Книги, научные публикации
Pages: | 1 | 2 | 3 | -- [ Страница 1 ] --
Ярославский государственный университет им. П.Г.Демидова
На правах рукописи
БАШМАКОВ МИХАИЛ ВЯЧЕСЛАВОВИЧ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СФС В УСЛОВИЯХ КОМБИНИРОВАННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
Специальность: 05.12.04 - Радиотехника, в том числе системы и устройства радионавигации, радиолокации и телевидения Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук
Научный руководитель доктор технических наук доцент Л.Н. Казаков Ярославль - 2001 Ц2 - ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................................................................................... 4 Глава 1. Математические модели дискретных СФС при комбинированных воздействиях.......................................................................................................... 14 1.1. Модель цифровой СФС с равномерной дискретизацией................ 14 1.2. Модель цифровой СФС с неравномерной дискретизацией............. 27 1.3. Выводы.................................................................................................. 34 Глава 2. Статистические характеристики фазового рассогласования дискретной СФС 2Цго порядка в условиях комбинированных воздействий.. 35 2.1. Построение марковских моделей....................................................... 36 2.1.1. Анализ инвариантных движений на фазовой плоскости........ 36 2.1.2. Вид уравнения КолмогороваЦЧепмена для случая гармонического воздействия............................................................... 39 2.1.3. Вид уравнения КолмогороваЦЧепмена для случая комбинированного воздействия.......................................................... 54 2.1.4. Сравнение зависимостей ПРВ, полученных различными методами................................................................................................ 58 2.2. Анализ квазипериодических режимов СФС 2-го порядка при наличии на входе шумовой помехи.......................................................... 64 2.3. Статистические характеристики при наличии на входе сигнала постоянной частоты.................................................................................... 77 2.3.1. Случай гармонической помехи на частоте входного сигнала 78 2.3.2. Расстроенная по частоте гармоническая помеха..................... 85 2.3.3. Помеха в виде ряда гармонических составляющих................ 90 2.4. Статистические характеристики при наличии на входе сигнала с угловой модуляцией................................................................................. 94 2.4.1. Случай отсутствия помехи......................................................... 97 2.4.2. Гармоническая помеха............................................................. 107 2.4.3. Помеха с угловой модуляцией................................................ 109 2.5. Выводы................................................................................................ 111 Глава 3. Срыв слежения в дискретных СФС в условиях комбинированных воздействий.......................................................................................................... Ц3 - 3.1. Методика анализа статистических характеристик времени срыва слежения в СФС 2-го порядка для фиксированных поглощающих границ........................................................................................................... 114 3.2. Методика анализа временных параметров срыва слежения в в условиях нестационарных границ.......................................................... 122 3.3. Обсуждение результатов анализа временных характеристик......... 133 3.3.1. Срыв слежения при действии на входе сигнала постоянной частоты................................................................................................. 133 3.3.2. Срыв слежения при действии на входе ФМ-колебания........ 138 3.3.3. Срыв слежения в условиях действия детерминированной помехи.................................................................................................. 146 3.4. Выводы.................................................................................................. 147 Глава 4. Экспериментальное исследование статистических характеристик дискретных СФС при комбинированных воздействиях................................. 149 4.1. Постановка задачи.............................................................................. 149 4.2. Компьютерное моделирование СФС с квадратурным аналогоцифровым преобразованием на входе...................................................... 150 4.2.1. Структурная схема исследуемой СФС................................... 150 4.2.2. Анализ спектра на выходе СФС при наличии на входе ЧМЦколебания и гармонической помехи......................................... 153 4.3. Реализация и исследование СФС на базе цифрового сигнального процессора ADSPЦ2181.............................................................................. 158 4.3.1. Реализация цифровой СФС с квадратурным аналого - цифровым преобразователем на входе............................................. 