Книги, научные публикации
Pages: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | -- [ Страница 1 ] --
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Ярославский государственный университет им. П.Г.Демидова
На правах рукописи
УДК 621.396 Казаков Леонид Николаевич НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
ФАЗОВОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ Специальность: 05.12.13 - Системы и устройства радиотехники и связи Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук
Научный консультант: Лауреат Государственной премии СССР, Заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор Б.И.Шахтарин Москва 2000 -2Оглавление Введение..................................................................................................................... 5 Глава 1. Математическое описание объекта исследований.................................. 20 1.1. Обобщенные математические модели дискретных однокольцевых СФС................................................................................................................ 21 1.1.1. Импульсные СФС............................................................................... 22 1.1.2. Цифровые СФС................................................................................... 25 1.1.3. Импульсно-цифровые СФС............................................................... 30 1.2. Обобщенные математические модели связанных и комбинированных дискретных СФС.......................................................... 32 1.2.1. Особенности построения математических моделей СФС с несколькими временными дискретами........................................... 32 1.2.2. Двухкольцевые СФС с двумя внешними опорными колебаниями...................................................................................... 34 1.2.3. Двухкольцевые СФС с преобразованием частоты в выходном кольце................................................................................................. 42 1.2.4. Комбинированные импульсно-цифровые системы частотнофазовой автоподстройки.................................................................. 45 1.3. Математические модели дискретных СФС с циклическим прерыванием режима автоподстройки....................................................... 49 1.3.1. Импульсная СФС 2-го порядка без привязки фазы......................... 54 1.3.2. Импульсная СФС 2-го порядка с привязкой фазы.......................... 55 1.4. Выводы............................................................................................................ 57 Глава 2. Нелинейные процессы в дискретных СФС второго порядка................ 59 2.1. Качественные методы анализа процессов на фазовом цилиндре. Фазовые портреты возникновения неустойчивости неподвижных точек............................................................................................................... 60 2.2. Методика расчета бифуркационных параметров неподвижных точек кусочно-линейных отображений................................................................. 78 2.2.1. Модель СФС с пилообразной нелинейностью................................ 78 2.2.2. Модель СФС с треугольной нелинейностью................................... 89 2.3. Нелинейные процессы в кусочно-линейных СФС..................................... 98 2.3.1. Анализ установившихся движений в СФС с пилообразной нелинейностью.............................................................................................. 98 2.3.2. Устойчивость дискретной СФС с треугольной нелинейностью... 104 2.3.3. Переходные режимы........................................................................... -32.4. Использование качественно-численных методов для анализа дискретных СФС с синусоидальной нелинейностью............................... 115 2.4.1. Особенности методики расчета бифуркационных параметров неподвижных точек гладких отображений................................................ 115 2.4.2. Анализ областей существования установившихся движений в СФС с синусоидальной нелинейностью. Устойчивость........................... 120 2.5. Применение качественных методов для анализа эффектов квантования в цифровых СФС.................................................................... 128 2.6. Использование качественно-аналитических методов для анализа неавтономных дискретных СФС................................................................. 142 2.6.1. Методика расчета областей существования установившихся движений при периодическом по частоте воздействии............................ 142 2.6.2. Устойчивость режима слежения в СФС 2-го порядка при пилообразном и гармоническом воздействиях.......................................... 151 2.7. Применение метода гармонической линеаризации для анализа периодических движений дискретных СФС.............................................. 158 2.8. Выводы............................................................................................................ 165 Глава 3. Нелинейная динамика кусочно-линейных дискретных СФС третьего порядка........................................................................................... 169 3.1. Фазовые портреты возникновения неустойчивости неподвижных точек кусочно-линейных отображений 3-го порядка............................... 170 3.2. Методика расчета бифуркационных параметров неподвижных точек кусочно-линейных отображений................................................................. 175 3.2.1. Модель СФС с пилообразной нелинейностью................................ 175 3.2.2. Модель СФС с треугольной нелинейностью................................... 185 3.3. Установившиеся процессы в импульсной СФС с колебательным звеном............................................................................................................. 191 3.4. Применение метода гармонической линеаризации для анализа устойчивости СФС 3-го порядка................................................................. 201 3.5. Выводы............................................................................................................ 211 Глава 4. Некоторые вопросы исследования динамики двухкольцевых СФС тороидального типа....................................................................................... 213 4.1. Бифуркации неподвижных точек кусочно-линейных отображений с двумя временными дискретами. Эквивалентные линейные модели....... 214 4.2. Особенности методики анализа устойчивости дискретных СФС тороидального типа с двумя временными дискретами............................. -44.3. Устойчивость связанных и комбинированных систем синхронизации... 236 4.3.1. Двухкольцевые СФС с преобразованием частоты.......................... 236 4.3.2. Двухкольцевые СФС с двумя внешними опорными колебаниями.................................................................................................. 251 4.3.3. Импульсно-цифровые системы частотно-фазовой автоподстройки..................................................................................... 256 4.4. Выводы............................................................................................................ 263 Глава 5. Устойчивость дискретных СФС с циклическим прерыванием автоподстройки............................................................................................. 266 5.1. Линейные модели дискретных СФС с циклическим прерыванием автоподстройки............................................................................................. 267 5.2. Методика анализа устойчивости дискретных СФС с разрывным временем........................................................................................................ 271 5.3. Анализ установившихся движений в СФС с прерыванием различного типа............................................................................................. 282 5.4. Особенности применения метода гармонической линеаризации для анализа устойчивости систем с разрывным временем.................................. 293 5.4.1. Эквивалентная модель приведенной линейной части СФС........... 293 5.4.2. Расчет областей существования периодических движений........... 297 5.5. Выводы............................................................................................................ 301 Глава 6. Практическая реализация и экспериментальные исследования устройств на основе дискретных СФС....................................................... 304 синтезатор частоты 6.1. Быстродействующий широкополосный метрового диапазона на основе комбинированной системы частотно-фазовой автоподстройки.............................................................. 305 6.2. Возбудитель ЧМ-колебаний дециметрового диапазона для аппаратуры передачи телевизионных сигналов........................................ 309 6.3. Синтезатор частоты дециметрового диапазона на основе двухкольцевой импульсной СФС............................................................... 317 6.4. Цифровой синхронно-фазовый демодулятор с многоуровневым квадратурным АЦП на входе....................................................................... 325 6.5. Выводы............................................................................................................ 333 Заключение................................................................................................................ 335 Список литературы................................................................................................... 340 Приложение............................................................................................................... -5ВВЕДЕНИЕ Актуальность работы Развитие современных систем и устройств радиотехники и связи, техники управления, радиолокации и навигации, радио и информационноизмерительных комплексов невозможно без широкого применения систем фазовой синхронизации (СФС). Круг задач, решаемых этими системами, весьма обширен: слежение за несущими и поднесущими частотами принимаемых сигналов, когерентная демодуляция аналоговых и цифровых сигналов с частотной и фазовой модуляцией, синхронизация и демодуляция двоичных символов цифровой информации, измерение частоты и фазы сигналов, тактовая синхронизация, синтез сложных радиотехнических сигналов, синтез сетки высокостабильных диапазонов [1-14]. В последние годы интенсивно проводятся исследования в области систем фазовой синхронизации с элементами дискретизации, что связано с совершенствованием элементной базы микроэлектроники и ростом рабочих частот. Переход на новые технологии существенно расширил возможности систем фазовой синхронизации и повысил эффективность устройств на их основе. Выбором структуры колец и входящих в них узлов появилась возможность создавать варианты систем, обладающих требуемыми характеристиками по точности и надежности работы, быстродействию, помехоустойчивости для различных типов входных сигналов и законов модуляции. За счет усложнения режимов работы колец стало реальностью создание гибких алгоритмов обработки информации, оптимизации параметров и характеристик [15-25]. Возможности дискретных технологий привели фактически к новым классам СФС. К числу их относятся связанные и комбинированные системы синхронизации. В состав их могут входить несколько колец фазовой синхронизации с перекрестными связями между кольцами, кольца слежения за фазой связи и в задержкой, которых за фазой и частотой [14]. поднять с фазовой Примером точность служат оценки [7]. и многокольцевые цифровые синхронно-фазовые демодуляторы, перекрестные позволяют по импульсные значительно сравнению системы отслеживаемого Многокольцевые параметра однокольцевыми синхронизации частот, стабилизация частот генераторов различных -6многокольцевые импульсно-цифровые системы частотно-фазовой автоподстройки получили большую популярность в технике частотного синтеза [17,19,20,41,42]. Введение дополнительных связей между кольцами позволяет поднять эффективность устройств на их основе: повысить быстродействие, расширить область устойчивой работы, диапазон синтезируемых частот. Подобные связанные системы образуют класс систем тороидального типа, особенностью которых является наличие нескольких периодов дискретизации. К числу новых относятся дискретные системы фазовой синхронизации с циклическим прерыванием режима автоподстройки [26-29]. С помощью таких систем можно эффективно решать такие задачи, как создание высокоэкономичных синтезаторов частоты, систем многочастотного синтеза, возбудителей ЧМ и ФМ колебаний, систем обработки информации с временным разделением каналов, систем обработки информации в условиях длительного пропадания входного сигнала. Подобные системы образуют класс цилиндрических дискретных систем с разрывным временем. Дискретные системы синхронизации - существенно нелинейные системы с множеством устойчивых состояний равновесия, в общем случае, с несколькими устойчивыми периодическими и квазипериодическими движениями различных типов, со сложным, порой непредсказуемым поведением при больших расстройках по частоте. Знание характеристик таких предельных режимов, умение управлять ими является необходимым при разработке как самих систем синхронизации, так и устройств на их основе. Основными динамическими характеристиками СФС являются параметры и области существования состояний равновесия и других установившихся движений, области устойчивости в малом, в большом и в целом, параметры переходных процессов. Знание области параметров, в которой система устойчива в целом, решает проблему надежности ее функционирования. Обеспечение надежного функционирования в условиях отсутствия устойчивости в целом за счет управления начальным либо промежуточным состоянием позволяет найти компромиссное решение при разработке систем с учетом противоречивости основных характеристик. Знание параметров переходных процессов позволяет решить проблему быстродействия. Большинство задач по отысканию перечисленных характеристик даже применительно к традиционным однокольцевым системам второго порядка имеют в лучшем случае приближенное решение. Причина состоит в отсутствии -7достаточно эффективных строгих методов исследования нелинейных разностных уравнений, описывающих анализируемые модели. Если теория аналоговых систем синхронизации сегодня близка к завершению, то теория дискретных систем, несмотря на повышенное внимание к ней, развита существенно в меньшей степени. Большое влияние на ее оказали работы М.И.Жодзишского, В.Н.Кулешова, В.В.Шахгильдяна, А.К.Макарова, С.К.Романова, Б.И.Шахтарина, А.В.Пестрякова, В.Н.Белыха, В.П.Сизова, Г.А.Леонова, М.С.Гаврилюка, В.Линдсея, Д.Холмса, Д.Джилла, Х.Осборна, С.Гупты. К настоящему времени детально исследованы и получены точные характеристики нелинейных режимов для дискретных систем первого порядка и в некоторых специальных случаях для автономных систем второго порядка с фиксированным периодом дискретизации. Точный анализ нелинейных режимов дискретных систем фазовой синхронизации второго и третьего порядков с различными видами нелинейностей, включая неавтономные режимы для случая простейших частотных воздействий, отсутствует. Анализируя современные методы исследования нелинейных режимов дискретных СФС второго и выше порядков, следует выделить прежде всего различные численные методы, включая компьютерное моделирование. Можно указать ряд работ Б.И Шахтарина и его учеников, в которых численные методы решения разностных уравнений с успехом используются для определения областей существования периодических движений в системах с различными нелинейностями [9,71-73]. На основании полученных результатов делается попытка оценки областей устойчивости в целом дискретных СФС. В то же время очевидны ограничения подобных подходов, особенно для анализа сложных движений. Оценка границ устойчивости в этих условиях сопряжена с огромными машинными затратами, требуется постоянный контроль за сходимостью метода. Кроме того, использование численных методов в чистом виде затруднено, необходима предварительная оценка возможных движений в системе и областей параметров, в которых они существуют. Получили известность математически строгие частотные методы, разработанные в ряде работ Г.А.Леоновым и Ю.А.Корякиным [85-89]. С помощью них можно получать оценки областей глобальной асимптотической устойчивости для систем практически с любым видом нелинейности, включая системы высокого порядка. В то же время получаемые с помощью частотных -8методов оценки глобальной устойчивости зачастую оказываются сильно заниженными. Это связано с тем, что методы дают лишь достаточные условия устойчивости. Достаточно эффективными для анализа нелинейной динамики являются адаптированные к дискретным системам асимптотические методы. К числу их относится разработанный в работах А.В. Пестрякова и его учеников метод усреднения, позволяющий получать оценки областей устойчивости и временных характеристик переходных процессов достаточно широкого класса дискретных систем синхронизации [27, 31-33]. Метод основывается на разделении движений в системе на быстрые и медленные (разделение обобщенных координат на быстрые и медленные) с последующим раздельным анализом движений по быстрой и медленной координатам. Переход в результате такого разделения фактически к уравнениям более низкого порядка позволяет получить ряд интересных с практической точки зрения оценок. К числу их относится оценка времени движения по медленной координате, которая может выступать в качестве оценки установления частоты в системе. С другой стороны, очевидно, что разделение на быстрые и медленные движения не всегда возможно, что выступает в качестве ограничения применимости метода. Неудивительно, что наибольшее число работ по исследованию нелинейной динамики посвящено качественному анализу процессов в фазовом пространстве. Это связано с тем, что в отличиии от других подходов, качественные методы в достаточно доступном виде позволяют получить не только ряд важных для практики общих оценок, касающихся различных режимов функционирования систем, но и определить основные тенденции в поведении систем при изменении параметров. Независимо от вида нелинейности легко устанавливаются, например, направления движения системы при тех или иных значениях координат, области линейного и нелинейного движений, области движений без проскальзываний фазовой координаты, притягивающие слои, области существования простейших движений. Все это позволяет на начальном этапе исследований получить о системе достаточно много информации и использовать ее на последующих этапах. На сегодняшний день с помощью качественных методов и близкого к ним метода точечных отображений изучены системы 1-го порядка с различными -9нелинейностями и многие частные случаи для систем 2-го порядка. К числу их относятся работы В.И.Горюнова [59-62], Д.Джилла и С.Гупты [63,64], посвященные анализу локальной устойчивости СФС 1-го порядка, работы А.К.Макарова [65-67], а также С.К.Романова и В.Н.Малиновского [68,69], в которых изучается глобальная устойчивость импульсных СФС 1-го порядка. В [74] В.Н.Кулешовым и Г.М.Левченко изучаются условия возникновения и области существования предельных циклов 2-го рода. Анализу нелинейной динамики дискретных СФС 2-го порядка посвящены работы Х.Осборна [76,77], В.Н.Белыха и В.П.Максакова [78-80]. В работах последних исследуются периодические движения и устойчивость в целом дискретных систем с релейной нелинейностью. В моделей работах В.Н.Белыха СФС и 1-го Л.В.Лебедевой и 2-го [54,81,83] с качественночисленными методами исследуются некоторые нелинейные режимы ряда дискретных СФС с порядков синусоидальной и астатическим характеристикой детектора. В частности, в [54] исследуются модели импульсной пропорционально-интегрирующим фильтрами в цепи управления при нулевых частотных расстройках. В первом случае ограничение на расстройку снижает практическое значение полученных результатов. Несмотря на частный характер полученных качественными методами результатов, приведенных в большинстве проанализированных работ, данные методы имеют большую перспективу. В пользу подобного утверждения говорит тот факт, что методы, базируясь в общем случае на обших положениях теории нелинейных колебаний и теории бифуркаций, дают достаточно полную картину возможного поведения исследуемых систем и качественных изменениях в них. Исследования, выполненные на последующих этапах аналитическим или численным способами, в состоянии довести поставленную задачу анализа до конкретных численных оценок, претендующих на высокую точность. Подобный подход был продемонстрирован автором диссертации в ряде работ, посвященных анализу нелинейной динамики дискретных кусочнолинейных СФС 2-го и 3-го порядков [75,90,91,106,110]. На основе качественноаналитических методов получены точные оценки областей устойчивости в целом и полос захвата ряда дискретных СФС с различными нелинейностями детектора. На качественном уровне были проанализированы возможные бифуркации в системе, связанные с возникновением и разрушением - 10 периодических и квазипериодических движений, разработана методика определения бифуркационных параметров, результатом применения которой явились выражения для расчета областей устойчивости. В случае дискретных СФС с гладкими нелинейностями перспективным является подход, основанный на качественно-численных методах. Бифуркационная картина, установленная на первом этапе анализа системы, дополняется численными исследованиями. В отличии от рассмотренных выше данная численная процедура основана на знании типа движения, его параметров, начальных условий движения, заданных в фазовом пространстве, и не требует больших затрат машинного времени. Данный подход использован автором диссертации при анализе устойчивости дискретных СФС 2-го порядка с синусоидальной нелинейностью [177]. Качественные методы анализа нелинейной динамики имеют большую перспективу и для задач и исследования систем с новых классов связанных многокольцевых систем циклическим прерыванием.
