственных форм, {Z(t)} главные, или нормальные координаты. В этом случае [Ф] T [М][Ф] = d i a g[1] [Ф] T [B][Ф] = d i a g[2 j j ] (2.4 8 ) ~ [Ф] T С [Ф] = d i a g[ j 2 ] Уравнения (2.18), записанные в главных координатах, прини мают следующий вид [] && & Z j + 2 j j Z j + 2 Z j = f j (t ), j Здесь (j = 1, 2Е, p ) (2.49) {f j (t )} = [Ф]T {F (t )} обобщенная сила, соответствующая j-о й собственной форме. Отметим, что дифференциальные уравнения (2.49) относи тельно главных координат получаются несвязанными. Решение, соответствующее установившимся гармоническим колебаниям, имеет вид : {z j ( t)} = { z 1 j } sin t + {z 2 j } cost, гд е z 1 j = 1 j f 0 j = (2.5 0 ) f0j, 2 2 j ( 2 2 ) 2 + 4 2 2 2 j j j x z2j = 2j f0j = 2 j 2 2 j ( 2 j ) + 4 2 2 2 jj x f0j.
Здесь 1 j, 2 j - динамические коэффициенты. Они определяют "вес" j - ой собственной формы. Линейная комбинация p низших собственных форм, взятых с определенными "весами ", составляет форму вынужденных колебаний. Далее выполняется обратный переход : из системы главных координат z j (t) переходим к обобщенным перемещениям q (t). С этой целью используются линейные преобразования (2.47). Очевидно {q (t)} = { q 1 } sint + {q 2 } cost, где {q 1 } = [Ф]diag[ 1 j ][Ф] T {F 0 }, {q 2 } = [Ф]diag[ 2 j ][Ф] T {F 0 }. Здесь {q 1 }, {q 2 } - векторы амплитуд. (2.51) Выводы по главе 1. На базе МКЭ разработана методика расчёта корпусных элементов конструкций музыкальных струнных инструментов. Учитывается переменная кривизна поверхностей оболочек, сложная конфигурация контура, наличие отверстий и вырезов, переменная толщина стенки, слоисто -волокнистая структура материала при выраженной анизотропии физико -механических свойств, наличие подкреплений стенок в виде асимметричного набора рёбер жесткости, начальное напряженное состояние, обусловленное предварительным натяжением струн. Методика реализована в виде компьютерной программы. 2. На основе принципа возможных перемещений и МКЭ построена разрешающая система уравнений, которая описывает вынужденные колебания предварительно напряженной динамиче ской системы относительно равновесного состояния. Учитывают ся нелинейности, связанные с влиянием мембранных усилий на изгибную жесткость стенки. При выводе расчетных соотношений применяются вариационная формулировка принципа ХеллингераРейсснера и теория тонких оболочек Тимошенко. Используется независимая аппроксимация перемещений и деформаций. 3. Представлен вычислительный алгоритм расчета устано вившихся амплитуд. Колебания элементов корпуса, обусловлен ные периодическими движениями струн, записаны в виде супер позиции низших собственных форм. Алгебраическая проблема на собственные значения решается методом итераций в подпро странстве собственных векторов. Диссипативные свойства конст рукции описываются при помощи модели пропорционального демпфирования Рэлея. Приведён алгоритм расчета характеристик демпфирования.
3. Анали з р а с ч е т н о й м о д ел и М К Э В тр етьей г л а в е п р е д с т а в л е н а кон стр укци я и р а с ч е т н а я ко нечно - э л е м е н т н а я м о д е л ь г и т а р н о й д е ки. Р езу л ьт аты р а с ч ё т а у п р у г и х п е р е м е щ е н и й д ек и в з а ви си мо сти о т н а т я ж е н и я с т р у н ко к а ми со пост ав лены с д а н н ы м и эк сп ер имен та. Выпо нено т е сти р о в а н и е и ср ав нит ельн ая о ц е н к а э ф ф екти вно сти и то чно сти р а сч ет н о й мод е ли М КЭ. С э той ц е ль ю п р о в е д ё н р а с ч е т р я д а то нко ст енн ы х ко нстр укций. 3. 1. К о н с тр у к ц и я и р а с ч е т н а я м о д е л ь д е ки Ад е кв ат н о ст ь р а с ч е т н о й м о д е л и п р о а н а л и з и р у е м н а п р и м ер е реальной конструкции. Рассмотрим корпус семиструнной классич е ско й гитары мод е ли 3 8 6 - А с м е н з у р о й L = 540 м м, изготовлен н о й н а Б о б р о в с к о й ф аб р и к е му зык а льн ы х и н с т р у м е н т о в ( г.Б о б р о в). Э л е м ент а ми к о р пу с а являю т ся о б е ч а й к а, к о н т р о б е ч а й к а, д е к а, д н о ( "д о н ь я"), п о д с т а в к а д ля стру н ( с т р у н о д е р ж а т е л ь ), р ё б р а ж ё с т к о с т и ( п р у ж и н к и ). Об ечай ка и две к о н т р о б е ч а й к и о б р а з у ют г н у т у ю к о н с т р у к ц и ю, кото рая н о с и т н а з в а н и е р а м ки к о р п у с а. Н а и б о л ь ш и й п р а к т и ч е с к и й и н т ер е с пр ед ст авля ет д е к а, н еп о ср ед ст в енно св яз анн а я со с т р у н а м и. К а ч е с т в о д е к и во м н о г о м о п р е д е л я е т к а ч е ст в о М И в ц ел о м. Н а р и с. 3. 1 и з о б р а ж е н ч ер т е ж д е ки ( в и д со с т о р о н ы в н у т р е н ней по лости ). Р а з м е р ы на ч ер т е ж е ук аз ан ы в м м. Д е к а и м е ет к р у г л о е р е з о н а т о р н о е о т в е р с т и е, о н а пред ст авля ет о д н о с л о й н у ю тонку ю п л а с т и н к у, по ф о р м е н а п о мин а ю щу ю в о с ь м ер к у. Ни жн ий о в а л в о с ь м ё р к и больше верх нег о. В сво ю оч ер ед ь п л а с т и н к а и л и р е зо н ан сн ы й щит - э т о со ст авн ая кон стр укци я, с кл е ен н а я из о т д е ль ны х д о щ е ч е к д р е в е с и н ы. Ко лич е ство д о щ е ч е к о б ы ч н о - о т 5 д о 7. Кажд ая д о щ е ч к а п л у ч а е т с я п у т е м р ад и а ль но й р а спи ло в ки з аг о т о в о к. Н а п р а в л е н и е воло кон д р е в е с и н ы с о в м е щ а е т с я с н а п р а в л е н и е м струн. К наружной поверхности пластинки приклеена подставка для кр еп лен и я с т р у н. Н а р и с.3.1 о н а п о к а з а н а п у н к т и р о м. К в н у т р ен н ей п о вер х н о сти п л а ст и н ки п р и к л е е н ы п р у ж и н к и, п р и помощи к о т о р ы х р е г у л и р у е т с я ж ё с т к о с т ь деки и т е м с а м ы м о с у щ е с т в л я е т с я а к у с т и ч е с к а я н а с т р о й к а М И. Гео м етрия п р у жи н о к п о к а з а н а н а р и с.3.1, о сно вн ы е р аз м ер ы д ан ы в т аб л.1.