162 4.3.2. Сравнительный анализ статистических характеристик СФС в условиях комбинированного воздействия........................... 163 4.4. Выводы................................................................................................ 177 Заключение................................................................................................ 179 Список литературы................................................................................... 183 Приложения............................................................................................... Ц4 - ВВЕДЕНИЕ Актуальность работы Развитие современных систем и устройств радиотехники и связи, техники управления, радиолокации и навигации, радио и информационно - измерительных комплексов невозможно без широкого применения систем фазовой синхронизации (СФС). Круг задач, решаемых этими системами, весьма обширен: слежение за несущими и поднесущими частотами принимаемых сигналов, когерентная демодуляция аналоговых и цифровых сигналов с частотной и фазовой модуляцией, синхронизация и демодуляция двоичных символов цифровой информации, измерение частоты и фазы сигналов, тактовая синхронизация, синтез сложных радиотехнических сигналов, синтез сетки высокостабильных частот, стабилизация частот генераторов различных диапазонов [1Ц10, 15, 31]. В последние годы интенсивно проводятся исследования в области систем фазовой синхронизации с элементами дискретизации, что связано с совершенствованием элементной базы микроэлектроники и ростом рабочих частот. Переход на новые технологии существенно расширил возможности систем фазовой синхронизации и повысил эффективность устройств на их основе. Выбором структуры колец и входящих в них узлов появилась возможность создавать варианты систем, обладающих требуемыми характеристиками по точности и надежности работы, быстродействию, помехоустойчивости для различных типов входных сигналов и законов модуляции. За счет усложнения режимов работы колец стало реальностью создание гибких алгоритмов обработки информации, оптимизации параметров и характеристик [7Ц10, 15, 19, 32, 37]. Большой интерес последнее время вызывает поведение систем в условиях помеховых воздействий. Анализ реакции на действие помех достаточно важен для практики [1Ц5, 8Ц19]. Во многом именно помеховая обстановка определяет точностные характеристики системы. При этом статистические моменты фазовой и частотной ошибок слежения не дают полной информации о поведении СФС. Поскольку СФС - существенно нелинейная система, то в ряде случаев необходимо знание плотностей распределения вероятностей (ПРВ) ее переменных состояния. Особенностью СФС с рядом других систем (не фазовых) является существование множества устойчивых состояний Ц5 - равновесия, а в отдельных предельных случаях и устойчивых периодических движений 1Цго и 2Цго рода, что еще более усложняет картину при действии шумов. Ситуация становится еще более сложной, если на вход системы кроме шумового воздействия поступает и узкополосная негауссовская помеха в виде детерминированного сигнала. В качестве последнего может выступать помеховый сигнал, по структуре повторяющий полезный [15Ц18]. Учет комбинированного воздействия позволяет ответить на вопрос об эффективности функционирования СФС в условиях сосредоточенной по частоте помехи, что становится крайне актуальным, например, в условиях непрерывно расширяющегося числа одновременно работающих радиосредств. Примером могут служить помехи по основному каналу приема, характерные для систем подвижной связи, повторно использующих одни и те же частоты при формировании сотового частотного режима (соканальные помехи) [15]. Как и для любой следящей системы, для СФС важным вопросом является анализ срыва слежения. Под срывом слежения в СФС следовало бы понимать переход траектории движения из области притяжения одного устойчивого состояния равновесия в область притяжения другого устойчивого состояния равновесия или устойчивого периодического движения. Однако традиционно решается задача о достижении марковским случайным процессом, описывающим траекторию движения системы, некоторой заданной границы. Это связано с тем, что в исходной постановке сталкиваются с трудностями, вызванными необходимостью рассматривать решение соответствующих уравнений на всей плоскости переменных состояния, что с использованием численных методов возможно лишь для систем 1Цго порядка [12Ц13, 31]. Следует отметить, что явление срыва слежения может оказать существенное влияние на работоспособность СФС, приводит к резкому увеличению ошибок по частоте. Это особенно важно в доплеровских фазовых системах [18, 19]. Это особенно становится актуальным в условиях комбинированных воздействий. Даже, если отсутствует узкополосная помеха, но входной полезный сигнал изменяется по частоте (например, случай ЧМ - колебания), вероятность срыва слежения может существенно возрасти. Основы теории исследования статистических характеристик СФС с использованием их марковских моделей заложили Р.Л.Стратонович [26] и В.И.Тихонов [27,28]. Значительный вклад в теорию синхронизацию при наличии шумов внесли Б.