Книги, научные публикации
Pages: | 1 | 2 | 3 | Ярославский государственный университет им. П.Г.Демидова На правах рукописи БАШМАКОВ МИХАИЛ ВЯЧЕСЛАВОВИЧ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СФС В УСЛОВИЯХ КОМБИНИРОВАННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ...
-- [ Страница 2 ] --- 101 Продолжая изучение пороговых кривых на рис. 2.42, 2.43, можно отметить, что в случае, когда вх меньше некоторого значения, выходное ОСШ выше для малых K и. Интересно заметить, что влияние этих параметров на динамическую ошибку противоположно. Объяснение такому эффекту на качественном уровне можно получить, рассмотрев шумовую полосу линеаризованной модели СФС. Указанные зависимости приводятся на рис. 2.44, из которых виден явный рост шумовой полосы при увеличении K или, а значит и увеличение интенсивности флуктуаций фазовой ошибки. Как только интенсивность шумовой составляющей будет заметно преобладать над динамической, выходное ОСШ будет определяться в основном шумовой составляющей, что подтверждается рис. 2.42, 2.43. Кривые на рис. 2.42 и 2.43 подтверждают наличие порогового эффекта при воздействии на систему ФМЦколебания, когда при вх, меньших некоторого значения, наблюдается резкое ухудшение выходного ОСШ. Пороговый эффект сильнее выражен на рис. 2.42б и 2.43б, соответствующие случаю малых частот модуляции, а значит, и малых значений динамических ошибок. В то же время, для случая, когда в системе имеют место значительные динамические ошибки, пороговый эффект несколько сглаживается. При этом участок кривой при значениях вх выше порога, на котором выходное ОСШ растет линейно с ростом входного ОСШ, незначителен по протяженности. На пороговых кривых, представленных на рис. 2.42, 2.43, можно указать еще на одну особенность. При значениях вх, много меньших порогового значения, наблюдается эффект, когда уменьшение вх практически не приводит к уменьшению значения вых. Объяснение такому поведению связано с выбранным способом измерения выходного ОСШ. При этом фазовая ошибка приводится к интервалу (Ц, ), и, следовательно, дисперсия не может превышать некоторого значения. На рис. 2.46, 2.47 приводятся пороговые кривые для случая d 1, что соответствует ПИФ в цепи управления. Общие замечания, высказанные при рассмотрении пороговых кривых при d = 1, в целом применимы в данном случая. Например, при больших входных ОСШ выходное ОСШ определяется в основном динамической ошибкой, которая уменьшается с увеличением K или, а также с уменьшением частоты модуляции. Однако изменение параметра фильтра d влияет на выходное ОСШ неоднозначно. Как показывают - 102 Bш Bш 8 = 6 K = 1, 0, 2 1, 0, 1, 1, 0 0 0,2 0, 0,6 0, K 1, 2, а) б) Рис. 2.44. Зависимость шумовой полосы линеаризованной СФС от параметров системы при d = Bш Bш 10 K= = 5 0, 0, 1, 1, 1, 0 0 0,2 0, 0,6 0, d 0, 0, 0, 0, d а) б) Рис. 2.45. Зависимость шумовой полосы линеаризованной СФС от параметров системы а) = 2;
б) K = - 103 вых, дБ 0, вых, дБ d= 0, 0, d = 0, - - - вх, дБ - вх, дБ а) а) K = 1;
вых, дБ вых, дБ б) б) K = 0, Рис. 2.46. Пороговые кривые для случая ФМЦсигнала при = 2;
м = 1;
м= 0, d= 0, d= 0, 0, 0, - вх, дБ - вх, дБ а) а) K = 1;
б) K = 0, б) Рис. 2.47. Пороговые кривые для случая ФМЦсигнала при = 2;
м = 1;
м= 0, - 104 вых, дБ вых, дБ м = 0, м = 0, 0, 0, - Ц10 0 5 10 15 20 вх, дБ - 35 вх, дБ а) а) м= 0,5;
вых, дБ вых, дБ б) б) м= 0, Рис. 2.48. Пороговые кривые для случая ФМЦсигнала при = 2;
K = 1;
d = м = 0, 0, м = 0, 20 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Ц10 0 5 10 15 20 30 вх, дБ Ц10 0 5 10 15 20 30 вх, дБ а) а) K = 1;
б) K = 0, б) Рис. 2.49. Пороговые кривые для случая ФМЦсигнала при = 2;
d = 1;
м = исследования, объяснение зависимости пороговых зависимостей от d в большинстве случаев можно дать, используя линеаризованную модель СФС.
- 105 В первую очередь можно отметить различное влияние изменения d на динамическую ошибку при различных частотах модуляции. Если частоты модуляции велики, то, как видно из рис. 2.46, уменьшение d приводит к уменьшению динамической ошибки и, как следствие, к увеличению выходного ОСШ при малой интенсивности входного шума. Рис. 2.47 указывает на то, что при малых частотах модуляции влияние d на динамическую ошибку обратное. На рис. 2.45 приводятся зависимости шумовой полосы системы от d. Из рис. 2.45 видно, что при увеличении d уменьшается шумовая полоса системы. Более заметное уменьшение шумовой полосы с ростом d наблюдается при больших K или. Поэтому при входных ОСШ, несколько превышающих пороговое значению, флуктуационная составляющая ошибки меньше при больших d. Это объясняет тот факт, что в ряде случаев, например, как на рис. 2.46а, для больших d выходное ОСШ в надпороговой области будет выше. При этом, как видно из рис. 2.46а, динамическая погрешность слежения больше и проявляет себя при увеличении вх. На рис. 2.48 приведены пороговые кривые при изменении индекса модуляции, из которых видно, что увеличение индекса приводит к пропорциональному увеличению выходного ОСШ. Но в то же время с увеличением индекса модуляции приводит к более существенному влиянию динамической ошибки слежения на выходное ОСШ. Зависимость пороговых кривых от частоты модуляции приведена на рис. 2.49. Рисунки указывают, что с ростом частоты модуляции увеличивается динамическая ошибка слежения, что вполне объяснимо с точки зрения частотных свойств системы. При этом для узкополосной системы (рис. 2.49б) влияние частоты модуляции на динамическую ошибку слежения заметнее.
- 106 вых, дБ 0 0, 10 вых, дБ 0, 0, 0, 0, 0, A1 = 0, A1 = 0, - - Ц10 0 5 10 15 20 вх, дБ Ц10 0 5 10 15 20 вх, дБ а) б) Рис. 2.50. Пороговые кривые при наличии на входе полезного ФМЦсигнала и гармонической помехи при = 2;
d = 1;
K = 0,6;
м = 1;
м= 0,1 а) 1 = 0,5;
вых, дБ вых, дБ б) 1 = 1, 0 5 0, 0, 0, 0, 0, - A1 = 0, - A1 = 0, 0, Ц10 - / / 3/ / / 3/ а) б) Рис. 2.51. Зависимости ОСШ на выходе от частотной расстройки гармонической помехи на входе для случая полезного ФМЦсигнала на входе при = 2;
d = 1;
K = 0,6;
м = 1;
вх = 7 дБ а) м= 0,1;
б) м= 0, - 107 2.4.2. Гармоническая помеха На рис. 2.50 показаны пороговые кривые для случая наличия на входе ФМЦколебания и гармонической помехи. На качественном уровне зависимости выходного ОСШ от параметров помехи соответствует рассматриваемому ранее случаю гармонического колебания и гармонической помехи. В частности из рис. 2.50 видно, что увеличение мощности гармонической помехи приводит к ухудшению выходного ОСШ, особенно при больших ОСШ на входе. Данное явление объясняется увеличением помеховой составляющей ошибки слежения. При этом более интенсивная помеха приводит к тому, что помеховая составляющая фазовой ошибки начинает проявлять себя при меньших входных ОСШ, после которых увеличение ОСШ на входе не приводит к заметному улучшению выходного ОСШ. Из рис. 2.50 также можно заметить, что при больших индексах модуляции помеха оказывает влияние на выходное ОСШ в меньшей степени, чем при малых индексах. Рис. 2.51, на котором изображена зависимость выходного ОСШ от частотной расстройки помехи, показывает, что влияние помехи ослабевает по мере удаления ее от полосы пропускания системы. При приближении помехи к полосе пропускания наблюдается резкое снижение выходного ОСШ. При малых частотных расстройках помехи выходное ОСШ начинает увеличиваться при уменьшении частотной расстройки. При больших частотах модуляции полезного сигнала уменьшении влияния помехи при удалении от полосы пропускания не так выражено, как в случае малых частот модуляции. Кроме того влияние частотной расстройки помехи, находящейся внутри полосы системы, на выходное ОСШ является немонотонным. При этом после резкого снижения выходного ОСШ при попадании помехи в полосу системы дальнейшее уменьшение частотной расстройки помехи до значения, соизмеримого с частотой модуляции полезного сигнала, приводит к увеличению выходного ОСШ, затем выходное ОСШ начинает вновь падать.
- 108 вых, дБ вых, дБ 0, 0 м 1 = м 1 = 4 10 15 20 вх, дБ 4 10 15 20 вх, дБ а) б) Рис. 2.52. Пороговые кривые при наличии на входе полезного ФМЦсигнала и ФМЦпомехи при = 2;
d = 1;
K = 0,6;
м = 1;
м= 0,1;
A1 = 0,3;
м 1 = 0,3 а) 1 = 0,5;
вых, дБ вых, дБ б) 1 = 1, 1, 1 = 0, 1, 0, 1 = 0, 0, 5 0 0,25 0,5 0, м 0 0 0,25 0,5 0, м а) б) Рис. 2.53. Выходное ОСШ от частоты модуляции ФМЦпомехи для случая ФМЦколебания при = 2;
d = 1;
K = 0,6;
м = 1;
вх = 20 дБ;
м 1 = 1;
A1 = 0,3 а) м= 0,1;
б) м= 0, - 109 2.4.3. Помеха с угловой модуляцией В данном параграфе рассматривается случай наличия на входе шума, полезного ФМЦсигнала и помехи в виде ФМЦколебания. Рис. 2.52 демонстрирует зависимость пороговых кривых от индекса модуляции ФМ - помехи. Можно отметить некоторое уменьшение выходного ОСШ при увеличении индекса модуляции помехи. При этом изменения происходит непропорционально: изменение больших индексов приводит к более значительным ухудшениям выходного ОСШ. Также можно заметить, что если помеха находится в полосе пропускания системы, то влияние индекса модуляции на выходное ОСШ более сильное, чем для случая помехи вне полосы пропускания. На рис. 2.53 демонстрируется изменение выходного ОСШ от частоты модуляции помехи. Как видно из рисунка, однозначной зависимости не наблюдается. В зависимости от параметров помехи, параметров полезного сигнала и параметров системы может иметь место различный характер влияния частоты модуляции помехи на выходное отношение сигнал/шум. В целом для случая помехи внутри полосы пропускания системы с увеличением индекса модуляции помехи выходное ОСШ ухудшается. Для случая малых частот модуляции полезного колебания влияние частоты модуляции помехи, находящейся вне полосы системы следующее. При увеличении частоты модуляции помехи до значений, порядка полосы пропускания системы, сначала наблюдается уменьшение выходного ОСШ, а затем его нарастание. В случае больших частот модуляции полезного сигнала описанная зависимость носит противоположный характер. На рис 2.54 представлены зависимости ОСШ на выходе от частотной расстройки помехи для различных параметров индекса ее модуляции. Характер зависимостей в целом повторяет результаты, рассмотренные ранее. Но есть и некоторые отличия. В случае малых частот модуляции полезного сигнала зависимость на рис. 2.54а качественно повторяет графики на рис. 2.51, построенные при отсутствии модуляции помехи. Как было сказано ранее, увеличение индекса модуляции помехи в наиболее общем случае приводит к уменьшению выходного ОСШ. Но, как видно из рис. 2.54а, при некоторых значениях - 110 частотных расстроек помехи влияние индекса модуляции помехи носит противоположный характер. Когда частота модуляции полезного сигнала достаточно высока, зависимость выходного ОСШ от расстройки помехи носит более сложный характер. Как видно из рис. 2.54б, с ростом частоты помехи сначала наблюдается увеличение выходного ОСШ. При значениях частотной расстройки помехи, соизмеримых с частотой модуляции полезного сигнала, начинается уменьшение выходного ОСШ. Затем начинается резкое увеличение выходного ОСШ. Как только помехи покидает выходит за полосу пропускания системы, увеличение выходного ОСШ значительно замедляется.
вых, дБ вых, дБ м 1 = 0, 0, м 1 = 0, 0, 0 / / 3/ / / 3/ а) б) Рис. 2.54. ОСШ на выходе от расстройки ФМЦпомехи для случая полезного ФМЦколебания при = 2;
d = 1;
K = 0,6;
м = 1;
вх = 20 дБ;
A1 = 0,3;
м 1 = 0,3 а) м= 0,1;
б) м= 0, - 111 2.5. Выводы 1. В главе предложена методика перехода от стохастического разностного уравнения, описывающего статистическую динамику дискретной СФС 2Цго порядка, к системе уравнений, описывающей простую марковскую последовательность. С учетом нестационарной условной плотности вероятности перехода получено уравнение КолмогороваЦЧепмена для двумерной плотности распределения фазовой ошибки при наличии на входе комбинированных воздействий. 2. Для корректного перехода к интегрированию в конечных пределах в уравнении Колмогорова-Чепмена разработана методика расчета плотности распределения вероятности, учитывающая инвариантность движений в фазовом пространстве. С учетом ее получен ряд уравнений Колмогорова - Чепмена для различных входных воздействий и фильтров в кольце СФС. 3. Для численного решения уравнения Колмогорова-Чепмена предложена оригинальная замена исходных переменных, позволяющая значительно повысить эффективность расчетов. Особенность замены переменных связана с получением фазового цилиндра в новых координатах, ориентированного вдоль одной из координат. 4. С учетом предложенного преобразования координат и инвариантности движений в фазовом пространстве разработана методика перехода от двумерной плотности распределения вероятности фазовой ошибки к одномерной. 5. На основе численного решения уравнения Колмогорова-Чепмена с помощью предложенных методик получены и проанализированы зависимости для переходных и установившихся нестационарных и усредненных по времени одномерных ПРВ фазовой ошибки для различных типов входных воздействий: смеси шума и гармонического колебания;
смеси шума, гармонического колебания и гармонической помехи;
смеси шума, гармонического колебания и детерминированной помехи из ряда гармонических составляющих. Показано, что в некоторых случаях усредненная по времени ПРВ фазовой ошибки при наличии детерминированной помехи имеет двумодальный вид. 6. Подробно исследованы зависимости статистических характеристик системы при наличии на входе гармонической помехи на частоте полезного сигнала. Подобный простейший случай комбинированного воздействия - 112 позволяет объяснить механизм поведения системы для более сложных воздействий. В частности, удается объяснить появление двумодальности при достаточно интенсивных помехах за счет потери устойчивости состояния синхронизма и, соответственно, появления периодических устойчивых движений. 7. С помощью рассчитанной одномерной ПРВ фазовой ошибки получен ряд статистических характеристик работы системы при наличии на входе смеси шума, полезного и паразитного колебания. Рассчитаны и проанализированы среднее значение ошибки, дисперсия, пороговые кривые для различных типов входных воздействий. Для расчета выходного отношения сигнаЦшум использовано выражение, учитывающее шумовую составляющую фазовой ошибки, помеховую составляющую и динамическую составляющую, обусловленную инерционностью СФС. Построены и проанализированы зависимости среднего значения и дисперсии фазовой ошибки от частотной расстройки помехи и ее интенсивности. 8. С помощью разработанной методики расчета двумерной ПРВ фазовой ошибки исследованы квазипериодические режимы систем при наличии на входе на входе шумового воздействия. Подобная ситуация характерна для предельных режимов дискретных СФС, когда в автономном режиме наряду с состоянием квазисинхронизма существует несколько устойчивых циклических движений 1-го и 2-го рода. Исследованы временные зависимости установления ПРВ в зависимости от областей притяжения устойчивых движений, начальных условий и интенсивности шумового воздействия. 9. Выполнен сравнительный анализ результатов расчета ПРВ фазовой ошибки, полученных различными методами: стандартной линеаризации (по Тейлору), статистической линеаризации и результатов решения уравнения КолмогороваЦЧепмена по предложенной автором диссертации методике. Проводилось сравнение с результатами, полученными численным решением исходного стохастического уравнения с последующей статистической обработкой, которые следует рассматривать в качестве эталонных. Анализ подтвердил высокую достоверность результатов, полученных через решение уравнения Колмогорова-Чепмена.