Таблица 1 Размеры подкреплений, мм П1 L L1 L2 H H1 H2 B 260 80 80 12 6 6 5 П2 230 55 55 12 2 4 5 П3 325 65 95 12 5 3 5 П4 326 55 105 12 8 6 5 П5 184 0 0 5,5 5,5 5,5 28 П6 170 40 40 12 6 6 П р у ж и н к и пр ед ст авля ю т д е р е в я н н ы е б р у с к и п р я м о у г о л ь н о г о п опер е чно г о с е ч е н и я B х H, и м ею щи е по кр аям х ар а кт ер ны е ско сы. П р у ж и н к и у ст а н а вли в а ют ся по о б е с т о р о н ы р е зо н ато р но г о о т в е р сти я и п о д ст а вк и д л я с т р у н, п ер пенд и ку ляр но н а п р а в л е н и ю в о л о кон д р е в е с и н ы. Одн а из п р у ж и н о к у с т а н а в л и в а е т с я п о д угло м 1 0 - 1 5. Пр ед ст ав ленн ая сх ема п о д к р е п л е н и я я в л я е т с я о д н о й и з н аи б о л ее р ас пр о стр ан ё нны х сх ем. По к о н т у р у п л а с т и н к а п р и к л е и в а е т с я к т о р ц а м контр о бечай ки. К о н т р о б е ч а й к а - с в о е о б р а з н ы й ф и г у р н ы й шп анго ут, ко то рый 278 30 85 83 П1 55 П2 1 2 3 П5 П3 356 H2 L2 L 90 80 345 130 195 Ребро жесткости ("пружинка") П 460 П 10 H1 L Рис.3.1. Дека гитары модели 386-А о б е с п е ч и в а е т ж ё ст ко ст ь к о р п у с а и у в е л и ч и в а е т п л о щ а д ь конт акт а р а м к и с д е к о й и д н о м. В сво ю оч ер едь р а м к а к о р п у с а у с и л и в а е т с я д в у м я д е р ев я н н ы м и б р у с к а м и ( с м. з а ш т р и х о в а н н ы е о б л а с т и н а р и с.3.1). В е р х н и й б р у с о к п р е д н а з н а ч а е т с я д л я кр епления г р и ф а. Р а с ч е т н а я сх ема д е ки пред ст авля ет ся в вид е д и н а м и ч е с к о й си ст емы с 9 6 6 8 ст еп ен я ми с в о б о д ы. И с п о л ь з у е т с я М КЭ. П л асти н к а р а з б и в а е т с я н а 9 9 0 т р е у г о л ь н ы х пло с ких К Э, п р у ж и н к и и п о д с т а в к а д л я струн - на 1 4 0 ст ержн ев ых К Э, сов м ести мых с п л о с к и м и КЭ. П р и н ц и п и а л ь н а я д и с к р е т н а я сх ема и з о б р а ж е н а н а р и с.2.1. Кон е чн о - э л е м е н т н а я с е т к а с т р о и т с я симметр ично о т н о сит е льн о линии с и м м е т р и и д е к и. В о б л а с т и о тв ер сти я испо льзу ют ся б о л е е м е л к и е К Э. При м о д е л и р о в а н и и д е ки во зн икает п р о б л е м а сх емат из ации со единения д е к и с к о н т р о б е ч а й к о й. С э той ц е ль ю р е а л и з у ю т с я к ак шар нирное закр еп лени е, т а к и ж е с т к о е з а щ е м л е н и е д ек и по линии к о н т у р а. Ш а р н и р н о е з а к р еп л ен и е м о д е л и р у е т с я п у т ё м У зап р е т а Ф лин ейн ых п е р е м е щ е н и й ( u = v= w = 0), з а щ е м л е н и е - ли н е й н ы х и у г л о в ы х п е р е м е щ е н и й ( u = v = w = 1 = 2 = 0). З д е с ь u, v, w, 1, 2 - л и н е й н ы е п е р е м е щ е н и я и углы п о в о р о т а н о р ма л и в у з л о в ы х то чках, р а с п о л о ж е н н ы х по л и н и и к о н т у р а. 3. 2. У п р у г о е д е ф о р м и р о в а н и е д е ки: Ра счет и э к с п е р и м е н т Д е к а я в л я е т ся п р е д в а р ит е л ь н о напр яженной констру к цией. Н а т я ж е н и е с т р у н ко ками и н д у ц и р у е т н а ч а л ь н о е НД С. Исследу е м у п р у г о е д е ф о р м и р о в а н и е г и т а р н о й деки. Р а с с м о т р и м т р и вар и а н т а констру кции : в ар и ант 1 со о т в ет ст ву е т н еп о д кр еп ле н н о й сх еме, вар иант 2 - с и м м е т р и ч н о й сх еме, в ар и ан т 3 - а с и м м е т р и ч н о й сх еме п о д кр еп л ени я ( р ис.3.2).