И. Шахтарин, В. Линдсей, А. Витерби, Дж. Холмс, Ц6 - В.Д. Шалфеев, Н.Н. Удалов, В.Н. Белых, В.Н. Кулешов, В.Д. Разевиг, В.В. Шахгильдян, А. Вайнберг и другие. Если теория аналоговых стохастических систем сегодня достаточно развита, то теория дискретных систем, несмотря на повышенное внимание к ней, развита существенно в меньшей степени. Применительно к аналоговым системам можно говорить о законченных исследованиях как систем 1Цго так 2Цго порядков, то в случае систем дискретного времени речь может идти лишь о законченных исследованиях в лучшем случае для систем 1Цго порядка. Хотя этой теме посвящено немало работ. Среди них исследования, выполненные М.И. Жодзишским, В.Н. Кулешовым, В.В. Шахгильдяном, Б.И. Шахтариным, В.Н. Белыхом, В.П. Сизовым, Дж. Холмсом, Д. Джиллой, Х. Осборном, С. Гуптой. Исследованиям дискретных СФС в условиях даже простейших узкополосных помех посвящено ограниченное число работ, среди которых следует отметить работы Б.И. Шахтарина и его учеников [16, 17]. К числу этих работ следует отнести исследования, выполненные автором диссертации. Подобную ситуацию можно объяснить следующими причинами. Вопервых, представляет собой достаточно серьезную проблему переход от исходных стохастических уравнений 2Цго и выше порядков к марковским моделям, не существует общей методики перехода;
ситуация значительно усложняется в условиях узкополосных воздействий. Во-вторых, необходимо обеспечить строгий переход от марковской модели к векторному уравнению КолмогороваЦЧепмена, корректно построив условную плотность вероятности перехода;
сложность вызвана периодическим характером фазового пространства по фазовой координате и, соответственно, необходимостью отыскания инвариантных движений в пространстве. До сих пор корректно данную задачу даже в случае простейших воздействий решить в большинстве случаев не удавалось. В-третьих, задача о среднем времени до срыва слежения имеет особенную постановку, что вызвано необходимостью использования подвижных границ, относительно которых рассматривается срыв слежения. В традиционной постановке эти границы фиксированы. Даже наличие простого сигнала без помехи, но с изменяющейся частотой, существенно усложняет решение задачи о срыве. Наконец, в-четвертых, необходимость анализа двумерной плотности распределения вероятности, особенно в задаче о срыве слежения с подвижными границами приводит к значительным вычислительным трудностям, что требует разработки новых эффективных численных методов Ц7 - решения уравнений КолмогороваЦЧепмена, так и новых алгоритмов определения статистических характеристик времени срыва. Таким образом, критический анализ работ, претендующих на достаточно строгие и полные исследования статистических характеристик дискретных СФС 2Цго порядка, показал, что число таких работ достаточно ограничено. Отсутствие эффективных методов исследования, а, следовательно, и методик расчета практике. статистических С одной характеристик, особенно стороны, большая в условиях сложных в комбинированных воздействий, сдерживает широкое распространение их на практическая потребность высокоэффективных системах синхронизации, с другой стороны, отсутствие достаточно полной информации о поведении таких систем в реальной помеховой обстановке, отсутствие информации об их потенциальных возможностях. Это приводит к необходимости разработки как прикладных методов анализа статистических характеристик дискретных СФС, так и проведения исследований с помощью этих методов конкретных моделей СФС для технических приложений. В связи с вышеизложенным, тема диссертации, посвященная разработке методов и анализу статистических характеристик дискретных систем фазовой синхронизации с применением этих методов, является актуальной. Цели и задачи диссертации Целью диссертационной работы является разработка методов анализа дискретных систем фазовой синхронизации, позволяющих проводить расчет статистических характеристик импульсных и цифровых узкополосной помехи и гауссовского шума. Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие основные задачи: 1. Построение математических моделей ряда дискретных СФС с многоуровневым квантованием в форме марковских моделей. 2. Разработка методики перехода к векторному уравнению Колмогорова Чепмена, учитывающего периодический характер фазовой координаты. 3. Разработка алгоритмов отыскания инвариантных движений в пространстве с целью построения условной плотности вероятности перехода. СФС с учетом комбинированных воздействий в виде аддитивной смеси полезного сигнала, Ц8 - 4. Разработка методики определения характеристик среднего времени до срыва слежения в условиях переменных границ. 5. Разработка эффективных алгоритмов численного решения уравнения КолмогороваЦЧепмена и поиска оценки среднего времени до срыва. 6. Получение и анализ одномерной и двумерной плотности распределения вероятности, характеристик среднего времени до срыва слежения ряда дискретных СФС 1Цго и 2Цго порядка с различными фильтрами в канале управления (пропорциональноЦинтегрирующий и астатический) для различных полезных и помеховых воздействий. 