Подтверждением являются точные оценки областей устойчивости, полученные автором диссертации в ряде работ, посвященных анализу нелинейной динамики связанных и комбинированных дискретных систем СФС различного типа [122124,126]. В известных ранее работах Т.С.Федосовой и Т.К.Паушкиной по связанных дискретным системах исследования выполнялись на основе перехода к непрерывным моделям и имели приближенный характер [114,119,120]. Что касается исследований динамики дискретных СФС с прерыванием, то на сегодняшний день в основном они выполнены А.В.Пестряковым и его учениками на основе метода усреднения [26,27,132-134]. Применение методов, позволяющих получить в общем случае более высокую точность, представляет как теоретический так и практический интерес. Таким образом, критический анализ работ, претендующих на достаточно строгие и полные исследования нелинейной динамики дискретных СФС 2-го и тем более 3-го порядков, в том числе относящихся к новым классам связанных систем и систем с циклическим прерыванием автоподстройки, показал, что число таких работ достаточно ограничено. Отсутствие точных методов исследования, а следовательно, и методик расчета динамических режимов, сдерживает широкое распространение их на практике. С одной стороны, большая практическая потребность в высокоэффективных системах синхронизации, с другой стороны, отсутствие достаточно полной информации - 11 о поведении таких систем для произвольных параметров и условий, отсутствие информации об их потенциальных возможностях. прикладных Это приводит к необходимости разработки эффективных методов анализа дискретных СФС и проведения исследований с помощью этих методов перспективных моделей для важных технических приложений. В связи с вышеизложенным, тема диссертации, посвященная методам анализа нелинейной динамики дискретных систем фазовой синхронизации и исследованию различных классов систем с применением этих методов, является актуальной. Цели и задачи диссертации. Целью диссертационной работы является разработка и развитие эффективных методов анализа нелинейной динамики дискретных систем фазовой синхронизации, позволяющих проводить исследования и расчет динамических свойств широкого класса импульсных, цифровых, импульсноцифровых, связанных многокольцевых СФС, составляющих основу перспективных систем обработки информации, генераторов сигналов с угловой модуляцией, устройств частотного синтеза и стабилизации частоты. Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие основные задачи: 1. Построение обобщенных математических моделей ряда классов автономных и неавтономных дискретных систем фазовой синхронизации. 2. Разработка эффективных математически обоснованных методов анализа нелинейных движений в рассматриваемых моделях, позволяющих получить простые расчетные соотношения для определения основных динамических характеристик систем. 3. Разработка на основе предложенных методов алгоритмов расчета динамических характеристик дискретных систем: областей существования установившихся движений, областей устойчивости в большом в целом, полосы захвата, параметров переходных процессов. 4. Анализ на основе разработанных методов и алгоритмов динамических режимов ряда моделей дискретных систем фазовой синхронизации: импульсных и цифровых различных порядков, двухкольцевых систем различного типа, в том числе комбинированных, систем с циклическим прерыванием автоподстройки.
- 12 5. Обоснование на основе полученных результатов анализа возможности повышения эффективности различных устройств обработки информации, генерации и стабилизации за счет применения рассматриваемых дискретных СФС. 6. Выработка рекомендаций по оптимизации динамических характеристик различных устройств, для реализации которых могут быть применены рассматриваемые дискретные СФС. 7. Демонстрация на ряде технических разработок высокостабильных генераторов ЧМ-колебаний, устройств частотного синтеза, синхронно-фазовых демодуляторов возможности повышения качественных показателей за счет использования разработанных методов анализа и реализации оригинальных технических решений. Общая методика исследований Разрабатываемые в диссертации методы анализа нелинейной динамики дискретных СФС базируются на общих положениях качественных методов теории колебаний дискретных систем с периодическими нелинейностями, теории бифуркаций, теории точечных отображений и метода гармонической линеаризации. Для решения поставленных разновидности метода задач используются математическое нелинейной также известные и компьютерное включая метод усреднения, анализа на моделирование, численное решение нелинейных разностных уравнений. Разработанные качественные методы динамики, и методы анализа фазовом цилиндре торе, гармонической линеаризации, адаптированный для анализа устойчивости новых классов систем синхронизации, ориентированы на использование персональных компьютеров. Научная новизна результатов 1. Получены обобщенные математические модели ряда классов дискретных СФС, в том числе различных модификаций двухкольцевых связанных и комбинированных систем, систем с циклическим прерыванием режима автоподстройки. 2. На основе общих положений качественных методов теории нелинейных дискретных колебаний и теории бифуркаций разработаны эффективные - 13 методы анализа нелинейной динамики различных классов дискретных СФС с одной и двумя периодическими нелинейностями, в том числе неавтономных. 3. На основе общих положений метода гармонической линеаризации разработан ряд методов анализа периодических движений для СФС высокого порядка, СФС с несколькими временными дискретами и разрывным временем. 4. С учетом разработанных методов получены алгоритмы анализа основных динамических характеристик различных классов дискретных систем;
алгоритмы позволяют получить расчетные соотношения для определения областей существования установившихся движений, областей устойчивости в большом и в целом как на плоскости обобщенных параметров так и на плоскости физических параметров. 5. На основе разработанных методов и алгоритмов создано оригинальное программное обеспечение для анализа динамических характеристик различных классов дискретных систем фазовой синхронизации. 6. С помощью ряда разработанных систем Ряд методов новые и алгоритмов уточняющие впервые выполнено результаты, (различные исследование большого количества различных типов дискретных СФС. В отношении различных получены систем позволяющие иначе подойти к их разработке (импульсные и цифровые СФС порядков). исследован модификации связанных двухкольцевых СФС, комбинированных систем, модификации СФС с циклическим прерыванием автоподстройки). В процессе исследований установлен ряд новых качественных особенностей дискретных СФС, связанных с процессами дискретизации и квантования, которые могут быть распространены на многие другие системы рассматриваемых классов. Практическая ценность 1. Разработанные дискретных СФС. в диссертации методы исследования позволили определить ряд основных динамических характеристик различных классов Получены границы существования установившихся периодических и квазипериодических процессов, границы областей устойчивой работы, зависимости полос и областей захвата от соотношений параметров систем и вида нелинейности детектора. Разработаны алгоритмы и пакеты программ для расчета динамических характеристик;
созданные автором пакеты программ используются на ряде предприятий: РГАТА г. Рыбинск, МГТУ им. Баумана г. Москва, ЯрГУ г. Ярославль.
- 14 2. Разработанные программы позволяют оптимизировать вид и параметры нелинейности детектора с целью обеспечения заданных динамических свойств дискретных автономных и неавтономных СФС. 3. Полученные в диссертации результаты позволили сформулировать предложения по повышению эффективности разрабатываемых дискретных СФС, в том числе традиционных, и различных устройств с их применением (повышению генераторов надежности, сигналов систем с расширению частотной частотного диапазона модуляцией, синтеза, устойчивой работы, и увеличению полосы рабочих частот, быстродействия): высокостабильных однокольцевых на многокольцевых синтезаторов основе комбинированных связанных систем, синхронно-фазовых демодуляторов и следящих измерителей. 4. Предложенные и развитые в диссертации методы, и разработанные на их основе алгоритмы и программы можно использовать в научноисследовательских и опытно-конструкторских работах для анализа нелинейных свойств дискретных систем синхронизации и синтеза дискретных систем синхронизации различного назначения. Результаты диссертации использованы в 6 научно-исследовательских и 2 опытно-конструкторских работах, выполняемых по решению ВПК и Постановлению ЦК и Совета Министров. Использование результатов работы в НИОКР подтверждено актами о внедрении. Предложенные при этом технические решения защищены 13 авторскими свидетельствами. Разработанный под руководством автора один из первых вариантов синтезатора частоты дециметрового диапазона на основе комбинированных дискретных СФС вошел в состав электронного комплекса, получившего в 1985 году премию Ленинского комсомола в области науки и техники. В ходе работы над диссертацией в отраслевых научно-исследовательских лабораториях "Поликом" и "Дискрет" ЯрГУ под руководством и при непосредственном личном участии автора был создан ряд высокоэффективных устройств частотного синтеза, возбудителей ЧМ-колебаний, синхроннофазовых демодуляторов, базирующихся на применении теоретических и прикладных результатов исследования дискретных СФС различных классов, в том числе однокольцевых, связанных, комбинированных и систем с циклическим прерыванием режима автоподстройки. Разработки внедрены на - 15 предприятиях г. Ярославля (ОКБ радиозавода), г. Москвы (ЦНИРТИ), г. Рыбинска (ОКБ Луч). Часть материалов, включая разработанное программное обеспечение, используется в учебном процессе Института криптографии, связи и информатики Академии ФСБ России, МГТУ им. Баумана г. Москва, РГАТА г. Рыбинск, ЯрГУ г. Ярославль. Положения, выносимые на защиту 1. Обобщенные математические модели ряда классов дискретных СФС, в том числе различных модификаций двухкольцевых связанных систем и систем с циклическим прерыванием режима автоподстройки. 2. Разработанные на основе общих положений качественных методов теории нелинейных дискретных колебаний и теории бифуркаций методы анализа нелинейной динамики различных классов дискретных СФС с одной и двумя периодическими нелинейностями, в том числе неавтономных. 3. Разработанные на основе общих положений метода гармонической линеаризации ряд методов анализа периодических движений для СФС высокого порядка, СФС с несколькими временными дискретами и разрывным временем. 4. Результаты исследования динамических характеристик конкретных типов дискретных СФС второго и третьего порядков, используемых при создании высокостабильных генераторов ЧМ-колебаний, цифровых синхроннофазовых демодуляторов, синтезаторов частоты: однокольцевых импульсных и цифровых СФС с различными видами характеристик детектора, связанных двухкольцевых СФС с преобразованием частоты в кольцах и без преобразования, комбинированных дискретных систем частотно-фазовой автоподстройки, дискретных СФС с прерыванием режима автоподстройки с предустановкой и без предустановки фазы в момент смены режима функционирования. 5. Предложения по повышению эффективности и параметрической оптимизации дискретных СФС и устройств с их применением и конкретные технические решения, внедренные на предприятиях г. Москвы (ЦНИРТИ), г. Ярославля (ОКБ радиозавода), г. Рыбинска (ОКБ Луч).
- 16 Публикации и апробация результатов работы Значительная часть результатов диссертационной работы опубликована в монографии Шахтарина Б.И. Анализ систем синхронизации методом усреднения, М.: Радио и связь, 1999 г.: главе 13 Цл Анализ дискретных ФАС 2го порядка (усреднение разностных уравнений), разделе 14.5 - Применение качественно-аналитических дискретных центральных ФАС 2-го методов для анализа нелинейной порядка 5 с кусочно-линейной в межвузовских динамики дискретной ФАС 3-го порядка, приложении 11 - Нелинейная динамика характеристикой сборниках, 5 детектора, в 6 отчетах по НИР и 2 отчетах по ОКР, 9-и публикациях в научных журналах, статьях депонированных рукописях, материалах 7 международных и 9 Всесоюзных семинаров и конференций, 13 описаниях изобретений, двух учебных пособиях. Основные результаты, изложенные в диссертации, были доложены и обсуждены на 7 международных конференциях и семинарах, 16 Всесоюзных и республиканских конференциях, семинарах и школах-семинарах: всесоюзной научно-технической конференции "Проблемы повышения эффективности и качества систем синхронизации", г. Львов, 1985г. ;
V Всесоюзной школесовещании молодых ученых "Стабилизация частоты", г. Иваново, 1986г. ;
научно-техническом семинаре "Применение систем фазовой синхронизации в синтезаторах частоты", г. Куйбышев, 1986г. ;
научно-техническом семинаре "Применение систем синхронизации в устройствах приема и обработки информации", г. Ярославль, 1987г. ;
научно-техническом семинаре "Системы синхронизации в устройствах формирования сигналов", г. Львов, 1987г. ;
всесоюзной научно-технической конференции "Развитие и совершенствование устройств синхронизации в системах связи", г. Горький, 1988г. ;
научнотехническом семинаре "Цифровые системы и устройства синхронизации", г. Одесса, 1989г. ;
VI Всесоюзной школе-совещании молодых ученых "Стабилизация частоты", г. Канев, 1989г. ;
международном семинаре по системам и устройствам синхронизации "Синхронизация - 90", г. Созопол, НР Болгария, 1990г. ;
международном семинаре "Нелинейные цепи и сигналы", г. Москва, 1992г. ;
научных сессиях НТОРЭС, посвященных Дню Радио, г. Москва, 1993г., 1995г., 1997г., 1999г. ;
всесоюзной научно-технической конференции "Нелинейные колебания механических систем", г. Н.Новгород, 1993г., 1996г. ;
The Second International Scientific School - Seminar "Dinamic and - 17 Stochastic Wave Phenomena", Nizny Novgorod, 1994 ;
The School-Conferense was supported by Ukrinian Academy of Sciences "Bifurcations and Chaos", Kotsiveli, Crimea, Ukraine, 1994, ;
всесоюзных научно-технических конференциях "Направления развития систем и средств радиосвязи", г. Воронеж, 1996г. и "Радио и волокно - оптическая связь, локация и навигация", г. Воронеж, 1997г.;
5-th International Specialist Workshop, "Nonlinear Dinamics of Electronic Sistems", Moscov, 1997;
The 1-st International Conference "Digital Signal Proctssing fnd Its Applications" Moscow, Russia, 1998;
The 2-st International Conference "Digital Signal Proctssing fnd Its Applications" Moscow, Russia, 1999. Объем и структура диссертации Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и приложений. Она изложена на 325 страницах машинописного текста, из которых 87 страниц рисунков. Список литературы содержит 195 наименований. Во введении обоснована актуальность темы и ее практическая значимость, сформулированы цели и задачи исследования, дан критический анализ работ в области исследования динамических характеристик различных классов дискретных систем фазовой синхронизации. Первая глава посвящена построению обобщенных математических моделей дискретных СФС различных классов: однокольцевых импульсных, импульсно-цифровых и цифровых систем с многоуровневым квантованием, многокольцевых связанных и комбинированных систем с перекрестными связями межу кольцами - систем с несколькими временными дискретами, однокольцевых систем с периодическим прерыванием режима автоподстройки - систем с разрывным временем. Вторая глава посвящена обсуждению методов и результатов анализа нелинейной динамики дискретных СФС 2-го порядка. На основе общих положений качественных методов теории нелинейных колебаний и теории бифуркаций обосновывается ряд положений, определяющих нелинейное поведение дискретных СФС на фазовом цилиндре второго порядка для широкого класса нелинейностей: гладких (синусоидальной), кусочно-линейных (треугольной), разрывных (пилообразной). К числу их относятся возможные сценарии бифуркаций в системах при изменении обобщенной частотной расстройки, условия и характер возникновения и исчезновения состояний - 18 равновесия, периодических движений произвольной структуры и квазипериодических движений. На основе разработанных методов исследуются области существования периодических и квазипериодических движений в импульсных и цифровых СФС 2-го порядка, устойчивость в большом и в целом. Анализируются установившиеся движения в неавтономных дискретных системах при периодических по частоте воздействиях. Третья глава посвящена анализу нелинейной динамики дискретных кусочно-линейных СФС третьего порядка с различными типами фильтров в цепи управления. Получили развитие качественно-аналитические методы анализа нелинейной динамики на фазовом цилиндре и метод гармонической линеаризации, предложенные во второй главе. Выполнены исследования областей существования периодических и квазипериодических движений, устойчивости в большом и в целом, полосы захвата импульсных СФС с двумя последовательно включенными пропорционально интегрирующими фильтрами в цепи управления и колебательным звеном 2-го порядка, а также цифровой СФС с двумя интегрирующими звеньями с независимым пропорциональным каналом. В четвертой главе на основе полученных в предыдущих главах результатов выполнен Получили анализ нелинейной динамики кусочно-линейных дискретных развитие качественно-аналитические применительно бифуркации, к связанные методы с исследования фазовому возникновением связанных СФС и комбинированных систем с частотным управлением. динамических пространству. процессов Изучены тороидальному неподвижных точек и потерей устойчивости в целом состояния равновесия. Получили подтверждение основные выводы, сделанные для однокольцевых кусочно-линейных СФС относительно условий возникновения неподвижных точек, входящих в состав циклических движений. На основе утверждения о возникновении неподвижных точек в граничных точках нелинейностей предложена оригинальная методика определения бифуркационных значений параметров, приводящих к периодическим движениям. Исследован ряд моделей связанных дискретных систем с преобразованием и без преобразования частоты и комбинированных систем частотно-фазовой автоподстройки. В пятой главе исследуется нелинейная динамика двух типов моделей дискретных систем фазовой синхронизации с пилообразной характеристикой детектора с циклическим прерыванием режима автоподстройки. Получили - 19 развитие методы анализа, разработанные в предыдущих главах, применительно к системам с разрывным временем. Рассматриваются условия возникновения и потери устойчивости неподвижных точек в новой шкале времени. На основе предложенных методик разработаны алгоритмы определения бифуркационных значений параметров, при которых возникают циклические движения. В главе развит метод гармонической линеаризации для дискретных СФС с прерыванием. С этой целью предложена методика построения коэффициента передачи эквивалентной приведенной линейной части системы, учитывающая нелинейные отображения на цикле работы системы. В шестой главе приводятся примеры технической реализации и экспериментальных исследований ряда устройств, основанных на различных вариантах дискретных СФС, исследованных в диссертации. К числу их относятся: быстродействующий широкополосный синтезатор частоты дециметрового диапазона на основе комбинированной системы частотнофазовой автоподстройки, синтезатор частоты дециметрового диапазона на основе двухкольцевой импульсной СФС, возбудитель ЧМ-колебаний дециметрового диапазона на основе импульсной СФС с циклическим прерыванием, цифровой синхронно-фазовый демодулятор с многоуровневым АЦП на входе. В основу разработок легли идеи, содержащиеся в авторских свидетельствах на изобретение, приведенных в списке публикаций, и результаты исследований нелинейной динамики дискретных СФС, проведенных в диссертации. В заключении подведены итоги диссертации и показаны направления дальнейшего развития идей, предложенных в работе. В приложения вынесены материалы о внедрении результатов диссертационной работы. Изложенный в диссертации материал является теоретическим обобщением исследований автора в области разработки прикладных методов анализа нелинейной динамики дискретных систем фазовой синхронизации, что позволяет решать такую важную народно-хозяйственную проблему, как создание высокоэффективных систем и устройств обработки информации, синтеза и стабилизации для радиотехники и связи.