Н а о с н о в а н и и данных [61 ], п о лу ч е н н ы х для к л а с с и ч е с к о й гитары, п р и м е м следу ю щи е з н а ч ен и я си л п р е д в а р ит е л ь н о г о н ат я ж е н и я с т р у н : P 1 = 71 Н, P 2 = 72 Н, P 3 = 1 2 5 Н, P 4 = 1 0 5 Н, P 5 = 1 0 0 Н, P 6 = 1 0 5 Н, P 7 = 1 0 1 Н. З д е с ь н и ж н и й и н д е к с о б о з н ач а ет п о р я д к о вы й но мер с т р у н ы. Но мер а п р и св аи ва ют с я в п о р я д к е возр аст ани я - о т тонко й ( д и с к а н т о в о й ) к т о л с т о й ( б а с о в о й ) с т р ун е. От мети м, ч т о си ст ема в н е ш н и х с и л н е я в л я ет с я с и м м е т р и ч н о й. С у м м а р н а я н а г р у з к а, д е й с т в у ю щ а я на д еку со с т о р о н ы н а т ян у т ы х с т р у н, со ст авля ет 6 7 9 Н ( ~ 6 9, 2 к Г ). Н а ч а л ь н о е НД С о п р е д е л я е т с я на о сно вании р е ш е н и я ( 2. 1 9 ). У п р у г и е сво й ств а д р е в е с и н ы о п и с ы в а ю т с я мод е лью о р т о т р о п н о г о т е л а. Ф и з и к о - м е х а н и ч е с к и е х а р а к т е р и с т и к и м а т е р и а л а в ы б и р ают ся из таб л.7 ( стр.88). П л а с т и н к а и з г о т о вл е н а и з р ез о н а н с н о й ели, п о д с т а в к а д ля стру н - из б у к а, п р у жи н к и - из со сн ы. Н а р и с. 3. 3 п о к а з а н ы э п ю р ы п р о г и б о в, п о с т р о е н н ы е вдоль линии с и м м е т р и и п л а с т и н к и. Для з а щ е м л е н н о й и шар ни рно о п ё р т о й по лин ии к о н т у р а д ек формы п р о г и б о в полу чаю т с я п о д о б н ы м и и д о с т а т о ч н о близкими д р у г д р у г у. Это о з н а ч а е т, ч т о г р ани чн ы е у с ло вия н а контур е ( ш ар н и р или з ад е к а ) о к а з ы в а ю т с л а б о е в ли я н и е на п р о г и б ы п л а ст и н ки. Ч е р н ы м и кру жками н а р и с. 3.3 о т м е ч е н ы п р о г и б ы д ек и 3, сн яты е эк сп ери м ент а льно. Д ля и з м е р ен и й и с п о л ь з о в а л с я и н д и к а т о р ч асо вого т и п а. Ан ализ р е з у л ь т а т о в п о к а з ы в а е т, что ж ё ст ко ст ь н а и з г и б д еки 3 п о л у ч а е т с я б о л ь ш е, ч е м д е ки 1 - почти в 6 раз, и ч е м д ек и 2 - в 1, 3 р а з а. О ц е н к а ж ё ст ко ст и п р о и з в е д е н а по вели чин е, обрат н о й м а к с и м а л ь н о м у п р о г и б у. М а к с и м ал ь н ы й п р о г и б д е ки 1 р ав ен 4, 5 м м, что п р е в ы ш а е т т о л щ и н у п л а с т и н к и h = 3 м м. В э т о м слу ч ае взаимны е с м е щ е н и я кр о мо к о т в е р с т и я со ст ав ля ют о ко л о 4 м м.
Вариант Вариант Вариант Рис.3.2. Варианты конструкций гитарной деки W, 10-3 м P e 0, 0,6 0, X1L 5 1, 0, - -2 e = 0,01 м вариант 1 вариант 2 вариант 3 эксперимент вариант 1 (заделка) вариант 2 (заделка) вариант 3 (заделка) - - - Рис.3.3. Эпюра прогибов гитарной деки Под кр е плени е деки р ё б р а м и ж ё ст ко ст и у м е н ь ш а е т п р о г и б ы и вы р а в н и в а е т фор му д е ф о р м и р о в а н и я. Т а к и м о б р азо м, п р у ж и н к и о б е с п е ч и в а ю т д о п о н и т е ль н у ю ж ё ст ко ст ь, п р е д о х р а н я я д е ку о т б о л ь ш и х п р о г и б о в п о д д е й с т в и е м си л п р е д в а р и т е л ь н о г о н а т я ж ен и я стр у н. 3. 3. Т е с т и р о в а н и е. Р а с ч ё т пл астино к С ц е л ью оценки т о ч н о ст и р а с ч ё т н о й мод е ли М К Э р а с с м о т р и м ряд з ад а ч ст ат ики, д и н а м и к и и у с т о й ч и в о с т и п л а с т и н о к. Р а с ч ё т н ы е п ер е м е щ ен и я, соб с тв енны е ч ас т о т ы и кр и т и ч е с ки е н а г р у з к и, с о о т в е т с т в у ю щ и е п о т е р е у с т о й ч и в о с т и, сопо ст ави м с д а н н ы м и известных аналитических и численных решений. Исследуем сход и м о с т ь п р и б л и ж е н н ы х р е ш е н и й М К Э к то чны м а н а л и т и ч е с к и м р е ш е н и я м. 3. 3. 1. З а д а ча с т а т и к и Рассмотрим изгиб к в ад р атно й пластинки со стороной a = 0,4 м, т о л щ и н о й с т е н к и h = 2 1 0 - 3 м п о д д ей ст ви е м р а сп р ед е ленной н а г р у зк и инт ен си вно ст и q = 1 2, 5 к Н/ м 2. При о п и с а н и и у п р у г и х с в о й с т в и с п о л ь з у е м д в е р а с ч е т н ы е мод е ли м а т е р и а л а : Х И з о т р о п н о е т е л о ( Е = 2 0 0 Г П а, = 0, 3 ). Х Ортотро пное т е ло ( Е 1 = 2 0 Г П а, Е 2 = 2 0 0 Г П а, 1 2 = 0,03, 2 1 = 0, 3, G 1 2 = 2 8 6, 2 Г П а).