7. Разработка модуля цифровой СФС с квадратурным преобразователем на входе на основе сигнального процессора ADSP - 2181 с целью проверки полученных теоретических результатов и определения предельных возможностей процессора для реализации синхронноЦфазовых демодуляторов. Общая методика исследований Разрабатываемые характеристик качественных методов в диссертации СФС теории методы анализа на с статистических положениях периодическими дискретных базируются общих дискретных систем нелинейностями, теории точечных отображений и разностных уравнений, теории марковских процессов и цепей. Для решения поставленных задач используются также компьютерное моделирование, численное решение нелинейных стохастических разностных уравнений. Разработанные методы и алгоритмы анализа статистических характеристик дискретных, в том числе цифровых, СФС ориентированы на использование персональных компьютеров. Научная новизна результатов 1. Получены эквивалентные функциональные схемы и марковские модели ряда дискретных СФС для случая комбинированных воздействий в виде смеси полезного колебания, детерминированной помехи и широкополосного гауссовского шума. 2. На основе общих положений качественных методов исследования дискретных СФС в фазовом пространстве разработана методика определения Ц9 - инвариантных движений, необходимых для построения условной плотности вероятности. 3. Предложена методика численного решения векторного уравнения КолмогороваЦЧепмена с учетом комбинированных воздействий. 4. Разработана методика определения среднего времени до срыва слежения для случая подвижных границ для различных типов входных полезных и помеховых воздействий. 5. С учетом разработанных методов получены алгоритмы анализа статистических характеристик воздействий: ряда дискретных систем в условиях комбинированных плотности распределения вероятности, дисперсии фазовой ошибки слежения, пороговых кривых, среднего времени до срыва и его дисперсии. 6. На основе разработанных методик и алгоритмов создано оригинальное программное 7. С обеспечение для анализа статистических и характеристик выполнено различных дискретных систем фазовой синхронизации. помощью разработанных методик алгоритмов исследование ряда дискретных СФС. В отношении ряда систем получены уточняющие по сравнению с известными результаты (за счет применения более эффективных методик). Ряд систем исследован впервые, это касается в первую очередь СФС 2Цго порядка с комбинированным воздействием. В процессе исследований установлен ряд новых качественных особенностей дискретных СФС, обусловленных характером воздействия. Практическая ценность 1. В диссертации разработаны методики исследования, позволяющие определить основные статистические характеристики различных дискретных СФС. Разработаны алгоритмы для расчета статистических характеристик;
созданные автором пакеты программ апробированы на ряде предприятий: МГТУ им. Баумана г. Москва, Институте криптографии, связи и информатики Академии ФСБ России, ЯрГУ г. Ярославль. 2. Разработанные программы позволяют оптимизировать параметры фильтра в цепи управления с целью обеспечения заданных статистических свойств дискретных СФС в условиях комбинированных воздействий. 3. Полученные в диссертации результаты позволили сформулировать предложения по повышению эффективности разрабатываемых дискретных - 10 - СФС, включая цифровые, функционирующие в условиях сложной помеховой обстановки. 4. Предложенные и развитые в диссертации методики и разработанные на их основе алгоритмы и свойств и программы можно систем использовать работах синхронизации в научно - анализа синтеза и исследовательских статистических опытноЦконструкторских дискретных для дискретных систем синхронизации различного назначения. 5. Разработанный в диссертации модуль цифрового синхронноЦфазового демодулятора на основе сигнального процессора ADSPЦ2181, созданное программное персональным обеспечение компьютером по управлению позволили модулем в ряд комплексе с реализовать алгоритмов, оптимизирующих поведение системы при наличии анализа текущего состояния и возможности корректировки параметров системы. Подобный подход перспективен для создания адаптивных цифровых систем на основе сигнальных процессоров. Часть материалов, включая разработанное программное обеспечение, используется Ярославль. Положения, выносимые на защиту 1. Эквивалентные функциональные схемы и марковские модели ряда дискретных СФС для случая комбинированных воздействий в виде смеси полезного колебания, детерминированной помехи и широкополосного гауссовского шума. 2. Методика определения инвариантных движений, необходимых для построения условной плотности вероятности, полученная на основе общих положений качественных методов исследования дискретных СФС в фазовом пространстве. 3. Методика численного решения векторного уравнения Колмогорова - Чепмена с учетом комбинированных воздействий. 4. Методика определения среднего времени до срыва слежения для случая подвижных границ для различных типов входных полезных и помеховых воздействий. в учебном процессе Института криптографии, связи и информатики Академии ФСБ России, МГТУ им. Баумана г. Москва, ЯрГУ г.