- 113 ГЛАВА 3. Срыв слежения в дискретных СФС в условиях комбинированных воздействий Несмотря на повышенный интерес к задаче о срыве слежения в системах фазовой синхронизации, ее решение следует считать достаточно полным лишь для непрерывных систем 1Цго и 2Цго порядка [17, 31, 39]. В отношении систем дискретного времени утверждать о законченном решении данной задачи, включая разработку методических вопросов, можно только применительно к системам 1Цго порядка [16, 38]. Что касается дискретных систем 2Цго порядка, то задача анализа времени срыва слежения для них далека от своего завершения. Можно привести ряд работ Шахтарина Б.И., в которых рассматриваются некоторые частные случаи, например [17]. В статье [61] автором диссертации делается попытка получить некоторые обобщающие выражения для расчета характеристик времени до срыва слежения и предлагается методика численного решения интегрального уравнения Фредгольма. Выполнен анализ зависимостей среднего и среднеквадратичного отклонения времени до срыва слежения при нулевой частотной расстройке. Более остро стоит проблема анализа статистических характеристик времени до срыва слежения для систем, находящихся в условиях сложных отсутствуют работы, комбинированных воздействий. Практически посвященные данным исследованиям, включая дискретные системы 1Цго порядка. Основную причину этому следует искать в сложности построения уравнений для расчета вероятности срыва и других статистических характеристик явления для случая подвижных поглощающих границ, определяющих срыв. Подобные границы характерны при анализе неавтономным систем, когда входное воздействие представляет собой сигналы с угловой модуляцией или сигналы, в состав которых входят детерминированные помехи. В этом случае эквивалентная входная частота системы является функцией времени и, соответственно, условная плотность вероятности фазовой ошибки также зависит от времени. На основе известных подходов подобные уравнения не удается свести к рекуррентным выражениям, что в конечном итоге приводит к значительным вычислительным трудностям при получении оценок интересующих характеристик. Автором диссертации в статье [62] предложен ряд идей построения уравнения Фредгольма для среднего времени до срыва слежения, в основе которых лежит предположение - 114 о кратности частоты дискретизации кольца и эквивалентной модулирующей частоты входного воздействия. Результаты анализа, полученные при подобном подходе, при определенных допущениях могут быть распространены на случай произвольного соотношения частот. В качестве примера в [62] проанализировано среднее времени до срыва слежения в СФС 1Цго порядка для случая синусоидальной характеристики детектора и входного сигнала с фазовой модуляцией. В настоящей главе автором обобщаются результаты, полученные им в цитируемых работах. Получены общие выражения для расчета статистических характеристик времени до срыва слежения для дискретных СФС 2Цго порядка при постоянном по частоте входном воздействии (случай фиксированных поглощающих границ). При этом учитываются особенности сворачивания условной плотности вероятности на периоде. Также предложена методика и получены интегральные уравнения Фредгольма для расчета статистических характеристик времени до срыва слежения для произвольного изменения эквивалентной частоты входного воздействия (случай подвижных поглощающих границ). Обсуждаются результаты анализа статистических характеристик СФС для различных входных воздействий, полученные с помощью предложенных методик.
3.1. Методика анализа статистических характеристик времени срыва слежения в СФС 2Цго порядка для фиксированных поглощающих границ В качестве оценки среднего времени нахождения системы в состоянии синхронизма можно взять среднее число тактов дискретизации до момента достижения фазовой ошибкой некоторых значений, называемых поглощающими границами [27, 28, 36]. Перед тем, как получить выражения для среднего времени до срыва в дискретных СФС 2Цго порядка, имеет смысл рассмотреть выражения для дискретных СФС 1Цго порядка, решение для которых известно. Стохастическое разностное уравнение дискретной СФС 1Цго порядка для случая гармонического воздействия на входе можно представить следующим образом [27]:
- 115 xk +1 = xk K (sin xk ) + K nk, (3.1.1) где K - полосы удержания системы, - нормированная начальная частотная расстройка, n k - гауссов шум с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 2. Из (3.1.1) легко получить выражение для состояния синхронизма:
x01 = arcsin.
(3.1.2) Под срывом слежения понимают перескок значения фазовой ошибки из окрестности состояния устойчивого равновесия x01 в соседние устойчивые состояния равновесия x01 2 [28]. Таким образом для определения среднего времени до срыва слежения нужно определить среднее время достижения фазовой ошибкой значений x01 2. В литературе [27] можно найти выражения для начальных моментов kЦго порядка времени до срыва слежения. В частности, для первых двух моментов:
x 01 + 2 x 01 m1 ( x0 ) = 1 + m1 ( z )q( z | x0 )dz, m2 ( z )q( z | x0 )dz + 2(m1 ( x0 ) 1), (3.1.3) m2 ( x0 ) = 1 + x 01 + 2 x 01 (3.1.4) где плотность вероятности перехода q( ) можно определить из (3.1.1):
q( x | z ) = 1 2 exp 2 2 [x z + K (sin z )] 2 K 2 2 K 2 (3.1.5) В соответствии с (3.1.3) и (3.1.4) можно определить среднее значение времени до срыва слежения nс и среднеквадратичное отклонение времени до срыва слежения с:
nс ( x0 ) = m1 ( x0 ) (3.1.6) и - 116 с ( x0 ) = m2 ( x0 ) m12 ( x0 ).
(3.1.7) Выражения (3.1.3) и (3.1.4) представляют собой интегральные уравнения Фредгольма 2Цго рода, решить которые можно лишь численным способом. Для численного вычисления (3.1.3) интервал (Ц2, 2) разбивается на N равных частей с дальнейшей заменой операции интегрирования на суммирование, что приводит к системе линейных уравнений NЦго порядка:
m1,i q ( xi | x j ) m1, j = 1, i = N (3.1.8) где = 4 ;
N xk = i 2 + x01;
(3.1.9) m1, k = m1 ( xk ) ;
k = 0.. N 1. Аналогичное приближение можно получить и для (3.1.4): m2,i q ( xi | x j ) m2, j = 1 2m1, j.
i =0 N (3.1.10) Ниже представлен вывод выражений для среднего времени до срыва слежения в дискретных СФС 2Цго порядка. Подход, использованный при выводе, в целом согласуется с процедурой получения соответствующих выражений для дискретных СФС 1Цго порядка [27]. Как и в случая СФС 1Цго порядка, в качестве критерия срыва слежения выбирается условие достижения фазовой ошибкой значения x01 2, где x01 - устойчивое стационарное состояние. Как следует из выражения (2.2.30) перехода к переменных (u1, u2), данное условие равносильно условию достижения тех же границ переменной состояния u2. Вид x01 можно определить из разностного уравнения (2.2.1):
- 117 d x01 = arcsin. K (3.1.11) Пусть d i (u10, u20 ) обозначает вероятность того, что координата u2 изображающей точки, начавшей свое движение из состояния (u10, u20), выйдет за интервал (x01 - 2, x01 + 2 ) на iЦм шаге. Для случая i>1 это событие может произойти только тогда, когда на первом шаге происходит переход из состояния (u10, u20) в (v1, v2), где v2 принадлежит (x01 - 2, x01 + 2 ), а затем за (i - 1) шаг произойдет выход второй координаты точки из указанного интервала. При этом переход в (v1, v2) определяется ПРВ перехода q (v1, v2 | u10, u20 ), а выход v2 за границы интервала определяется вероятностью d i 1 (u10, u20 ). Интегрируя по всем промежуточным состояниям (v1, v2) можно получить искомое выражение для вероятности срыва на iЦм шаге:
di (u10, u20 ) = x01 + 2 q (v1, v2 | u10, u20 )di 1 (v1, v2 )dv2 dv1, x 2 (3.1.12) где q( ) определяется по (2.2.35). Очевидно, что вероятность выхода за интервал на первом шаге можно определить как:
d1 (u10, u20 ) = x01 + 2 q (v, v | u, u )dv dv. x 2 1 2 10 20 2 1 d i (u10, u 20 ) (3.1.13) Следует обратить отметить, что величина описывает вероятность, а не плотность вероятности. Поэтому можно указать следующее условие нормировки, означающее, что в течение бесконечного числа шагов срыв слежения произойдет наверняка:
i = di (u10, u20 ) = 1.
(3.1.14) - 118 Для вычисления начального момента kЦго порядка mk (u10, u20 ) числа шагов до срыва слежения можно использовать следующее выражение: mk (u10, u20 ) = i k di (u10, u20 ), i = (3.1.15) что равносильно mk (u10, u20 ) = d1 (u10, u20 ) + i k d i (u10, u20 ).
i= (3.1.16) Выражение (3.1.16) с учетом (3.1.13) и (3.1.12) приобретает вид: x01 + 2 mk (u10, u20 ) = 1 q (v, v | u, u )dv dv + x 2 1 2 10 20 2 1 01 x01 + 2 k + (i + 1) q (v1, v2 | u10, u20 )di (v1, v2 )dv2 dv1 = i =1 x01 2 x01 + 2 = 1 + q(v1, v2 | u10, u20 ) (i + 1) k di (v1, v2 ) 1dv2 dv1. i =1 x01 (3.1.17) Для уменьшения громоздкости в дальнейших рассуждениях положено k = 1. В то же время можно проделать похожие выкладки для других k, получив соответствующие выражения. Слагаемое со знаком суммы с учетом (3.1.15) и (3.1.14) приобретает вид:
(i + 1)di (v1, v2 ) = i di (v1, v2 ) + di (v1, v2 ) = m1 (v1, v2 ) + 1.
i =1 i =1 i = (3.1.18) Подставив (3.1.18) в (3.1.17) при k = 1, получаем m1 (u10, u20 ) = 1 + x01 + 2 q (v1, v2 | u10, u20 )m1 (v1, v2 )dv2 dv1. x 2 (3.1.19) - 119 Сравнивая выражение (3.1.19) для среднего значения времени до срыва слежения в дискретных СФС 2Цго порядка с аналогичным выражением (3.1.3) для дискретных СФС 1Цго порядка, можно отметить схожесть данных выражений. В выражении (3.1.19) можно исключить одну из операций интегрирования, воспользовавшись выражением (2.2.35) для явного вида q( ). При этом после интегрирования по v1 можно получить следующее:
x 01 + 2 x 01 m1 (u10, u20 ) = 1 + d 1 Q (v2 | u10, u20 ) m1 ( u1 u2 + , v2 )dv2, (3.1.20) где Q (v2 | u1, u 2 ) = 1 2 c 2 2 (3.1.21) d ( d )( 1) d u1 (1 + d )u 2 + K sin u 2 d v 2. exp 22 2c Чтобы получить выражение для второго статистического начального момента времени до срыва слежения в виде уравнения Фредгольма, необходимо в (3.1.17) положить k = 2. С учетом этого слагаемое со знаком суммы из (3.1.17) приобретает вид:
(i + 1) i = d i (v1, v2 ) = i d i (v1, v2 ) + 2 i d i (v1, v2 ) + 2 i =1 i = + d i (v1, v2 ) = m2 (v1, v2 ) + 2m1 (v1, v2 ) + 1.
i = (3.1.22) После подстановки (3.1.22) в выражение (3.1.17) получаем выражение - 120 m2 (u10, u 20 ) = 1 + x01 + 2 q (v, v | u, u )m (v, v )dv dv + x 2 1 2 10 20 2 1 2 2 1 01 x01 +2 q (v, v | u, u )m (v, v )dv dv, x 2 1 2 10 20 1 1 2 2 1 + (3.1.23) которое с учетом (3.1.19) принимает окончательный вид x01 + 2 m2 (u10, u 20 ) = 1 + q(v1, v2 | u10, u 20 )m2 (v1, v2 )dv2 dv1 + x01 2 + 2(m1 (u10, u 20 ) 1).
(3.1.24) Применяя во внимание явный вид условной ПРВ q( ), по аналогии с выражением для момента первого порядка можно исключить из (3.1.24) одну операцию интегрирования x01 + 2 x01 m2 (u10, u 20 ) = 1 + d 1 Q (v2 | u10, u 20 )m2 ( u1 u 2 + , v2 )dv2 + (3.1.25) + 2(m1 (u10, u 20 ) 1), где Q( ) вычисляется согласно (3.1.21). Для вычисления среднеквадратичного воспользоваться выражением отклонения можно с (u10, u 20 ) = m2 (u10, u 20 ) m12 (u10, u 20 ).
(3.1.26) Как и для случая с дискретными СФС 1Цго порядка, выражение (3.1.20) для среднего времени до срыва слежения, представляющее собой интегральное уравнение Фредгольма, можно попытаться решать численным способом. Для этого по координате u1 производится разбиение на N1 интервалов, по координате u2 производится разбиение на N2 интервалов. Необходимо отметить, что интервал изменения u2 имеет пределы x01 2. В то же время по u1 пределы изменения в (3.1.20) не ограничены. Для реальных вычислений приходится - 121 выбирать конечные пределы для u1, причем для хорошей точности результата необходимо выбирать достаточно протяженные пределы изменения u1 и, соответственно, большее число разбиений N1. После соответствующих преобразований возникает система линейных уравнений порядка N1N2:
N 2 1 m= m1,c(i, j ),m Q(u2, m | u1,i, u2, j ) m1,i, j = 1, (3.1.27) где 1 = 4 u1 max u1 min ;
2 = ;
N1 N2 (3.1.28) u1,i = i u1 min ;
u2, j = j 2 + x01;
m1,i, j = m1 (u1,i, u2, j );
i = 0.. N1 1 ;
j = 0.. N 2 1, функция c(i, j) возвращает индекс, который соответствует первой координате со значением, определяемым выражением d 1 u1,i u 2, j + .
Для вычисления моментов времени до срыва слежения можно также использовать другой подход, основанный на итерационном вычислении d i (u10, u20 ) по (3.1.12) с последующим определением момента нужного порядка по (3.1.15). После подстановки явного вида q( ) в (3.1.12) имеем:
x 01 + 2 x 01 d i (u10, u20 ) = d 1 Q (v2 | u10, u20 ) d i 1 ( u1 u2 + , v2 )dv2, (3.1.29) где Q( ) определяется по (3.1.21). В качестве критерия окончания счета выбирается условие (3.1.14). При этом процесс вычислений считается завершенным, если:
i = d i (u10, u 20 ) 1, (3.1.30) - 122 где - достаточно малая величина.
3.2. Методика анализа временных параметров срыва слежения в условиях нестационарных границ Когда на входе СФС присутствует детерминированная помеха, или если полезное колебание модулировано, задача определения среднего времени до срыва слежения резко усложняется. Связано это с тем, что условная ПРВ фазовой ошибки в данных условиях является нестационарной величиной. Кроме того, в установившемся режиме отсчеты фазовой ошибки изменяются во времени, а значит границы, достижение которых можно рассматривать как срыв слежения, уже не являются фиксированными.
xk 2 x+ xk x x+(k) x01(k) - - x - xЦ(k) Ц2 - Ц2 Ц3 0 5 10 k k а) б) Рис. 3.1. Границы области изменения фазовой ошибки, достижение которых определяет срыв слежения, при наличии на входе а) гармонического сигнала;
б) ФМЦсигнала В качестве критерия срыва изображающей точки из интервала Rk = ( x01(k) - 2, x01(k) + 2 ), слежения рассматривается выход (3.2.1) - 123 где x01(k) - отсчеты фазовой ошибки в установившемся режиме при отсутствии шума. Нижняя граница xЦ(k) интервала (3.2.1) соответствует установившемуся состоянию фазовой ошибки в kЦый момент времени на предыдущем периоде фазового пространства, а верхняя граница x+(k) интервала (3.2.1) - на следующем периоде. Таким образом предлагаемый критерий срыва слежения является обобщением критерия, используемого при анализе среднего времени до срыва слежения в дискретных СФС при гармоническом воздействии на входе. На рис. 3.1 представлена типичная диаграмма работы дискретной СФС в отсутствии шума. Рис. 3.1а построен для случая наличия на входе гармонического сигнала с некоторой начальной частотной расстройкой. Рисунок демонстрирует стационарность установившейся фазовой ошибки и поглощающих границ x. Рис. 3.1б построен для случая наличия ФМЦколебания на входе. На рисунке показаны верхняя и нижняя границы интервала (3.2.1), которые являются нестационарными. Полагается, что в системе происходит срыв слежения, если под воздействием шума состояние системы оказывается в заштрихованной области. Уравнение дискретной СФС 1Цго порядка при наличии на входе полезного модулированного колебания единичной амплитуды, шума и детерминированной помехи можно получить из выражений, приведенных в главе, посвященной математическим моделям:
xk +1 = xk + с (k + 1) с (k ) K (sin xk + nk + + Ai sin( xk + i k + i (k ) с (k )).
i (3.2.2) Для случая ФМЦколебания и отсутствия детерминированной помехи:
xk +1 = xk + м sin( м [k + 1] + м ) м sin( м k + м ) K (sin xk ) Knk, (3.2.3) где K - полоса удержания, - нормированная частотная расстройка, м, м, м - индекс, частота и начальная фаза модуляции, nk - гауссовы шумовые отсчеты с дисперсией 2.