Н а р и с. 3. 4 и з о б р а ж е н а р а с ч е т н а я сх ема п л а с т и н к и, шарнир н о - о п е р т о й по к о н т у р у. В т аб л. 2 п р е д с т а в л е н ы р е з у л ь т а т ы р а с ч е т о в. Н а р и с.3.5 и 3. 6 по казаны г р а ф и к и с х о д и м о с т и, по лученные для и з о т р о п н о г о м а т е р и а л а.
x3 x q x Рис.3.4. Пластинка, шарнирно-опертая по контуру Таблица 2 Число КЭ 2 4 8 16 24 36 50 Решение [126] Изотропное тело w,10-3 м 1,96 4,57 7,69 8,05 8,06 8,52 8,87 8,87 M1, (Нм)/м 1,4 3,9 6,7 7 8,1 9,3 9,5 9,58 Ортотропное тело w,10-2м 0,509 1,16 1,85 2,05 2,06 2,08 2,11 2,14 M2, (Нм)/м 1,4 7,3 12 12,1 12,3 14,7 16,2 19, w, 10 м - Аналитическое решение [126] Число КЭ 0 0 10 20 30 40 50 Рис.3.5. Зависимость прогиба w от числа КЭ 12 10 8 6 4 М1, Hм/м Аналитическое решение [126] Число КЭ 0 0 10 20 30 40 50 Рис.3.6. Зависимость изгибающего момента M1 от числа КЭ Ко н ст а т и р у е м, п р и чи сле К Э N = 36 р а с ч е т н ы е п е р е м е щ е н и я и у си ли я о т л и ч а ю т с я о т р е з у л ь т а т о в а н а л и т и ч е с к о г о р е ш е н и я [ 1 2 6 ] м е н е е ч е м н а 3 %. 3. 3. 2. З а д а ча д и на м ик и Выпо ним р а сч ет с о б с т в е н н ы х ч ас т о т к в ад р а т н о й п л а с т и н к и, жестко з а щ е м л е н н о й п о конту р у ( р и с.3.7). С т о р о н а п л а с т и н к и a = 0,4 м, то щино й ст ен ки h = 10 - 2 м, п л о т н о с т ь м а т е р и а л а = 8 1 0 3 кг / м 3. И с п о л ь з у е м д в е мод е ли м а т е р и а л а :
Х И з о т р о п н о е т е л о ( Е = 1 9 8 Г П а, = 0, 3 ). Х Ортотро пное т е ло ( Е 1 = 1 9, 8 Г П а, Е 2 = 1 9 8 Г П а, 1 2 = 0,03,.
2 1 = 0, 3, G 1 2 =7 Г П а, G 1 3 = 1 9, 6 = 1 9, 6 Г П а) Д л я д и с к р ет и з а ц и и п л а ст и н ки и с п о л ь з у е м р ег у ляр ну ю ко н еч н о - э л е м е н т н у ю сетку с чи сло м КЭ N = 2 5 6. Р е з у ль т аты вы чи слен и й со п о ст ави м с д ан н ы ми к л а с с и ч е с к и х р е ш е н и й, п о л у ч е н н ы х н а о сно ве д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й с о б с т в е н н ы х колеб ан и й : для и з о т р о п н о г о м а т е р и а л а 4 w/ x 4 + 2 4 w / x 2 y 2 + 4 w/ y 4 + h 2 w /t 2 = 0, для о р т о т р о п н о г о м а т е р и а л а (3.1) D 1 1 4 w / x 4 + 2 D 1 2 4 w/ x 2 y 2 + D 2 2 4 w/ y 4 + h 2 w/ t 2 = 0 ( 3. 2 ) З д е с ь w ( x, y, t) - н о р м а л ь н ы й п р о г и б ;
D 1 1 и D 2 2 - ц и л и н д р и ч ес к и е ж е с т к о с т и в г л а в н ы х осях упругости ;
D 1 2 - с м е ш а н н а я жест ко ст ь. Главные н а п р а вл ен и я упругости совмещаются с напр авлениями к о о р д и н а т н ы х о с ей x 1 и x 2. Д л я п л а ст и н ки, з а щ е м л е н н о й п о кон ту р у, сог л асно ан алити ч ес к и м р е ш е н и я м (3.1) и (3.2), ч а сто т ы с о б с т в е н н ы х колеб ан и й о п р е д е л я ю т с я ф о р м у л о й [22 ]:
j = j a D11, h ( 3.3 ) 68 x a x1 a Рис.3.7. Пластинка, защемленная по контуру Таблица 3 m 1 1 2 2 1 3 2 3 3 71 4 2 4 3 4 4 n 1 2 1 2 3 1 3 2 3 4 1 4 2 4 3 4 Наше решение 3,647 7,452 7,452 10,941 13,420 13,485 16,695 16,695 22,146 21,615 21,615 24,621 24,735 29,838 29,838 37,177 Решение АM[22] 3,556 7,386 7,386 10,889 13,337 13,337 16,656 16,656 22,222 21,313 21,313 24,540 24,540 29,960 29,960 37,556 Решение [164] 3,646 7,437 7,437 10,965 13,393 13,393 16,717 16,717 24,631 г д е j б е з р а з м е р н ы й коэффи циен т для j- о й с о б с т в е н н о й фо рмы ( j = 1, 2,.., p ), p - ч и с л о р а с ч е т н ы х со бст в енн ы х ф о р м. В с л у ч а е и з о т р о п н о г о т е л а D 1 1 = D. В т аб л. 3 п р е д с т а в л е н ы р а с ч е т н ы е ко эффиц и е нты j для п ер вых 1 6 ф о р м ко лебаний и з о т р о п н о й п л а ст и н ки, в т аб л. 4 - для о р тотропной пластинки (учитываются первые 11 собственных ф о р м ). В е л и ч и н ы m и n ц е л ы е чи сла, о п р е д е л я ю щ и е фор му ко л е б а н и й. Р е з у л ь т а т ы в ы ч и с л е н и й с о п о с т а в л е н ы с данными к л а сси ч е ско г о решения [2 2 ], полученного асимптотическим метод о м ( А М) и р е ш е н и я [ 1 6 4 ], вы полн енн о го в д в о й н ы х тригономет р и ч е с к и х р я д а х ( р а с с м а т р и в а л и с ь п ер в ы е ш е с т ь ч л ен о в р яд а). Из со п о ст авит ельного ан али з а д ан н ы х таб л.3 след ует, чт о пер вая р а с ч е т н а я соб с тв енн а я часто т а о т л и ч а е т с я о т ан алит ич ес к о г о р е ш е н и я [164] н а 0, 0 3 %. Д ля вы сших ч а сто т э т о р а з л и ч и е со ст ав ля ет м е н е е 0, 1 %. П р и ч е м, полу ченно е р е ш е н и е МКЭ о к азывает ся б ли ж е к [164], ч е м к л а с с и ч е с к о е р е ш е н и е А М [2 2 ].