- 11 - 5. Алгоритмы анализа статистических характеристик ряда дискретных систем в условиях комбинированных воздействий: плотности распределения вероятности, дисперсии фазовой ошибки слежения, пороговых кривых, среднего времени до срыва и его дисперсии. 6. Оригинальное программное обеспечение для анализа статистических характеристик различных дискретных систем фазовой синхронизации, ряда созданное на основе языка программирования высокого уровня С++. 7. Результаты исследования статистических характеристик дискретных СФС 2Цго порядка с различными фильтрами в цепи управления для различных полезных и помеховых воздействий. 8. Модуль цифрового синхронноЦфазового демодулятора с квадратурным преобразованием на входе на основе сигнального процессора ADSPЦ2181 и результаты исследования статистических характеристик модуля. Объем и структура диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Во введении обоснована актуальность темы и ее практическая значимость, сформулированы цели и задачи исследования, дан критический анализ работ в области исследования динамических характеристик различных классов дискретных систем фазовой синхронизации. В первой главе построены математические модели в форме разностных стохастических уравнений для трех типов дискретных СФС в условиях комбинированных входных воздействий. К числу их относятся цифровые СФС с равномерной и неравномерной дискретизацией и системы с фазовой обработкой входного сигнала. Для каждого типа предложены эквивалентные функциональные схемы, послужившие основой для стохастических уравнений. Анализ схем позволил свести математическое описание рассматриваемых систем к общему уравнению. Вторая глава посвящена разработке методики исследования статистических характеристик фазовой ошибки дискретных СФС 2Цго порядка в условиях комбинированных воздействий и анализу полученных на основе применения этой методики результатов для конкретных воздействий и типов фильтра в цепи управления. Разработка методики вызвана особенностями поведения дискретных систем с периодической нелинейностью на фазовом - 12 - цилиндре и, соответственно, особенностями построения уравнения КолмогороваЦЧепмена в случае интегрирования в конечных интервалах переменных. Для предложенного преобразования переменных при переходе к марковской модели получены необходимые выражения для плотностей вероятности для комбинированных воздействия. В главе предлагается также численный метод решения уравнения КолмогороваЦЧепмена, учитывающий характер входных воздействий и особенности свертывания плотностей вероятности. С применением разработанной методики получены одномерные и двумерные плотности вероятности фазовой ошибки дискретной СФС 2Цго порядка для различных воздействий в виде аддитивной смеси полезного сигнала, помехи и широкополосного гауссового шума. Полезный сигнал представляет собой колебание постоянной частоты либо колебание с угловой модуляцией, помеха расстроена по частоте относительно полезного сигнала и в общем случае повторяет его по структуре. В третьей главе исследуется срыв слежения в дискретных СФС 1Цго и 2Цго порядков. Особенность решения данной задачи вызвана характером входных воздействий. Наличие изменяющейся во времени входной частоты, вызванной угловой модуляцией или наличием помех, приводит к двум факторам, которые не рассматриваются при традиционном решении данной задачи. ВоЦпервых, становится нестационарной условная плотность вероятности, воЦвторых, положение поглощающих границ, относительно которых рассматривается срыв слежения, также постоянно меняется во времени. Это вынуждает отказаться от стандартного подхода при расчете вероятности срыва. В главе предлагается методика, основанная на предположении кратности периода изменения частоты и интервала дискретизации системы. В результате удается получить рекуррентное выражение для вероятности срыва и в конечном итоге перейти к интегральному уравнению Фредгольма для моментов времени срыва. Также предлагается модифицированная методика расчета моментов времени срыва для СФС 2Цго порядка в случае фиксированных поглощающих границ, учитывающая результаты 2Цой главы. Особенность связана с выбором переменных при переходе к марковской модели, обеспечивающих корректность и эффективность численных процедур при поиске решений. В главе приводятся результаты анализа статистических посвящена характеристик проверки времени срыва для различных входных воздействий. Четвертая глава основных результатов - 13 - теоретических исследований, полученных в предыдущих главах диссертационной работы, и уточнению ряда результатов, вызванных учетом допущений, сделанных при выводе математических моделей исследованных типов СФС. С этой целью разработан аппаратноЦпрограммный комплекс, в состав комплекса входит персональный компьютер со специальным двухканальным устройством вводаЦвывода информации, модуль цифровой СФС на основе сигнального процессора ADSPЦ2181, узел сопряжения компьютера с цифровым модулем. АппаратноЦпрограммный комплекс может функционировать в различных режимах: в режиме компьютерной модели заданной структуры СФС, работающей в реальном или "модельном" времени;
в режиме цифрового модуля, реализующего структуру конкретного типа СФС;
режиме совместного функционирования цифрового модуля и контрольно - измерительного блока, реализованного на основе компьютера. Последний режим предполагает оптимизацию программного обеспечения процессора ADSP 2181 и контрольноЦизмерительного блока. В главе выполнен комплекс экспериментальных исследований для различных входных воздействий. Получены экспериментальные статистические характеристики фазовой и частотной параметров. ошибок, По в частности плотности распределения, оценки статистических моментов, пороговые кривые, для различных типов помех и их результатам экспериментальных исследований сформулированы предложения по реализации цифровых СФС на основе сигнальных процессор серии ADSP 2100, включая вопросы оптимизации программного обеспечения. Для практического использования предлагаются рекомендации по улучшению статистических характеристик дискретных СФС, функционирующих в условиях помех, за счет выбора параметров систем, и формулируются требования к входным помехам, в условиях которых система обеспечивает заданное качество. В заключении подведены итоги диссертации и показаны направления дальнейшего развития идей, предложенных в работе.
