Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | 3 | 4 |

между поперечными цепочками (заметим, что оно не совпадает с периодом СРКТ в направлении электри2.3. Блоховские осцилляции в штарковском ческого поля (рис. 1)), a Ч расстояние между КТ представлении в поперечных цепочках, /4 Ч резонансные интегралы Используя решение стационарного уравнения Шремежду ближайшими КТ в цепочке, так что Ч ширина дингера (16), легко проследить динамику электрона при поперечных минизон.

различных начальных условиях в отсутствие рассеяния.

В [10] также найдены волновые функции электронов в состояниях (13) для произвольной ориентации элек- Далее мы покажем, что в этом формализме блоховские осцилляции представляют собой квантовые биения межтрического поля в виде разложения (10) по функциям Ванье (5), | = (r - ). В случае рациональных на- ду состояниями штарковской лестницы.

Пусть в начальный момент времени волновая функция правлений поля (14) электрона образует когерентную смесь штарковских k состояний (16):

F|N, k = F exp(ik )CN,k| = N|N, k. (15) (t = 0) = N,k|N, k. (17) Здесь мы не будем приводить общие выражения для коэффициентов CN,k, которые довольно сложны, и при Временная эволюция штарковских состояний (16) из ведем выражения лишь для случая, когда электрическое вестна, и можно сразу написать решение нестационарполе F направлено вдоль одной из главных осей прямоного уравнения Шредингера в виде угольной 2D СРКТ. В этом случае для описания СРКТ применимо приближение ближайших соседей, спектр i 0 k и собственные функции F имеют вид [10] (t) = N,k exp - Nt |N, k = (t)|, k F|N, k = F CN,kn |n, n = N|N, k, n, i 0 k (t) = N,k exp - Nt CN,k. (18) k N = -N + /2cos(ka), N,k В частности, если начальные условия факторизуются, CN,k = eika nJn -N. (16) N,k = N k, то для вероятности обнаружить электрон Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. Затухание блоховских осцилляций в сверхрешетках из квантовых точек. Общий формализм в слое с индексом n получим wn = |n,n |2 = NN Jn-N n N,N Jn-N exp i(N - N ) t. (19) Отсюда видно, что в результате квантовых биений электронная плотность в каждой КТ осциллирует со штарковской частотой. Электронные осцилляции сопровождаются осцилляциями тока в направлении поля ene a jn = Im n+1,n (t)n,n (t). (20) n Рассмотрим несколько способов создания когерентной смеси штарковских состояний. Рис. 3. Спектр СРКЯ в электрическом поле. Каналы неупругого (in) и упругого (el) рассеяния в СРКЯ.

2.3.1. Мгновенное включение поля. При мгновенном увеличении поля от нулевого значения изначально электроны равновесно распределены по блоховским состояниям минизоны СРКТ. Блоховскому состоянию с волновым вектором K0 в штарковском представлении соответствует N = exp(iNK0a )k,K0. В этом случае суммирование в выражении для тока (20) с последующим усреднением по начальным волновым векторам с функцией распределения дает простой результат ene a j = cos K 0a sin( t), (21) совпадающий с полученным ранее в квазиклассическом приближении выражением для произвольного направления поля (9).

2.3.2. Мгновенное уменьшение поля. Пусть теперь в начальный момент времени электрон локализован в плоскости F = 0, что реализуется в очень сильном Рис. 4. Спектр 2D СРКТ в электрическом поле. Каналы поле eFa. Тогда N,k = JN( /2 )k (как мы неупругого (in) и упругого (el) рассеяния в 2D СРКТ.

убедились в (19), зависимость от поперечного волнового вектора при факторизации начальных условий несущественна), и при резком уменьшении величины поля образуется так называемая Ддышащая модаУ, благодаря широкому поперечному спектру рассеяние ene a остается сильным при любой величине электрического jn = cos( t/2)Jn sin( t/2) поля. Энергетическое перекрытие состояний различных ступеней штарковской лестницы делает возможным как Jn+1 sin( t/2). (22) упругое рассеяние, так и рассеяние с участием оптиче ских и акустических фононов.