Таблица 4 m 1 2 3 1 2 4 3 4 1 2 3 n 1 1 1 2 2 1 2 2 3 3 3 Наше решение 7,654 10,147 15,504 19,725 21,334 23,857 25,062 31,754 37,678 38,942 41,943 Решение АМ [22] 7,570 9,971 14,936 20,137 21,587 22,249 25,060 30,898 39,064 40,300 42, В сво ю оч еред ь, и з т аб л.4 вид н о, ч т о р а сч е тн а я п ер в а я соб ст венн ая ч ас т о т а п л а с т и н к и из о р т о т р о п н о г о м а т е р и а л а о т л и ч а е т с я о т а н а л и т и ч е с к о г о р е ш е н и я [2 2 ] н а 1 %. Д ля в ы с ш и х ч а сто т разли чи е р езу л ьт а то в н е п р е в ы ш а е т 4 %. 3. 3. 3. З а д а ча у с то й ч и в о с т и Проведём анализ влияния мембранных усилий на изгибную жесткость стенки. Для этого рассмотрим задачу устойчивости равновесия тонкой пластинки под действием сжимающих внешних нагрузок. Для решения задачи воспользуемся у р а в н е н и е м ( 2. 3 6 ), в к о т о р о м [ R ] - м а т р и ц а гео м етр и ч е ско й ж е ст ко сти, и л и н ач а л ьн ы х н а п р я жен и й. Он а у ч и т ы в а е т вли ян и е м е м б р а н н ы х усилий н а и з г и б н у ю ж е с т к о с т ь ст ен ки. О ч е в и д н о, п р и д о с т и ж е н и и с ж и м а ю щ и м и н агрузками некоторых определенных значений матрица жесткости [ C- R ] о к аж ет ся в ы р о ж д е н н о й. Это у с ло ви е с о о т в е т с т в у е т п о т ер е у ст о й чи во с т и т и п а д и в е р г е н ц и и по п е р в о й со бст в енн о й ф о р м е ( и з г и б н о й фор м е р а в н о в е с и я). Т а к и м о б р азо м, в а р ь и р у я в н е ш н и е н а г р у з к и и о п р е д е л я я со о т в ет ст ву ю щи е им соб ст в енны е ч а сто т ы, н ах о д и м т а ки е з н а ч е н и я, д л я к о т о р ы х н и з ш а я собств енн а я ч а сто т а о б р а щ а е т с я в н у л ь. По лученные з н а ч е н и я с о о т в е т с т в у ю т кр и т и ч е с ки м н а г р у з к а м. Р а с с м о т р и м к в ад р атну ю п л а с т и н к у с о с м е ш а н н ы м и Г У н а ко н ту р е : с т о р о н ы x 1 = 0 и x 2 = а - жестко з а щ е м л е н ы, две д р у г и е - ш а р н и р н о о п е р т ы по к о н т у р у ( р и с.3.8). П л а с т и н к а с ж и м а е т с я в напр авлении оси х 1 р а с п р ед е л е н н о й н а г р у зк о й инт ен си вно сти q ( имеет место о д н о о с н о е сж ат ие ). П л о с к о с т ь д ей ст ви я вн ешн ей нагрузки с о в м е щ а е т с я со ср единн о й п о в е р х н о с т ь ю п л а с т и н к и. Н а г р у з к а п р едпо лагает ся " мёр тво й ". Размеры п л а с т и н к и : с т о р о н а a = 0,4 м;
т о л щ и н а h = 1 0 - 2 м.
x q q x1 Рис.3.8. Расчетная схема пластинки Таблица 5 Число КЭ 4 16 64 256 Аналитическое решение [2] qкр,106 Н/м 345,312 13,391 6,498 6,158 6, qкр, МН/м 20 Аналитическое решение [2] 10 6, Число КЭ 0 0 50 100 150 200 Рис.3.9. Зависимость критической нагрузки qкр от числа КЭ Моду ль у п р у г о с т и м а т е р и а л а Е = 1 9 8 Г П а, ко эффициент П у а с с о на = 0,3. В т аб л.5 и н а р и с.3.9 пр ед ст авлен ср ав нит ельн ый ан ализ р езу л ьт ат о в р ас ч ет а М К Э с д а н н ы м и к л а с с и ч е с к о г о р е ш е н и я [2 ], п о л у ч е н н о г о п у т е м и н т е г р и р о в а н и я д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о у р а в н ен и я и зг и б а п р я м о у г о л ь н о й п л а с т и н к и м е т о д о м Г а л е р к и н а. Н а о сн о в е ан ализ а д е л ае м в ы в о д : п р и у в е л и ч е н и и чи сла К Э и м ее т м есто сх о д и мо ст ь чи слен ного р е ш е н и я к точно м у а н а л и т и ч е с к о м у р е ш е н и ю [2 ]. П р и ч е м, как и с л е д о в а л о о ж и д а т ь, с х о д и м о с т ь н аб л ю д а е т с я "с в е р х у ". Это т р езу л ь тат о б ъ я с н я е т с я т е м, ч т о р а сч е т н а я мод е ль М К Э п р и к р у п н о й с е т к е, п о стро ен ная н а о сно ве н ез ави си мой и н т е р п о л я ц и и пер е мещений ( 2.2 ) и д е ф о р м а ц и й ( 2. 1 3 ), п о л у ч а е т с я б о л е е ж е ст ко й, ч е м р е а л ь н а я кон стру кци я. При чи сле КЭ N = 64 о т н о с и т е л ь н а я о ши б к а с о с т а в л я е т 4, 5 %, п р и N = 256 - 0,76%. В п р и л о же н и и 1 п р и в е д е н ы д о п о л н и т е л ь н ы е р е зу л ьт ат ы р а сч ёт о в т о н к и х п л а с т и н о к п р и р аз ли чны х ГУ н а контур е. Р езу л ьт аты р а с ч е т о в М КЭ соп о ст авлены с д а н н ы м и к л а с с и ч е с к и х р е ш ен и й. По лученн ые д ан н ы е п о д т вер жд а ют до ст овер ность р а с ч е т н о й мод е ли М КЭ. Вы вод ы по г л а в е 3 1. Пр ед ст авлен а р а сч е тн а я м о д е л ь деки к л а с с и ч е с к о й г и т а р ы. Д л я сх емати з ац ии деки испо льзованы 9 9 0 т р е у г о л ь н ы х п л о с к и х и 1 4 0 ст ержн евы х КЭ. Р а сч е тн а я м о д ел ь р е али зов ан а в вид е п р о г р а м м н о г о ко мп лекса д л я Э ВМ. 2. В з ав и с и мо ст и о т н а т я ж е н и я с т р у н ко ками и сследо в ано у п р у г о е д е ф о р м и р о в а н и е д е ки. Д л я т р ё х вар и антов ко нстру кц и й п о д кр еп л ени я п о стро ен ы эпюр ы п р о г и б о в. Р е з у ль т аты вычи сле н и й п о д тв ер жд а ют ся д а н н ы м и э к сп ери м ент а. У с т ан о в л е н о : Х Сх ема п о д кр еп л ени я о