- 14 ГЛАВА 1. Математические модели дискретных СФС при комбинированных воздействиях В данной главе излагаются некоторые подходы для построения стохастических уравнений различных типов цифровых систем фазовой синхронизации. Рассматривается несколько групп систем с многоуровневым квантованием, получивших достаточно большое распространение в различных областях радиотехники и связи. К их числу относятся: 1. Цифровые СФС с равномерной дискретизацией. Представителем этой группы является система с квадратурным аналогоЦцифровым преобразованием входного сигнала. Подобные системы получили широкое распространение в цифровых радиоприемных устройствах в качестве синхронноЦфазовых демодуляторов и синхронноЦфазовых измерителей. 2. Цифровые СФС с неравномерной дискретизацией. Характерной особенностью данной группы является дискретизация входного сигнала импульсами с выхода перестраиваемого по частоте цифрового генератора. Подобные схемы достаточно просты в реализации и получили распространение в системах демодуляции, измерения, устройствах восстановления несущих и поднесущих частот. Кроме того можно показать, что некоторые другие типы дискретных систем с соответствующими допущениям также можно свести к уравнениям, полученным в этой главе, например, импульсные системы или цифровые системы с измерителем фазы на входе.
1.1. Модель цифровой СФС с равномерной дискретизацией На рис. 1.1 приведена структурная схема цифровой СФС с АЦП вне кольца системы и, соответственно, равномерной дискретизацией [8]. На схеме используются обозначения: ПФ - полосовой фильтр, АЦП - аналогоЦцифровой преобразователь, ЦФНЧ - цифровой фильтр нижних частот, ЦСЧ - цифровой синтезатор частоты, выходная кодовая последовательность которого имеет частоту, определяемую выходным кодом ЦФНЧ.
- 15 Полоса пропускания п полосового фильтра обычно выбирается равной полосе входного сигнала. Отсчеты входного сигнала sвх (k ) перемножаются на отсчеты сигнала uц (k ) синтезатора частот. Полученные в результате перемножения отсчеты uд (k ) поступают на цифровой фильтр. На выходе ЦФНЧ образуется сигнал u у (k ), который управляет частотой ЦСЧ.
s'вх(t) sвх(t) sвх(k) uд(k) ПФ АЦП uц(k) ЦФНЧ uу(k) ЦСЧ Рис. 1.1. Структурная схема цифровой СФС с равномерной дискретизацией Схема, приведенная на рис. 1.1 относится к классу цифровых СФС с аналогоЦцифровым преобразованием огибающей входной смеси на входе кольца [8]. Ей присущи некоторые недостатки, изЦза которых она не нашла практического применения. В частности, представляет большую проблему паразитная составляющая суммарной частоты на выходе фазового детектора и возникающая в результате перемножения двух последовательностей. Дело в том, что в цифровом виде внутри кольца по причине периодичности характеристик фильтрующих звеньев не удается эффективно подавить эту составляющую. Наличие ее в конечном итоге приводит к паразитным периодическим движениям с недопустимо большой амплитудой, исключающим наступление синхронизма (установившиеся процессы характеризуются состоянием квазисинхронизма). Кроме того, постановка в кольце дополнительного фильтра, как правило, приводит к ухудшению динамических характеристик кольца, что в большинстве практических случаев недопустимо. Освободиться от нее можно лишь удачным подбором рабочих частот, что не всегда удается сделать. Для непрерывных систем использование перемножителя в качестве фазового детектора не приводит к проблеме суммарной составляющей, поскольку от нее легко можно освободиться с - 16 помощью простого фильтра нижних частот, не оказывающего влияния на процесы в кольце. В значительной степени свободной от проблемы суммарной составляющей является схема цифровой СФС с квадратурным аналого - цифровым преобразованием на входе, приведенная на рис. 1.2. В состав схемы входит квадратурный аналогоЦцифровой преобразователь (КАЦП), два идентичных цифровых перемножителя, вычитатель кодов, умножитель кодов S1, cглаживающий фильтр, состоящий из цифрового интегратора, выполненного на основе накопительного сумматора НС1, пропорционального звена с коэффициентом умножения m и линейного сумматора, цифровой интегратор, выполненный на основе накопительного сумматора НС2, два функциональных преобразователя ФП1 и ФП2, представляющие собой синтезаторы отсчетов сигналов соответственно синусоидальной и косинусоидальной форм. В режиме демодуляции ЧМ, ЧТЦколебаний выходной сигнал снимается с выхода цифрового сглаживающего фильтра (астатического цифрового фильтра - интегратора), в режиме демодуляции ФМ, ФТЦколебаний выходной сигнал снимается с выхода цифрового интегратора НС2, выполняющего в системе функцию преобразователя "частота - фаза".