- 124 Для определения статистических моментов mh времени до срыва слежения, включая среднее значение, следует найти вероятности срыва слежения dk(x0) на kЦх шагах работы системы при начальном условии x0. Затем, используя mh ( x0 ) = i h d i ( x0 ), i = (3.2.4) можно определить любой начальный момент hЦго порядка. Для определения вероятности срыва удобнее решать обратную задачу, а именно определять вероятность отсутствия срыва слежения. При этом под отсутствием срыва на kЦом шаге будем понимать отсутствие срыва на каждом шаге до kЦго включительно.
z1 z z x0 Х R1 R R R Рис. 3.2. Определение вероятности отсутствия срыва слежения на kЦом шаге Вероятность отсутствия срыва слежения на первом шаге p1(x0), если начальное состояние системы x0, можно определить как вероятность того, что система на первом шаге будет находиться в интервале R1 (см. рис. 3.2): p1 ( x0 ) = q0 ( z1 | x0 )dz1, R (3.2.5) где qk(z | x0) - ПРВ перехода фазовой ошибки из состояния x0 в состояние z, которую для случая комбинированного входного воздействия можно определить из (3.2.3):
- 125 qk ( z | x0 ) = 1 2 K 2 exp{ 1 [z x0 с (k + 1) + с (k ) + 2 K 2 + K sin x0 + Ai sin( xk + i k + i (k ) с (k )) i (3.2.6) ] }, а для случая полезного ФМЦсигнала, белого гауссова шума и отсутствия детерминированной помехи из (3.2.3):
q k ( z | x0 ) = 1 2 K 2 2 exp{ 1 [z x 0 2 K 2 (3.2.7) м sin( м [k + 1] + м ) + м sin( м k + м ) + K {sin x0 } ] 2 }.
Легко видеть, что вероятность срыва слежения на первом шаге определяется как: d1 ( x0 ) = 1 p1 ( x0 ) = 1 q0 ( z1 | x0 )dz1.
R (3.2.8) Отсутствие срыва слежения на втором шаге означает, что система на первом шаге оказалась в интервале R1, а на втором - в интервале R2. Данная последовательность переходов схематично изображена на рис. 3.2. Таким образом вероятность этого события можно записать в виде:
p2 ( x0 ) = q1 ( z2 | z1 )dz2 q0 ( z1 | x0 )dz1. R1 R (3.2.9) Вероятность срыва на втором шаге можно определить как разницу вероятности отсутствия срыва на первом шаге и вероятности отсутствия срыва на втором шаге:
d 2 ( x0 ) = p1 ( x0 ) p 2 ( x0 ).
(3.2.10) - 126 Легко обобщить рассуждения и для произвольного номера шага: pk ( x0 ) =... qk 1 ( z k | z k 1 )dz k... q1 ( z 2 | z1 )dz 2 q0 ( z1 | x0 )dz1 R R1 R2 k и d k ( x0 ) = pk 1 ( x0 ) pk ( x0 ).
(3.2.11) (3.2.12) Можно заметить, что изЦза нестационарности условной ПРВ q( ), а также нестационарности пределов интегрирования выражение (3.2.11) не удается записать в итерационном виде, выразив pk через pkЦ1. Поэтому для вычисления вероятности срыва на kЦм шаге требуется вычислять kЦмерный интеграл, что делает это выражение непригодным для практического использования для вычисления среднего значения времени до срыва слежения по (3.2.4). Задачу удается решить для частного случая, когда отношение 2 и нормированной частоты модуляции полезного колебания представляется рациональной дробью, кроме того аналогичному условию должны подчиняться нормированные частотные расстройки и частоты модуляции отдельных составляющих детерминированной помехи. При выполнении данного ограничения выражения для условных ПРВ (3.2.6) или (3.2.7), а также границы интервала (3.2.1), определяемые с помощью (3.2.2) или (3.2.3) при отсутствии шума, носят периодический характер. При этом период повторения один и тот же. Описанное свойство позволяет преобразовать (3.2.11) к рекуррентному виду pk ( x0 ) = F ( pk 1 ( x0 )). Как было сказано выше, периодичность во времени условной вероятности и положения поглощающих границ имеет место, когда отношения 2 к нормированной частоте модуляции полезного сигнала, нормированной частоте модуляции и частотным расстройкам составляющих детерминированной помехи, являются рациональными дробями. Например, пусть м = mм m, где м - несократимая дробь. В случае отсутствия помехи nм nм 2 = m1, то общий период будет определяться n период повторения равняется L = mм. Если дополнительно присутствует гармоническая помеха, причем - 127 наименьшим общим кратным чисел mм и m1. Если присутствуют другие составляющие помехи, а также если имеет место модуляция составляющих помехи, то период повторения будет определяется выражением L = НОК (m м, m1,..., m м1 ), где НОК( ) - операция вычисления наименьшего общего кратного, mм - числитель несократимой дроби м, mi - числители несократимых дробей i, mм i - числители несократимых дробей м i.
Перед тем, как получить выражения для произвольной длины периода L входного воздействия, можно продемонстрировать процедуру вывода на примере L = 2. При этом (3.2.11) для k = 4 запишется как q ( z | z )dz q ( z | z )dz q ( z | z )dz p 4 ( x0 ) = 1 4 3 4 0 3 2 3 1 2 1 2 R1 R2 R1 R2 q0 ( z1 | x0 )dz1.
С учетом (3.2.9) выражение (3.2.13) можно переписать как p 4 ( x0 ) = (3.2.13) R1 R p2 ( z2 )q1 ( z2 | z1 )dz2 q0 ( z1 | x0 )dz1.
(3.2.14) Аналогично можно получить выражения для произвольных отчетов времени: p2( k +1) ( x0 ) = R1 R p2k ( z2 )q1 ( z2 | z1 )dz2 q0 ( z1 | x0 )dz (3.2.15) Вероятность срыва слежения на kЦм периоде входного воздействия d 2 k ( x0 ) = p2( k 1) ( x0 ) p2 k ( x0 ), (3.2.16) - 128 при этом d2k(x0) определяет вероятность того, что срыв слежения произошел на 2kЦм или (2kЦ1)Цм шаге. Очевидно, что d2(x0) определяется как d 2 ( x0 ) = R1 R q1 ( z2 | z1 )dz2 q0 ( z1 | x0 )dz1.
(3.2.17) Так как в решаемой задаче основной интерес представляет не сколько вероятность события оставаться в режиме слежения, сколько вероятность события срыва слежения, имеет смысл выражение (3.2.15) переписать в терминах d2k(x0). Для этого, используя (3.2.16), можно получить: d 2( k +1) ( x0 ) = p2 k ( x0 ) p2( k +1) ( x0 ). Выражение (3.2.18) с учетом (3.2.15) принимает вид: d 2( k +1) ( x0 ) = (3.2.18) R1 R p2(k 1) ( z 2 )q1 ( z 2 | z1 )dz 2 q0 ( z1 | x0 )dz R1 R p2k ( z 2 )q1 ( z 2 | z1 )dz 2 q0 ( z1 | x0 )dz1.
(3.2.19) Выразив p2k(z2) из (3.2.16) и подставив в (3.2.19), окончательно имеем: d 2( k +1) ( x0 ) = R1 R d 2k ( z2 )q1 ( z2 | z1 )dz2 q0 ( z1 | x0 )dz1.
(3.2.20) Выражение для статистических моментов времени до срыва слежения выглядит следующим образом: mh, 2 ( x0 ) = (2i ) h d 2i ( x0 ).
i = (3.2.21) Можно заметить, что в выражении (3.2.21) вероятность события срыва слежения на 2iЦм или (2i+1)Цм шагах рассматривается как вероятность срыва на - 129 2iЦм шаге. Данный факт не приводит к большой погрешности, если период (в данном случае 2) много меньше среднего времени до срыва. В дальнейших рассуждениях основное внимание будет уделяться среднему значению времени до срыва, поэтому в (3.2.21) будет положено h = 1. В то же время при необходимости можно провести выкладки, аналогичные нижеследующим, и получить выражения для статистических моментов более высокого порядка, например, для дисперсии времени до срыва. Используя (3.2.20), можно переписать (3.2.21) в виде (с учетом h = 1):
m2 ( x0 ) = 2d 2 ( x0 ) + 2(i + 1)d 2(i +1) ( x0 ) = i = = 2d 2 ( x0 ) + R1 R q1 ( z2 | z1 ) q0 ( z1 | x0 ) 2(i + 1)d 2 k ( z2 )dz2 dz1.
i = (3.2.22) Проведя суммирование, можно получить 2(i + 1)d 2k ( z2 ) = 2id 2k ( z2 ) + 2 d 2k ( z2 ) = m2 ( z2 ) + 2.
i =1 i =1 i = (3.2.23) После подстановки (3.2.23) в (3.2.22) и замены d2(x0) согласно (3.2.17): m2 ( x0 ) = 2 2 q1 ( z 2 | z1 )dz 2 q0 ( z1 | x0 )dz1 + R1 R + R1 R (2 + m2 ( z2 ) ) q1 ( z2 | z1 ) q0 ( z1 | x0 )dz 2 dz1.
(3.2.24) После несложных преобразований (3.2.24) приводится к окончательному виду: m2 ( x0 ) = 2 + R1 R m2 ( z2 ) q1 ( z2 | z1 ) q0 ( z1 | x0 )dz2dz1.
(3.2.25) Выражение (3.2.25) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма. Оно позволяет определить среднее время до срыва слежения в - 130 дискретной СФС 1Цго порядка при наличии на входе полезного модулированного сигнала и детерминированной помехи, период которых равен 2. Выражения для среднего времени до срыва для произвольного периода L у входного воздействия можно получить, проделав выкладки, аналогичные (3.2.13)Ц(3.2.25). Таким образом выражение для вероятности отсутствия срыва на (Lk)Цом шаге pL ( k +1) ( x0 ) =... pLk ( z L )qL 1 ( z L | z L 1 )dz L... q0 ( z1 | x0 )dz1, R1 RL (3.2.26) выражение для вероятности срыва слежения на kЦм периоде, что подразумевает вероятность срыва на (Lk)Цм, (LkЦ1)Цм, Е, (L(kЦ1)+1)Цм шагах выглядит как: d Lk ( x0 ) = pL ( k 1) ( x0 ) pLk ( x0 ). (3.2.27) Вероятность срыва на первом периоде входного воздействия, т.е. значение dL(x0) можно определить как d L ( x0 ) = 1... q1 ( z L | z L 1 )dz L... q0 ( z1 | x0 )dz1.
R1 RL (3.2.28) Итерационная формула, позволяющая вычислить вероятность срыва на (k+1)Цм периоде входного воздействия через вероятность срыва на kЦм периоде, имеет вид d L ( k +1) ( x0 ) =... d Lk ( z L )qL 1 ( z L | z L 1 )dz L... q0 ( z1 | x0 )dz1.
R1 RL (3.2.29) Выражение для статистических моментов hЦго порядка времени до срыва слежения: mh, L ( x0 ) = ( Li ) h d Li ( x0 ).
i = (3.2.30) - 131 Выражение для среднего времени до срыва слежения, представленное в виде интегрального уравнения Фредгольма, выглядит следующим образом m L ( x 0 ) = L +... m L ( z L ) q L 1 ( z L | z L 1 )... q 0 ( z1 | x 0 )dz L...dz1.
R1 RL (3.2.31) Выражение (3.2.31) является уравнением относительно неизвестной функции mL(x0), решение которого позволяет получить зависимость среднего значения времени до срыва слежения от начального фазового рассогласования. В то же время аналитическое решение (3.2.31) вряд ли возможно. Для численного вычисления (3.2.31) предлагается следующий способ. Каждый из интервалов Ru, длина которых одинакова и равна 4, разбивается на N частей, операции интегрирования заменяются суммированием, после чего возникает система линейных уравнений NЦго порядка: M m = V, (3.2.32) где M - матрица размером NN, m - вектор значений среднего времени до срыва, VЦвектор свободных значений. Вектора имеют размер N. Для удобства дальнейших рассуждений можно ввести следующие обозначения:
= zu,i 4, N = xu + i, (3.2.33) mi = m( z L,i ), где xu - нижняя граница интервала Ru. Рассмотрим несколько частных случаев. Для L = 2 имеем:
mn = 2 + 2 m j q1 ( z2, j | z1,i ) q0 ( z1,i | z 2, n ), i j (3.2.34) - 132 откуда можно легко получить матрицу и вектор свободных значений для (3.2.32):
M v,u = 2 q1 ( z2,u | z1,i )q0 ( z1,i | z2, v ) (u, v);
i Vi = 2, (3.2.35) где (u,v) - символ Кронекера. Для случая L = 3 стоящие в (3.2.32) величины приобретают вид:
M v,u = 3 q2 ( z3,u | z2, j )q1 ( z2, j | z1,i )q0 ( z1,i | z3, v ) (u, v);
i j (3.2.36) Vi = 3.
Нетрудно получить похожие выражения и для других периодов входного воздействия.