к а з ы в а е т с у щ е с т в е н н о е вли ян и е н а ж ё с т к о с т ь д ек и. Х ГУ по л и н и и к о н т у р а ( шарнир или з а д е к а ) о к а з ы в а ю т с л а б о е в ли я н и е на фор м ы п р о г и б о в. 3. Н а п р и м ер е зад а чи и з г и б а тонкой п л а с т и н к и и с с л е д о ван а т о ч н о ст ь р а с ч е т н о й мод е ли М К Э. Пут е м сопост ав ит ельного ан ализ а п а р а м е т р о в НД С п о к а з а н о, что с у ме н ь ш ени е м р а з м е р о в КЭ и м е ет м е с т о с х о д и м о с т ь п р и б л и ж е н н ы х р е ш е н и й М КЭ к т о чному а н а л и т и ч е с к о м у р е ш е н и ю Ти мо шен ко. Д ля по лу чения п р и е м л е м о й точно сти по н а п р я ж е н и я м ( о ши б к а в пред елах 3 %) т р еб у е т с я б о л е е м е л к а я к о н е ч н о - э л е м е н т н а я с е т к а, ч е м по п ер е м е щениям. 4. Рассмотрены собств енны е колеб ани я т о н к о ст е н н о й п р я м о у г о л ь н о й п л а с т и н к и п р и р аз ли чн ы х г р а н и ч н ы х у с ло ви ях н а к о н ту р е. Р е з у л ь т а т ы в ы ч и с л е н и й М КЭ сопо ст авлены с к л а с с и ч е с к и м и р е ш е н и я м и Б о л о т и н а и Игути. У с т а н о в л е н о, пр и чи сле К Э N = 2 5 6 имеет место х о р о ш е е их в з а и мно е с о о т в е т с т в и е. Д ля пер вых ш е с т н а д ц а т и фо рм ко лебани й р аз ли чи е соб ст в енных ч а ст о т со ст ав ля ет м е н е е 1 %. 5. Пров ед ен ан ализ в л и я н и я м е м б р а н н ы х у с и л и й н а и зг и б н у ю ж е с т к о с т ь с т е н к и. С эт ой ц ел ь ю р а с с м о т р е н ы зад а чи у сто й чи во сти р а в но в ес ия тонких пластин п р и р а з л и ч н ы х г р ан и чн ы х у с л о в и я х и сх емах н а г р у ж е н и я. Опр ед е лены у с ло ви я с х о д и м о с т и п р и б л и ж е н н ы х р е ш е н и й М КЭ. При ч и с л е К Э N = 64 р а с ч е т н ы е кр и т и ч е с ки е нагрузки, со о тв е тст ву ю щи е первой собственной ф о р м е, дост ато чно х о р о ш о сог л асуют с я с р ез у ль т ат а ми т о ч н ы х ан алити ч еских р е ш е н и й. С х о д и м о с т ь р е ш е н и я " св ерх у " о з н а ч а е т, что р а с ч е т н а я мод е ль М КЭ пр и к р у п н о й с е т к е п о л у ч а е т с я б о л е е жесткой, ч е м р е а л ь н а я к онстру к ция. 6. Н а о сн о в а н и и ан али за р а с ч е т н о й модели М КЭ з а к л ю ч ае м : д ля по лу чения д о сто в ер ных р ез у ль т ато в н ео б х о д и мо п о стро ени е ад ек ватных к о н еч н о - э л е м е н т ны х сх ем. Ад екв атны е сх емы о п р е д е л я ю т с я н а о с н о в е в а р и а н т н о г о ан ализ а п у т е м и сс л е д о в а н и я сх о д и мо ст и р е ш е н и й. При р а с ч е т е п л а с т и н о к п р и п о мо щи о б о л о ч е ч н ы х К Э Попо в а [1, 104 ] с л е д у е т с т р о и т ь р яд а л ьт е р н а т и в н ы х д и с к р е т н ы х сх ем и п у т е м сопо ст ав ит ельного ан али за р езу л ьт ато в в ы б и р а т ь а д е к в ат ну ю сх ему.
4. Э к спер им ентал ь но е и с с л е д о в а н и е м е х а н и ч е с к и х к о л е б а н и й гитар но й д ек и В н а сто я щ ей г л ав е п р и в е д е н ы р е з у л ь т а т ы р а с ч ё т н о - эксп е р и м е н т а л ь н ы х и с с л е д о в а н и й. Пред ст ав лены методики и з м е р е н и й с о б с т в е н н ы х ф о р м и ч а сто т, к о н ст ан т д е м п ф и р о в а н и я, а мп ли т у д в ы н у ж д е н н ы х к о л еб ан и й. Опр е делены физи ко - м е х а н и ч е с к и е х ар а к т е р и с т и к и к о н с т р у к ц и о н н ы х мат ер иалов, у ст ано в л ены пор о ды д р е в е с и н ы. По стро ены а мп ли т у д н о - ч а сто т н ы е х ар а к тер и с ти ки. Рез у льтаты ф и з и ч е с к и х эк сп ер имен тов сопо ст ав лены с д а н н ы ми р а с ч ё т о в М КЭ. И с с л е д о в а н о в ли я н и е а к у с т и ч е с к о й в н у т р е н н е й поло сти и стр у н на сп ектр колеб ан и й д е к и. Исп о льзов а ли сь ультразвуковой метод, метод электротензометрии, методика Х л а д н и и ц и ф р о во й с п е к т р а л ь н ы й ан ализ [ 7 4, 1 2 3, 1 4 6, 1 4 7 ]. 4. 1. Э к с п е р и м е н т а л ь н а я у с та но в ка С ц е ль ю и с с л е д о в а н и я д и н а м и ч е с к и х сво йств г и т а р н о й деки б ы л а с п р о е к т и р о в а н а и и з г о т о в л е н а с п е ц и а л ь н а я у ст ано вк а, о сн о в н ы м и ч а ст я ми к о т о р о й я в л я ю т с я : си ст ема возбу ж дени я к о л еб а н и й, к о р п у с М И ( г и т а р ы ) и контро льно - и з м ер и т е л ь н а я апп ар атура. Н а р и с. 4. 1 п о к а з а н о б щ и й вид у с т а н о в к и. Кор пус г и т а р ы ( б ез г р и ф а и с т р у н ) жестко со един ен с и сп ы т а т е л ь н ы м сто ло м ( 3 н а р и с.4.1). К о н с т р у к ц и я со единения и ск лю ч а ет возм о ж ные д в и ж ен и я к о р п у с а о т н о с и т е л ь н о п ло с ко с т и с т о л а. Си ст ема возбу ж дени я к о л еб ан и й в к л ю ч а ет : в и б р о с т е н д э л е кт р о д и н а м и ч е с к и й ВЭД С - 1 0 А ( 1 на р и с.4.1) и ц е н т р о б е ж н ы й в и б ратор ( 2 на р и с.4.3). Возбу ж дени е н а д е ку п е р е д а е т с я о т в и б р ат о р а по ср ед ст в о м сп ец иальной тр ав ер сы (1 н а р и с.4.3).