Ток в этом случае антисимметричен: jn = - j-n-1, Ситуация кардинально меняется в сверхрешетках из центр электронной плотности остается в плоскости квантовых точек. Здесь имеется возможность изменять F = 0, дипольный момент отсутствует. Расплывшись ширину поперечной минизоны, меняя ориентацию поля по области локализации Lloc = a ( / ), через время относительно осей СРКТ, и таким образом эффективно T = 2/ электрон опять локализуется в плоскоуправлять спектром СРКТ в электрическом поле, а слести F = 0.

довательно, и рассеянием.

Действительно, из рис. 4 видно, что однофононные 3. Каналы рассеяния в сверхрешетках процессы рассеяния с участием оптических фононов из квантовых точек и слоистых внутри поперечных минизон невозможны, если ширина поперечной минизоны становится меньше энергии сверхрешетках оптических фононов:

Проведем теперь сравнительный анализ возможно < 0. (23) стей подавления рассеяния в слоистых СР и СРКТ. Из рис. 3 видно, что в сверхрешетках из квантовых ям Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. 1454 И.А. Дмитриев, Р.А. Сурис Пусть теперь поперечные зоны не перекрываются где суммирование по l обеспечивает учет процессов энергетически и для всех натуральных n выполнено переброса в поперечных минизонах, условие Q(q) dr|(r)|2eiqr (27) n + <0 < (n + 1) -, (24) 2 Ч формфактор, описывающий тонкую структуру волгде = eFa Ч расстояние между соседними стуновых функций (15), построенных на функциях Ванье пенями штарковской лестницы, Ч ширина попе | = (r-) минизоны СРКТ (5). В случае направления речных минизон. Тогда межминизонные однофононные электрического поля вдоль базисного вектора прямоq процессы рассеяния с учетом оптических фононов также угольной 2D СРКТ расчет величин VN-N дает оказываются полностью подавленными (рис. 4).

q a Более того, оказывается возможным сколь угодно q VN-N = iAqQ(q)(-i)N -NJN -N sin. (28) сильно подавить межминизонные процессы рассеяния и на акустических фононах. Чтобы убедиться в этом, Для получения формфактора Q(q) вычислим интеграл необходимо принять во внимание некоторые особенности взаимодействия с акустическими фононами в СРКТ.

|eiqr| = dr(r - )eiqr(r - ) 3.1. Взаимодействие с акустическими фононами в сверхрешетках = eiq dr (r )eiqr (r - - ). (29) из квантовых точек При учете взаимодействия с деформационными аку- В приближении сильной связи функции Ванье, относящиеся к различным узлам СРКТ, перекрываются стическими фононами гамильтониан принимает вид слабо и диагональные элементы (29) много больше = 0 - eF r + qb+bq недиагональных. Действительно, при малых волновых q q векторах фонона q q = /RD, где RD Ч размер КТ, ортонормированность дает |eiqr| eiq,, а + i Aq bqeiqr - b+e-iqr, (25) q при q q интеграл (29) быстро убывает с ростом q, q причем недиагональные элементы = к тому же всюду содержат туннельную малость. Таким образом, где b+, bq Ч операторы рождения и уничтожения q фонона с волновым вектором q; Aq = qG /2qv0a, |eiqr| eiq, Q(q), G Ч константа потенциала деформации, v0, a Чобъем элементарной ячейки и массовая плотность материала 1, q q, Q(q) = dr|(r)|2eiqr (30) сверхрешетки. Для простоты здесь мы рассматриваем (q/q)-, q q.

взаимодействие с объемными продольными деформациНапример, для сферической КТ радиуса RD с бесконечно онными колебаниями материала СРКТ, т. е. не учитывысокими стенками зависимость Q(q) вычисляется анаваем влияние различия материалов внутри и снаружи литически и имеет вид КТ на спектр фононов. Соответственно нам удобно использовать волновые вектора фононов, определенные Q(q) = в зоне Бриллюэна материала СРКТ. Таким образом, в приближении линейного изотропного спектра q = sq, Si(q/q)-(1/2) Si(q/q-2) +Si(q/q + 2) =, q < 2/a0, где s и a0 Ч соответственно скорость звука q/q и постоянная решетки материала СРКТ.