- 20 Глава 1. Математическое описание объекта исследований Целью главы является построение ряда обобщенных моделей разных по классу дискретных систем фазовой синхронизации второго и третьего порядков с различными типами фильтров в цепи управления. К их числу относятся однокольцевые импульсные, цифровые, импульсно-цифровые системы, двухкольцевые системы фазовой синхронизации, комбинированные импульсноцифровые системы частотно-фазовой автоподстройки, системы синхронизации с прерыванием режима автоподстройки. Задача связана с попыткой изучить с помощью таких моделей общие свойства систем, не учитывая их технологических особенностей. В качестве объединяющих параметров при этом выступают порядок системы, вид и количество нелинейностей, тип входного воздействия. На рис. 1.1 приведены нелинейности, рассматриваемые в работе.
Fs() Fc() F1() - -c - c - а) Fc() б) F1() в) -c - c - г) Рис. 1.1.
д) Выбор функций определяется практическим значением дискретных СФС с подобными типами нелинейностей. В то же время он достаточен для того, - 21 чтобы сформулировать основные поведения широкого класса нелинейностями. Переход к обобщенным моделям сопряжен для каждой конкретной системы определенным набором допущений. Для импульсных однокольцевых и двухкольцевых СФС, цифровых СФС с аналого-цифровым преобразователем внутри кольца таким допущением, например, является постоянство периода дискретизации и линейность цепей управления. Для систем с широко распространенным импульсным фазовым детектором "выборка-запоминание" таким допущением является использование в качестве его модели экстраполятора 0-порядка, обладающего идеальным запоминанием на периоде дискретизации. Большинство из использованных при выводе обобщенных моделей допущений является общепринятым и используется при решении конкретных задач анализа и синтеза дискретных СФС. 1.1. Обобщенные математические модели дискретных однокольцевых СФС Покажем, что математической моделью широкого класса однокольцевых СФС 2-го и 3-го порядков могут служить соответственно отображения вида n+1 = n F ( n ) + xn + g n, xn+1 = dxn F ( n ) + g особенности систем с нелинейного периодическими дискретных (1.1.1) и n+1 = n F ( n ) + xn + g n xn+1 = d xn F ( n ) + yn + g, y = hx F ( ) n n n+ где n, xn, yn - обобщенные координаты системы, параметры, gn - переменная составляющая входной частоты.
(1.1.2),,, d, h, g - обобщенные Отображения (1.1.1) и (1.1.2) сводятся к общему отображению вида r r r (1.1.3) q n +1 = A( q n ) + B u n, r i где qn = ( n, xn ) - вектор состояния системы в n-ый момент времени, размерность вектора определяется порядком системы, n - разность фаз r импульсных либо кодовых последовательностей на входах детектора, A( q n ) - нелинейная переходная матрица, свойства которой зависят от вида - 22 характеристики фазового детектора F ( ) ;
r u n - вектор внешнего воздействия, B - матрица внешнего воздействия.
1.1.1. Импульсные СФС Структурная схема импульсной СФС приведена на рис. 1.2.
Uвх(t) ИФД ПГ ФНЧ Рис. 1.2. Схема импульсной СФС Для построения математической модели сделаем следующие допущения о свойствах узлов системы: 1. Импульсный фазовый детектор ИФД выполнен по схеме "выборказапоминание" и представляет собой последовательно включенные дискретизатор, нелинейный преобразователь с характеристикой F(), моделью его служит экстраполятор 0-порядка, коэффициент передачи которого в p плоскости имеет вид K э0 = 1 exp( pT ), где Т - период дискретизации. p 2. Характеристика управления перестраиваемого генератора (ПГ) пг(u) линейна в рабочем диапазоне и имеет крутизну Sу. 3. Период дискретизации в кольце постоянен, T = const. При сделанных допущениях общая функциональная схема импульсной СФС имеет вид, приведенный на рис. 1.3. Запишем общее уравнение импульсной СФС в операторном виде [9] :
T вх ( z ) T н z уT K ( z)F ( z), + ( z) = z 1 ( z 1) 2 z (1.1.4) где у = ES у, Е - максимальное напряжение на выходе ИФД, н - постоянная расстройка по частоте, вх (z ) - изображение переменной составляющей - 23 входной частоты вх n, F(z) - изображение нормированной характеристики фазового детектора, K (z ) - нормированный дискретный коэффициент передачи приведенной непрерывной части системы, K ( z ) = K ( z, ) d, K ( z, ) = z 1 K ( p) Z, z p (1.1.5) p T n 1 A( p ) K ( p) A(0) z ze j j Z +. = p jT p B(0) z 1 j =1 p j B( p j ) z e где p j - корень уравнения B( p) = 0.
пг вх(t) ИФД ПГ 1/p Sу ФНЧ F() K э0(p) K(p) Рис. 1.3. Функциональная схема импульсной СФС Подставляя в (1.1.5) выражение для коэффициента передачи К(p) конкретного ФНЧ, получим в явном виде операторное уравнение, от которого можно перейти к разностному уравнению системы [43]. Рассмотрим некоторые варианты импульсных СФС. Пусть K ( p ) = (1 + mTФ p ). (1 + TФ p ) Выполнив согласно (1.1.5), (1.1.4) необходимые преобразования, приходим к разностному уравнению 2-го порядка n+ 2 = (1 + d ) n+1 d n уT ( + уT (d (1 m)(1 d ) (1 m)(1 d ) p ) F ( n+1 ) +, вх n + (1.1.6) p ) F ( n ) + T (1 d ) н + T dT вх n где d = exp( p ), p = T / Tф. Введем обозначения :
= /, xn = d ( n n1 ) + (d ) F ( n1 ) dg n1 + g, - 24 = D (1 m)(1 d ), р =D (1 m)(1 d ) р, (1.1.7) вх уT n g = D (1 d ), g n = D n, n =, = н у, D =. у С учетом (1.1.7) перейдем от (1.1.6) к обощенной модели (1.1.1). Выражения (1.1.7) связывают параметры обобщенной модели с физическими параметрами импульсной СФС с ПИФ. Пусть K ( p ) = уравнение (1 + mTи p ). Выполнив преобразования, получаем разностное Tи p n+ 2 = 2 n+1 n + уT ( + уT ( и + m) F ( n+1 ) + вх n + и, (1.1.8) m) F ( n ) + T T вх n где и = T / Tи. Введем обозначения = /, xn = n n1 + ( ) F ( n1 ) g n1, = D и + m, = Dm. (1.1.9) 2 С учетом (1.1.9) перейдем от (1.1.8) к (1.1.1). Выражения (1.1.9) связывают параметры обобщенной модели с физическими параметрами для импульсной СФС с интегратором с форсированием (ИФ). В случае ФНЧ 2-го порядка уравнение импульсной СФС сводится к обобщенной модели (1.1.2). (1 + m1T1 p )(1 + m2T2 p ) (ФНЧ представляет собой K ( p) = Для (1 + T1 p )(1 + T2 p ) последовательное соединение двух ПИФ) для перехода к (1.1.2) используются следующие обозначения для координат и обобщенных параметров:
xn = d ( n n1 ) + h( n1 n2 ) + (d ) F ( n1 ) + (h ) F ( n2 ) + g dg n1 hg n2, yn = h( n n1 ) + (h ) F ( n1 ), - 25 = D (1 c1 c2 + c3 ), = D((1 d1 )c1 + (1 d 2 )c2 (2 d1 d 2 )c3 ), = d 2 (d1 1)c1 + d1 (d 2 1)c2 + (1 d1d 2 )c3, h = d1d 2, d = d1 + d 2, g = D (1 d1 d 2 + d1d 2 ), c1 = (1 m1 )(1 d1 ) 1, c2 = (1 m2 )(1 d 2 ) 2, c3 = (1 m1 )(1 m2 )(d1 d 2 ) ( 2 1 ), d i = exp( i ), i = T Ti, (1.1.10) 2 р Для K ( p ) = 2 при р < обобщенные параметры находятся p + 2p + 2 р по формулам (1.1.10) при m1= m2= 0, T1,2= 2 2 р ( ). В случае р > с учетом обозначений = рТ, = Т обобщенные параметры имеют вид:
= c1, = 2d c1 cos 0 c2, = d 2c1 + c3, d = 2d cos 0, h = d 2, g = D(1 2d cos 0 + d 2 ), c1 = D (1 2 2 + d (( 2 2 2 ) sin 0 + 2 0 cos 0 ) ( 0 2 ) ), c2 = 2 D ( d cos 0 (1 d 2 ) 2 + d ( 2 2 2 ) sin 0 ( 0 2 ) ), c3 = D ( d 2 (1 + 2 2 ) + d (( 2 2 2 ) sin 0 2 0 cos 0 ) ( 0 2 ) ), (1.1.11) d = exp( ), 0 = 2 2.
1.1.2. Цифровые СФС Рассмотрим следующие цифровые СФС с аналого-цифровым преобразованием до кольца:
- ЦСФС с квантованием фазы входного сигнала;
- ЦСФС с квантованием квадратурных составляющих входного сигнала;
- ЦСФС с квантованием мгновенных значений входной смеси.
U вх (t) ЦИФ fT НС НФ П ЦФ Рис. 1.3. Схема ЦСФС с квантованием входной фазы На рис. 1.3 приведена структурная схема ЦСФС с квантованием фазы входного сигнала, состоящая из цифрового измерителя фазы (ЦИФ), - 26 функционального преобразователя (ФП), цифрового сглаживающего фильтра (ЦФ), накапливающего сумматора (НС), формирующего код выходной фазы системы. Цифровой фазометр выполняет функцию аналого-цифрового преобразования входной фазы. На рис. 1.4 приведена структурная схема ЦСФС с квадратурным аналогоцифровым преобразованием на входе кольца.
S (t) U в х (t) АЦП КП C (t) ЦФ АЦП ФП ФП НС Рис. 1.4. Схема ЦСФС с квадратурным АЦП на входе кольца На схеме приняты следующие обозначения: КП - квадратурный преобразователь;
ФП1, ФП2 преобразователь;
АЦП - аналого-цифровой функциональные преобразователи синфазного и квадратурного каналов. Будем считать, что квадратурный преобразователь идеален, т.е. синфазный и квадратурный каналы идентичны. На рис. 1.5. приведена структурная схема цифровой СФС с квантованием мгновенных значений входной смеси. На выходе перемножителя наряду с полезной разностной составляющей на частоте вх-вых присутствует суммарная составляющая на частоте вх+вых. Схема обеспечивает необходимое качество подстройки при условии, что цифровой фильтр достаточно эффективно подавляет эту составляющую.
Uвх(t) АЦП fr ФП НС НФП ЦФ Рис. 1.5. Схема ЦСФС с АЦП мгновенных значений входной смеси В [53] показано, все три структурные схемы сводятся к одной функциональной схеме, приведенной на рис. 1.6. Код входной и выходной фаз kвх и kцг поступают на вычитатель, где формируется код ошибки k.
- 27 Периодическая функция F() моделирует характеристику где нелинейного k 2 - код, функционального соответствующий преобразователя, разности фаз = 2 k / k2, = 2.
K(z) - коэффициент передачи цифрового фильтра. Накапливающий сумматор моделируется цифровым 1 и выполняет функцию z 1 формирователя фазы. Усиление кольца, обусловленное крутизной цифрового интегратором с коэффициентом передачи детектора и крутизной перестраиваемого по частоте генератора (в цифровой СФС оба параметра зависят от разрядности адресной и информационной шин узлов), а также использованием специальных умножителей кодов, моделируется линейным звеном S. Дополнительный код k0 моделирует значение выходной частоты системы при разомкнутом кольце.
k вх k k вых S z- k цф K(z) k F() k фп Рис. 1.6. Обобщенная функциональная схема ЦСФС Построим математическую модель цифровой СФС. По аналогии с импульсной системой запишем общее уравнение цифровой системы в операторном виде [43] вх н k ( z ) k z S + k ( z ) = K ( z)F ( z), 2 z 1 ( z 1) z (1.1.12) вх k (z ) - изображение кода вх n, н k - код постоянной расстройки по частоте, переменной составляющей входной частоты F(z) - изображение нормированной характеристики фазового детектора. Подставляя в (1.1.12) K (z ) для конкретного цифрового ФНЧ, получим в явном виде операторное уравнение, от которого можно перейти к разностному уравнению [43]. Пусть K ( z ) = m + 1. При 0 < d < 1 это будет коэффициент передачи zd интегрирующего фильтра с пропорциональным каналом, при d = 1 - цифрового - 28 интегратора с пропорциональным каналом. Выполнив согласно (1.1.12) необходимые преобразования, приходим к разностному уравнению 2-го порядка вх вх k n+2 = ( 1 + d )k n+1 dk n+1 + k n+1 dk n + ( 1 d )k н Smk max F ( k n+1 ) S ( 1 md )k max F ( k n ) (1.1.13) k Введем переменную =, где k - код, соответствующий разности фаз k =, соответственно (1.1.13) можно переписать в виде n+ 2 = (1 + d ) n+1 d n + D n+1 dD n + (1 d ) D SmDF ( n+1 ), S (1 md ) DF ( n ) вх kn k k max где D =, n =, = н, F ( n ) = F ( n k ). k max k max k (1.1.14) (1.1.15) С учетом единичной крутизны перестраиваемого генератора значение кода на выходе ЦФ определит выходную частоту системы вых = 2f T k ф k, соответственно максимальная частота на выходе системы составит величину max = 2f T Sk max K ( 0 ). k Введем обозначения = mSD, = SD, g = ( 1 d )D, g n = D n, xn = d ( n n 1 ) dg n 1 + g + ( d ) F ( n 1 ), (1.1.16) в результате перейдем от (1.1.14) к системе уравнений (1.1.1). Выражения (1.1.16) связывают обобщенные и физические параметры. Для цифровой СФС с интегратором обобщенные координаты и выражения, связывающие обобщенные координаты с физическими будут иметь вид xn = n n 1 g n 1 + ( )F ( n 1 ), (1.1.17) = mSD, = SD, g n = D n, соответственно обобщенной моделью будет система уравнений (1.1.1) при d = 1, g = 0.