U1sin(вх[n] г[n]) U1cosвх(t) U2cosвых[n] U1U2sin(вх[n] г[n] вых[n]) KАЦП S НС U1cos(вх[n] г[n]) U2sinвых[n] ФП m НС ФП вых[n] Рис.1.2. Структурная схема ЦСФС с квадратурным преобразователем на входе - 17 Особенностью схемы является наличие на входе квадратурного аналого - осуществляющего формирование двух цифрового преобразователя, квадратурных кодовых последовательностей, соответствующих входному сигналу, с одновременным переносом их в область нулевых частот. Вид характеристики формируется за счет реализации математических операций с помощью двух перемножителей и вычитателя, на которые подаются квадратуры соответственно входного и выходного сигналов. Использование квадратурного детектора позволяет решить проблему суммарной составляющей, характерную для цифровых детекторов на основе одноканального перемножителя. В случае квадратурного преобразователя появление суммарной составляющей объясняется только неидентичностью каналов и нестрогой фазировкой квадратур, что с учетом относительного постоянства рабочих частот может быть сведено к минимуму. В качестве воздействия на входе СФС рассматривается аддитивная смесь полезного сигнала, широкополосного гауссового шума, а также ряда гармонических составляющих, определяющих детерминированное паразитное колебание: sвх (k ) = A sin ( с k + с (k ) ) + n1 (k ) + Ai sin ( i k + i (k ) ) i (1.1.1) где A, с, с (k ) - амплитуда, частота несущей и закон изменения фазы полезного колебания, Ai, i, i (k ) - амплитуда, частота несущей и закон изменения фазы iЦой составляющей паразитного детерминированного колебания, n1(k) - шумовые отсчеты с нулевым математическим ожиданием и 2 дисперсией n.
Так как сигнал поступает на вход СФС после прохождения линейного тракта с ограниченной полосой пропускания, шумовые отсчеты n(k) удобно представить в виде квадратур:
n1 (k ) = nc (k ) cos 0 k + ns (k ) sin 0 k (1.1.2) - 18 где 0 - частота, на которую настроен линейный тракт, nc(k) и ns(k) - независимые гауссовы шумовые отсчеты [16]. Колебания на выходе цифрового синтезатора отсчетов (ЦСО) можно описать следующим образом: uц (k ) = Aц cos( 0 k + ц (k ) ), (1.1.3) где Aц, ц(k) - амплитуда колебаний и закон изменения фазы сигнала на выходе ЦСО соответственно. Принцип действия квадратурного цифрового фазового детектора (ЦФД) можно представить как перемножение двух входных последовательностей, последующее исключение из результата суммарной составляющей и умножение на два. Таким образом, колебание на выходе цифрового детектора записывается в виде: uд (k ) = Aд Aц A{sin (( с 0 )k + с (k ) ц (k ) ) + + n (k ) nc (k ) cos( ц (k ) ) + s sin ( ц (k ) ) + A A A + i sin (( i 0 )k + i (k ) ц (k ) )}, iA (1.1.4) где Aд - коэффициент умножения детектора. Введем обозначения для начальной расстройки н н с 0, фазовой ошибки или фазового рассогласования x(k) x(k ) н k + с (k ) ц (k ) (1.1.5) (1.1.6) и частотной расстройки помехи i относительно несущей частоты полезного колебания - 19 i i с.