Рис.4.1. Общий вид экспериментальной установки (1 - вибростенд;
2 - тензометрический усилитель;
3 - стол испытательный) Рис.4.2. Приборы для измерений (1 - частотомер;
2 - осциллограф) 1 Рис.4.3. Система возбуждения колебаний (1 - траверса;
2 - вибратор;
3 - тензометрический динамометр) Рис.4.4. Тензометрический динамометр (1 - тензорезистор;
2 - акселерометр) Д л я и з м е р ен и я вынужд ающих си л р а з р абот ан с п е ц и а л ь н ы й коль ц е в о й динамо метр, и л и у п р у г о е " т е н з о к о л ь ц о " (3 на р и с.4.3). Д и а м е т р кольц а d = 56 м м, т о л щ и н а ст енки h = 1,5 м м, вес - 2 3 г. Н а в н у т р е н н ю ю поверх ность к о л ь ц а н а кл еи в а ли с ь п р о в о л о ч н ы е т е н з о р е з и с т о р ы к о н с т р у к ц и и - Н И И С К с б аз о й 1 0 м м ( р и с. 4. 4 ). Д л я э т о г о и с п о л ь з о в а л с я ц и а к р и н о в ы й к л ей. Т а р и р о в к а ко льц ев о г о динамо метра в ы п о л н я л а с ь п у т е м п р о в е д е н и я с а м о с т о я т е л ь н о г о э к спери м ен та. Для определения виброускорений применялся миниатюрный пьезоэлектрический д ат чи к KD-91 (Metra Me und F r eq u e n z t e c h n i k R a d e e u l ), или а к с е л е р о м е т р ( 2 на р и с.4.4 ). В е с д ат чи ка 1, 8 г. Д а т ч и к ж е с т к о з а к р е п л я л с я на п о в е р х н о с т и деки. Д ля этого и с п о л ь з о в а л а с ь сп еци а льн а я з а ма з к а. От мети м, что к о л ь ц е в о й д и н а м о м е т р и т р а в е р с а р а с с ч и т а н ы н а д о р е зо н ан сн ы й р е ж и м р аб о ты. Г ео м етр и ч е с ки е и ж е с т к о с т н ы е пар а метры ко льца и тр авер сы п о д о б р а н ы т а к, ч т о их со бст в енн ы е ч ас т о т ы р а с п о л о ж е н ы вы ше и с с л е д у е м о г о ди ап азо н а часто т, т.е. вы ше 5 6 0 Гц. Д л я р ег и стр ац и и р е з у л ь т а т о в м е х ан и ч е с к и х и с п ы т а н и й и спользо вались ч еты р ех к ан ал ьн ы й тензометрический у си ли т е л ь 4 А Н Ч- 2 2 ( 2 на р и с.4.1), ч а сто т омер э л е к т р о н н о- с ч е т н ы й Ч3 - 3 4 ( 1 н а р и с. 4. 2 ) и ц и ф р о в о й з а п о м и н а ю щ и й о сци л ло г р аф С9 - 8 ( 2 н а р и с.4.2). 4. 2. Анализ с о б с тв е н н ы х фор м. Ф и г у р ы Х л а дн и Д л я и сследов ан ия н и з ш и х соб с тв енных фор м к о л еб ан и й и с п о л ь з о в а л а с ь классич еск ая м е т о д и к а Х л а д н и [ 1 5 6 ]. П о в е р х н о с т ь д ек и п о к р ы в а л а с ь т о н ки м с л о е м мелко з ерн и сто г о п е с к а. П е с о к о к р а ш и в а л с я в с и н и й ц ве т. З ат е м в к л ю ч а л с я в и б ратор. При колеб ани ях на р езо нансных ч а с т о т а х песо к с м е щ а л с я в о б л а с т и, при л ег аю щие к у з л о в ы м л и н и я м. Это с в я з а н о с т е м, что п р о г и б ы н а у з л о в ы х л и н и я х п р и к о л еб ан и я х п л а с т и н к и б ли зки к ну лю. П о л у ч е н н ы е песо чные к а р т и н ы но сят н а з в а н и е фиг у р Хладни. Н а р и с.4.5, с и н и м ц в ет о м, и з о б р а ж е н а ф и г у р а Х л а д н и д л я д еки б е з п о д к р еп л е н и й, на р и с. 4. 6 - д ля д еки с п о д к р еп л ен и я ми. Кон стру кци я п о д к р еп л е н и я п о к а з а н а н а р и с.3.1. Пр ед ст авлен н ые ф и г у р ы Х л а д н и со о т в ет ст ву ю т н и з ш и м с о б с т в е н н ы м ф о р м а м. В пер во м с л у ч а е ( д е к а без п о д к р еп л ени й ) - частот а в о з б у ж д е н и я 1 = 85 - 87 Гц, в о в т о р о м ( д е к а с п о д кр еп л ени я ми ) - 1 = 116 - 120 Гц.