Получим K ( z ) = (m1 + разностное уравнение для цифровой СФС с 1 1 )(m2 + ). Фильтр представляет собой последовательно z d1 z d - 29 включенные два интегрирующих фильтра с пропорциональными каналами при 0 < d1 < 1, 0 < d 2 < 1 и два интегратора с пропорциональными каналами при d1 = d 2 = 1.
Подставляя K ( z ) в (1.1.12), получаем с учетом обозначений (1.1.15) разностное уравнение 3-го порядка n+3 = ( 1 + d1 + d 2) n+ 2 ( d1 + d 2+ d1d 2 ) n+1 + d1d 2 n + + D n+ 2 ( d1 + d 2 )D n+1 + d1d 2 D n + ( 1 d1 d 2+ d1d 2 )D. (1.1.18) Sm1m2 DF ( n+ 2 ) S ( m1 ( 1 m2 d 2 ) + m2 ( 1 m1d1 ))DF ( n+1 ) S ( 1 m1d1 )( 1 m2 d 2 )DF ( n ) Введем обозначения xn = d ( n n1 ) + h( n1 n2 ) + ( d )F ( n1 ) + ( h )F ( n2 ) + + g dg n1 hg n2, y n = h( n n1 ) + ( h )F ( n 1 ), = SDm1m2, = SD( m1 + m2 ), = SD( 1 m1d1 m2 d 2 ), d = d1 + d 2, h = d1d 2, g = D( 1 d1 d 2 + d1d 2 ), g = D n (1.1.19) в результате перейдем от (1.1.18) к системе уравнений (1.1.2). Для цифровой системы с двумя последовательно включенными интеграторами с пропорциолнальными каналами обобщенные координаты и выражения, связывающие обобщенные параметры с физическими, будут иметь вид xn = 2 n 3 n1 + n2 + ( )F ( n1 ) ( + )F ( n2 ) - 2 g n1 + g n2, y n = ( n n 1 ) ( + )F ( n 1 ), = SDm1m2, = SD( m1 + m2 ), = SD( 1 m1 m2 ), g n = D n разностное уравнение сводится к (1.1.2) при d = 2, h = 1.
(1.1.20) - 30 1.1.3. Импульсно-цифровые СФС В импульсно-цифровых СФС цепь управления состоит из аналогового и цифрового каналов. В цифровом канале сигнал ошибки предварительно преобразуется в цифровую форму с помощью АЦП, после чего обрабатывается в цифровом фильтре ЦФ. Выходной код ЦФ преобразуется в цифро-аналоговом преобразователе ЦАП в напряжение, которое поступает на вход управления ПГ. Системы подобного типа получили широкое распространение [27,99,101103,107-109]. Покажем, что при допущениях, которые были использованы при моделировании импульсных и цифровых СФС, математическая модель рассматриваемой системы может быть также сведена к обобщенной модели (1.1.1). Пусть аналоговый канал подстройки представляет собой цепь нулевого порядка с K ( p ) = m, цифровой канал представляет собой цепь 1-го порядка с K ( z ) = 1 /( z d ), 0 < d 1. На рис. 1.7 приведена функциональная схема импульсно-цифровой системы СФС. В схеме имеются два нелинейных функциональных преобразователя, описываемых функциями F ( ) и F k ( ). Первая из функций принимает любые значения из диапазона [-1, 1], вторая - конечный ряд значений в соответствии с разрядной сеткой аналого-цифрового преобразователя. В обоих каналах имеются экстраполяторы 0-порядка, обеспечивающие непрерывное управление ПГ.
пг вх(t) ПГ Sу 1/p K(p) F( ) Э Э F k( ) 1 z-d Рис. 1.7. Функциональная схема импульсно-цифровой СФС Запишем приращение разности фаз за дискрет T :
- 31 вх n+1 n = T н + T n S y EmTF ( n ) S yTryn, (1.1.21) где y n - код на выходе цифрового фильтра в n -й момент времени, r - величина младшего разряда цифро-аналогового преобразователя. В соответствии с K ( z ) для кода цифрового фильтра запишем y n+1 = dy n + k n = dy n + k max F k ( n ).
(1.1.22) По аналогии с импульсными системами введем обобщенные координаты S yTry n n и xn = g, ES yT где g = D( 1 d ), D =.
n = (1.1.23) Объединяя (1.1.21) и (1.1.22), получим систему уравнений n+1 = n F ( n ) + xn + g n, xn+1 = dxn F k ( n ) + g вх Dk max r n, g n = D, n =. где = Dm, = E ES y (1.1.24) Система (1.1.24) отличается от обобщенной модели (1.1.1) наличием двух нелинейностей. Если пренебречь конечной разрядной сеткой цифрового канала, они полностью совпадут. При решении ряда задач нелинейного анализа это вполне допустимо. Таким образом, и математическая модель импульсно-цифровой СФС сводится к обобщенной модели. Наличие обобщенных моделей позволяет применить к исследованию различных физических объектов единую методику и алгоритмы анализа, а также представить результаты исследований в общей для всех систем форме на плоскости обобщенных координат и параметров. Используя выражения, связывающие обобщенные параметры с физическими параметрами конкретных систем, получаем интересующие динамические характеристики этих систем.
- 32 1.2. Обобщенные математические модели связанных и комбинированных дискретных СФС 1.2.1. Особенности построения математических моделей СФС с несколькими временными дискретами С учетом классификации, предложенной в [120] для непрерывных тороидальных систем, и практической значимости в разделе рассматриваются математические модели следующих классов связанных дискретных систем: - систем с двумя внешними опорными колебаниями, - систем с двумя внешними опорными колебаниями и преобразованием частоты внутри колец.
вх1 вых ФД ПГ ФНЧ вх ФД ПГ вых ФНЧ Рис. 1.8. Схема двухкольцевой СФС с двумя внешними опорными колебаниями Общая структурная схема первого из них приведена на рис.1.8. Схема является основой для построения как импульсных связанных систем так и цифровых. Вариант импульсной связанной СФС может составить основу синтезатора частоты [114,118-120], вариант цифровой связанной СФС - основу двухкольцевого цифрового синхронно-фазового демодулятора [7]. Представителем данного класса связанных систем являются также комбинированные системы частотно-фазовой автоподстройки [29]. Пример подобной схемы приведен на рис.1.9. В состав схемы входит один перестраиваемый генератор, охваченный двумя кольцами с единичными взаимными связями: импульсным кольцом фазовой автоподстройки и цифровым кольцом частотной автоподстройки. Кольца функционируют с разными временными дискретами. Комбинированная схема может составить - 33 основу быстродействующего широкополосного синтезатора частоты метрового или дециметрового диапазонов [29,122,149].
вх вых ИФД ПГ ФНЧ ЦЧД ЦИ ЦАП Рис. 1.9. Cхема комбинированной двухкольцевой системы частотнофазовой автоподстройки Общая структурная схема второго из перечисленных классов приведена на рис.1.10. Подобная схема может составить основу быстродействующего широкополосного синтезатора частоты метрового, дециметрового или сантиметрового диапазонов с повышенными требованиями к качеству синтезируемого сигнала [123,124]. Введение в схему дополнительных связей между кольцами позволяет улучшить динамические характеристики синтезатора, повысить устойчивость. Существование перекрестных связей между кольцами приводит к совершенно новому классу дискретных связанных СФС, отличительной особенностью которого является наличие нескольких (чаще по числу колец) временных дискретов. Данная особенность требует и отличного от известных подхода к построению математических моделей подобных систем. Суть подхода состоит в переходе к единой временной шкале (связанной с собственными шкалами колец). Пусть T - временной интервал, в котором целое число раз укладывается каждый из интервалов дискретизации отдельных колец T1, T2,...Tm. Соответственно выполняется равенство p1T1=p2T2...=pmTm, где p1, p2,..., pm - целые положительные числа.
Введем временной интервал T = T / P, где P - наименьшее общее кратное p, p2,..., pm, и определим новую шкалу времени с дискретом T. С учетом ее 2 введем понятие вектора состояния системы - X n,i = ( x1,i ;
xn,i ;
...xng,i )T, где g - n размерность вектора, размерность совпадает с порядком связанной системы, в общем случае g m, 0 i P-1. Двойной подстрочный индекс вектора и его координат связан с временным отсчетом t = n T + i T.
- 34 вх1 вых ФД ПГ ФНЧ вх ФД ПГ ФНЧ Рис. 1.10. Структурная схема двухкольцевой СФС с двумя внешними опорными колебаниями и преобразованием частоты С учетом введенной временной шкалы T запишем нелинейные функции, описывающие фазовые детекторы, - Fj( jn,(i) ), где (i) - индекс-функция, определяющая моменты срабатывания j-го детектора в новом времени. С учетом сказанного обобщенную математическую модель связанной дискретной системы, состоящей из m колец, можно записать в виде системы разностных уравнений:
g 2 x1,i+1 = G1 ( x1,i, xn,i,..., xn,i,1 (i )) n n 2 g 1 2 xn,i+1 = G2 ( xn,i, xn,i,..., xn,i,2 (i )),.................................................. x g = G ( x1, x 2,..., x g, (i )) g n,i n,i n,i g n,i+ (1.2.1) где нелинейные функции G j ( x ) определяются конкретным исполнением колец и видом характеристики детекторов в составе колец. 1.2.2. Двухкольцевые СФС с двумя внешними опорными колебаниями Построим математическую модель двухкольцевой импульсной СФС. На рис. 1.11 приведена функциональная схема такой системы. При построении схемы сделаны следующие допущения: 1) характеристики управления перестраиваемых генераторов ПГ1, ПГ2 линейны на рабочих участках;
2) кольца функционируют с постоянными периодами дискретизации T1, T2 ;
- 35 3) фазовые детекторы представляют собой нелинейные функциональные преобразователи с периодической характеристикой, нулевым временем стробирования и идеальным запоминанием на периоде стробирования;
4) дополнительные связи между кольцами выполнены в виде линейных элементов с коэффициентами передачи L1(u1) = и L2 (u2 ) =. На схеме приняты обозначения:
вх1, вх 2 - частоты опорных сигналов 1-го и 2-го колец;
пг1, пг2 - выходные частоты 1-го и 2-го перестраиваемых генераторов;
S1, S 2 - крутизны характеристик перестраиваемых генераторов;
K1( p), K 2 ( p) - коэффициенты передачи фильтров нижних частот 1-го и 2-го колец;
E1, E2 - максимальные напряжения на выходах ИФД1, ИФД2;
F ( ), Ф( ) характеристики ИФД1 и ИФД2;
частоты перестраиваемых вх - нормированные, - разности фаз импульсных при нулевых вых последовательностей на входах ИФД1 и ИФД2 соответственно;
пг01, пг02 генераторов пг 1 p управляющих напряжениях;
, - коэффициенты передачи взаимных связей.
S Т F() z 1 -1 z 1p K 1 (p) вх пг 1 p S вых Т F( ) z 2 -1 z 2p K 2 (p) Рис. 1.11. Функциональная схема двухкольцевой СФС с двумя внешними опорными колебаниями В функциональную схему двухкольцевой системы введены блоки с коэффициентами передачи z 1 z1 1, z1 = eT1 p и z2 = eT2 p, представляющие и2 z1 p z2 p собой экстраполяторы 0-порядка.
- 36 Пусть k1, k2 - целые числа, определяющие отношение временных дискретов собственных шкал колец T1 / T2 = k1 / k2. Соответственно T=kT, где k = k1 k2. Не нарушая общности, считаем отсчеты введенной временной шкалы совмещенными с отсчетами собственной шкалы для 1-го кольца. Иллюстрация такого разбиения для соотношения T1 / T2 = 3 / 2 приведена на рис.1.12. Определим моменты дискретизации для 1-го кольца t = n T + (i ) T и 2-го кольца t = n T + + (i ) T, где нелинейные целочисленные функции (i ), (i ) имеют вид:
(i ) = k1, (i) = k 2, k k i i (1.2.2) где Х - целая часть числа в скобках.
T t= n T + i T t T T t= n T + i T t Рис. 1.12. С учетом введенной шкалы времени для разности фаз импульсных последовательностей на входах детекторов в момент времени t = n T + i T получим:
n,i +1 = n,i + и nT + ( i +1)T nT + iT (t ) вх1 (t ) пг1 dt, N1 (t ) вх 2 (t ) пг 2 dt. N2 (1.2.3) n,i +1, = n,i, + nT + ( i +1)T nT + iT (1.2.4) Уравнение двухкольцевой СФС с бесфильтровыми кольцами Пусть K1 ( p ) = 1, K 2 ( p ) = 1. Тогда выражения для частот на выходах ПГ1 и ПГ2 будут иметь вид:
- 37 пг1 (t ) = пг 01 + S1 (U ИФД 1 (t ) + U ИФД 2 (t )) пг 2 (t ) = пг 02 + S 2 (U ИФД 2 (t ) + U ИФД 1 (t )) С другой стороны:
, (1.2.5) где: U ИФД 1 (t ), U ИФД 2 (t ) - мгновенные напряжения на выходах ИФД1, ИФД2.
U ИФД 1 (t ) = U ИФД 1 (i T1 ) = E1 F1 ( (i T1 )), U ИФД 2 (t ) = U ИФД 2 ( j T2 ) = E2 Ф( ( j T2 )) (1.2.6) где: i T1 t < (i + 1) T1, j T2 t < ( j + 1) T2, i, j - целые числа. С учетом (1.2.2) напряжения на выходах детекторов в новой временной шкале можно записать:
U ИФД 1 (t ) = U ИФД 1 (n T + (i ) T ) = E1 F ( n, (i ) ). U ИФД 2 (t ) = U ИФД 2 (n T + (i ) T ) = E2 Ф( n, ( i ) ) (1.2.7) Используя выражения (1.2.6) и (1.2.7) после интегрирования (1.2.3) и (1.2.4) приходим к системе уравнений:
l n,i +1 = n,i + { н1 F ( n, ( i ) )} Ф( n, ( i ) ) k1 k2 v, v = n,i + { н 2 Ф( n, (i ) )} F ( n, ( i ) ) n,i +1 k2 l k где i = 0,1, 2,...,( k1 k2 1);
v = N1 / N 2, = (1.2.8) S1 E1 T1 S E T, = 2 2 2 - обобщенные N1 N коэффициенты усиления в кольцах, 1 = N1 вх1 пг 01 N пг 02, 2 = 2 вх 2 S1 E1 S 2 E нормированные частотные расстройки в кольцах;
l = S1 / S 2. Введем обозначения F ( n,i ) = F ( n, (i ) ), Ф( n,i ) = Ф( n, ( i ) ), в результате получим окончательный вид системы уравнений:
l n,i +1 = n,i + ( 1 F ( n,i )) Ф( n,i ) k1 v (1.2.9) v ( 2 Ф( n,i )) F ( n,i ) n,i +1 = n,i + k2 l k1 Система нелинейных разностных уравнений (1.2.9) представляет собой математическую модель связанной двухкольцевой бесфильтровой СФС для случая несмещенных временных шкал. В случае сдвига временных шкал порядок систем уравнений выше на единицу. Фазовым пространством моделей - 38 является тор, движение по координатам которого происходит во временной шкале с дискретом T. Одной из отличительных особенностей полученных моделей является вид нелинейных функций, входящих в полученные уравнения. Эта особенность связана с наличием некратных времен дискретизации в отдельных кольцах, которая приводит к необходимости введения дополнительных функций (i), (i).
Существенное k2=1, упрощение соответственно, уравнений происходит при кратном Методика соотношении периодов дискретизации. В этом случае для удобства можно положить (i) = 0, i k1, (i) = i.