n c, c K = 0, n c, c c = 0, nc c nc 0, 1 Ц2 - x - - x а) б) - 133 n c, c n c, c = = c nc 0, c 0, 0, nc 0, 1 Ц2 - x 0 -x - - x 0 -x в) г) Рис. 3.3. Среднее значение и среднеквадратичное отклонение времени до срыва слежения в дискретной СФС 1Цго порядка а) = 0;
= 1;
б) = 0;
K = 1;
в) K = 1;
= 1;
г) K=0,5;
= 3.3. Обсуждение результатов анализа временных характеристик 3.3.1. Срыв слежения при действии на входе сигнала постоянной частоты На рис. 3.3 представлены зависимости nc и с для различных параметров системы и входного воздействия, построенные согласно (3.1.8)Ц(3.1.10) при N = 100. Анализ этих зависимостей позволяет указать на следующие закономерности. Общей и заметной особенностью всех графиков является пороговый характер зависимости времени до срыва от начальной разности фаз. При этом в случае отсутствия частотной расстройки время до срыва максимально и примерно одинаково для начальных фазовых рассогласований из диапазона примерно (Ц, ). Как только начальная разность фаз приближается к указанному диапазону или не попадает в него, наблюдается резкое уменьшение среднего времени слежения. В случае наличия расстройки - 134 по частоте, как на рис. 3.3в, 3.3г, наблюдается несимметричность зависимости от разницы фаз x0 - x01, хотя также существует диапазон изменения этой разницы в пределах примерно 2, где время до срыва максимально и постоянно, а за которым резко уменьшается. Описанные особенности легко объяснить с позиции динамики детерминированной системы. Например, в случае отсутствия расстройки, все фазовые траектории, начавшие свое движение из диапазона (Ц, ), будут направлены к устойчивому состоянию равновесия x01. В то же время траектории, не попадающие в этот диапазон, будут направлены к соседним устойчивым состояниям равновесия. Изучая рис. 3.3, можно также отметить пропорциональный рост среднеквадратичного отклонения времени до срыва слежения с ростом среднего значения времени до срыва. Данный факт означает, что на практике время слежения будет заметно отличаться в различных реализациях событий срыва слежения. Дальнейший анализ рис. 3.3 позволяет указать на ряд зависимостей времени до срыва слежения от параметров системы и входного воздействия. Как следует из рис. 3.3а, время до срыва слежения увеличивается с уменьшением полосы удержания системы, что объясняется уменьшением шумовой полосы системы и, следовательно, меньшей интенсивности шума внутри кольца. Из физических соображений легко предположить, что при увеличении дисперсии шума на входе наблюдается снижение среднего времени до срыва слежения, что подтверждается рис. 3.3б. Наличие начальной частотной расстройки приводит к заметному снижению среднего времени нахождения системы в синхронизме. Данный факт можно объяснить тем, что при увеличении частотной расстройки устойчивая стационарная точка системы приближается к неустойчивой, что создает более благоприятные условия для перехода системы из состояния синхронизма в точку, расположенную по другую сторону от неустойчивой точки, откуда движения направлены преимущественно в сторону соседнего состояния синхронизма. На рис. 3.4 и 3.5 приведены зависимости среднего значения и среднеквадратичного отклонения времени до срыва слежения в дискретных СФС 2Цго порядка. Для расчетов выбрана область (u1, u2), где Ц1,5T1 - 136 n c, c n c, c 2 = 0, K = 0, c nc c 0, nc 0, 0, 1 Ц2 - u - - u а) n c, c б) n c, c = 1, 1, c nc d = 0, c nc 0, 1 Ц2 - u - - u в) г) Рис. 3.4. Среднее значение и среднеквадратичное отклонения времени до срыва слежения в дискретной СФС 2Цго порядка при = 0 а) K = 1; = 2; d = 1; в) K = 1; d = 1; 2 = 0,25; б) = 2; d = 1; 2 = 0,25; г) K=1; = 2; 2 = 0, - 137 n c, c = 0, c nc 0, 0, 0 Ц2 - u 20 -x Рис. 3.5. Среднее значение и среднеквадратичное отклонения времени до срыва слежения в дискретной СФС 2Цго порядка при K = 1; = 2; d = 0,8; 2 = 0,25 Рис. 3.5 демонстрирует зависимость среднего значения времени до срыва слежения от начальной частотной расстройки. Представлен случай, соответствующий наличию дискретного ПИФ в цепи управления. Очевидно, что в случае астатического фильтра зависимость от частотной расстройки отсутствует. Анализ рис. 3.5 указывает уменьшение времени до срыва с ростом частотной расстройки, что имело место и для СФС 1Цго порядка. - 138 3.3.2. Срыв слежения при действии на входе ФМЦколебания На рис. 3.6Ц3.10 представлены зависимости среднего времени до срыва слежения для случая ФМЦколебания на входе. Графики построены через решение (3.2.32), при этом количество разбиений выбиралось в пределах 50 - 100. Анализ полученных зависимостей позволяет получить ряд закономерностей. На рис. 3.6Ц3.8 представлены зависимости nс(x0) среднего времени до срыва слежения от начального фазового рассогласования для различных частот модуляции. Можно отметить, что представленные зависимости изменяются во времени, что обусловлено нестационарной условной вероятностью фазовой ошибки. Изменения во времени преимущественно проявляют себя в смещении соответствующего графика вдоль x0 вслед за средними значениями фазовой ошибки. Данное явление можно объяснить следующим. Очевидно, что средние значения времени до срыва, рассчитанные в kЦый и (k+1)Цый моменты времени в точках x01(k) и x01(k+1), могут отличаться друг от друга лишь на единицу, что много меньше среднего времени до срыва и поэтому незаметно. Аналогичное утверждение можно сделать и для других пар точек xk и xk+1, расположенных в окрестности x01(k) и x01(k+1). Неидентичность формы графиков в различные моменты времени обусловлена нелинейностью характеристики фазового детектора. Зависимость среднего времени срыва от начального фазового рассогласования носит пороговый характер, при этом наиболее надежное слежение имеет место тогда, когда начальные условия выбираются в окрестности установившегося состояния. Усредненные по времени зависимости для различных параметров системы и входного воздействия приводятся на рис. 3.9Ц3.10. Можно отметить тот факт, что за счет дополнительного усреднения пороговый характер зависимостей от x0 сглаживается. На рис. 3.9а и 3.10а демонстрируется зависимость среднего времени до срыва от интенсивности входного шума. Как и следовало ожидать, с уменьшением дисперсии шума время слежения резко увеличивается. Время слежения также увеличивается при уменьшении полосы удержания системы, что подтверждается рис. 3.9б и 3.10б. Таким образом зависимости среднего времени до срыва от мощности входного шума и параметров системы качественно повторяют зависимости, полученные при исследовании времени до срыва для случая гармонического сигнала. - 139 nc nc 75 2 k = 50 2 k = 0 Ц3 - 0 - x - - - x а) nc б) nc k = 2 k = 2 0 Ц3 - 0 - x - - - x в) г) Рис. 3.6. Среднее значение числа шагов до срыва слежения в различные моменты времени для случая ФМЦсигнала при м = /2; = 0; м = а) K = 1; м = 1; = 1; в) K = 0,7; м = 1; = 1; б) K = 1; м = 0,5; = 1; г) K = 1; м = 1; = 0, - 140 nc nc k= k=1 50 3 2 0 Ц3 Ц2 - x - - - x а) nc nc k=1 400 400 3 300 k=1 б) 200 2 100 0 Ц3 Ц2 - x - - - x в) г) Рис. 3.7. Среднее значение числа шагов до срыва слежения в различные моменты времени для случая ФМЦсигнала при м = 3 /4; = 0; м = 2 /3 а) K = 1; м = 1; = 1; в) K = 0,7; м = 1; = 1; б) K = 1; м = 0,5; = 1; г) K = 1; м = 1; = 0, - 141 nc nc 100 4 4 k=1 50 3 2 3 2 k= 0 Ц3 Ц2 - x - - - x а) nc nc б) 400 4 k= 300 4 k=1 200 3 100 200 3 100 0 Ц3 Ц2 - x - - - x в) г) Рис. 3.8. Среднее значение числа шагов до срыва слежения в различные моменты времени для случая ФМЦсигнала при м = /2; = 0; м = /2 а) K = 1; м = 1; = 1; в) K = 0,7; м = 1; = 1; б) K = 1; м = 0,5; = 1; г) K = 1; м = 1; = 0, - 142 nc 107 106 105 1000 0, nc = 0, K = 0, 0,7 0, 1 Ц3 - - x - - - x а) nc б) м = 0, 1 0 Ц3 Ц2 - x в) Рис. 3.9. Среднее значение числа шагов до срыва, усредненное по времени, для случая ФМЦсигнала при м = /2; = 0; м = а) K = 1; м = 1; б) м = 1; = 1; в) K = 1; = - 143 nc nc 10 10 = 0, K = 0, 1000 0, 0, 1 Ц3 - - x - - - x а) nc б) м = 0, 0 Ц3 - - x в) Рис. 3.10. Среднее значение числа шагов до срыва, усредненное по времени, для случая ФМЦсигнала при м = /2; = 0; м = /2 а) K = 1; м = 1; б) м = 1; = 1; в) K = 1; = 1 На рис. 3.9в и 3.10в представлена зависимость от индекса модуляции. Можно видеть, что с уменьшением м наблюдается ухудшение надежности слежения. Сопоставив рис. 3.9 и 3.10, можно отметить заметное уменьшение времени до срыва слежения с ростом частоты модуляции. - 144 nc nc k =1 k = 30 0 Ц3 - 0 - x - - - x а) б) Рис. 3.11. Среднее значение числа шагов до срыва для случая гармонической помехи при = 1; = 0; 1 = /2; A1 = 0,5; K = 1 а) 1 = ; nc б) 1 = / nc 2 k = k =1 0 Ц3 - 0 - x - - - x а) б) Рис. 3.12. Среднее значение числа шагов до срыва для случая гармонической помехи при = 1; = 0; 1 = /2; A1 = 0,5; K = 0,5 а) 1 = ; б) 1 = / - 145 nc nc A1 = A1 = 0, 0, 0 Ц3 - - x - - - x а) б) Рис. 3.13. Среднее значение числа шагов до срыва, усредненное по времени, для случая гармонической помехи при = 1; = 0; 1 = ; 1 = /2 а) K = 1; nc nc 1 = 120 2 / б) K = 0, 1 = 2 / / / 0 Ц3 - - x - - - x а) б) Рис. 3.14. Среднее значение числа шагов до срыва, усредненное по времени, для случая гармонической помехи при = 1; = 0; A1 = 0,5; 1 = /2 а) K = 1; б) K = 0, - 146 3.3.3. Срыв слежения в условиях действия детерминированной помехи На рис. 3.11Ц3.14 представлены зависимости среднего времени до срыва слежения для случая суммы полезного гармонического сигнала и гармонической помехи на входе системы. Из рис. 3.11 и 3.12 видно, что как и в случае ФМЦколебания среднее время до срыва нестационарно, что приводит к необходимости дополнительного усреднения для всех отсчетов времени. Также имеет место пороговый характер зависимостей при изменении x0. Кривые, построенные для различных моментов времени, подобны и смещены относительно друг друга. Усредненные по времени результаты приведены на рис. 3.13 и 3.14. Анализ представленных зависимостей указывает на уменьшении среднего времени до срыва с увеличением мощности помехи, причем, как видно из рис. 3.13, увеличение мощности помехи сказывается сильнее на узкополосной СФС. Из рис. 3.14 можно увидеть закономерность изменения среднего времени до срыва слежения от частотной расстройки помехи. Для широкополосной системы (рис. 3.14а) изменение расстройки помехи практически не оказывает влияния на время слежения. С другой стороны влияние частотной расстройки помехи на узкополосную СФС (рис. 3.14б) выражено явно. При этом уменьшение частоты помехи приводит к ухудшению надежности слежения, что объясняется приближением помехи к полосе пропускания системы. - 147 3.4. Выводы 1. В главе предложена методика построения интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода для расчета статистических моментов времени до срыва слежения в дискретной СФС 2-го порядка в случае фиксированных границ. Методика основывается на рекуррентном выражении для вероятности срыва слежения на заданном шаге, учитывающем описанные в предыдущей главе замену переменных и инвариантность движений в фазовом пространстве. 2. С помощью разработанной методики построены и проанализированы зависимости среднего времени до срыва слежения в дискретных СФС 2Цго порядка для различных параметров системы и входного воздействия. В частности, с уменьшением шумовой полосы системы наблюдается рост среднего времени; качественно подобный результат получается и с уменьшением интенсивности шумового воздействия. Для сравнения построены аналогичные зависимости для дискретных СФС 1Цго порядка. Для этого использованы известные выражения в виде интегральных уравнений Фредгольма. 3. Предложена методика построения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода для нестационарной плотности вероятности перехода и подвижных поглощающих границ, относительно которых рассматривается срыв слежения. Подобная ситуация характерна для изменяющейся во времени частоты входного воздействия. Особенности задачи не позволяют использовать известные подходы. Предложенная методика основывается на предположении кратности периода изменения входной частоты и интервала дискретизации n T0, где n, m - целые числа. Для этого случая получены m рекуррентное выражение для вероятности срыва и интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода для моментов времени. 4. С помощью модифицированных уравнений получены и проанализированы зависимости среднего времени до срыва слежения для случая воздействия сигнала с угловой модуляцией при отсутствии детерминированной помехи от различных параметров системы и входного сигнала, в частности, от параметров модуляции. Рост интенсивности шумового воздействия и шумовой полосы приводит к уменьшению среднего времени. К системы T = вх - 148 такому же эффекту приводит увеличение величины девиации фазы, либо частоты, и частоты модуляции. 5. Получены и проанализированы зависимости среднего времени до срыва слежения при наличии на входе гармонической помехи. Влияние помехи сводится к следующему. С ростом интенсивности помехи уменьшается время до срыва. С ростом частотной расстройки помехи относительно полезного сигнала при малой шумовой полосе наблюдается резкое увеличение среднего времени, при большой шумовой полосе влияние практически отсутствует. - 149 ГЛАВА 4. Экспериментальные исследования статистических характеристик дискретных СФС при комбинированных воздействиях 4.1. Постановка задачи С целью проверки основных результатов теоретических исследований, полученных в предыдущих главах диссертационной работы, и уточнений ряда результатов, вызванных учетом допущений, сделанных при выводе математических моделей исследованных типов СФС, разработан и реализован аппаратноЦпрограммный комплекс (АПК). В состав комплекса входит персональный компьютер (ПК) со специальным двухканальным устройством вводаЦвывода информации, модуль цифровой СФС на основе цифрового сигнального процессора ADSPЦ2181 (ЦСП), узел сопряжения компьютера с цифровым модулем. АПК позволяет реализовать следующие режимы: 1. Реализация компьютерной модели заданной структуры СФС на основе моделирующих алгоритмов отдельных узлов и связей между узлами. При этом модель может функционировать как в реальном времени, в этом случае входные сигналы через двухканальную плату вводаЦвывода поступают от внешнего источника, так и в "модельном" времени, в этом случае в качестве источника внешнего сигнала выступает сам компьютер. В компьютерную модель заложены функции различных измерительных приборов: многоканальных осциллографов, анализаторов спектра, измерителей статистических характеристик. Это позволяет эффективно контролировать прохождение сигналов в любой точке схемы. 2. Реализация различных типов систем фазовой синхронизации на основе сигнального процессора ADSP 2181 с возможностью квадратурного аналого - цифрового преобразования входного сигнала, с организацией последовательного и параллельного каналов передачи информации между ЦСП и ПК. Подобный режим позволяет использовать контрольноЦизмерительные модули, заложенные в ПК, для контроля и управления прохождением сигналов в цифровом модуле. - 150 3. Режим совместного функционирования цифрового модуля ЦСП и контрольноЦизмерительного блока ПК. Режим предполагает некоторую оптимизацию программного обеспечения ЦСП и контрольноЦизмерительного блока ПК. В соответствии с производительностью ЦСП и назначением реализуемой СФС процессор может выполнять часть контрольных функций. К числу их относятся, например, измерение средних значений и дисперсии фазовой ошибки, измерение одномерных плотностей вероятности фазовой ошибки и частотного рассогласования. Данная информация по мере накопления по информационному каналу передается в ПК, где проходит дополнительную обработку с целью получения интегральных оценок о работе системы. В свою очередь, полученные оценки могут быть использованы для управления работой модулем. Информация по разработке АПК, в том числе по исследованию с его помощью реализованных цифровых СФС и синхронноЦфазовых демодуляторов на основе ЦСП ADSPЦ2181 частично опубликована автором диссертации в работах [74, 75]. В данной главе приводятся обобщающие результаты по разработке АПК и выполненных с его помощью экспериментальных исследований. 