Матричные элементы электрон-фононного взаимодей8cos(q/q) Q(q/q > 1), (31) ствия в штраковском представлении |N, k для электро2(q/q)нов (15) и представлении чисел заполнения |{q} для x фононов имеют вид где Si(x) = [sin(y)/y]dy Ч интегральный синус.

N,k; 0q|Ve-ph|N, k, 1q = VNk,N k В случае сферической ямы с конечными стенками и равенства эффективных масс внутри и снаружи кванiq a товой точки q = VN-N exp (N + N ) k,k+q+2l/a, l 2RD 3 2mR2 U0 cos2(q/q) Q(q/q > 1) |(RD)|2 D, q VN-N = iAqQ(q) (q/q)(32) N + N,k где U0 Ч глубина потенциала КТ, m Ч эффективная CN,k exp iq - a CN, (26) масса электрона в материале СРКТ.

Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. Затухание блоховских осцилляций в сверхрешетках из квантовых точек. Общий формализм В общем случае КТ произвольной формы можно по- Покажем, каким образом это условие позволяет построказать, что показатель степени в (30) = 4, если |(r)|2 ить квантовое уравнение релаксации. Уравнение для матэкспоненциально спадает за пределами КТ и не имеет рицы плотности (МП) системы с гамильтонианом (25) разрывов первой производной. Если же эффективные d массы электрона внутри и снаружи квантовой точки i =[, ], (35) dt различаются и возникает разрыв первой производной, то волна обрыва дает = 3.

записанное в штарковском представлении (15) для элекТакое сильное убывание формфактора с ростом волтронов, |Nk, и представлении чисел заполнения для фонового вектора фонона позволяет очень сильно подавить нонов, |{q}, после преобразования Лапласа по времени рассеяние на акустических фононах между поперечными приобретает вид минизонами штарковской лестницы (рис. 4). Действительно, из (30) следует, что если энергетический зазор kk i s + i q(q - q) +i NN Nkq|N k q между поперечными минизонами превышает энергию q актуальных акустических фононов s/RD, определяемую формфактором, q,q= VNk,N k1 N1k1, q 1|N k, q - >, (33) q1,q + Nk, q|N1k1, q 1 VN k1,N k то с увеличением энергетического зазора вероятность рассеяния на акустических фононах между минизонами, + Nk, q|N k, q t=0, (36) пропорциональная Q2(q), падает как ( - )-2, kk 3.

где s Ч параметр преобразования Лапласа, NN = k k При выполнении условий (23), (24), (33) главным = N - N (15) и справа подразумевается суммирование каналом рассеяния в идеальной СРКТ становится распо промежуточным индексам и волновым векторам фосеяние на акустических фононах внутри поперечных нонов, а также суммирование слагаемых со знаками Д+У минизон. Вообще говоря, отнюдь не очевидно, что такое и Д-У.

рассеяние должно приводить к затуханию осцилляций, Это уравнение связывает элементы МП с фононныпоскольку БО происходят вдоль направления электричеми числами заполнения, отличающимися на единицу.

ского поля, а рассеивается в этом канале лишь поперечПодставим в правую часть уравнения для диагональных ное движение носителей. Поэтому для оценки скорости по числам заполнения элементов МП выражения для затухания БО при рассеянии внутри поперечных мининедиагональных. После этого справа останутся элемензон совершенно недостаточно вычисления вероятностей ты МП, диагональные по фононным числам заполнения, переходов, необходима более строгая и последовательи с числами заполнения, отличающимися на двойку.