моделирования системы с кратным соотношением периодов дискретизации рассмотрена в [40]. В случае двух абсолютно идентичных колец (k1 = k2 = 1, l = 1, = 1) система (1.2.9) преобразуется к виду: n+1 = n + ( 1 F ( n )) Ф( n ). n+1 = n + ( 2 Ф( n )) F ( n ) (1.2.10) Пусть = 0, при этом 2-е кольцо становится независимым. Математически это выражается в том, что второе уравнение (1.2.10) содержит одну переменную и может рассматриваться независимо от 1-го как уравнение дискретной СФС первого порядка. Уравнение 1-го кольца соответствует модели дискретной СФС первого порядка с внешним воздействием. При =0 кольца меняются местами. Уравнение (1.2.10) представляет собой также математическую модель двухкольцевой цифровой СФС с взаимными связями между кольцами для K1 ( z ) = K 2 ( z ) = 1. Функциональная схема такой системы приведена на рис. 1.13.
Для перехода от обобщенных параметров к физическим достаточно воспользоваться соотношениями 1 2 kmax kmax 1 = S1D1, = S2 D2, D1 =, D2 =, где k max - максимальный код на k k 2 выходе цифрового детектора 1-го кольца, kmax - 2-го кольца.
- 39 k 1вх k k 1вых 1 1 -z вы х F ( ) S K 1 (z) k 2вх k k 2 вы х 1 1 -z вы х F ( ) S K 2 (z) Рис. 1.13. Функциональная схема двухкольцевой цифровой СФС Уравнение двухкольцевой СФС с пропорционально-интегрирующим фильтром в выходном кольце Пусть K1 ( p ) = 1 + mT p, K 2 ( p ) = 1, что соответствует двухкольцевой СФС, 1 + T p первое кольцо которой содержит пропорционально-интегрирующиий фильтр (ПИФ) с коэффициентом форсирования m и постоянной времени Tф а второе кольцо - бесфильтровое. Для построения математической модели воспользуемся выражениями (1.2.3), (1.2.4) В отличие от варианта бесфильтровой СФС для выходной частоты 1-го кольца системы имеем:
пг1 (t ) = пг 01 + S1 (UФНЧ 1 (t ) + U ИФД 2 (t )) (1.2.11) Определим выходное напряжение ФНЧ1 U ФНЧ (t ). Для этого воспользуемся "сверткой" импульсной характеристики фильтра с выходным сигналом ИФД1, которая с учетом постоянства выходного напряжения детектора на интервале дискретизации приводит к выражению U ФНЧ 1 (t ) = mE1F ( (h T1 )) + t t, (1 m) TФ h1 ( j +1)T1 TФ TФ + E1 e e F ( ( ))d + e F ( ( ))d j =0 jT TФ hT1 где h T1 t < ( h + 1) T1, h - целое число. С учетом введенной временной шкалы t = n T + i T = ( n k1 k 2 + i) T, полученное выражение примет вид:
- 40 U ФНЧ 1 (t ) = mE1F ( (hT )) + t t, (1 m) TФ h1 ( j +1)T TФ TФ + E1 e e F ( ( ))d + e F ( ( ))d j =0 jT TФ hT где h T t < ( h + 1) T, h = n k1 k2 + i. После интегрирования окончательно получаем: U ФНЧ 1 (t ) = mE1F ( ( (h) T )) + h 1 1 + E1 (1 m)( 1)e TФ d 0 j F ( ( ( j ) T )) +, d0 j =0 t (1.2.12) + E1 (1 m)(1 d e где. d 0 = exp( T / TФ ) h t TФ ) F ( ( (h) T )) По аналогии с уравнением для бесфильтровой системы получаем приращение разности фаз на входах ИФД1 за системный дискрет:
n,i +1 = n,i + 1T E1S1 (T (1 m)(1 d0 )TФ ) F ( n,i ) N h 1 E1S1 1 (1 m)(1 d 0 )( 1)TФ d 0h d 0 j F ( n, j ) N1 d0 j =, (1.2.13) S 2 E2 T Ф( n,i ) N h = n k1 k2 + i Сворачивая в (1.2.13) сумму, получим:
n,i + 2 = (1 + d 0 ) n,i +1 + d 0 n,i + (1 d 0 ) 1 T + E1 S1 T (1 m)(1 d 0 )TФ 1 F ( n,i +1) ) + T N1 E1 S1 T d 0 (1 m)(1 d 0 )TФ 1 F ( n,i ) T d 0 N1 (1.2.14) l E2 S2 T N Ф( n,i +1 ) d 0 Ф( n,i ) d 0 Ф( n,i 1 ) [ ] Аналогично для разности фаз на входах ИФД2 получаем: E S T Ф( n,i ) n,i +1 = n,i + н2 T 2 2 N S 2 E1 T F ( n, i ) N (1.2.15) Объединяя выражения (1.2.14), (1.2.15) в систему, имеем:
- 41 n,i + 2 = (1 + d 0 ) n,i +1 + d 0 n,i + (1 d 0 ) 1 / k + 1 k1 k (1 m)(1 d 0 )TФ F ( n,i +1 ) + Ф (1 m)(1 d 0 )TФ F ( n,i ) Ф d 0 (1.2.16) d 1 l Ф( n,i +1 ) d 0 Ф( n,i ) d 0 Ф( n,i 1 ) k 2 2 n,i +1 = n,i + F ( n,i ) Ф( n,i ) k2 k2 l k [ ] где ф = T / Tф. Введем новые координаты:
n,i +1 = n,i +1 n,i 1 / k1 + + 1 k, (1 m) (1 d 0 ) T l F ( n,i ) Ф( n,i ) k2 v в результате (1.2.16) примет вид:
(1 m) (1 d 0 ) F ( n,i ) + n,i +1 = n,i + n,i 1 Ф k1 1 l Ф( n,i ) + k1 k2 v. 2 v = n,i Ф( n,i ) + F ( n,i ) n,i +1 k2 k2 l k1 (1 m) (1 d 0 ) 2 F ( n,i ) n,i +1 = d 0 n,i k Ф (1.2.17) От (1.2.17) легко перейти к обобщенной модели двухкольцевой дискретной связанной СФС. По аналогии с однокольцевыми СФС введем обозначения 1 = ( (1 m)(1 d 0 ) ф ), 1 = (1 m)(1 d 0 ) ф, l в результате придем к системе уравнений вида g1 = 1, g 2 = 2, 1 = , 1 = l (1.2.18) - 42 1 g1 1 n,i +1 = n,i + n,i k F ( n,i ) + k k Ф( n,i ) 1 2 1 g 2 1 F ( n,i ). n,i +1 = n,i Ф( n,i ) + k2 k2 k2 1 n,i +1 = d 0 n,i F ( n,i ) k1 K1 ( z ) = m + (1.2.19) От (1.2.19) можно перейти к модели двухкольцевой цифровой СФС с 1, K 2 ( z ) = 1 (рис. 1.13), используя стандартное обозначение: z d0 (1.2.20) 1 = D1S1m, 1 = D1S1, = D2 S 2, g1 = D1 1, g 2 = D2 2, D1 = 1 kmax k2, D2 = max k k 1.2.3. Двухкольцевые СФС с преобразованием частоты в выходном кольце Построим математическую модель двухкольцевой импульсной СФС с преобразованием частоты в выходном кольце. На рис.1.14 приведена ее функциональная схема.
вх пг 1 p п г1 - п г S вы х Т F ( ) z 1 -1 z1 p K 1 (p ) вх пг 1 p S вы х Т F ( ) z 2 -1 z2 p K 2 (p ) Рис. 1.14. Функциональная схема двухкльцевой СФС с двумя внешними опорными колебаниями и преобразованием частоты Запишем выражения для разности фаз импульсных последовательностей на входах ИФД1 для момента времени t = n T + i T :
- 43 n,i +1 = n,i + nT + ( i +1)T nT + iT (t ) пг 2 (t ) dt, вх1 (t ) пг1 N (1.2.21) и для разности фаз импульсных последовательностей на входах ИФД2 для момента времени t = n T + i T + соответственно:
n,i +1, = n,i, + nT + ( i +1)T nT + iT (t ) вх 2 (t ) пг 2 dt. N2 (1.2.22) Уравнение двухкольцевой СФС с бесфильтровыми кольцами Пусть K1( p) = 1, K 2 ( p) = 1. Выполняя интегрирование (1.2.21) и (1.2.22) по аналогии с п.1.2.3, приходим к системе уравнений :
(1 l ) n,i +1 = n,i + 1 (1 / l ) F ( n,i ) + Ф( n,i ) k1 k2 v v = n,i + 2 Ф( n,i ) F ( n,i ) n,i +1 k2 l k { } (1.2.23) { } здесь: 1 = N1 вх1 пг 01. S1 E Системы (1.2.23) представляет собой математическую модель связанных двухкольцевых бесфильтровых СФС для несмещенных собственных временных шкал (в случае сдвига временных шкал порядок системы выше на единицу). Для равных периодов дискретизации (k1 = k2 = 1) система уравнений (1.2.23) преобразуется к виду: (1 l ) Ф( n ) n+1 = n + 1 1 l F ( n ) + v. (1.2.24) v = + { Ф( )} F ( n ) n 2 n n+1 l Уравнение двухкольцевой СФС с пропорционально-интегрирующим фильтром в выходном кольце 1 + mTф p Пусть K1 ( p) =, K 2 ( p) = 1. 1 + Tф p Для построения математической модели воспользуемся выражениями (1.2.21), (1.2.22). Выполняя интегрирование с учетом выражения - 44 пг1 (t ) = пг 01 + S1 (UФНЧ 1 (t ) + U ИФД 2 (t )) и используя (1.2.13), приходим к уравнениям разности фаз на входах детекторов вида:
n,i + 2 = (1 + d0 ) n,i +1 + d 0 n,i + (1 d 0 ) 1 T E1 S1 T (1 m)(1 d 0 )TФ F ( n,i +1 ) + 1 T N1 l (1.2.25) E1 S1 T d 0 (1 m)(1 d 0 )TФ 1 + F ( n,i ) T d 0 N1 l (1 l ) E2 S2 T Ф( ) d Ф( ) d Ф( ) n,i +1 n,i n,i 1 0 0 N [ ] и n,i +1 = n,i + н2 T E2 S 2 T Ф ( n,i ) N S 2 E1 T N.
(1.2.26) F ( n, ( i ) ) Объединяя выражения (1.2.25), (1.2.26), имеем систему уравнений:
n,i + 2 = (1 + d 0 ) n,i +1 + d 0 n,i + (1 d 0 ) 1 / k (1 m)(1 d 0 )TФ 1 F ( n,i +1 ) + Ф k1 l d 0 (1 m)(1 d 0 )TФ 1 + F ( n,i ) Ф d 0 k1 l (1.2.27) (1 l ) [Ф( k n,i + ) d 0 Ф( n,i ) d 0 Ф( n,i 1 ) ] n,i +1, = n,i, + где Ф = T / TФ.
k Ф( n,i ) F ( n,i ) k2 l k Введем координату n,i +1 = n,i +1 n,i 1 / k1 + + (1 m) (1 d 0 ) T 1 F ( n,i ) +, k1 l (1 l ) + Ф( n,i ) k2 v в результате (1.2.27) примет окончательный вид:
- 45 (1 m) (1 d 0 ) F ( n,i ) + n,i +1 = n,i + n,i 1 Ф k1 l 1 (1 l ) + + Ф( n,i ) k1 k2 v 2 v Ф( n,i ) + F ( n,i ) n,i +1 = n,i k2 k2 l k1 (1 m) (1 d 0 ) 2 = d 0 n,i F ( n,i ) n,i +1 k1 Ф (1.2.28) 1.2.4. Комбинированные импульсно-цифровые системы частотно-фазовой автоподстройки Существенно повысить эффективность дискретных систем фазовой синхронизации можно введением дополнительных колец цифровой частотной автоподстройки [29,40]. Они позволяют обеспечить в системе надежный синхронизм при работе в широкой частотной полосе, повысить быстродействие, устранить известное противоречие между динамическими и спектральными характеристиками. В ряде работ исследуются комбинированные схемы, в которых и фазовый и частотный детекторы функционируют на одной частоте дискретизации [102,103]. Как показывает анализ, подобное решение значительно ограничивает потенциальные возможности комбинированных систем. В то же время применение в качестве частотного детектора измерителя частоты на основе пересчетной схемы позволяет выбрать частоту дискретизации цифрового кольца частотной автоподстройки независимо от частоты дискретизации импульсного кольца СФС. Очевидно, что в этом случае появляются новые свойства комбинированной системы, а вместе с ними и новые возможности ее использования. На рис. 1.15 приведена общая функциональная схема комбинированной системы частотно-фазовой автоподстройки. Согласно принятой классификации схема представляет собой связанную двухкольцевую систему с двумя внешними опорными колебаниями, одним объектом управления - перестраиваемым генератором, единичными связями между кольцами.
- 46 В реальном устройстве период дискретизации может определяться конкретными техническими требованиями к параметрам устройства либо выходного сигнала, например, шагу частотной сетки синтезатора частоты. Период дискретизации цифрового кольца, как правило, не связан напрямую с требованиями к устройству, и выбирается исходя из расчетной точности работы кольца. Соотношение периодов дискретизации в общем случае может быть достаточно произвольным. Построим математическую модель схемы. Для этого примем следующие допущения: 1) кольца функционируют с постоянными периодами дискретизации;
T1 - период дискретизации кольца СФС, T2 - период дискретизации кольца ЦЧАП;
2) T1 / T2 = k >1, между моментами дискретизации в кольцах отсутствует сдвиг;
3) фазовый детектор Увыборка-запоминаниеФ обладает идеальным запоминанием на периоде дискретизации;
4) характеристика управления генератора линейна на рабочем участке.
вх пг 1 N 1 p Sy Т F() пг вх z1-1 z1p Т K(p) z2-1 z2p Fk() K(z) Рис. 1.15. Функциональная схема комбинированной системы Пусть дискрет T1 :
K ( p) = 1, K ( z ) = z. Запишем приращение разности фаз за z k 1 i = n+1, 0 = n, 0 ES yT1F ( n, 0 ) T2 xn,i + T1 H, nT1+iT2, H = вх - пго/N - начальная частотная расстройка.
(1.2.29) где xn,i - частотная расстойка, вносимая цифровым кольцом в момент времени - 47 Введем обозначения = уT1 x, x=, у = ES у, =,= н, у у k (1.2.30) в результате уравнение (1.2.29) примет вид n+1, 0 = n, 0 F ( n, 0 ) xn,i +.
i = k (1.2.31) С учетом вида K (z ) запишем уравнение для переменной xn,i xn,i +1 = xn,i + где kmax rS у у Fk ( у ( F ( n, 0 ) xn,i )), характеристика частотного (1.2.32) детектора, k max Fk() - нормированная максимальный код на выходе частотного детектора, r - вес младшего разряда ЦАП, - частотная ошибка. Система уравнений (1.2.31), (1.2.32) представляет собой математическую модель комбинированной системы. Модель содержит две нелинейные функции. Сделаем допущение о линейности цифрового кольца, в этом случае с учетом Fk ( ) =, где - нормированная крутизна частотного детектора, уравнение (1.2.32) можно переписать в виде xn,i +1 = xn,i + 1 ( F ( n, 0 ) xn,i ), входу управления ПГ. Введем переменную x = x (1.2.33) где 1 = S d S у, S d = kmax rS у - крутизна частотного детектора, приведенная ко, тогда (1.2.31), (1.2.33) образуют систему вида k 1 n+1, 0 = n, 0 F ( n, 0 ) xn,i +, k i =0 xn, j +1 = (1 1 ) xn, j F ( n, 0 ) + где = 1.
(1.2.34) Перейдем к единой временной шкале с дискретом Т1, для этого выразим сумму, стоящую в первом уравнении и координату xn+1,0 через n, 0, xn,0, в результате получим систему уравнений d d d n+1, 0 = n, 0 0 F ( n, 0 ) 0 xn, 0 + 0 k k k, xn+1, 0 = (1 1 ) xn, 0 + d 0 ( F ( n, 0 )) (1.2.35) - 48 где d 0 = 1 (1 1 ) k. Введем новую переменную, k k в результате придем к системе уравнений Yn, 0 = xn, 0 + n+1, 0 = n, 0 F ( n, 0 ) + Yn, 0, Yn+1, 0 = d Yn, 0 + F ( n, 0 ) d d (1.2.36) (1.2.37) где = d k k Система (1.2.37) описывает поведение комбинированной системы в моменты времени, совпадающие с моментами дискретизации в кольце фазовой синхронизации. Формально по своему виду она полностью повторяет систему уравнений для импульсной СФС с ПИФ для нулевых частотных расстроек при, = d, d = (1 1 ) k.