4.2. Компьютерное моделирование СФС с квадратурным аналого - цифровым преобразованием на входе 4.2.1. Структурная схема исследуемой СФС В данном разделе выполняется компьютерное моделирование цифровой СФС с квадратурным преобразованием входного сигнала [8], рассматриваемая ранее в главе 1. Моделирование выполнялось на программном пакете Цифровые системы, разработанном автором диссертации. Фрагмент программы с загруженной исследуемой схемой цифровой СФС 2Цго порядка с квадратурным преобразованием на входе приведен на рис. 4.1. Данный программный пакет позволяет моделировать широкий диапазон цифровых систем, включая цифровые СФС. При исследовании разрядность цифровых элементов выбрана равной 16, расчеты ведутся в целочисленной арифметике в дополнительном коде. Данный выбор связан с доступностью и дешевизной 16 - - 151 разрядных микроконтроллеров и сигнальных процессоров с фиксированной точкой, применение которых для реализации цифровых устройств сегодня является перспективной альтернативой использованию жесткой логики. Моделируемая система представляет собой цифровую СФС 2Цго порядка с астатическим фильтром в цепи управления. Структурная схема системы приведена на рис. 4.2. На вход системы подаются отсчеты квадратурных составляющих uc(k) и us(k), формируемые из входного радиосигнала амплитуды Aвх с помощью квадратурного формирователя (на рис. 4.2 не показан), выполненного по схеме двух фазовых детекторов [9] и подробно рассмотренного в первой главе. Рис. 4.1. Фрагмент программного пакета Цифровые системы В квадратурном фазовом детекторе (ФД) формируется сигнал разности фаз входной последовательности и последовательности с выхода цифрового синтезатора отсчетов (ЦСО). Особенностью работы данного узла является то, что результат на выходах перемножителей, входящих в состав ФД, включает в себя старшие 16 бит 32Цразрядного произведения. Данное замечание будет учтено в дальнейшем при расчете коэффициента усиления схемы. Отсчеты с выхода ФД после умножения на Sсх пропускаются через цифровой ФНЧ, состоящего из двух ветвей: накопительного сумматора и пропорционального элемента. Сигнал с выхода фильтра управляет частотой цифрового синтезатора - 152 отсчетов квадратур. Основу данного элемента составляют накопительный сумматор и два функциональных преобразователя. Входящий в состав ЦСО накопительный сумматор играет роль преобразователя частотаЦфаза. Изменение значений на его выходе в пределах от 0 до 216 соответствует изменению фазы от 0 до 2, что необходимо учитывать при расчете коэффициента усиления кольца. Функциональные преобразователи sin() и cos() необходимы для преобразования отсчетов фазы в отсчеты квадратур. Амплитуда значений на выходе этих преобразователей одинакова и равна Aфп. us(k) ФД uд(k) Sсх ФНЧ 1/(zЦ1) uc(k) m cos( ) sin( ) ЦСО 1/(zЦ1) uф(k) Рис. 4.2. Структурная схема моделируемой цифровой СФС С учетом рассмотренных замечаний можно через параметры моделируемой схемы выразить коэффициент усиления S дискретной СФС, который встречался при выводе ряда разностных уравнений в главе 1, например, (1.1.22): S= 2 Aвх Aфп Sсх, 216 (4.2.1) где S - коэффициент усиления системы, используемый в математической модели, Aвх - амплитуда входного колебания, Aфп - максимальное значение на выходах функциональных преобразователей, который при реализации схемы на 16Цразрядных элементах удобно выбрать равным 215, Sсх - параметр реализуемой схемы. - 153 4.2.2. Анализ спектра на выходе СФС при наличии на входе ЧМ - колебания и гармонической помехи В данном разделе исследован спектр на выходе СФС при наличии на входе ЧМЦсигнала и гармонической помехи. Сделана попытка оценить спектр на выходе СФС аналитически. Затем выполнено сравнение с результатами, полученными с использованием моделирующей программы. В качестве входного воздействия рассмотрим аддитивную смесь полезного ЧМЦколебания s(t) и гармонической помехи sп(t): s1 (t ) = s (t ) + sп (t ) + n1 (t ) = cos( 0t + м cos мt ) + cos пt + n1 (t ), (4.2.2) где 0 = 2 f0 - частота несущей ЧМЦколебания, п = 2 f п - частота помехи, м, м - частота и индекс модуляции соответственно, - отношение амплитуды помехи к амплитуде сигналу. вх(k) 1/(zЦ1) вх(k) sin() S 1/(zЦ1) Kф(z) Рис. 4.3. Эквивалентная функциональная схема дискретной СФС, демонстрирующая работу системы по мгновенной входной частоте С учетом особенностей работы цифровой СФС, приведенной на рис. 4.3, необходимо от входного воздействия (4.2.2) перейти к фазе, либо мгновенной частоте входной смеси системы. Воспользуемся понятием сопряженного по Гильберту сигнала s1 (t ), в соответствии с которым выражение для мгновенной входной частоты будет иметь вид [97]: ds1 ds s1 1 s1 вх (t ) = dt 2 dt. 2 s1 + s (4.2.3) - 154 С учетом (4.2.2) выражение (4.2.3) принимает вид: вх (t ) = + sin ( t + м cos м t ) 0 + п 2 1 м м sin мt + + arctg 2 1+ sin (( м ) t + м cos мt ) + 2 + м м sin(( + м )t + м cos мt )) 2 2 sin( 2 t + 2 м cos мt ) + + sin((2 м )t + 2 м cos мt ) 2 м м 2 sin((2 + м )t + 2 м cos мt ) +... м м (4.2.4) м м где = 2 f - частотная расстройка помехи относительно несущей частоты ЧМЦколебания. Выражение (4.2.4) представляет собой бесконечный ряд по степеням. Поэтому для случая малой интенсивности помехи, можно ограничиться лишь несколькими членами ряда. Выражение (4.2.4) дает представление о структуре спектра мгновенной частоты входной смеси ЧМ - сигнала и гармонической помехи. Как показывает анализ, спектр входной частоты содержит следующие основные группы составляющих: 1) постоянную составляющую, уровень которой определяется частотами 0 и п, их разностью (расстройкой) = 2 f и интенсивностью помехи ; 2) полезную (информационную) составляющую на частоте модуляции м, уровень ее определяется девиацией входного ЧМЦсигнала. 3) группу колебанием составляющих, определяемую частотноЦмодулированным sin( t + cos мt ), (4.2.5) спектр такого колебания известен и содержит центральную составляющую на частоте и боковые, отстоящие от центральной на частоты, кратные м. Все - 155 эти составляющие входят с коэффициентом, т.е. их уровень пропорционален частотной расстройке и не зависит от параметров модуляции; 4) группу составляющих, определяемую колебаниями м sin(( м )t + cos м t ), м (4.2.6) sin(( + м )t + cos м t ). Уровень составляющих в этих двух группах не зависит от расстройки помехи относительно несущей, а определяется только девиацией м и интенсивностью помехи. H дБ, H дБ, 0 -20 -40 -60 0 2 4 f, кГц 0 -20 -40 - f, кГц а) б) а) мгновенной частоты входной смеси; б) выходного колебания Рис.4.4. Спектры при S = 0,01; fпом = 6 кГц; м = Остальные группы составляющих (4.2.4) в случае малых значительно меньше рассмотренных, и ими в большинстве случаев можно пренебречь. В предположении линейности работы СФС можно на основе предыдущих выкладок оценить спектр сигнала на выходе СФС. Для этого достаточно определить амплитудноЦчастотную характеристику системы из точки приложения вх(k), показанную на рис. 4.4, на выход системы. Затем соответствующим образом пересчитать уровень составляющих, описываемых выражением (4.2.4). - 156 На рис. 4.4а приведен спектр мгновенной частоты входной смеси, представляющей собой ЧМЦколебание с индексом модуляции м = 5 и гармоническую помеху с частотной расстройкой fпом = 6 кГц. Спектр рассчитан с использованием понятия аналитического сигнала. На рисунке можно видеть полезную составляющую на частоте модуляции (400 Гц), а также серию паразитных составляющих, обусловленную помехой. Согласно рисунку наиболее мощными являются составляющие на частоте модуляции и комбинация составляющих в окрестности частотной расстройки. Спектр колебания на выходе фильтра СФС, полученный с помощью компьютерного моделирования, показан на рис. 4.4б. Сравнение рисунков указывает на качественное подобие спектров. Изменения уровня паразитных составляющих в выходном спектре с хорошей степенью точности можно объяснить с использованием амплитудноЦчастотных характеристик (рис. 4.5). Построенные характеристики согласованы с частотой модуляции. K, дБ 0 -10 -20 -30 0 2 4 6 1 2 f, кГц Рис. 4.5. Типовые амплитудноЦчастотные характеристики дискретной СФС 2Цго порядка по выходной величине 1) S = 0,01; 2) S = 0,002; 3) S = 0,0008 При уменьшении частотной расстройки помехи до 3 кГц уровень паразитных составляющих несколько возрастает (рис. 4.6). Различие определяется не только ухудшением фильтрующих свойств системы, но также и уменьшением уровня паразитных составляющих мгновенной частоты входной смеси. - 157 Из (4.2.5) следует, что уровень этих составляющих должен уменьшиться на 6 дБ. С другой стороны из графика амплитудноЦчастотной характеристики на рис. 4.5 можно предположить дополнительное ухудшение уровня паразитных составляющих примерно на 9 дБ. Таким образом в результате уровень паразитных составляющих должен возрасти примерно на 3 дБ, что и наблюдается на рис. 4.6. H дБ, 0 -20 -40 -60 0 2 4 f, кГц Рис.4.6. Спектр выходного колебания при S = 0,01; fпом = 3 кГц; м = 5 На основе анализа выражения (4.2.4) и результатов преобразования спектра частоты входной смеси внутри системы, в предположении малости, можно рассмотреть несколько частных случаев, упрощающих анализ выходного спектра: 1) частотная расстройка помехи значительно превышает полосу пропускания кольца и модулирующую частоту ЧМЦколебания >> м. В этом случае в спектре частоты входной смеси достаточно удержать постоянную составляющую и полезную составляющую на частоте м ; 2) частотная расстройка помехи соизмерима с модулирующей частотой и полосой пропускания системы м. - 158 В спектре частоты входной смеси необходимо удержать постоянную составляющую, составляющую на частоте м и группу составляющих на частотах, близких к расстройке помехи ; 3) частотная расстройка помехи много меньше полосы пропускания системы < м. Если интенсивность помехи достаточно велика, то кроме перечисленных в предыдущем случае составляющих необходимо удержать и составляющие, сгруппированные вблизи гармоник частотной расстройки помехи. 4.3. Реализация и исследование СФС на базе цифрового сигнального процессора ADSP - Структурная схема экспериментальной установки представлена на рис. 4.7. Основу установки составляет цифровой отладочный модуль на базе цифрового сигнального процессора (ЦСП) ADSPЦ2181 фирмы Analog Devices. uвх1(t) uвх2(t) uвых(t) Формирователь двухканального сигнала Последовательный порт RS - 9600 бит/с EZЦKIT Lite ADSP - Персональный компьютер Отладочный модуль Рис. 4.7. Схема экспериментальной установки - 159 В состав установки также входит персональный компьютер (ПК), на который возложены функции управления отладочным модулем и обработка полученных результатов. Входное воздействие, синтезируется под управлением ПК с помощью формирователя двухканального сигнала. Частота дискретизации выбрана равной 48 кГц. Использование ПК дает потенциальную возможность формирования сигнала произвольной формы и характеристик. При этом имеется возможность формирования как радиосигнала, так и двух квадратур. Входной сигнал вводится в цифровой модуль через АЦП. В случае квадратурного входного воздействия для ввода сигнала задействованы два канала АЦП. После соответствующей обработки выходной сигнал преобразовывался в аналоговую форму через ЦАП. Обработка и поступление отсчетов производилась с максимально возможной для цифрового модуля частотой 48 кГц. Главной частью экспериментальной установки является цифровой модуль, структурная схема которого приведена на рис. 4.8. В состав модуля входят ряд узлов, позволяющие использовать его для реализации и отладки широкого класса цифровых устройств. В основе модуля лежит быстродействующий цифровой сигнальный процессор ADSPЦ2181, работающий на частоте 33 МГц, что гарантирует выполнение 33 млн. инструкций в секунду. Особенности архитектуры процессора позволяют в ряде случаев оптимизировать программу и повысить количество инструкций в секунду до трех раз. Процессор является 16Цти разрядным, обеспечивает работы с числами с фиксированной точкой. Модификация используемого процессора включает 16К слов памяти программ и 16К слов памяти данных. Второй важной составляющей модуля является кодек, который содержит двухканальные 16Цразрядные ЦАП и АЦП. Максимальная частота дискретизации составляет 48 кГц, что позволяет использовать для обработки одного отсчета около 700 команд процессора. Недостатком используемых АЦП является невозможность ввода постоянной составляющей сигналов, что играет существенную роль при вводе квадратур. Цифровой модуль содержит ПЗУ с управляющей программой - монитором, обеспечивающей начальную подготовку модуля для загрузки программы пользователя. Также модуль имеет разъем расширения, с помощью - 160 которого можно использовать дополнительные возможности процессора, например, прямой доступ к памяти. Для связи с ПК на модуле реализован последовательный порт, работающий со скоростью 9600 бит/сек. АЦП АЦП ЦСП ADSPЦ2181 33 МГц индикатор прерывание сброс ЦAП ЦAП Память программ Память данных ПЗУ Программа монитор Последовательный порт Разъем расширения Рис. 4.8. Структура отладочного модуля Одним из требований, предъявляемым к проектируемой экспериментальной установке, является возможность гибкого управления работой функционирующего на базе ЦСП устройства с помощью персонального компьютера. При этом предполагается, что в произвольный момент времени с ПК можно установить или считать текущие параметры устройства, изменить его структурную схему, передать команду, принять результат обработки. Особо важно отметить, что данные действия должны производиться в реальном времени без остановки работы устройства. Кроме того необходимо, чтобы разрабатываемая установка и управляющая программа для сигнального процессора не были жестко привязаны к какомуЦто отдельному реализуемому устройства, например, цифровой СФС, а позволяли бы без существенных изменений взаимодействовать с любым алгоритмом. В связи с описанными требованиями при реализации управляющей программы для сигнального процессора применен нестандартный подход. Общая схема алгоритма приведена на рис. 4.9. - 161 Инициализация Прерывание от кодека с частотой 48кГц Ожидание Основной программный цикл Прерывание от таймера Обработка отсчетов сигнала Обработка команд с ПК Реализация протокола RS Рис. 4.9. Алгоритм работы управляющей программы для сигнального процессора После инициализации кодека и переменных программы сигнальный процессор переходит в режим ожидания. Из состояния ожидания процессор может выйти, когда возникает какоеЦлибо прерывание. Одно из прерываний возбуждается кодеком с частотой дискретизации системы. При этом в подпрограмме прерывания обрабатывается полученный отсчет и подготавливается результат обработки для передачи на ЦАП. При этом одновременно выполняются расчеты статистических характеристик сигналов в различных точках, например, средние и дисперсии сигнала на входе, ПРВ на выходе фазового детектора и т.п. Обработчик прерывания от таймера, встроенного в сигнальный процессор, вызывается для реализации протокола RSЦ232, который используется при взаимодействии модуля с компьютером по последовательному каналу. После обработки возникшего прерывания в основном программном цикле анализируются полученные с компьютера команды, и при необходимости подготавливаются данные для передачи на ПК. Чтобы не останавливать работу устройства, ожидая конца передачи очередного байта по сравнительно медленному последовательному каналу, перед отправкой данные помещаются в циклический буфер. Согласно схеме на рис. 4.9 для того, чтобы реализовать на сигнальном процессоре желаемое устройство, достаточно заменить обработчик прерывания - 162 от кодека. При этом основная часть управляющей программы останется без изменений. Программа для ПК, обеспечивающая связь с модулем, также была написана с учетом возможных модификаций алгоритма устройства или полной его замены. 