Изобр а жения п о лу ч е н ы п р и по мо щи ц и ф р о в о й ф о т о к а м е р ы и о б р а б о т а н ы н а ко мп ьют ер е. З а ф и к с и р о в а т ь и з о б р аж е н и е б о л е е высо ких соб ст в енных ф о р м о к аз а ло с ь з а т р у д н и т е л ь н ы м. Д е ло в т о м, что п р и ви браци ях н а б о л е е вы со ких ч а ст отах ( f > 1 ) п е со к быстро о с ы п а л с я с п о в е р х н о с т и деки. П е с о ч н ы й "у з о р " и м е л р а сп л ы в ч а т ы е о ч ер тан и я и п р о с м а т р и в а л с я в чр езвычай но к о р о т к и й п р о м е ж у т о к вр емени. С о п о с т а в и т е л ь н ы й ан ализ ф игу р Х л а д н и, пр ед ст авлен н ых н а р и с.4.5 и 4. 6, п о к азы в а ет, что у си л ени е ст ен к и р е б р а м и ж е ст ко сти в и д о и з м е н я е т н и з ш у ю фор му ко лебани й. Д л я д ек и с п о д к р е п л е н и я м и у з л о в ы е л и н и и р а с п о л о ж е н ы б л и ж е к контур у п л а с т и н ки, ч е м для деки б ез п о д к р еп л е н и й. Фор м а колеб ан и й п о д к р е п ленной деки со о т в ет ст ву ет конфигу р ации контур а п л а с т и н к и. Фор м а к о л еб ан и й н еп о д кр еп ле н н о й д е к и скор ее напо минает о ва л. Фор мы с о б с т в е н н ы х ко лебаний ( р и с. 4. 5 и 4.6), п о м и м о мето дики Х л а д н и, о ц ени в а ли с ь к а ч ес т в ен н о п р и помо щи а к с е л е р о м е т р а. Акселер ометр п о следов ат ельно у ст ан а вли в а л с я в р а з ли чн ы х то чках п о в е р х н о с т и д ек и. В к а ж д о й то чке ф и к с и р о в а л с я Рис.4.5. Первая форма колебаний деки без подкреплений Рис.4.6. Первая форма колебаний деки с подкреплениями сдвиг фаз д в у х г ар мо н ич е с ки х сигн алов: сиг нала ак селеро м етр а о т н о с и т е л ь н о с и г н а л а динамо метр а. О ч е в и д н о, колебани я о б л а стей д ек и, р аз д е л е н н ы х у з л о в ы м и линиями, н ах о д ят с я в п р о т и в о ф а з е. Р е зу л ьт ат ы и с п о л ь з о в а н и я д ву х м е т о д и к ан алоги чны. 4.3. Построение АЧ Х и определение к о н с та н т демпфирования Исследу е м п о в е д е н и е г и тар н о й деки п р и мо но гар мони ч еско м си лово м возбу ж дени и. С ч и т а е м, что в ы н у ж д а ю щ а я с и л а и з м ен я ет ся п о закону F( t) = F 0 sin t, ( 4.1 ) г д е F 0 и - а м п л и т у д а и к р у г о в а я ч а сто т а со о т в ет ст ве н н о. Вы нужд аю щу ю си лу п р и к л а д ы в а е м в т р е х р а з н ы х т о ч к а х ( р и с.4.7), эти м с а м ы м у м е н ь ш а е м в е р о я т н о с т ь п о п а д а н и я т о ч к и воз бу жде н и я н а у з л о в у ю л и н и ю. Н а п р а в л е н и е в е к т о р а си лы с о в м е щ а е м с п е р п е н д и к у л я р о м к п ло с ко с т и деки.
1 2 Рис.4.7. Точки возбуждения колебаний Н а к а ж д о й ч ас т о т е во збужд ен и я ф и к с и р у е м а м п л и т у д ы вы нужд аю щих си л F 0 и а м п л и т у д ы в и б р о у с к о р е н и й a 0. В и б р о у с к о р е н и я и зм ер я е м в непо ср едственной б ли зо с ти о т т о ч к и во зб ужд е н и я к о л еб ан и й. По н и м р а с с ч и т ы в а е м п р и в е д е н н у ю а м п л и т у д у q0 = ka0, F0 f ( 4.2 ) г д е k =1 0 4 м а с ш т а б н ы й м но жи тель, f ч а сто т а к о л е б а н и й в Г ц. Т а к и м о б р азо м, с ш а г о м 2 - 3 Гц и с с л е д о в а л с я ч а сто т н ы й д и ап а з о н о т 8 0 д о 5 6 0 Гц. В о б л а с т и р е зо н ан со в шаг п о ч ас т о т е умен ьшался. О т д е л ь н о р а с с м а т р и в а л а с ь д е к а с п о д к р еп л ен и я ми ( р и с.3.1 ) и д е к а б е з п о д к р еп л е н и й. Р езу л ьт аты и з м е р е н и й в в и де А Ч Х пр ед ст авлены н а р и с. 4. 8 - 4. 1 3 с п л о ш н о й л и н и е й. С л е д у е т и м е т ь в вид у, ч т о на к а ч ес т в о э л е м ент о в к о р п у с а М И с у щ е с т в е н н о е в ли я н и е о к а з ы в а е т д е м п ф и р о в а н и е. Вви д у мног о образия и сложности физических процессов, связанных с рассеян и е м эн ергии, д о сто в ер ная и н ф о р м а ц и я о х ар ак тер и с ти к ах д е м п ф и р о в а н и я к о н с т р у к ц и и, как п р ав и ло, о т с у т с т в у е т. Приб ли женн ы е о ц е н к и п о лу ч а ют с я г л ав н ы м о б р а з о м э к сп ери м ент а льн ы м путем. Из в е стн ы два о сно вны х эк сп ер имен тальных м е т о д а о п р ед ел е н и я к о н ст ан т д е м п ф и р о в а н и я : м е т о д с о б с т в е н н ы х затух аю щ и х колеб ан ий [ 1 8 0 ] и м е т о д в ы н у ж д е н н ы х колеб ан и й ( и ли р е з о н а н сн ы й метод ) [ 4 0, 7 8, 1 2 0 ]. В о в т о р о м с л у ч а е х ар а кт ер и ст и ки д е м п ф и р о в а н и я по лучаются н а о сно в е и з м е р ен и й о д н о г о и з с л едующих параметров: Х шири ны п о л о с ы р ез о н а н с н о й к р и в о й ;
Х а м п л и т у д ы д и н а ми ч е ск и х п е р е м е щ е н и й п р и р ез о нан с е;
Х пло щ ади п ет ли гист ер ези са.
Pages: | 1 | 2 | Книги, научные публикации