< 0. Отличие состоит в свойствах переходной матрицы. Как будет показано ниже, одно из собственных значений ее всегда равно единице, что позволяет отнести комбинированную систему рассматриваемого типа к классу нейтральных со свойственной зависимостью установившихся состояний от начальных условий. Переход в (1.2.37) к единому времени исключает потерю информации о глобальном поведении системы. В частности, можно показать, что в системе невозможны движения при 0 < i < k, если они отсутствуют в моменты времени nT1. Для T2 / T1 = k >1 математическая модель комбинированной системы имеет следующий вид 1 n, j +1 = n, j ( F ( n, j ) + 1 xn, 0 ). k xn+1, 0 = (1 1 ) xn, 0 F ( n,k 1 ) + (1.2.38) При условии нелинейности кольца СФС переход к единому времени в данной модели невозможен. В пятой главе будет показано, что как и в предыдущем случае, система обладает нейтральностью. По этой причине многие свойства, обусловленные нейтральностью, у обеих систем на качественном уровне повторяются. Это касается в первую очередь характера установившихся движений. Например, в обеих системах отсутствуют вращательные движения.
- 49 1.3. Математические модели дискретных СФС с циклическим прерыванием режима автоподстройки Как было отмечено во введении, дискретные системы СФС с циклическим прерыванием режима автоподстройки (ЦП) находят все более широкое применение в ряде областей радиотехнике. К числу их относится, например, синтезаторы частот различного назначения, возбудители ЧМ и ФМ-колебаний. Благодарая уникальным свойствам ДСФС с ЦП использование режима прерывания позволяет обеспечить одновременную генерацию нескольких высокостабильных частот [40,137,138], строить синтезаторы с пониженным энергопотреблением [26-28,135,136]. При разработке возбудителей ЧМ и ФМколебаний при модуляции сигналами, допускающими паузу в передаваемом сообщении (телевизионный сигнал, различные варианты сигналов с дискретной частотной модуляцией (ДЧМ)) удается решить целый ряд проблем [40,161,166169]. К числу таких проблем относятся, например, проблема стабилизации несущей частоты излучаемого сигнала, проблема стабилизации частоты, соответствующей заданному уровню сигнала сообщения. Системы автоподстройки с циклическим прерыванием, используемые для решения различных прикладных задач могут отличаться одна от другой специальными дополнительными режимами. Таким режимом в возбудителях ЧМ-колебаний выступает принудительная привязка по фазе при переходе от режима паузы к режиму автоподстройки. На рис.1.15 приведена структурная схема возбудителя ЧМ-колебаний. Здесь УИФД - управляемый импульсно-фазовый детектор, Д - делитель частоты с фиксированным коэффициентом деления, ДПКД - делитель частоты с переменным коэффициентом деления, Кл - электронный ключ, ЗУ запоминающее устройство, УУ - устройство управления, ИМС - источник модулирующего сигнала. Согласно схеме по командам, вырабатываемым устройством УУ, синхронизированным сигналом ОГ, производится циклическое размыкание ключа Кл и переход от режима подстройки частоты ПГ под частоту ОГ к режиму модуляции. Момент перехода определяется появлением паузы в информационном сигнале ИМС и фиксируется УУ. В течении информационной строки осуществляется модуляция частоты ПГ сигналом ИМС, при этом напряжение подстройки хранится в ЗУ. При появлении информационной паузы - 50 сигналом с УУ замыкается ключ Кл и схема переходит в режим подстройки частоты. Поскольку в течении строки частота ПГ модулировалась сигналом ИМС, то на момент замыкания кольца фаза сигнала ПГ имеет случайное значение, что по отношению к процессу подстройки частоты следует рассматривать как внешнее воздействие, отработка которого приведет к паразитным переходным процессам после замыкания кольца.
УУ ДПКД ОГ Д УИФД ГСС Кл ЗУ ПГ УУ Атт ДПКД ИМС Рис. 1.15. Схема возбудителя ЧМ-колебаний с грубой привязкой фазы Чтобы избежать подобного явления, необходимо "привязать" разность фаз на входах ИФД перед моментом замыкания кольца. Такое решение проблемы возможно, если в в канале управления использовать астатический фильтр. Согласно рис. 1.15 привязка по фазе осуществляется сигналом УУ через предустановку делителей Д и ДПКД. Очевидно, точность привязки при подобном подходе составит величину 2/Nmax, где Nmax - максимальный из коэффициентов деления делителей Д и ДПКД. Аналогичный результат получается при использовании делителей на микросхемах КМОП серий, обладающих памятью состояния при снятии питания [134,136].Функция размыкания кольца осуществляется через запрет стробирующих импульсов управляемого ИФД. На рис. 1.16 приведена структурная схема, в которой привязка по фазе осуществляется с помощью дополнительного кольца подстройки фазы, включенного в цепь опорного генератора и обеспечивающего высокую степень точности подстройки фазы. На рисунке использованы следующие обозначения:
- 51 ИФ1, ИФ2 - астатические звенья - интеграторы с пропорциональным звеном, Кл1, Кл2 - электронные ключи, УЛЗ - управляемая линия задержки. В течении информационной строки сигналом управления с УУ разомкнут ключ Кл1, осуществляется частотная модуляция генератора ПГ, при переходе к информационной паузе предустанавливаются делители Д и ДПКД с описанной выше точностью и включается кольцо привязки фазы через Кл2 и УЛЗ. Кольцо привязки представляет собой астатическую систему подстройки фазы 1-го порядка, процессы в ней с учетом благоприятных начальных условий (достигается предустановкой делителей) занимают минимальное время (2-3 дискрета). После привязки фазы командой с УУ электронный ключ Кл2 размыкается а Кл1 замыкается, основное кольцо переходит в режим подстройки.
УУ ДПКД ОГ УЛЗ ГСС Кл ФИ ПГ ФИ2 УИФД Кл2 УУ Атт ДПКД ИМС Рис. 1.16. Схема возбудителя ЧМ-колебаний с точной привязкой фазы Для достижения максимального эффекта от кольца привязки фазы необходимо узлы Кл1, ФИ1 и Кл2, ФИ2 сделать по возможности идентичными. Подобное требование выполняется на практике при реализации перечисленных блоков совместно с ИФД в интегральном виде на единой подложке. Схема, приведенная на рис. 1.16 может составить основу многочастотного синтезатора, на выходах которого одновременно присутствует несколько высокостабильных частот. Наличие кольца привязки фазы позволяет в момент перехода в режим автоподстройки очередного генератора избавиться от нежелательных процессов и обеспечить низкий уровень кратковременной нестабильности.
- 52 Схема, приведеная на рис. 1.15, может составить основу экономичного синтезатора частоты на основе импульсного кольца с ЦП. Делитель частоты ДПКД по возможности следует реализовывать на КМОП сериях, отпадает необходимость в привязке фазы при переходе к режиму автоподстройки. Сохранение состояния делителя на КМОП сериях в паузе при снятии питания позволяет практически сохранить значение разности фаз на момент размыкания кольца и избежать паразитных явлений после его замыкания. Иная ситуация возникает в переходном режиме синтезатора, когда в паузе разность фаз может измениться значительно, возникнут дополнительные переходные процессы на эти изменения, кроме того система может потерять устойчивость. Постановка ФНЧ в цепь управления подобной системы вызвана необходимостью фильтрации помехи на частоте размыкания кольца. Для подавления помехи на частоте дискретизации кольца необходимость в применении ФНЧ менее актуальна, поскольку ее уровень по сравнению с помехой в традиционном кольце ниже в Q раз, где Q - скважность процесса прерывания режима автоподстройки [134].
пг вх 1 p F() пг Sу zЦ1 zp УУ K(p) Рис. 1.17. Функциональная схема дискретной СФС с ЦП 1-го типа вх K2(p) zЦ1 zp S вх+s 1 p zЦ1 zp УУ пг Sу УУ F() Х K1(p) Рис. 1.18. Функциональная схема дискретной СФС С ЦП 2-го типа - 53 Построим математическую модель дискретной системы СФС с циклическим прерыванием режима автоподстройки. В соответствии с проведенным выше анализом возможных применений подобного режима выделим два типа дискретных колец СФС с ЦП. К первому отнесем системы с ЦП без привязки разности фаз в момент перехода к режиму подстройки. Ко второму типу отнесем системы с привязкой разности фаз. На рис.1.17 и 1.18 приведены функциональные схемы СФС с ЦП соответственно первого и второго типов. При построении функциональных схем сделаны следующие допущения: 1) характеристика управления перестраиваемого по частоте генератора линейна на рабочем участке;
2) фазовый детектор представляет собой нелинейный функциональный преобразователь с периодической характеристикой, нулевым временем стробирования и идеальным запоминанием как на интервале стробирования так и на интервале паузы, идеальное запоминание на интервале стробирования моделируется с помощью экстраполятора 0-порядка с коэффициентом передачи K ( p, z ) = z 1, где z=exp(-Tp);
z p 3) режим прерывания реализуется через управление (запрет, разрешение) импульсами стробирования детектора.
n, n,k - n,k + l Рис. 1.19. Временная диаграмма импульсов стробирования в СФС с ЦП На рис.1.19 приведена временная диаграмма, поясняющая принцип функционирования кольца СФС с циклическим прерыванием. На диаграмме приняты следующие обозначения: m Цпериод цикла прерывания, m=k+l, k - длительность режима подстройки (количество импульсов стробирования на цикле замыкания), l - длительность паузы (количество запрещенных импульсов стробирования), T - интервал дискретизации (стробирования) кольца. Согласно принятым обозначениям уравнение замыкания может быть применено для системы 2-го порядка начиная с момента времени (n,1), где n - текущий номер цикла функционирования системы. Соответственно последней точкой применения уравнения замыкания является точка (n,k). Для уравнения паузы - 54 начальной и конечной точками применения на цикле будут точки (n,k+1) и (n,k+l). Для системы 2-го типа в точке (n,k+l)= (n+1,0) необходимо использовать специальное уравнение привязки фазы. В случае описания дискретной СФС с помощью набора переменных, представляющих собой разность фаз, взятых в соседние моменты времени, возникает необходимость во введении дополнительного уравнения сшивки (в случае системы 2-го порядка) или уравнений сшивки (при более высоком порядке системы), обеспечивающих корректный переход от паузы к режиму подстройки. В математическом описании бесфильтровых СФС с ЦП подобное уравнение отсутствует. Количество дискретов, в которых система будет описываться уравнениями сшивки (количество уравнений сшивки), определяется ее порядком за вычетом единицы. От уравнений сшивки можно избавиться, если перейти к математическому описанию в виде системы уравнений 1-го порядка с соответствующим выбором координат. Ниже это будет продемонстрировано на обобщенной модели (1.1.1).
1.3.1. Импульсная СФС 2-го порядка без привязки фазы Рассмотрим импульсную СФС с циклическим прерыванием режима автоподстройки 1-го типа. Пусть KФ ( p ) = 1 + mTФ p, использование данного 1 + TФ p фильтра в цепи управления кольца связано с его известным свойством обеспечивать компромисс между фильтрующими свойствами и устойчивостью кольца. Выпишем уравнения кольца для различных этапов его работы. Для этого воспользуемся обобщенной моделью 2-го порядка (1.1.1). В режиме замыкания поведение СФС будет описываться непосредственно системой (1.1.1):
n,i +1 = n,i F ( n,i ) + xn,i, xn,i +1 = d xn,i F ( n,i ) + g (1.3.1) 0 i < k. В режиме паузы система уравнений (1.31) преобразуется к виду:
n,i +1 = n,i F ( n,k 1 ) + xn,i, xn,i +1 = d xn,i F ( n,k 1 ) + g (1.3.2) k i < k+l.
- 55 Использование системы уравнений исключает зависимость от координат, отстоящих во времени более чем на один дискрет, тем самым пропадает необходимость в уравнении сшивки. Пусть KФ ( p ) = 1 + mTи p, Tи p использование данного фильтра в цепи управления кольца связано с обеспечением нулевых фазовых ошибок в установившемся режиме при наличии постоянных частотных расстроек. В соответствии с обобщенной моделью (1.1.1) система уравнений для режима подстройки в данном случае будет иметь вид:
n,i +1 = n,i F ( n,i ) + xn,i, xn,i +1 = xn,i F ( n,i ) (1.3.3) 0 i < k;
для режима паузы:
n,i +1 = n,i F ( n,k 1 ) + xn,i, xn,i +1 = xn,i F ( n,k 1 ) (1.3.4) k i < k+l. Системы (1.3.1), (1.3.2), и (1.3.3), (1.3.4), представляют собой математические модели импульсной СФС с ЦП 1-го типа соответственно с пропорционально-интегрирующим и астатическим фильтром в цепи управления. В главе 5 на основе качественно-аналитических методов будет исследована нелинейная динамика данных моделей, включая условия возникновения и области существования различных периодических и квазипериодических движений, области устойчивости в большом и в целом в пространстве обобщенных параметров,, d, g.
1.3.2. Импульсная СФС 2-го порядка с привязкой фазы Согласно принятой выше классификации к системам с циклическим прерыванием режима автоподстройки 2-го типа относятся системы с привязкой фазы при переходе от режима паузы к режиму автоподстройки. Определим характер преобразования, с помощью которого в момент времени n+1,0 r осуществляется изменение координат вектора состояния q. Будем связывать r r изменение вектора q с переходом от к qn,k +l = ( n,k +l, xn,k +l )T r qn +1, 0 = ( n +1, 0, xn +1, 0 )T.
- 56 Изменение первой координаты очевидно и имеет вид n+1,0 = 0, (1.3.5) где 0 - значение разности фаз, которое принудительно устанавливается в момент перехода к режиму автоподстройки, в дальнейшем не нарушая общности, его можно положить равным нулю. Для того, чтобы определить изменение второй координаты, обратимся к выражению для xn+1,0. Согласно (1.1.7) xn+1, 0 = d ( n+1, 0 n,k +l 1 ) + ( d ) F ( n ) + g.
С учетом (1.3.5) имеем:
xn,k +l = d ( n,k +l n,k +l 1 ) + (d ) F ( n,k +l 1 ) + g, xn+1, 0 = d ( 0 n,k +l 1 ) + (d ) F ( n,k +l 1 ) + g В итоге получаем для xn+1,.
(1.3.6) xn+1, 0 = xn,k +l d n,k +l + d (1.3.7) Принимая во внимание (1.3.6) и (1.3.7), можно выписать матричное уравнение, описывающее процесс предустановки разности фаз: n+1, 0 0 = x n+1, 0 d 0 n,k +l 1 + 0, d 1 xn,k +l (1.3.8) или в развернутом виде:
n+1, 0 = 0. xn+1, 0 = xn,k +l + d ( 0 n,k +l ) (1.3.9) Наличие уравнения (1.3.8) или (1.3.9) принципиально отличает математическую модель СФС с ЦП 2-го типа от модели СФС с ЦП 1-го типа. Выпишем систему уравнений для СФС второго порядка с ЦП 2-го типа. Пусть KФ ( p ) = 1 + mTФ p. В этом случае дополнительно к системе уравнений (1.3.1), 1 + TФ p (1.3.2), описывающих кольцо СФС на интервалах автоподстройки и паузы, добавляется система уравнений привязки (1.3.9). Математическая модель системы с ПИФ будет иметь вид:
n,i +1 = n,i F ( n,i ) + xn,i, xn,i +1 = d xn,i F ( n,i ) + g n,i +1 = n,i F ( n,k 1 ) + xn,i, xn,i +1 = d xn,i F ( n,k 1 ) + g 0 i < k, k i < k+l, (1.3.10) - 57 n+1, 0 = 0, xn+1, 0 = xn,i +1 + d ( 0 n,i +1 ) i=k+l-1, Для KФ ( p ) = 1 + mTи p математическая модель системы с привязкой по Tи p фазе будет иметь вид:
n,i +1 = n,i F ( n,i ) + xn,i xn,i +1 = xn,i F ( n,i ) n,i +1 = n,i F ( n,k 1 ) + xn,i xn,i +1 = xn,i F ( n,k 1 ),, 0 i < k, k i < k+l, (1.3.11) n+1, 0 = 0, xn+1, 0 = xn,i +1 + 0 n,i + i=k+l-1, Наличие в моделях (1.3.2), (1.3.4), (1.3.10), (1.3.11) плавающей точки с координатой n,k-1 приводит к особенностям их линеаризации в окрестности состояния равновесия. Появляется необходимость учета зависимости значения этой координаты от величины возмущения в режиме замкнутого кольца. Продемонстрируем это на примере СФС без привязки по фазе.