ная теория. Поскольку БО в штарковском представлении Последние отвечают переходам с изменением числа суть квантовые биения между состояниями штарковской фононов на двойку, при учете только однофононных лестницы, затухание БО в этом представлении есть процессов их необходимо отбросить [18,19]. Это дает следствие потери когерентости между этими состоя ниями при переходах электронов с излучением или 2 kk i s + i NN Nk, q|N k, q - Nk, q|N k, q t=испусканием фонона. Тогда естественным способом опиq1,q сания затухания блоховских осцилляций является форVN {N2k2, q|N k, q} q,q= VNk,N k1 k1,N2k2 k1k мализм матрицы плотности, недиагональные элементы is - N N q которой как раз и описывают степень когерентности состояний.

q1,q {N1k1, q 1|N2k2, q 1}VN k2,N k k1k is - N N q 4. Квантовое уравнение релаксации q,qVNk,N k1 {N1k1q 1|N2k2, q 1} kkПри построении квантового уравнения релаксации, is - NN q описывающего затухание осцилляций, мы в основном q,qследуем процедуре, развитой Коном и Латтиндже{Nk, q|N1k1, q}VN k1,N2k2 q1,q - VN k2,N k. (37) ром [15] и затем, в частности, примененной для анализа kk2 is - NN q кинетики носителей в слоистых СР [16Ц19]. Мы будем считать, что эффективное время затухания БО намного После этого, считая, что скорость термализации превосходит период осцилляций:

фононной подсистемы выше частоты столкновений kk q {Nk, q|N k, q} = Z-1 e- q/T NN, и усредняя eff -1. (34) q Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. 1456 И.А. Дмитриев, Р.А. Сурис уравнение по фононным степеням свободы, полу- Уравнение (40) описывает потерю когерентности между чим для приведенной электронной матрицы плотности состояниями |N, k и |N, k при переходах электронов следующее уравнение: с поглощением или излучением фонона, причем первый член соответствует уходу электрона из этих состояний, 2 kk kk а второй Ч приходу из состояний с другими штарковi s + i (N - N ) NN - NN t=скими индексами и волновыми векторами поперечного 01 10 kk = (q + 1)VNk,N k VN k,N2kN N движения.

1 1 Структура и физический смысл члена, описываю -01 k 10 k - qVNk,N k N k VN k,N k is - N k - q N2 N щего уход, абсолютно ясны: он содержит полусумму 1 1 2 вероятностей ухода электронов из состояний |N, k и 10 01 kk + qVNk,N k VN k,N2kN N - (q + 1) 1 1 |N, k, и потеря когерентности здесь происходит за счет уменьшения количества электронов, образующих -10 k 01 k VNk,N k N k VN k,N k is - N k + q N2 N 1 1 2 когерентную смесь, фазовый множитель отсутствует.

01 k 10 Структура члена, описывающего приход электро- qVNk,N k N k VN k,N k - (q + 1) N1 1 нов, существенно сложнее. Из (26) следует, что q 01 kk 01 10 kk -1 VNk,N+nk VN +nk,N k = exp iq a (N-N ) |Vn |2. Мы видим, NN VN k,N2k VN k,N k is - NN + q 1 1 2 что в члене, описывающем приход электронов, переходы 10 k могут приводить как к ослаблению, так и к усилению - (q + 1)VNk,N k N k VN k,N k N1 1 когерентности между состояниями N и N в зависимости kk 10 01 kk kk k k от величины фазового сдвига между NN и N+n,N +n - qNN VN k,N2k VN k,N k (is - NN - q)-1, (38) 1 1 2 и набега фазы фонона q a(N - N ) между соответствующими узлами СРКТ (вид фазового множителя где q = (e q/T - 1)-1. Здесь мы также исключили из будет пояснен далее). Как будет строго показано в [20], правой части уравнения недиагональные по поперечным из-за наличия фазового множителя в члене, описываимпульсам элементы МП, которые при слабом рассеяющем приход электронов, интегрально уход превалинии много меньше диагональных [15].

рует над приходом, что приводит к затуханию БО со В отсутствие рассеяния решением уравнения (38) временем.

Pages:     | 1 | 2 | 3 | 4 |    Книги по разным темам