4.3.1. Реализация цифровой СФС с цифровым преобразователем на входе квадратурным аналого - Для сигнального процессора ADSPЦ2181, входящего в состав описанного аппаратноЦпрограммного комплекса, на языке ассемблера была написана управляющая программа, реализующая цифровую СФС 1Цго или 2Цго порядка с квадратурным детектором. Ключевой фрагмент программы, непосредственно касающийся алгоритма СФС, приведен в приложении. Программа спроектирована согласно схеме на рис. 4.2. При разработке устройства уделено большое внимание вопросу формирования квадратур. Рассмотрены и реализованы два варианта. Первый из них предполагал, что формирователь квадратур является внешним, и в сигнальный процессор с каждым тактом поступают одновременно два отсчета, соответствующие двум квадратурам. Во втором способе квадратурный формирователь реализовывался на самом сигнальном процессоре по методу двух квадратурных детекторов. При этом на вход устройства подавался одноканальный радиосигнал. У каждого из этих подходов обнаружились преимущества и недостатки. К недостаткам варианта с внешним преобразователем можно отнести необходимость дополнительного внешнего оборудования для формирования квадратур, использования двух АЦП на отладочном модуле, предъявляются повышенные требования к идентичности обоих каналов. Кроме того, особенности имеющегося АЦП не позволяли вводить в цифровой модуль сигнал с постоянной составляющей, что в итоге приводило к невозможности работы устройства с частотами входных сигналов, совпадающими с частотой переноса в квадратурном преобразователе. При использовании варианта с квадратурным преобразователем, выполненном на сигнальном процессоре, максимальная частота - 163 обрабатываемого сигнала сокращалась вдвое, что связано с необходимостью фильтрации суммарной составляющей, возникающей при переносе частоты. Кроме того, для реализации фильтров, входящих в состав формирователя квадратур, требуются значительные ресурсы процессора, что в некоторых случаях может быть нежелательно. В то же время данному варианту не свойственны недостатки первого варианта. В данной работе предпочтение отдано второму варианту. При этом частота переноса преобразователя выбрано равной 10кГц, полоса обрабатываемого сигнала 5кГц. 4.3.2. Сравнительный анализ статистических характеристик СФС в условиях комбинированного воздействия С помощью экспериментального комплекса получены зависимости различных статистических характеристик цифровой СФС при действии на входе комбинированного воздействия в виде полезного колебания, полосового шума и детерминированной помехи. В процессе выполнения эксперимента постоянно контролировались параметры входного воздействия непосредственно после аналогоЦцифрового преобразования: дрейф нуля АЦП, затухание каналов, входное ОСШ. В некоторых случаях в компьютер для дальнейшей обработки передавалась выборка входных отсчетов. В частности, на рис. 4.10 приведены спектры сигналов на входе системы для различных вариантов исполнения квадратурного преобразователя при наличии комбинированного воздействия в виде полезного гармонического сигнала, шума в полосе 5 кГц и гармонической помехи. Перед тем, как перейти к обсуждению полученных зависимостей, необходимо сделать следующее замечание. При теоретическом анализе статистических характеристик дискретных СФС в качестве состояния системы выступала фазовая ошибка, определенная как разность между фазой входного полезного колебания и полной фазой сигнала на выходе СФС, в качестве которого в случае цифровой СФС выступает выход ЦСО. В реальном устройстве сигнал фазовой ошибки отсутствует. В случае, когда на входе присутствует только полезное колебание, на выходе фазового детектора присутствует сигнал фазовой ошибки, преобразованный согласно - 164 дискриминационной характеристике фазового детектора (ФД). Но как только на входе добавляется шумовое воздействие или детерминированная помеха, на выходе ФД появляется сигнал разности полной фазы входной смеси и выходного сигнала СФС, что в ряде случаев может количественно и качественно отличаться от сигнала фазовой ошибки. Кроме того полоса шума в эксперименте выбрана ограниченной. По этим причинам в большинстве случаев количественно повторить теоретические зависимости не удается, и можно говорить лишь о качественном подтверждении теоретических результатов. Hвх, дБ Hвх, дБ - - - - - - - - - - Ц60 0 2500 5000 f, Гц Ц60 0 5000 10000 f, Гц а) б) Рис. 4.10. Пример спектра сложного воздействия на входе устройства а) система с внешним формирователем квадратур; б) система с внутренним формирователем квадратур В некоторых случаях выполнить оценку статистических характеристик в различных точках системы удается в рамках линейной модели. На рис. 4.11 представлена расчетная схема линеаризованной дискретной СФС, которая учитывает некоторые особенности практической реализации системы. Общий коэффициент усиления системы определяется выражением S = Sсх S, где Sсх является изменяемым параметром реализуемой схемы, S - фиксирован и может быть получен из (4.2.1). Точка A - это точка приложения пересчитанного - 165 на выход ФД входного шума, точка B соответствует выходу ФД, точка C - выходу ФНЧ, сигнал в точке D отличается от сигнала в точке C некоторой нормировкой, точка E соответствует сигналу фазовой ошибки. (k) ХA вх(k) E Х B Х S сх Kфнч(z) CХ DХ 1/S сх 1 / z - S Рис. 4.11. Модифицированная расчетная схема линеаризованной ЦСФС В дальнейших расчетах в качестве выхода СФС 1Цпорядка рассматривается выход ФД, выходом СФС 2Цго порядка может служить как выход ФД, так и выход ФНЧ. Из рис. 4.11 видно, что отсчеты сигнала ФД при попадании на выход ФНЧ не только фильтруются, но и дополнительно умножаются на Sсх. Поэтому в целях адекватного сравнения характеристик в различных точках СФС различных порядков имеет смысл нормировать сигнал фильтра на Sсх. Для оценки дисперсии шума в различных точках необходимо определить коэффициент передачи системы K(z) из точки приложения шума A в точку, где определяется дисперсия. Затем для вычисления дисперсии используется выражение L D= K (e j ) K * ( e j ) d 2, (4.3.1) где 2 - дисперсия пересчитанного на выход ФД шума (k). При записи (4.3.1) делается допущение, что спектральная плотность (k) постоянна в полосе частот (0, L) и равна нулю за этой полосой. На рис. 4.12 приведены зависимости дисперсии шума в различных точках СФС 1Цго и 2Цго порядков, построенные с использованием выражения (4.3.1). Шум предполагался равномерным широкополосным с единичной дисперсией - 166 для рис. 4.12а, а также ограниченным с единичной дисперсией в полосе 5 кГц для рис. 4.12б. Частота дискретизации 48 кГц. Параметры фильтра для СФС 2 - го порядка: d = 1; m = 2. Кривая 1 соответствует выходу ФД системы 1Цго порядка, 2 - выходу ФД системы 2Цго порядка, 3 - нормированному на Sсх выходы ФНЧ системы 2Цго порядка. Графики построены в логарифмическом масштабе, при этом использованы значения, обратные значениям дисперсии. 1/D, дБ 15 10 5 0 1 Ц5 Ц10 Ц15 Ц20 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 3 2 Ц5 Ц10 Ц15 Ц20 1/D, дБ 15 10 1 5 0 2 S 0, 0, 0, 0, S а) б) Рис. 4.12. Дисперсия шума D в различных точках линеаризованной системы при единичной дисперсии пересчитанного на выход ФД а) белого шума; б) шума в полосе 5 кГц На рис. 4.13 представлены экспериментально полученные ПРВ сигналов в различных точках СФС 1Цго и 2Цго порядков. По оси абсцисс отложены значения, нормированные на максимальный код на выходе фазового детектора при отсутствии шума. Выход фильтра СФС 2Цго порядка дополнительно нормирован на Sсх. В качестве входного воздействие использована смесь шума и гармонического сигнала с начальной частотной расстройкой f = 1кГц. Нумерация кривых соответствует нумерации, использованной на рис. 4.12. Анализируя рис. 4.13, можно отметить нулевое среднее значение на выходе ФД для СФС 2Цго порядка, что объясняется наличием астатического фильтра в - 167 цепи управления, в то же время средние значения на выходе ФД в СФС 1Цго порядка и ФНЧ в СФС 2Цго порядка отличны от нуля и определяются W W 2 2 1,5 1 0, 0 Ц3 Ц1,5 0 1, u Ц0, Ц0, 0, u а) б) Рис. 4.13. Экспериментальные ПРВ в различных точках цифровых СФС для случая гармонического колебания при f = 1 кГц; = 10 дБ для а) S = 0,18; m = 2; Wд = 14 дБ б) S = 1,09; m = Wд = 14 дБ 0 Ц0,5 Ц0,25 0 0, uд Ц0, Ц0, 0, uд а) б) Рис. 4.14. Экспериментальные ПРВ на выходе детектора при наличии гармонического сигнала при f = 0 для а) S = 1; m = 2; в) S = 0,3; m = - 168 Wф = 14 дБ Wф = 14 дБ 0 Ц1 Ц0,5 0 0, uф - Ц0, 0, uф а) б) Рис. 4.15. Экспериментальные ПРВ на выходе ФНЧ при наличии гармонического сигнала с f = 0 для а) S = 1; m = 2; mф Dф, дБ в) S = 0,3; m = 0, - 0, - 0, - 0, 0 0 5 10 Ц, дБ, дБ а) б) Рис. 4.16. Экспериментальные зависимости среднего значения (а) и дисперсии (б) шума на выходе ФНЧ от отношения сигнаЦшум на входе при S = 1; m = 2; f = 1 кГц - 169 Wд Wд 7, 7, 2, 2, 0 Ц0,5 Ц0,25 0 0, uд Ц0, Ц0, 0, uд а) б) Рис. 4.17. Экспериментальные ПРВ на выходе детектора при наличии на входе гармонической помехи для S = 0,18; m = 2; f = 0; f1 = 1,5 кГц; = 30 дБ для а) A1 = 0,1; Wф Wф б) A1 = 0, 0 Ц1,5 Ц0,75 0 0, uф Ц1, Ц0, 0, uф а) б) Рис. 4.18. Экспериментальные ПРВ на выходе фильтра при наличии на входе гармонической помехи для S = 0,18; m = 2; f = 0; f1 = 1,5 кГц; = 30 дБ для а) A1 = 0,1; б) A1 = 0, - 170 Wф Wф 0 Ц1,5 Ц0,75 0 0, uф Ц1, Ц0, 0, uф Рис. 4.19. Экспериментальные ПРВ на выходе фильтра при наличии на входе гармонической помехи для S = 0,18; m = 2; f = 0; f1 = 1,5 кГц; A1 = 0,2 для а) = 35 дБ; б) = 25 дБ Wф Wф 0 Ц1,5 Ц0,75 0 0, uф Ц1, Ц0, 0, uф Рис. 4.20. Экспериментальные ПРВ на выходе фильтра при наличии на входе гармонической помехи для S = 0,18; m = 2; f = 0; A1 = 0,2; = 30 дБ для а) f1 = 1 кГц; б) f1 = 1,5 кГц - 171 Dд, дБ A1 = 0, - 0, - 0, - - Ц25 0 1 2 3 4 f1, кГц Рис. 4.21. Экспериментальная зависимость дисперсии сигнала на выходе детектора от расстройки помехи при S = 1; m = 2; f = 0; = 20 дБ Dд, дБ Dф, дБ - 0, - A1 = 1 - 0, Ц5 A1 = 0, 0, Ц20 - Ц/2 - / - Ц/ / а) б) Рис. 4.22. Экспериментальные зависимости дисперсии при наличии помехи на частоте полезного сигнала для S = 0,18; m = 2; f = 500 Гц; = 10 дБ а) на выходе детектора; б) на выходе фильтра - 172 начальной частотной расстройкой. Можно заметить, что дисперсия шума в различных точках СФС 1Цго и 2Цго порядков отличаются друг от друга, причем при различных параметрах системы взаимное соотношение может измениться. Например, на рис. 4.13а дисперсия на выходе ФД цифровой СФС 1Цго порядка превосходит значение дисперсии на выходе детектора цифровой СФС 2Цго порядка, на рис. 4.13б ситуация обратная. Качественно такая зависимость хорошо объясняется рис. 4.12б, построенного для линейной модели. На рис. 4.14 приведены ПРВ на выходе ФД в СФС 2Цго порядка при изменении дисперсии входного шума. При увеличении интенсивности шума дисперсия на выходе возрастает. Также можно отметить, что уменьшение коэффициента усиления системы приводит к увеличению дисперсии шума на выходе детектора. Это подтверждается и рис. 4.12б. На рис. 4.15 приведены аналогичные ПРВ для выхода фильтра. Характер зависимости от интенсивности шума не изменяется: увеличение шума увеличивает дисперсию. Также при уменьшении коэффициента усиления наблюдается увеличение дисперсии. На рис. 4.16 представлены зависимости среднего значения и дисперсии на выходе фильтра в СФС 2Цго порядка. Можно обратить внимание на пороговый характер зависимостей. При значениях входного ОСШ ниже порогового значения наблюдается заметное смещение среднего значения на выходе ФД и резкое увеличение дисперсии. Стоит отметить, что пороговое значение (около 7 дБ) для экспериментальных кривых совпадает с пороговым значением, имевшим место при теоретическом анализе. На рис. 4.17Ц4.20 представлены ПРВ на выходе фильтра и детектора при наличии на входе гармонического колебания и гармонической помехи. На рисунках можно видеть появление двумодальности ПРВ при изменении параметров системы и входного воздействия. Рис. 4.17Ц4.18 показывает, что увеличение интенсивности гармонической помехи может привести к двумодальной ПРВ как на выходе детектора, так и на выходе фильтра. Причем описанный эффект выражен сильнее для случая ПРВ на выходе фильтра. Рис. 4.19 демонстрируют, что двумодальный характер ПРВ сглаживается при увеличении интенсивности входного шума. На рис. 4.20 приводятся графики ПРВ при изменении частотной расстройки помехи, из которых видно, что увеличение частотной расстройки может привести к появлению двумодальной ПРВ. В целом описанные зависимости качественно повторяют зависимости, - 173 полученные при теоретическом исследовании поведения ПРВ фазовой ошибки при наличии на входе гармонической помехи. На рис. 4.21 приведена зависимость дисперсии сигнала на выходе детектора от частотной расстройки помехи. Приводятся результаты для различных интенсивностей мощностей гармонической помехи. Параметры системы, при которых построена зависимость, соответствуют широкополосной системе. Рисунок показывает, что увеличение интенсивности помехи приводит к увеличению дисперсии. Также из рисунка видно, что, пока помеха находится внутри полосы пропускания, с увеличением частотной расстройки наблюдается увеличение дисперсии. Это связано с увеличением амплитуды колебаний входной мгновенной частоты, что соответствующим образом отражается на выходе детектора. Затем с увеличением частотной расстройки помехи наблюдается уменьшение дисперсии, что объясняется выходом помехи из полосы пропускания системы. Таким образом поведение дисперсии на выходе детектора при наличии гармонической помехи на входе в целом повторяют поведение дисперсии фазовой ошибки. Стоит заметить, что среднее значение на выходе фазового детектора при изменении параметров помехи остается равным нулю, что вполне объяснимо, так на входе среднее значение мгновенной частоты не изменяется. На рис. 4.22 приведены зависимости дисперсии на выходе детектора и фильтра от начальной фазы помехи при наличии на входе гармонического колебания и гармонической помехи на частоте полезного сигнала. Можно видеть увеличение дисперсии при увеличении значения начальной фазы помехи, что объясняется уменьшением эффективной амплитуды входного гармонического колебания. Как можно видеть, полученная зависимость достаточно сильно отличается от зависимости для фазовой ошибки, полученной в теоретическом анализе. На рис. 4.23 приводится временная диаграмма работы системы при наличии гармонической помехи, частота которой совпадает с частотой полезного колебания. Рис. 4.23б соответствует режиму, когда в системе теряется устойчивость нулевого состояния. При этом колебательный характер движений с большой амплитудой объясняется наличием предельного цикла 1 - го рода с периодом 2. Некоторые результаты исследования поведения ПРВ, когда в системе происходит потеря устойчивости состояния синхронизма за - 174 счет увеличения интенсивности гармонической помехи, приведены на рис. 4.24Ц4.25. На рис.4.24 продемонстрировано изменение ПРВ на выходе детектора при увеличении мощности помехи с нулевой расстройкой. Видно возникновение двумодальности ПРВ, которая с увеличением интенсивности помехи проявляется более отчетливо. uд uд - - Ц2 0 50 100 - k k а) б) Рис. 4.23. Временные диаграммы на выходе детектора, полученные экспериментально при наличии прицельной по частоте помехи для S = 1; m = 2; f = 0; f1 = 0; = 14 дБ а) A1 = 0,4; б) A1 = 0, Изменение двумодальной ПРВ, возникшей за счет потери устойчивости состояния синхронизма, при увеличении шума носит более сложный характер. На рис. 4.25 представлена зависимость ПРВ от интенсивности шума. На рис. 4.25аЦ4.25в, наблюдается постепенное сглаживание ПРВ. На рис. 4.25г, соответствующий наибольшей интенсивности шума, наблюдается явно выраженный пик на нулевом значении. Подобный эффект отсутствовал при теоретическом анализе зависимостей для фазовой ошибки. - 175 Wд Wд 0 Ц3 Ц1,5 0 1, uд - Ц1, 1, uд а) Wд Wд б) 0 Ц3 Ц1,5 0 1, uд - Ц1, 1, uд в) г) Рис. 4.24. Экспериментальные ПРВ на выходе детектора при наличии помехи на частоте полезного сигнала для S = 1; m = 2; f = 0; = 14 дБ для а) A1 = 0,3; в) A1 = 0,5; б) A1 = 0,4; г) A1 = 0, - 176 Wд Wд 0, 0, 0 Ц3 Ц1,5 0 1, uд - Ц1, 1, uд а) Wд Wд б) 0, 0, 0 Ц3 Ц1,5 0 1, uд - Ц1, 1, uд в) г) Рис. 4.25. Экспериментальные ПРВ на выходе детектора при наличии помехи на частоте полезного сигнала для S = 1; m = 2; f = 0; A1 = 0,5 для а) = 20 дБ; в) = 14 дБ; б) = 17 дБ; г) = 10 дБ - 177 4.4. Выводы 1. Разработан программный пакет, предназначенный для моделирования на персональном компьютере цифровые СФС. Учет эффектов квантования, отсутствие ограничений на структуру исследуемой схемы, широкие возможности средств измерения характеристик на выходе любого элемента системы, возможность формирования сложных входных сигналов и др. позволяют использовать данный пакет для исследований широкого класса цифровых схем. 2. Спроектирован и разработан аппаратноЦпрограммный комплекс для исследований цифровых СФС, выполненных на базе сигнальных процессоров. Комплекс включает в себя: 1) отладочный модуль на базе цифрового сигнального процессора ADSPЦ2181; 2) блок формирования двухканального аналогового сигнала произвольной структуры; 3) персональный компьютер для управления вышеперечисленными устройствами и обработки полученной из отладочного модуля информации; 4) комплект программного обеспечения для сигнального процессора, позволяющего по команде с персонального компьютера изменять параметры и тип структурной схему СФС, функционирующей на базе сигнального процессора, а также передавать в компьютер запрашиваемую информацию без прерывания работы устройства; 5) комплект специализированного программного обеспечения для персонального процессора, обеспечивающего взаимодействие с цифровым модулем и блоком формирования сигналов. 3. С помощью разработанных средств на персональном компьютере смоделирована работа цифровой СФС 2Цго порядка с аналогоЦцифровым квадратурным преобразованием на входе и астатическим фильтром в цепи управления при наличии на входе ЧМЦсигнала и гармонической помехи. Получены спектры сигнала на выходе фильтра системы. Показано, что структура паразитных составляющих, их уровень и изменение от параметров помехи находятся в соответствии с теоретическими выкладками. 