1.4. Выводы 1. В главе получены обобщенные модели широкого класса неавтономных дискретных систем фазовой синхронизации 2-го и 3-го порядков с произвольной нелинейностью фазового детектора F() в форме систем разностных уравнений (1.1.1.) и (1.1.2). В число их входят однокольцевые импульсные, цифровые, импульсно-цифровые СФС с различными фильтрами в цепи управления. Выбор обобщенных координат, x, y связан c учетом качественно-аналитических методов исследования процессов на фазовом цилиндре, разрабатываемых в последующих главах. Представление результатов исследований в терминах обобщенных параметров,,, d, h с одной стороны предполагает простой переход к физическим параметрам, с другой стороны, позволяет расширить знания о поведении конкретных физических систем, основанные на общих тенденциях поведения обобщенных моделей. 2. Получены математические модели двухкольцевых связанных дискретных СФС с двумя внешними опорными колебаниями с - 58 преобразованием и без преобразования частоты и комбинированных систем частотно-фазовой автоподстройки в форме системы разностных уравнений 2-го и 3-го порядков. Отличительной особенностью двухкольцевых систем является наличие в общем случае двух временных дискретов. Для построения моделей предложен переход в новую временную шкалу. Как и в случае однокольцевых СФС полученные уравнения могут выступать в качестве обобщенных моделей как импульсных так и цифровых связанных систем. Соответственно результаты исследований могут быть интерпретированы в данные конкретных физических объектов, при этом сохраняется информация об общих тенденциях поведения систем. 3. Получены модели двух типов дискретных СФС с циклическим прерыванием режима автоподстройки 2-го порядка: без привязки и с привязкой фазы в момент перехода от режима паузы к режиму подстройки. За основу взяты обобщенные модели дискретных однокольцевых СФС. Соответственно, полученные в обобщенных параметрах результаты исследований могут быть переведены в физические параметры конкретных систем с прерыванием, объединенных условиями перехода к режимам паузы и подстройки. 4. Существование обобщенных моделей для систем одного класса (однокольцевых, двухкольцевых с взаимными связями, однокольцевых с прерыванием режима автоподстройки) и использование единой основы для построения моделей различных классов позволяет, в конечном итоге, применить к этим системам методики и алгоритмы анализа, основанные на единых подходах. В основе методик лежат качественно-аналитические методы анализа движений на фазовом цилиндре, разрабатываемые во 2-й главе применительно к однокольцевым СФС. В последующих главах эти методы получили развитие для систем других классов.
- 59 Глава 2. Нелинейные процессы в дискретных СФС второго порядка Как было отмечено во введении, наиболее полные и точные результаты анализа нелинейных процессов в дискретных СФС 2-го порядка с различными нелинейностями на сегодняшний день получены качественно-аналитическими и качественно-числеными методами исследования [54,78-81,83], в том числе в работах автора диссертации [75,90,91], посвященных анализу устойчивости кусочно-линейных СФС. Применение указанных методов наряду с многочисленными качественными результатами позволяет получить либо точные расчетные выражения для оценки динамических характеристик: областей существования различных движений, областей устойчивости в целом, полос захвата, либо построить простые численные процедуры для их определения. Цель главы состоит в обобщении результатов, полученных автором в более ранних работах, по разработке качественных методов исследования нелинейной динамики дискретных СФС 2-го порядка, обобщенной моделью которых служит отображение (1.1.1). С помощью предложенных методов изучаются динамические характеристики ряда дискретных СФС второго порядка, к которым относятся импульсные и цифровые системы с различными нелинейными свойствами детекторов и типами фильтров в цепи управления. Рассматриваются дискретных СФС: области следующие основные характеристики существования вращательных и колебательных периодических движений и бифуркации, приводящие к их возникновению и потере устойчивости, области существования квазипериодических движений и бифуркации, приводящие к их возникновению, области устойчивости в большом и в целом, зависимости полосы захвата по частоте от различных параметров, характер и длительность переходных процессов. Предложенные и обобщенные методики качественно-аналитических исследований нелинейных режимов применены в главе также для решения задач анализа влияния конечной разрядной сетки на процессы в цифровых СФС и анализа устойчивости нелинейных режимов неавтономных СФС при периодических по частоте воздействиях. В соответствии с предлагаемой методикой в основу анализа основных динамических характеристик СФС положены результаты исследования установившихся периодических и квазипероиодических движений: условия - 60 возникновения и потери устойчивости, области существования. В свою очередь, анализ установившихся движений выполняется на основе изучения типовых бифуркаций фазовых портретов отображения (1.1.1) с учетом специфики рассматриваемых нелинейностей (периодических, гладких, разрывных). К числу их относятся: 1) бифуркации потери устойчивости неподвижными точками, связанные с переходом границ локальной устойчивости;
2) бифуркации потери устойчивости неподвижными точками, связанные с переходом через граничные точки нелинейностей (i=c для Fc() и i=1 для F1());
3) бифуркации фазовых портретов, вызванные пересечением сепаратрисных инвариантных многообразий седловых неподвижных точек. Под неподвижными точками отображения (1.1.1) понимаются простые неподвижные точки - состояния равновесия, и k-кратные неподвижные точки, принадлежащие k-периодическим движениям;
k-кратные неподвижные точки переходят в простые неподвижные точки при k-последовательном применении к ним отображения (1.1.1). 2.1. Качественные методы анализа процессов на фазовом цилиндре. Фазовые портреты возникновения неустойчивости неподвижных точек В разделе обсуждаются основные положения качественных методов анализа процессов на фазовом цилиндре. Основу методов составляют результаты исследования бифуркаций, приводящих к возникновению периодических и квазипериодических движений. Изучение первых из них сводится к анализу неподвижных точек различной кратности, изучение вторых основано на анализе инвариантных сепаратрисных многообразий седловых неподвижных точек различной кратности. Рассмотрим бифуркации, связанные с потерей устойчивости неподвижных точек, для этого запишем отображение (1.1.1) в виде:
= P(, x, ), x = Q(, x, ) (2.1.1) где = n+1, = n, x = xn+1, x = xn, - обобщенный параметр, в качестве которого может выступать любой из параметров рассматриваемой модели. r r Введем вектор q = qn = ( n, xn )T и вектор q = qn +1 = ( n +1, xn +1 )T, определяющие - 61 состояние системы в два соседних момента времени n и n+1. Тогда (2.1.1) будет иметь вид q = f ( q, ), (2.1.2) представляющая собой отображение, где f ( q, ) - вектор-функция, переводящее вектор q в вектор q. Для рассматриваемых нелинейностей отображение f(q,) в общем случае является негладким, что не позволяет реализовать единый подход для анализа движений. Для гладких f(q,) (F() = Fs()) при анализе колебательных и вращательных движений, которые могут быть сведены к неподвижным точкам, достаточно эффективной является теорема о центральном многообразии [34]. Согласно этой теореме в фазовом пространстве отображения в окрестности неподвижной точки qN существует многообразие M, отвечающее условию локальной инвариантности (любая точка этого многообразия переводится рассматриваемым отображением в точку, также принадлежащую этому многообразию) и локальной устойчивости (при n расстояние между отображением и многообразием M стремится к нулю). С учетом условий применимости теоремы о центральном многообразии ее можно разделить на следующие два утверждения [35] : 1. Пусть в точке qN при = характеристическое уравнение Det f (q ) E = 0 q (2.1.3) точечного отображения q = f (q, ), зависящего от параметра , имеет конечное число корней, лежащих на единичной окружности, а остальные лежат внутри круга единичного радиуса, тогда с помощью линейной замены переменных в окрестности qN при , близких к , оно может преобразовано к виду y1 = a ( ) + A( ) y1 + f1 ( y1, y2, ), y2 = b( ) + B ( ) y2 + f 2 ( y1, y2, ) (2.1.4) где A() - матрица с собственными значениями, лежащими на единичной окружности при = , B() - матрица с собственными значениями, лежащими внутри круга единичного радиуса, f1 ( y1, y 2, ) и f 2 ( y1, y2, ) не ниже второго порядка малости относительно y1 и y2.
- 62 Отображение (2.1.1) предполагается гладким по переменной q и параметру . Гладкость a(), b(), A(), B(), f1(y1,y2,), f2(y1,y2,) по входящим в них переменным не ниже гладкости отображения (2.1.1). 2. Пусть у отображения (2.1.4) при = a() = b() = 0, тогда в некоторой окрестности ( y1, y 2 ) при собственных значений матрицы A() :
существует гладкое устойчивое инвариантное многообразие М размерности d, равной числу y2 = g ( y1, ).
которой (2.1.5) Окрестность преобразуется в область, для любой точки ( y1, y2 ) y2, и если последовательные преобразования (2.1.4) точки ( y1, y2 ) не покидают окрестности, то с течением времени расстояние между текущим состоянием и инвариантным многообразием M стремится к нулю. Теорема о центральном многообразии позволяет свести рассмотрение поведения фазовых траекторий системы в окрестности неподвижных точек к рассмотрению их поведения на устойчивом гладком инвариантном многообразии. Отображение на многообразии M примет следующий вид y1 = a( ) + A( ) y1 + f1 ( y1, g ( y1, ), ).
(2.1.6) Первым шагом исследования бифуркаций c использованием теоремы о центральном многообразии является разложение отображения (2.1.2) в ряд Тейлора в окрестности неподвижной точки qN :
r r1 rr f (qN + q ) = f (qN ) + f (qN )q + f (qN )(q1, q2 ) + 2 (2.1.7) rr r 1 + f (qN )(q1, q2, q3 ) +..., 3! r где q = ( q1, q 2,..., )T - вектор смещения от точки qN (приращение r аргумента), для отображения (1.1.1) q = (, x )T. Каждый p-й дифференциал rr r отображения f ( p ) (q N )(q1, q2,..., q p ) представляет собой p-линейный по rr r каждой векторной переменной q1, q2,..., q p оператор. r Здесь f (qN )q - первый дифференциал отображения. Производная f (qN ) - матрица Якоби отображения, представляющая собой матрицу частных - 63 производных функции f (qN ). Для (2.1.1) первые два дифференциала отображения будут иметь вид P(qN ) P(qN ) + x r x, f (qN )q = Q(qN ) P(qN ) + x x rr f (qN )(q1, q2 ) = 2 P(qN ) 2 P (qN ) 2 2 P(qN ) 2 P(qN ) x x + x + 2 + 2. x 2 x x = 2 2 2 2 Q(qN ) 2 + Q(qN ) x + Q(qN ) x + Q(qN ) x 2 2 x x x (2.1.8) Для исследований бифуркаций, связанных с нарушением устойчивости простой неподвижной точки, в выражении (2.1.6) необходимо учитывать члены до третьего порядка включительно, в случае более сложных бифуркаций - большее число членов. Следующим шагом является приведение ряда (2.1.7) к нормальной форме [34]. Линейной заменой переменных ряд (2.1.7) преобразуется к виду (2.1.4). Затем ищется инвариантное многообразие М в виде y2 = c1 y1 + c2 y12 + c3 y13 +..., (2.1.9) где коэффициенты сi, i=1,2,Е, определяются из условия инвариантности. На этом многообразии исследуемое отображение в общем случае принимает вид y1 = a( ) + A( ) y1 + c( ) y12 + O( y1 ), (2.1.10) из которого находятся неподвижные точки. Размерность (2.1.10) определяется количеством корней характеристического уравнения (2.1.3), лежащих на единичной окружности. Для отображения (2.1.1) простейшим случаям нарушения устойчивости неподвижной точки соответствует появление у (2.1.3) одного действительного корня, равного +1 или Ц1, либо двух комплексных сопряженных корней e i и e i (0 < ). Соответственно отображение (2.1.10) будет одномерным либо двумерным. В первом случае A()=1 или A()=-1. Во втором случае A() представляет собой матрицу второго порядка, имеющую при = собственные значения e i и e i. Границы области устойчивости неподвижной точки, отвечающие этим случаям, обозначим через G+1, G-1, G.
- 64 На рис. 2.1 на плоскости обобщенных параметров, приведены области локальной устойчивости состояния равновесия отображения (1.1.1) для синусоидальной нелинейности. В случае нулевой обобщенной частотной расстройки g область имеет вид треугольника, каждая из сторон которого представляет собой одну из границ G+1, G-1, G (рис. 2.1а). В случае отличной от нуля обобщенной расстройки (рис. 2.1б) только граница G+1 является прямой, сдвинутой отосительно начала координат, границы G-1, G таковыми не являются. Для треугольной и пилообразной нелинейностей области локальной устойчивости имеют вид, аналогичный приведенному на рис. 2.1а, независимо от величины обобщенной растройки.
B 2 g= g = 0, 2 B A G G A G - G + G - G + C C а) б) Рис. 2.1. Области локальной устойчивости СФС с Fs() Для F()=Fs() при потере устойчивости неподвижной точкой с переходом границы G+1 наблюдается следующая бифуркация [35]: неподвижная точка типа устойчивый узел сливается с неподвижной точкой типа седло с последующим исчезновением (рис. 2.2а). Подобная бифуркация, например, наблюдается с ростом обобщенной частотной расстройки g, аналогичный результат возникает с уменьшением усиления в кольце при постоянной расстройке (уменьшение, ). При потере устойчивости неподвижной точкой с переходом границы G-1 в общем случае наблюдаются два варианта бифуркаций. В первом случае устойчивая неподвижная точка при = становится неустойчивой типа - 65 седло, при этом дополнительно возникают еще две устойчивые двукратные неподвижные точки (рис. 2.2.б). Во втором случае устойчивая неподвижная точка сливается с двумя неустойчивыми двукратными точками типа седло с образованием одной неустойчивой точки типа седло. Для дискретных СФС с Fs() характерным является первый случай. Он приводит к явлению, получившему в теории колебании специальное название - рождение цикла с удвоением периода. Подобная бифуркация составляет основу одного из сценариев возникновения хаотических колебаний.
< * > * < * > * а) б) Рис. 2.2.Фазовые портреты возникновения неустойчивости при переходе границ G+1 и G-1 При потере устойчивости неподвижной точкой с переходом границы G основной бифуркацией является рождение устойчивой замкнутой инвариантной кривой (рис. 2.3а). Подобный случай напоминает режим мягкого возбуждения колебаний в непрерывных системах, при этом размер замкнутой кривой определяется расстоянием до границы G. Для случаев, когда выход за границу G происходит в точках =2 m/(r+1), где m, r - целые числа, на инвариантной кривой рождаются два цикла равных периодов - устойчивый и неустойчивый, состоящие соответственно из устойчивых узловых k-кратных неподвижных точек и седловых k-кратных неподвижных точек. Пример подобной бифуркации для = /2, приводящей к 4-кратным неподвижным точкам, приведен на рис. 2.3б. Подобная бифуркация не является грубой. В то же время она фиксирует точку границы области существования цикла периода k=4, расположенную на G. В этой ситуации методом продолжения по параметру легко восстановить всю область существования данного движения. На рис. 2.4 наряду с областью локальной устойчивости состояния равновесия G0 показана область - 66 1 1 существования данного цикла G0 / 4. Области, аналогичные G0 / 4, можно построить и для циклов других периодов, возникающих при пересечении границы G.
<* >* >* а) б) Рис. 2.3. Фазовые портреты возникновения неустойчивости при переходе границы G g= G 1 0/ B' 2 B G A А' C' G G 0/ - G + G 2 0/ C Рис. 2.4. Области циклов, возникших при переходе границ G и G-1 Для k-кратных неподвижных точек отображения (2.1.1) (колебательные и вращательные движения периода k>1) применение теоремы о центральном многообразии аналогично случаю с однократными неподвижными точками с учетом перехода к эквивалентному k-кратному отображению вида q ( k ) = f ( k ) (q, ), (2.1.8) где q (k ) - вектор состояния, в которое переходит система в результате kкратного последовательного отображения вектора состояния q.Очевидно, результат анализа бифуркаций будет одним и тем же для любой из k-кратных - 67 неподвижных точек, входящих в состав k-периодического движения. Для конкретного применения результатов анализа бифуркаций простых неподвижных точек достаточно линеаризовать отображение (2.1.8) в окрестности k-кратных точек и определить корни характеристического уравнения точек на границах области существования (для рассматриваемого 1 примера на границах области G0 / 4 ). Переход через границы, аналогичные G+1, 1 G-1, G, приведет к тем же бифуркациям. Для области G0 / 4 характерны следующие бифуркации: переход через границу AB (G) сопровождается рождением инвариантной замкнутой кривой, через границу BC (G-1) - бифуркацией удвоения периода циклического движения (вместо цикла 1-го рода периода k=4 структуры 0/4 переходит в цикл 1-го рода периода k=8 структуры 0/8), через границу AС (G1) - слиянием соседних k-кратных устойчивых и неустойчивых точек (рис.2.2а). Последние бифуркации происходят в пределах области локальной устойчивости отображения (2.1.1) G0. На рис. 2.4 приведена также область существования еще одного цикла 1-го рода периода k=4 структуры 0/4 - область G02/ 4 Сценарий возникновения данного цикла иной. Цикл возникает через цепочку удвоения периода, включающей двойной переход границы G-1. Первоначально удвоение периода происходит при переходе через границу G-1 (ВС), в результате чего рождается цикл периода k=2 структуры 0/2. Повторное удвоение периода происходит при переходе через границу G-1 области существования цикла структуры 0/2 (2кратных неподвижных точек). Для кусочно-линейных отображений ситуация с потерей устойчивости неподвижных точек будет иной. Отличия сводятся к следующим утверждениям. 1. Переход через границу G-1 области устойчивости неподвижной точки qN на линейном участке кусочно-линейной функции Fc() сопровождается рождением седловой точки, из окрестности которой разбегаются траектории вдоль сепаратрисной инвариантной кривой. Разбегание траекторий происходит по законам линейного отображения до границ линейного участка Fc(). В окрестности граничных точек формируется инвариантное притягивающее многообразие. Пример подобной бифуркации для Fc(), c=0.6 приведен на рис.2.5а,б.
- 68 L L L L O O L Lx c = 0.6 m = 0.0 = 10 g = Lx с = 0. 6 m=0 = 1 0 g = 0. L а) б) Рис. 2.5. Фазовые портреты кусочно-линейной СФС, возникающие при переходе границы G-1 2. Переход через границу G области устойчивости неподвижной точки qN на линейном участке кусочно-линейной функции Fc() сопровождается рождением неустойчивого фокуса, из окрестности которого разбегаются траектории по инвариантной раскручивающейся спирали. Как и в предыдущем случае разбегание траекторий происходит по законам линейного отображения вплоть до границ = с, в окрестности которых также формируется инвариантное притягивающее многообразие. Пример подобной бифуркации для Fc(), c=0.6 приведен на рис. 2.6а,б.
L L L O L L с = 0.6 m=0 = 0. 1 g = 0. c = 0.6 m = 0.0 = 0.1 g = L Lx Lx а) б) Рис. 2.6. Фазовые портреты кусочно-линейной СФС, возникающие при переходе границы G - 69 3. Переход через границу G1 области устойчивости неподвижной точки qN возможен не всегда. В случае нелинейности Fs() эта граница всегда совпадает с границей существования состояния равновесия R (рис. 2.1). С ростом обобщенной расстройки граница автоматически смещается (рис. 2.1б) в сторону больших,, непосредственно на границе происходит слияние узловой и седловой точек с последующим исчезновением (рис. 2.2а). Для Fс() с ростом обобщенной расстройки граница R смещается в сторону больших,, при этом G1 не меняет своего положения. Это приводит к тому, что для g 0 образование сложной точки узел-седло происходит не на G1 а на R.Как и в случае гладкой нелинейности сложная точка исчезает с образованием фазового портрета, характеризуемого уплотнением траекторий (рис. 2.2а). На фазовой плоскости образование сложной точки узел-седло происходит в точках = с. 4. Смещение границы существования состояния равновесия с ростом g приводит к тому, что исчезновение точки равновесия может произойти через область комплексных корней характеристичекого уравнения неподвижной точки без достижения границы G. Согласно рис.2.7 это происходит на границе R при пересечении отрезка а-б. Исчезновение точки равновесия в данном случае происходит через образование сложной точки фокус-седло, переходящей в уплотнение траекторий. На фазовой плоскости образование точки фокус-седло происходит также в точке = с.
g=0,2 G а A б R G G-1 G с C Рис. 2.7. Область локальной устойчивости и область существования состояния равновесия СФС с Fс() - 70 5. Утверждения 3 и 4 приводят к следующему обобщению свойств отображения (2.1.1) с Fс(). В общем случае при g 0 неподвижные точки исчезают (возникают) не при пересечении границ локальной устойчивости (G, G1) а при пересечении границы существования (R) через образование сложных точек узел-седло или фокус-седло. Данные бифуркации на фазовой плоскости могут происходить только в граничных точках функции Fс() = с. Сделанные выводы относительно возникновения неподвижных точек для (2.1.1) с Fс() могут быть обобщены на случай разрывной функции F1().При этом под седловой точкой необходимо понимать вырожденную точку, находящуюся в месте разрыва F1(). Для того, чтобы при таком предположении избежать математических трудностей, достаточно допустить существование бесконечно малой длительности участка F1() с отрицательным наклоном. Подобный подход позволяет объяснить существование всех бифуркаций отображения (2.1.1), связанных с рождением и исчезновением неподвижных точек. Как и в случае гладкой нелинейности, результаты анализа бифуркаций простых неподвижных точек могут быть перенесены на k-кратные неподвижные точки. При этом переходу k-кратной неподвижной точкой границы существования Rk на плоскости параметров соответствует пересечение на фазовой плоскости границ линейности Fс() либо F1(). Данное утверждение будет ниже использовано в качестве необходимого условия возникновения периодических движений кусочно-линейных отображений. На рис. 2.8 приведен характерный пример расположения 3-кратных устойчивых и неустойчивых точек, принадлежащих соответственно устойчивому и неустойчивому циклам периода k=3 для Fс() с с=0.6. Оба движения относятся к циклам 2-го рода с одним проскальзыванием, отличаются на единицу количеством неподвижных точек, приходящихся на устойчивую и неустойчивую ветви нелинейности Fс(). Как рождение цикла, так и исчезновение происходят за счет возникновения сложной точки узел-седло в граничных точках нелинейности. На рис. 2.8а показана область существования цикла на плоскости физических параметров D, D (усиление, частотная расстройка), справа область ограничивается прямой G-1, пересечение которой - 71 сопровождается многообразия.
Dн возникновением инвариантного x притягивающего г) в) б) L L D OТ а) x x б) L L L L OТ OТ в) г) Рис. 2.8. Фазовые портреты возникновения пары "устойчивый-неустойчивый" цикл с k=3 Рассмотрим основные типы фазовых портретов, возникновение которых вызвано взаимодействием инвариантных сепаратрисных входящих и выходящих многообразий седловых неподвижных точек отображения (2.1.1). На рис. 2.9 показаны фазовые портреты двух типов седловых неподвижных точек, реализуемых в рассматриваемых СФС. На рис. 2.9а - для узла 1-го типа (корни характеристического уравнения 1, 2 отвечают условиям 0< 1 < 1, 2 >1), на рис. 2.9б - для седла 3 го типа (-1< 1 < 0, 2 >1). Прежде всего, для обоих типов и входящие и выходящие сепаратрисные многообразия являются одномерными. Для седла 1-го типа движение является знакопостоянным относительно неустойчивого (выходящего) многообразия, для седла 3-го типа - 72 знакопеременным. Взаимное расположение входящего сепаратрисного многообразия данной седловой точки и выходящего многообразия соседней седловой точки определяет характер движений не только в окрестности неподвижных точек, но и в целом в системе.
а) б) Рис. 2.9. Фазовые портреты седловых неподвижных точек На рис. 2.10, 2.12, 2.13 приведены фазовые портреты для случая седла 1-го типа (точка О), построенные для различных параметров отображения (2.1.1) с Fc(). На качественном уровне они повторяют соответствующие фазовые портреты отображения с Fs(). На рис. 2.10 приведены результаты для случая слабой колебательности и с=0.6, на рис. 2.12 - для сильной колебательности и с=0.6, на рис. 2.13 - для сильной колебательности и с=0.95. На рис. 2.10а представлена ситуация, когда входящая инвариантная кривая седла L1 проходит выше выходящей инвариантной кривой предыдущего седла L2 (с учетом периодичности функции Fc() L2 является продолжением выходящей инвариантной кривой седла О - L2). В этом случае все движения с течением времени из произвольных начальных условий приходят в окрестность устойчивого состояния равновесия О. С ростом расстройки g наблюдается пересечение инвариантных кривых L1 и L2, однако при этом характер установившихся процессов не изменится, поскольку рано или поздно вектор сотояния окажется в области, для которой L2 проходит ниже L1, откуда движение придет в окрестность О. Качественно ситуация меняется, если кривая L2 проходит выше L1 (граничная ситуация приведена на рис.2.10б). В этом случае из области, находящейся выше L2, система никогда не попадет в окрестность О. Возможны два варианта движений. Первый соответсвует - 73 x Lx x L Lx O O' L O O' L L а) б) Lx L2 L1 L x x Lx L O O O' O' L L в) г) Рис. 2.10. Фазовые портреты дискретной СФС с Fc() для случая слабой колебательности - 74 движению с проскальзыванием по координате на некоторой инвариантной кривой, замкнутой по поверхности фазового цилиндра - квазипериодичекому движению (рис. 2.10б,в). Второй соответствует циклическому движению 2-го рода, возникшему при дальнейшем росте обобщенной расстройки (рис. 2.10г). Квазипериодическое движение существует в том случае, если отсутсвует периодическое движение. На рис. 2.11 приведен спектр квазипериодического движения вблизи точки возникновения. С ростом расстройки спектр движения принимает все более дискретный характер. Как было показано выше, устойчивые k-кратные точки существуют только вместе с неустойчивыми точками той же кратности - седлами (устойчивый цикл периода k существует вместе с неустойчивым циклом того же периода, рис. 2.10г). Взаимное расположение k-кратных входящих и выходящих инвариантных кривых k-кратных седел определит дальнейшее изменение фазового портрета с ростом расстройки. Если выходящая кривая проходит ниже входящей, то вся область фазового цилиндра, расположенная выше устойчивого цикла является областью его притяжения. Если наоборот, то повторяется сценарий с однократными точками, согласно которого возникает либо инвариантное притягивающее многообразие либо еще один устойчивый цикл меньшего периода, либо цикл большего периода но с несколькими проскальзываниями по фазовому цилиндру. Подобная ситуация наиболее характерна для сильной колебательности (рис. 2.12). На рис. 2.12а приведен фазовый портрет, соответствующий взаимному расположению L2 и L1, близкому к критическому. Незначительное увеличение расстройки приводит к возникновению притягивающего инвариантного многообразия. С ростом расстройки возникает цикл 2-го рода периода k=3 (рис.2.12б), затем к циклу добавляется притягивающее инвариантное многообразие (рис. 2.12в). Подобный переход стал возможен благодаря изменению взаимного расположения входящих и выходящих сепаратрисных кривых 3-кратных седловых точек. Дальнейшее увеличение расстройки приводит к появлению цикла периода k=8 с тремя проскальзываниями (рис. 2.12г).
- 75 Рис. 2.11. Спектр квазипериодического движения Для рис. 2.13 имеет место качественно аналогичная рис. 2.12 цепочка бифуркаций рождения квазипериодических (рис. 2.13б) и периодических (рис. 2.13в,г) движений. Исключение составляет отсутствие второго инвариантного притягивающего многообразия;
объяснение состоит в области параметров, в которой одновременно существуют циклы периодов k=2 и k=3 с двумя проскальзываниями. Второй из них притягивает всю верхнюю часть фазового цилиндра, что в свою очередь достигается соответствующим расположением сепаратрисных кривых 3-кратных седловых точек. Приведенные фазовые портреты являются типовыми не только для отображения с нелинейностью Fc(), но и для отображений с Fs(). В случае нелинейности F1() ситуация иная. Поскольку для вырожденного седла (или седла, близкого к вырождению) входящая сепаратрисная кривая проходит вертикально через область разрыва, то условий для возникновения квазипериодических движений не существует. По этой причине в системе с F1() возникают только k-кратные точки.
В случае седла 3-го типа в целом качественная картина фазовых портретов сохраняется. Система будет вести себя иначе в окрестности выходящей сепаратрисной кривой, что скажется на алгоритме расчета граничных параметров возникновения квазипериодических движений. В случае седла 1-го типа условие касания кривых L1 и L2 может выступать в качестве достаточного для их возникновения. В случае седла 3-го типа квазипериодические движения возникают при расстройках, превышающих значения, при которых происходит касание.
- 76 x L L2 L Lx а) x x б) г) в) Рис. 2.12. Фазовые портреты дискретной СФС с Fc() для случая сильной колебательности - 77 x Lx LТ2 L1 L x LТ L1 L Lx а) x Lx x б) Lx L в) г) Рис 2.13. Фазовые портреты дискретной СФС с Fc() для случая сильной колебательности (одновременно существуют два предельных цикла) - 78 2.2. Методика расчета бифуркационных параметров неподвижных точек кусочно-линейных отображений Предлагаемая в разделе методика расчета бифуркационных параметров кусочно-линейных отображений 2-го порядка основана на сформулированных выше утверждениях о возможности возникновения неподвижных точек на границах линейных участков функций Fc() и F1(). Для возникновения простых неподвижных точек данные утверждения являются достаточными. Для возникновения k-кратных неподвижных точек они выступают в качестве необходимых, достаточность обеспечивается дополнительным структурным условием, определяющим принадлежность остальных k-1 k-кратных точек линейным участкам функций Fc() и F1(). Дадим ряд определений, которые будут использованы при разработке методики. * Будем называть предельным циклом структуры (u/k) (ПЦ) периодическое движение периода k, абсолютное приращение фазы на периоде которого равно 2u. * Предельный цикл (u/k), u = 0, будем называть циклом 1-го рода или колебательным движением (ПЦ1). * Предельный цикл (u/k), u 0, будем называть предельным циклом 2-го рода или вращательным движением (ПЦ2). * Предельные циклы 1-го и 2-го рода будем характеризовать числом проскальзываний по фазе или числом полных оборотов вокруг фазового цилиндра. * Простейшими циклами 2-го рода будем называть циклы 2-го рода с одним проскальзыванием по фазе. * Циклы структуры (u/1), u=1,2,..., будем называть кратными захватами. 2.2.1. Модель СФС с пилообразной нелинейностью Пусть F() = F1(). В силу периодичности F1() фазовым пространством системы будет цилиндр, общий вид развертки которого показан на рис. 2.14. На фазовом цилиндре выполнен ряд вспомогательных построений. К ним относятся линии отображения с сохранением координат и x - L,0 и Lx,0 r соответственно. Отображение вектора qn, принадлежащего одной из этих - 79 линий, будет происходить с сохранением значения соответствующей координаты. Уравнение первой из этих линий можно получить из верхнего уравнения (1.1.1), положив n+1 =n, уравнение второй линии получается из нижнего уравнения (1.1.1) при xn+1=xn L,0 : x=, Lx,0 : x=(- +g)/(1-d).
x ( 1 ;
2 ) (2.2.1) Q K A D' Q K' D (1 ;
) Q ( 1 ;
0 ) L, (1 ;
0 ) ( 1 ;
) C L x, Q - L' Q - B C' L G Q,- Рис. 2.14. Развертка фазового цилиндра СФС с F1() Согласно (2.2.1) прямая L,0 (CD) проходит через начало координат и ее положение не зависит от нормированной начальной расстройки g. В отличие от нее положение прямой Lx,0 (AB) зависит от g. Точка пересечения прямых L,0 и Lx,0 является состоянием равновесия системы (одновременно выполняются условия n+1 =n и xn+1=xn ) и имеет координаты: O(0, x0) = O ( g /((1 d ) + );
g /((1 d ) + )).
Pages: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Книги, научные публикации