4. На базе сигнального процессора реализована цифровая СФС с квадратурным аналогоЦцифровым преобразованием на входе, работающая в режиме синхронноЦфазового демодулятора. При этом рассмотрены варианты формирования отсчетов квадратур как вне цифрового модуля, так и на самом сигнальном процессоре. - 178 5. С помощью разработанного аппаратноЦпрограммного комплекса получены экспериментальные зависимости ряда статистических характеристик цифровых СФС 1Цго и 2Цго порядков при наличии на входе гармонического колебания и полосового шума. Проанализированы зависимости ПРВ на выходе детектора и фильтра. Построены зависимости среднего значения и дисперсии сигнала на выходе фильтра, продемонстрирован пороговый характер основные результаты теоретических Подтверждены зависимостей. исследований для случая отсутствия детерминированной помехи. 6. Получены экспериментальные зависимости плотности распределения вероятности сигналов на выходе детектора и фильтра, их дисперсий для СФС 2Цго порядка при наличии на входе гармонического колебания, шума и гармонической помехи. Подтверждены теоретические положения о возникновении двумодальной ПРВ при изменении параметров помехи и другие закономерности, полученные при теоретических исследованиях. 7. Построены ПРВ для выходного сигнала детектора при наличии на входе гармонической помехи на частоте полезного колебания. Подтверждено возникновение двумодальности при увеличении интенсивности гармонической помехи. Рассмотрены некоторые особенности зависимости ПРВ от интенсивности шумовой составляющей. В частности подтверждено сглаживание эффекта двумодальности ПРВ с ростом интенсивности шума. 8. Практически продемонстрированы возможности процессора ADSP - 2181 в реальном времени выполнять расчеты статистических характеристик входных и выходных сигналов работающей СФС, включая среднее значение, дисперсию, одномерную плотность распределения вероятности. - 179 ЗАКЛЮЧЕНИЕ В результате проведенных в диссертационной работе теоретических и экспериментальных исследований получены следующие основные результаты: 1. В работе получены математические модели в форме стохастических разностных уравнений для двух классов дискретных систем фазовой синхронизации для случая комбинированных воздействий, представляющих собой аддитивную смесь полезного колебания с угловой модуляцией, детерминированной помехи в виде ряда из N гармонических составляющих с произвольным законом изменения фазы и гауссовского шума. Уравнения написаны в терминах разности полной фазы входного полезного колебания и полной фазы выходного колебания. К первому классу относятся СФС с равномерной дискретизацией, их характерной особенностью является наличие аналого-цифрового преобразования на входе кольца, ко второму - системы с неравномерной дискретизацией, для них аналого-цифровой преобразователь, как правило, реализуется непосредственно в фазовом детекторе. 2. Для СФС с обоими типами дискретизации получена общая эквивалентная функциональная схема, согласно которой шумовое воздействие пересчитывается на выход фазового детектора в виде аддитивной широкополосной гауссовской составляющей, учет гармонических составляющих помехи эквивалентен введению параллельно основному N фазовых детекторов, на выходе вычитателей которых дополнительно подсуммируются разности полных фаз полезного колебания и соответствующей составляющей ряда. 3. В работе предложена методика перехода от стохастического разностного уравнения, описывающего статистическую динамику дискретной СФС 2Цго порядка, к системе уравнений, описывающей простую марковскую последовательность. С учетом нестационарной условной плотности вероятности перехода получено уравнение КолмогороваЦЧепмена для двумерной плотности распределения фазовой ошибки при наличии на входе комбинированных воздействий. Для корректного перехода к интегрированию в конечных пределах в уравнении Колмогорова-Чепмена разработана методика расчета плотности распределения вероятности, учитывающая инвариантность движений в фазовом пространстве. С учетом ее получен ряд уравнений - 180 КолмогороваЦЧепмена для различных входных воздействий и фильтров в кольце СФС. 4. Для численного решения уравнения Колмогорова-Чепмена предложена оригинальная замена исходных переменных, позволяющая значительно повысить эффективность расчетов. Особенность замены переменных связана с получением фазового цилиндра в новых координатах, ориентированного вдоль одной из координат. С учетом предложенного преобразования координат и инвариантности движений в фазовом пространстве разработана методика перехода от двумерной плотности распределения вероятности фазовой ошибки к одномерной. 5. На основе численного решения уравнения Колмогорова-Чепмена с помощью предложенных методик получены и проанализированы зависимости для переходных и установившихся нестационарных и усредненных по времени одномерных ПРВ фазовой ошибки для различных типов входных воздействий: смеси шума и гармонического колебания; смеси шума, гармонического колебания и гармонической помехи; смеси шума, гармонического колебания и детерминированной помехи из ряда гармонических составляющих. Исследования выполнены в зависимости от состояния системы, интенсивности помех, частотных расстроек помех. 6. С помощью рассчитанной одномерной ПРВ фазовой ошибки рассчитаны и проанализированы среднее значение ошибки, дисперсия, пороговые кривые для различных типов входных воздействий. Для расчета выходного отношения сигнаЦшум использовано выражение, учитывающее шумовую составляющую фазовой ошибки, помеховую составляющую и динамическую составляющую, обусловленную инерционностью СФС. Построены и проанализированы зависимости среднего значения и дисперсии фазовой ошибки от частотной расстройки помехи и ее интенсивности. 7. С помощью разработанной методики расчета двумерной ПРВ фазовой ошибки исследованы квазипериодические режимы систем при наличии на входе на входе шумового воздействия. Подобная ситуация характерна для предельных режимов дискретных СФС, когда в автономном режиме наряду с состоянием квазисинхронизма существует несколько устойчивых циклических движений 1-го и 2-го рода. Исследованы временные зависимости установления ПРВ в зависимости от областей притяжения устойчивых движений, начальных условий и интенсивности шумового воздействия. - 181 8. В работе предложена методика построения интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода для расчета статистических моментов времени до срыва слежения в дискретной СФС 2-го порядка в случае фиксированных границ. Методика основывается на рекуррентном выражении для вероятности срыва слежения на заданном шаге, учитывающем предложенные замену переменных и инвариантность движений в фазовом пространстве. С помощью разработанной методики построены и проанализированы зависимости среднего времени до срыва слежения в дискретных СФС 2Цго порядка для различных параметров системы и входного воздействия. 9. Предложена методика построения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода для нестационарной плотности вероятности перехода и подвижных поглощающих границ, относительно которых рассматривается срыв слежения. Предложенная методика основывается на предположении кратности периода изменения входной частоты и интервала дискретизации n T0, где n, m - целые числа. Для этого случая получены m рекуррентное выражение для вероятности срыва и интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода для моментов времени. 10. С помощью модифицированных уравнений получены и проанализированы зависимости среднего времени до срыва слежения для случая воздействия сигнала с угловой модуляцией при отсутствии детерминированной помехи и при наличии гармонической помехи. Установлены основные причины, вызывающие уменьшение среднего времени до срыва слежения: рост интенсивности шумового воздействия, шумовой полосы, увеличение величины девиации фазы, либо частоты, увеличение частоты модуляции, уменьшение частотной расстройки помехи относительно полезного сигнала при малой шумовой полосе. 11. Разработан аппаратноЦпрограммный комплекс для исследования цифровых схем, включая цифровые СФС. В состав комплекса входит написанная автором диссертации универсальная программа для моделирования цифровых схем. Вторая часть комплекса предназначена для разработки и исследования цифровых устройств на базе сигнального процессора. В ее состав входит: а) цифровой модуль на базе цифрового сигнального процессора ADSP - 2181; б) блок формирования двухканального аналогового сигнала произвольной структуры; в) персональный компьютер для управления вышеперечисленными системы T = вх - 182 устройствами и обработки полученной из отладочного модуля информации; г) комплект написанного автором диссертации специализированного программного обеспечения для сигнального процессора и персонального компьютера, обеспечивающий взаимодействие всех узлов. 12. На базе сигнального процессора реализована цифровая СФС с квадратурным аналогоЦцифровым преобразованием на входе, работающая в качестве синхронноЦфазового демодулятора. Рассмотрены варианты формирования отсчетов квадратур как вне цифрового модуля, так и на сигнальном процессоре. Получены экспериментальные зависимости ряда статистических характеристик цифровых СФС 1Цго и 2Цго порядков при наличии на входе воздействия в виде гармонического колебания и полосового шума, а также гармонического колебания, полосового шума и гармонической помехи. Экспериментальные результаты подтвердили основные теоретические положения, сформулированные по итогам выполненных исследований. 13. Продемонстрированы возможности процессора ADSPЦ2181 при реализации цифровых СФС в реальном времени дополнительно выполнять за счет оптимизации программного обеспечения расчеты статистических характеристик входных и выходных сигналов СФС, включая среднее значение, дисперсию, одномерную плотность распределения вероятности. - 183 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Системы фазовой синхронизации / Акимов В.Н., Белюстина Л.Н., Белых В.Н., и др.; Под ред. В.В.Шахгильдяна, Л.Н.Белюстиной. - М.: Радио и связь, 1982. - 288 с. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении: Пер. с англ. / Под ред. Ю.Н. Бакаева и М.В. Капранова.ЦМ.: Сов. Радио, 1978. - 600 с. Витерби Э.Д. Принципы когерентной связи. М.: Советское радио, 1970. - 350 с. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.: Радио и связь.Ц1972. - 310 с. Аналоговые и цифровые синхронноЦфазовые измерители и демодуляторы/ А.Ф.Фомин, А.И.Хорошавин, О.И.Шелухин; под. ред. А.Ф.Фомина. - М.: Радио и связь, 1987. - 248 с. Roland E. Best. PhaseЦlocked loops: design, simulation, and application. Third Edition. McGrowЦHill, 1997. - 360 p. Журавлев В.И. Поиск и синхронизация в широкополосных системах. М.: Радио и связь, 1986. - 240 с. Цифровые системы фазовой синхронизации /М.И.Жодзишский, С.Ю.СилаЦНовицкий, В.А.Прасолов и др.; Под ред. М.И. Жодзишского. - М.: Сов. Радио. Ц1980. Ц208 с. Цифровые радиоприемные системы: Справочник. / М.И. Жодзишский, Р.Б. Мазепа, Е.П. Овсянников и др./ Под ред. М.И. Жодзишского - М.: Радио и связь, 1990. - 208с. Системы фазовой синхронизации с элементами дискретизации. 2Це изд., доп. и перераб./ В.В.Шахгильдян, А.А.Ляховкин, В.Л.Карякин и др.; под ред. В.В.Шахгильдяна. - М.: Радио и связь, 1989. - 320 с. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Советское радио.Ц1977. - 525 с. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. Ц2Це изд., перераб. и доп. - М.: Радио и связь. Ц1982. Ц624 с. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем: Учебное пособие. М.: Радио и связь. - 1991.Ц608 с. Шахтарин Б.И. Случайные процессы в радиотехнике: Учебное пособие. М.: Радио и связь. - 2000. - 584 с. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. - 184 15. Феер К. Беспроводная цифровая связь. Пер. с англ. под ред. В.И. Журавлева. - М.: Радио и связь. - 2000. - 520 с. 16. Шахтарин Б.И. Анализ систем синхронизации при наличии помех. М.: ИПРЖР, 1996. - 252 с. 17. Шахтарин Б.И. Статистическая динамика систем синхронизации. М.: Радио и связь, 1998. - 488 с. 18. Тузов Г.И. Выделение и обработка информации в доплеровских системах. - М.: Советское радио, 1967. - 256 с. 19. Тузов Г.И., Сивов В.А., Прытков В.И. и др. Помехозащищенность радиосистем со сложными сигналами / Под ред. Тузова Г.И. - М.: Связь, 1985. - 279 с. 20. Рыжков А.В., Попов В.Н. Синтезаторы частот в технике радиосвязи. - М.: Радио и связь, 1991. - 264 с. 21. Manassewitsch V. Frequency Synthesizers. Theory and Design. Third Edition. New York, 1987. - 611 p. 22. James A. Crawford. Frequency Synthesizer Design Handbook. Artech House, Inc. Norwood, 1994. - 435 p. 23. Шапиро Д.Н., Паин А.А. Основы теории синтеза частот. - М.: Радио и связь, 1981. - 264 с. 24. Egan W.F. Frequency Synthesis by Phase Look. New York: Wiley. 1981. - 275p. 25. Шахтарин Б.И. Анализ систем синхронизации методом усреднения. - М.: Радио и связь.Ц1999. - 496 с. 26. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. М.: Советское радио.Ц1961. - 210 с. 27. Тихонов В.И. Влияние шумов на работу схемы фазовой автоподстройки частоты // Автоматика и телемеханика. 1959. №9. С. 1188-1196. 28. Тихонов В.И. Работа фазовой автоподстройки частоты при наличии шумов // Автоматика и телемеханика. 1960. №3. С.301Ц309. 29. Челышев К.Б. Воздействие внешнего шума на фазовую автоподстройку частоты // Автоматика и телемеханика. 1963. №7. С. 942-949. 30. Витерби А. Исследование динамики систем фазовой автоподстройки частоты в присутствии шумов с помощью уравнения ФоккераЦПланка // ТИИЭР. 1963. Т. 51, №12. С. 1704-1722. 31. Обрезков Г.В., Разевиг В.Г. Методы анализа срыва слежения. М.: Советское радио, 1972. - 185 32. Пестряков А.В. Разработка и применение прикладных методов анализа дискретных систем фазовой синхронизации для устройств синтеза и стабилизации частоты. Дис. докт. техн. наук. - Москва, - 1992. - 472 с. 33. Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи. - М.: Сов. радио, 1977. - 408 с. 34. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Ч.1. Случайные процессы. - М.: Наука, 1976. - 494 с. 35. Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. Примеры и задачи: Учебн. пос. для вузов / Под ред. В.И. Тихонова. 2-е изд. - М.: Сов. радио, 1980. - 544 с. 36. Gill G.S., Gupta S.C. FirstЦorder discrete phaseЦlocked loop with applications to demodulation of angleЦmodulated carrier // IEEE Trans. Ц1972. - V.COM - 20. ЦP. 615-623. 37. Шахгильдян В.В., Пестряков А.В. Исследование динамики системы ИФАПЧ с цифровым интегратором / Системы и средства передачи информации по каналам связи // Тр. Учебн. ИнЦтов связи. ЦЛ.: ЛЭИС, - 1980. ЦС. 122-132. 38. Иванов В.А., Ющенко А.С. Теория дискретных систем автоматического управления. - М.: Наука, 1983. - 336 с. 39. Казаков Л.Н. Математическое моделирование дискретных систем с частотным управлением: Учеб. пос. / Яр. гос. ун-т им. П.Г. Демидова. - Ярославль, 1993. - 44 с 40. Казаков Л.Н., Палей Д.Э., Пономарев Н.Ю. Нелинейная динамика дискретных СФС с кусочноЦлинейной характеристикой детектора: Учеб. пос. / Яр. гос. ун-т им. П.Г. Демидова. - Ярославль, 1998. - 127 с. 41. Weinberg A., Liu B. Discrete Time Analyses of Nonuniform Sampling First - and SecondЦOrder Digital Phase Lock Loops // IEEE Trans. Ц1974. ЦV. COM - 22. ЦN2. 123-137. 42. Казаков Л.Н., Башмаков М.В. Математические модели стохастических цифровых систем фазовой синхронизации: Учеб. пос. / Яр. гос. ун-т им. П.Г. Демидова. - Ярославль, 2001. - 135 с. 43. Битюцкий В.И., Сердюков П.Н. Оценка времени до срыва синхронизма в импульсной системе ФАПЧ // Радиотехника. 1973. №8. С. 95-97. 44. Белых В.Н., Максаков В.П. Статистическая динамика цифровой системы фазовой синхронизации первого порядка // Радиотехника и электроника. 1979. №5. С. 965-974. - 186 45. Шахтарин Б.И., Сизых В.В., Курочка Б.Я. Исследование статистических характеристик дискретных ФАС первого порядка // Вестник МГТУ. Сер. Приборостроение. 1992. №3. С. 89-110. 46. Фомин А.Ф., Урядников Ю.Ф. Помехоустойчивость систем передачи непрерывных сообщений с импульсными следящими демодуляторами // Радиотехника. Ц1976. ЦТ. 31. Ц№9. ЦС. 46-54. 47. Kelly C.N., Gupta S.C. The digital phaseЦlocked loop as a nearЦoptimum FM demodulator / IEEE Trans. Ц1972. ЦV.COM. Ц20.ЦP. 406-411. 48. Kelly C.N., Gupta S.C. DiscreteЦTime demodulation of continuousЦtime signals / IEEE Trans. Ц1973. ЦV. ITЦ18. ЦP. 488-493. 49. Шахгильдян В.В., Пестряков А.В. Перспективные направления развития динамической теории дискретных систем фазовой синхронизации для устройств синтеза и стабилизации частот // Электросвязь. - 1993. - №11. - С. 38-42. 50. Пестряков А.В. Применение асимптотических методов для анализа дискретных систем фазовой синхронизации // Теоретическая электроника. Республ. межвед. научн. технич. сб. - Львовский Гос. унЦт. Ц1989. - Вып.47. ЦС. 135-139. 51. Пестряков А.В. Использование метода усреднения для анализа импульсных систем фазовой синхронизации //Радиотехника и электрионика. Ц1990. ЦТ. 35. ЦВып. 11. - С. 2334-2340. 52. Палей Д.Э., Казаков Л.Н. Динамика дискретной системы второго порядка с несколькими нелинейностями // Изв. вузов. Радиоэлектроника.1995. №3. - С.61-68. 53. Капранов М.В., Кулешов В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. - М.: Наука, 1984. - 320 с. 54. Казаков Л.Н., Палей Д.Э. Анализ полосы захвата импульсной системы фазовой синхронизации второго порядка // Радиотехника и электроника.1995. Т.40. №5. - С. 823-828. 55. Пономарев Н.Ю., Казаков Л.Н. Устойчивость в целом импульсной системы фазовой синхронизации второго порядка с трапециевидной характеристикой детектора // Радиотехника и электроника.1997. Т.42. №12. - С. 1459-1464. 56. Казаков Л.Н., Палей Д.Э. Анализ полосы захвата импульсной системы фазовой синхронизации третьего порядка с пилообразной характеристикой детектора // Радиотехника. 1998. № 1. - С. 29-35. - 187 57. Гаврилюк М.С., Кулешов В.Н. О фильтрации помех в линейной модели импульсно-фазовой системы ФАП с интегрирующим фильтром // Радиотехника. 1970. № 10. - С. 98-100. 58. Казаков Л.Н., Захаров Д.Е., Палей Д.Э. Устойчивость дискретной СФС с нелинейным фильтром при наличии шума // Радио и волоконно - оптическая связь, локация и навигация: Материалы ВНТК, г. Воронеж, 1997. - 7с. 59. Башмаков М.В., Захаров Д.Е., Казаков Л.Н. Анализ выходного сигнала цифрового синхронноЦфазового демодулятора при наличии на входе гармонической помехи // Современные проблемы радиофизики и электроники: Юб. сб. науч. тр. / Яросл. гос. ун-т. - 1998. - С.118Ц125. 60. Казаков Л.Н., Башмаков М.В. Помехоустойчивость цифрового синхронно - фазового демодулятора с многоуровневым квадратурным преобразованием входного сигнала // Цифровая обработка сигналов и ее применение : Материалы 2Цой международной конференции, Москва, 21Ц24 сентября, 1999. - 6с. 61. Казаков Л.Н., Пономарев Н.Ю., Казаков А.Л. Цифровой синхронно - фазовый демодулятор на основе ЦСФС 3Цго порядка // Цифровая обработка сигналов и ее применение : Материалы 2Цой международной конференции, Москва, 21Ц24 сентября, 1999. - 7с. 62. Казаков Л.Н., Палей Д.Э., Пономарев Н.Ю. Синтезатор частоты с улучшенными спектральными характеристиками // Направления развития систем и средств радиосвязи : Материалы ВНТК, г. Воронеж, 1996. - 6с. 63. Брюханов Ю.А. Цифровые цепи и сигналы: Учеб. пос. - Ярославль. 1999. - 152 с. 64. Башмаков М.В., Казаков Л.Н. Статистические характеристики дискретной СФС 2Цго порядка при наличии на входе гармонической помехи // Электросвязь. № 6. 2001. - С. 25-28. 65. Башмаков М.В. Расчет плотности вероятности фазовой ошибки цифровой СФС в условиях детерминированных воздействий // Радиофизика и электроника на пороге 21 века: Cб. науч. тр. молод. учен., асп. и студ. шк.семинара июль 2001 г. - Ярославль, 2001. - С. 28-40. 66. Башмаков М.В., Кукушкин И.А., Душин И.Н. Анализ времени до срыва слежения в дискретной СФС 2-го порядка // Радиофизика и электроника на пороге 21 века: Cб. науч. тр. молод. учен., асп. и студ. шк.-семинара июль 2001 г. - Ярославль, 2001. - С. 40-50. - 188 67. Башмаков М.В., Казаков Л.Н. Помехоустойчивость цифрового синхронно - фазового демодулятора с многоуровневым квадратурным преобразованием входного сигнала // Цифровая обработка сигналов и ее применение: Сб. докл. 2-й межд. конф. 21Ц24 сентября 1999. - Москва, 1999. - С. 446-451. 68. Душин И.Н., Башмаков М.В. Экспериментальное исследование статистических характеристик цифровой бинарной СФС при наличии прицельной по частоте помехи // Нелинейная динамика электронных систем: Сб. докл. молод. учен., асп. и студ. шк.-семинара 11Ц13 окт. 2000 г. - Ярославль, 2000. - С. 66-73. 69. Башмаков М.В., Казаков Л.Н. Статистические свойства дискретной СФС при наличии прицельной по частоте помехи // Труды LVI научной сессии, посвященной Дню радио, 16-17 мая 2001 г. - Москва, 2001. - С. 401-404. 70. Башмаков М.В., Казаков Л.Н., Кукушкин И.А. Сравнительный анализ методов оценки дисперсии фазовой ошибки дискретных СФС // Труды LVI научной сессии, посвященной Дню радио, 16-17 мая 2001 г. - Москва, 2001. - С. 404-406. 71. Башмаков М.В., Казаков Л.Н. Помехоустойчивость цифрового синхронно - фазового демодулятора при сосредоточенной по частоте помехе // Перспективные технологии в средствах передачи информации - ПТСПИТ2001: Тр. IV межд. науч. конф. 15-17 авг. 2001 г.ЦВладимирСуздаль, 2001. - С. 158-161. 72. Казаков Л.Н., Башмаков М.В. Статистические характеристики цифрового синхронноЦфазового демодулятора в условиях комбинированного входного воздействия // Теория связи и обработка сигналов: Тр. межд. конф. IEEE/ICC2001 13Ц15 июня 2001 г. - С.-Петербург, 2001. - С. 11Ц14. 73. Казаков Л.Н., Башмаков М.В. Помехоустойчивость цифрового синхронно - фазового демодулятора в условиях узкополосных помех по основному каналу// Теория и техника передачи, приема и обработки информации: Тр. 7-й межд. конф. 1-4 октября 2001 г. - Харьков-Туапсе, 2001. - С. 150-152. 74. Башмаков М.В., Казаков Л.Н., Александров А.С. СинхронноЦфазовый демодулятор ЧМЦсигналов на основе процессора ADSPЦ2181 // Системы синхронизации в радиотехнике и связи: Сб. тез. межд. научноЦтех. сем. 4Ц7 сент. 2001 г. - Одесса, 2001. - С. 25Ц27. 75. Казаков Л.Н., Башмаков М.В., Якимов И.М.Оптимизация программного обеспечения сигнального процессора ADSPЦ2181, функционирующего в - 189 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. режиме цифровой СФС // Системы синхронизации в радиотехнике и связи: Сб. тез. межд. научноЦтех. сем. 4Ц7 сент. 2001 г. - Одесса, 2001. - С. 27Ц28. Башмаков М.В., Казаков Л.Н., Кукушкин И.А. Сравнительный анализ методов оценки дисперсии ошибки слежения в дискретных системах // Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем: Сб. тез. IV Всерос. науч.Цтех. конф. 5Ц8 июня 2001.Ц. Чебоксары, 2001. - С 161-162. Казаков Л.Н., Башмаков М.В. Квазипериодические режимы дискретной СФС 2-го порядка, функционирующей в условиях флуктуационного воздействия // Прогресс в нелинейной науке: Сб. тез. докл. межд. конф., посвященной 100-летию А.А. Андронова, 2-6 июля 2001 г. - Н.Новгород, Россия, 2001. - С. 246-247. (на англ.) Башмаков М.В., Казаков Л.Н., Пономарев Н.Ю. Нелинейная динамика дискретной модели 3Цго порядка с кусочно-линейной периодической нелинейностью // Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем: Тез. докл. 3-й Всерос. науч.-тех. конф. 3Ц10 июня 1999 г. - Чебоксары, 1999. - С. 87-88. Башмаков М.В., Смирнов О.Ю., Кукушкин И.А. Помехоустойчивость цифрового синхронно-фазового демодулятора с многоуровневым квадратурным преобразованием входного сигнала // Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем: Тез. докл. 3-й Всерос. науч.-тех. конф. 3Ц10 июня 1999 г. - Чебоксары, 1999. - С. 89-90. Башмаков М.В., Кукушкин И.А., Казаков Л.Н. Статистические характеристики цифрового синхронноЦфазового демодулятора // Проблемы синхронизации третьего тысячелетия: Тез. докл. науч.-тех. конф. 26Ц28 июня 2000 г. - Ярославль, 2000. - С. 50-51. Разностные уравнения и их приложения / Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. ЦКиев: Наука. Думка. Ц1986. Ц280 с. Шахтарин Б.И. Анализ кусочноЦлинейных систем с фазовым регулированием. - М.: Машиностроение, 1991. - 192 с. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. ЦМ. Наука. Ц1978. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука. - 1975. - 768 с. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука. - 1973. - 632 с. - 190 86. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). ЦМ.: Наука. Ц1977, - 832 с. 87. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1964.Ц498 с. 88. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. - М.: Наука, 1971. - 288 с. 89. Левин Б.Р., Шварц В. Вероятностные модели и методы в системах связи и управления. - М.: Радио и связь, 1985. - 312 с. 90. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. - М.: Наука, 1967. - 375 с. 91. ADSPЦ2181 EZЦKIT Lite Evaluation System Manual. Analog Devices, Inc. 92. ADSPЦ2100 UserТs Manual. Analog Devices, Inc. 93. Бахтиаров Г.Д., Малинин В.В. АналогоЦцифровые преобразователи/ Под ред. Г.Д.Бахтиарова. ЦМ.: Сов. Радио Ц1980. Ц280 с. 94. Федорков Б.Г., Телец В.А., Дегтяренко В.П. Микроэлектронные цифро - аналоговые и аналогоЦцифровые преобразователи. ЦМ.: Радио и связь. - 1984. Ц120 с. 95. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. 3-е изд. - М.: Радио и связь, 1989. - 656 с. 96. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов по спец. "Радиотехника". 3-е изд. - М.: Высш. шк., 2000. - 462 с. 97. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Советское радио, 1977. 98. Бесекерский В.А. Цифровые автоматические системы. - М.: Наука, 1976. - 576 с. - 191 Приложение /*************************************************************************/ /* Фрагмент программы расчета двумерной и одномерной ПРВ фазовой ошибки */ /* в ДСФС 2-го порядка при наличии комбинированного воздействия на входе */ /* путем итерационного вычисления уравнения Колмогорова-Чепмена */ /* Автор: Башмаков М.В., 2000-2001 год */ /*************************************************************************/ #include #include #include #include #include #include // способ установки начальных условий: // 0-не реализовано // 1-в виде заданного набора точек (x1,x2) // 2-в виде заданного набора точек (u1,u2) // 3-равномерное (по u1,u2) распределение static int nPoints = 0; // размер массива точек static double *aX1 = 0; // массив с начальными значениями x1 (или y1) static double *aX2 = 0; // массив с начальными значениями x2 (или y2) static double deltawidth = 0.01; // дисперсия распределения гаусса, апроксимирующего дельта-функцию static int normalize = 1; // принудительная нормировка на единицу перед началом счета static double zerothreshold = 0; // значение ПРВ, ниже которого // ПРВ считается нулевой (используется для оптимизации) static double N1_factor = 1; // N*N1_factor - количество разбиений одного периода по горизонтали struct TPairU { double u1, u2; }; static TPairU *aU; // массив пересчитанных значение (x1,x2) в (u1,u2)> // int N1; // количество разбиений по u1 double a; // длина в одну сторону по u1 double *pW2, *pW2next; // указатели на массивы с текущим и следующим W(u1,u2) double *pW; // массив с W(x) double i2u1_A, i2u1_B, i2u2_A, i2u2_B; // для убыстрения i2u1 и i2u2 double u1toi_A, u1toi_B, u2toi_A, u2toi_B; // для u1toi и u2toi double T1, T2; // период по координате u1 и u2 // double dist_phase; // полная фаза помехи, связанная с частотой double dist_phase2; double modulat_phase; // фаза модуляции полезного сигнала (для ЧМ-колебания) double modulat_phase1; // фаза модуляции помехи int mod_FT[3]; // для реализации ЧТ-модуляции double rk1, rk2; // r(k), переменные введены для оптимизации double dist_k; // часть фазы помехи, зависящая от k //int k_step; // для отладки: номер шага (используется для расчета ЧМ-фазы) // // коэффициенты под знаком экспоненты, используются для оптимизации - 192 double qU1, qV2, qC, qSIN, qDIV, qW; double dV1; // изменение v1 при изменении k на 1 // // private methods void get_prm(); void free_prm(); void prepareConstants(); int allocbuffers(); void freebuffers(); // protected: double i2u1(int i) { return i2u1_A*i+i2u1_B; } // перевод индекса в u1 double i2u2(int i) { return i2u2_A*i+i2u2_B; } // перевод индекса в u2 int u1toi(double u1) { return u1toi_A*u1+u1toi_B; } // u1 -> индекс1 int u2toi(double u2) { return u2toi_A*u2+u2toi_B; } // u2 -> индекс2 void x2u(double x1, double x2, double& u1, double& u2); double u2y2(double u1, double u2); // преобразование (u1,u2) в y2, y1=u1 double q(double u1, double u2, double v2); // вероятность перехода double KW(double u1, double u2, double v2); // вероятность перехода на полосе double W_next(double u1, double u2); double gauss_delta(double y1, double y2); // приближение дельта-функции гауссовым распределением double W(int i2); void donormalize(); // нормализовать на 1 void make_rk(); // расчет величин, зависящих только от k double g_mod(int relative); // возвращает значение модулирующей функции (амплитуда равна 1, поэтому на beta_m надо умножать дополнительно) // relative - показывает отсчет, относительно текущего шага public: void cond_init(); void calcPRV(); // вычисление W(x) через W(u1,u2) makeNextW(); // 1-если отмена // public: TModule(); ~TModule(); // }; TModule::TModule() { pW2 = pW2next = 0; pW = 0; aX1 = aX2 = 0; aU = 0; get_prm(); prepareConstants(); } TModule::~TModule() { free_prm(); freebuffers(); } TModule::allocbuffers() { freebuffers(); pW2 = new double[N1*N]; pW2next = new double[N1*N]; pW = new double[N]; if( !pW2 || !pW2next || !pW ) { freebuffers(); - 193 return 1; } return 0; } void TModule::freebuffers() { delete[] pW2; delete[] pW2next; delete[] pW; pW2 = pW2next = 0; pW = 0; } // загрузка параметров модуля из ini-файла void TModule::get_prm() { IStore *pstore = getStore(); pstore->pushSubtitle("shaht2."); pstore->get("initcond", initcond); pstore->get("npoints", nPoints); pstore->get("deltawidth", deltawidth); pstore->get("normalize", normalize); pstore->get("zerothreshold", zerothreshold); pstore->get("n1_factor", N1_factor); if( nPoints > 0 ) { int i; // загрузить значения точек aX1 = new double[nPoints]; aX2 = new double[nPoints]; for(i = 0; i i++) aX1[i] = aX2[i] = 0; pstore->get("ax1", aX1, nPoints); pstore->get("ax2", aX2, nPoints); aU = new TPairU[nPoints]; for(i = 0; i < nPoints; i++) { switch(initcond) { // набор (x1,x2) case 1: x2u(aX1[i], aX2[i], aU[i].u1, aU[i].u2); break; // набор (u1,u2) case 2: aU[i].u1 = aX1[i]; aU[i].u2 = aX2[i]; break; } } } pstore->popSubtitle(); } // сохранение параметров модуля в ini-файле и освобождение ресурсов void TModule::free_prm() { IStore *pstore = getStore(); pstore->pushSubtitle("shaht2."); pstore->set("initcond", initcond); pstore->set("npoints", nPoints); pstore->set("deltawidth", deltawidth); pstore->set("normalize", normalize); pstore->set("zerothreshold", zerothreshold); pstore->set("n1_factor", N1_factor); if( nPoints > 0 ) { pstore->set("ax1", aX1, nPoints); pstore->set("ax2", aX2, nPoints); } pstore->popSubtitle(); delete[] aX1; delete[] aX2; - 194 delete[] aU; } // расчет различных констант void TModule::prepareConstants() { N1 = N*(1+2*N_Sk)*N1_factor; T1 = 2*M_PI/(prm.gamma-prm.d); T2 = -2*M_PI; a = (0.5+N_Sk)*T1; // коэффициенты для пересчета индекса массив в числовое значение и обратно i2u1_A = 2.0*a/N1; i2u1_B = -a; i2u2_A = 2.0*M_PI/N; i2u2_B = -M_PI; u1toi_A = N1/(2.0*a); u1toi_B = N1/2.0; u2toi_A = N/(2.0*M_PI); u2toi_B = N/2.0; // коэффициенты под знаком экспоненты qU1 = -(prm.gamma-prm.d)*(prm.gamma-1); //qV2= -(prm.gamma-prm.d)*(prm.gamma-1)/prm.gamma - (1+prm.d-prm.d/prm.gamma); qV2 = -prm.gamma; // т.к. выражение выше аналогично этому, хе-хе //qC = cprm.myu*(prm.gamma-prm.d)*(prm.gamma-1)-prm.d*cprm.myu; qC = cprm.myu*prm.gamma*(prm.gamma - 1.0 - prm.d); qSIN = prm.K*prm.gamma; qDIV = -1/(2*cprm.sqr_c*prm.gamma*prm.gamma); qW = prm.gamma/prm.d/sqrt(2*M_PI*cprm.sqr_c*prm.gamma*prm.gamma); // dV1 = T1*prm.gamma/prm.d; } // Вероятность перехода, но без дельты // Все аргументы предполагаются из бесконечной полосы // Для вычисления на полосе нужно провести суммирование double TModule::q(double u1, double u2, double v2) { double s, si, res; s = u2 + u1*qU1 + v2*qV2 + qC; si = sin(v2); if( prm.A1 ) si += prm.A1*sin(v2 + dist_k); // первая помеха if( prm.A2 ) si += prm.A2*sin(v2 + dist_phase2); // вторая помеха s += si*qSIN; if( prm.beta_m ) s += rk1; // слагаемое из-за ЧМ-модуляции res = exp(qDIV*s*s); return res; } // ПРВ перехода в координатах (u1,u2), умноженное на ПРВ на предыдущем шаге // По сути возвращается значение подинтегрального выражения. // Аргументы находятся на полосе. // Проводится суммирование. Число слагаемых равно 1+2*N_Sk double TModule::KW(double u1, double u2, double v2) { double u1_t, u2_t, S = 0; double v1, W; int i1, i2 = u2toi(v2); // v1 для переданных (u1,v2) double v1_0 = (u1*prm.gamma - cprm.myu*prm.gamma + v2 - rk2)/prm.d; // суммирование в сторону увеличения u1_t u1_t = u1, u2_t = u2, v1 = v1_0; while( 1 /*u1_t < a*/ ) { //v1 = (u1_t*prm.gamma - cprm.myu*prm.gamma + v2 - rk2)/prm.d; - 195 i1 = u1toi(v1); // если v1 не попадает в диапазон при данном u1_t, оно // не попадет в диапазон и при больших u1_t, // т.к. T1>0, то можно выйти из цикла, как только i1 станет >=N1 if( i1>=N1 ) break; if(i1>=0/* && i1 if( W > zerothreshold ) S += q(u1_t, u2_t, v2)*W; } u1_t += T1; u2_t += T2; v1 += dV1; } // суммирование в сторону уменьшения u1_t u1_t = u1-T1, u2_t = u2-T2, v1 = v1_0-dV1; while( 1 /*u1_t >= -a*/ ) { //v1 = (u1_t*prm.gamma - cprm.myu*prm.gamma + v2 - rk2)/prm.d; i1 = u1toi(v1); // если v1 не попадает в диапазон при данном u1_t, оно // не попадет в диапазон и при меньших u1_t, // т.к. T1>0, то можно выйти из цикла, как только i1 станет <0 if( i1<0 ) break; if(/*i1>=0 && */i1 if( W > zerothreshold ) S += q(u1_t, u2_t, v2)*W; Книги, научные публикации