(1.1.7) Введем обозначения n(k) для шумовой составляющей, входящей в (1.1.4) n(k ) nc (k ) cos( ц (k ) ) + ns (k ) sin ( ц (k ) ). (1.1.8) Отсчеты n(k) при выполнении условия, что шумовая полоса системы много меньше полосы шума на входе, можно считать широкополосными гауссовыми шумовыми отсчетами с нулевым математическим ожиданием и 2 дисперсией n [16].
n(k)/A н k + c (k ) x(k) Х sin() S 1k + 1 ( k ) c ( k ) sin() A1 /A Kф(z) Е N k + N (k ) c (k ) sin() AN /A ц (k) 1/(zЦ1) Рис. 1.4. Эквивалентная функциональная схема дискретной СФС с равномерной дискретизацией для случая комбинированного входного воздействия С учетом (1.1.5)Ц(1.1.8) выражение (1.1.4) перепишем в виде A n( k ) + i sin ( x(k ) + i k + i (k ) с (k ) ). uд (k ) = Aд Aц Asin x(k ) + A iA (1.1.9) - 20 Анализ выражения (1.1.9) для колебания на выходе ФД позволяет свести функциональную модель цифровой СФС при наличии комбинированного входного воздействия к виду, изображенному на рис. 1.4. Особенностями полученной эквивалентной схемы является наличие пересчитанного на выход детектора входного шума, а также ряда идентичных блоков по числу гармонических составляющих в детерминированной помехе, осуществляющих подсуммирование к ошибке слежения системы разностных фаз между полезным воздействием и соответствующей гармонической составляющей помехи. В отличие от шумовой помехи составляющие детерминированной помехи не удается пересчитать в эквивалентное воздействие на выход фазового детектора. Для построения разностного стохастического уравнения запишем отсчеты выходного сигнала цифрового фильтра в символическом виде u ф (k ) = K ф ( z )u д (k ), (1.1.10) где K ф (z ) - коэффициент передачи фильтра в zЦобласти. Изменение фазы колебания с выхода ЦСО пропорционально управляющему сигналу ЦФНЧ, поэтому имеет место следующее равенство ц (k + 1) ц (k ) = K ц u ф (k ), (1.1.11) где K ц - эквивалентная крутизна перестраиваемого генератора. Используя (1.1.6), можно получить изменение фазовой ошибки за период дискретизации x(k + 1) x(k ) = н + с (k + 1) с (k ) ц (k + 1) + ц (k ). Из (1.1.9)Ц(1.1.12) следует x(k + 1) x(k ) = н + с (k + 1) с (k ) K ц K ф ( z )u д (k ). (1.1.13) (1.1.12) - 21 После подстановки (1.1.9) в (1.1.13) последнее следует рассматривать в качестве уравнения цифровой СФС для произвольного фильтра, записанного в символическом виде. Для фильтра 1Цго порядка, коэффициент передачи которого можно представить в виде отношения двух полиномов Kф ( z) = a0 z + a1, z + b (1.1.14) где a0, a1, b1 - постоянные коэффициенты, выражение (1.1.13) может быть приведено к виду (z + b1 )(x(k + 1) x(k ) ) = (z + b1 )( н + с (k + 1) с (k ) ) (a0 z + a1 ) K ц uд (k ).
(1.1.15) С учетом (1.1.9) приходим к разностному уравнению цифровой СФС 2Цго порядка с произвольным фильтром вида (1.1.14) x(k + 2) = (1 b1 ) x(k + 1) + b1 x(k ) + (1 + b1 ) н + с (k + 2) + (b1 1) с (k + 1) b1 с (k ) A n(k + 1) a 0 S sin x(k + 1) + + i sin ( x(k + 1) + (k + 1) i + i (k + 1) с (k + 1) ) A iA A n( k ) a1 S sin x(k ) + + i sin ( x(k ) + i k + i (k ) с (k ) ), A iA (1.1.16) где S Aд Aц AK ц (1.1.17) следует рассматривать в качестве обобщенного коэффициента усиления кольца синхронизации. Рассмотрим несколько примеров разностных стохастических уравнений для конкретных фильтров в цепи управления кольца СФС.
- 22 Для СФС 1Цго порядка (бесфильтровая система) a0 = 1, a1 = b1 = 0, уравнение (1.1.16) примет вид:
x(k + 1) = x(k ) + н + с (k + 1) с (k ) A n( k ) S sin x(k ) + + i sin ( x(k ) + i k + i (k ) с (k ) ). (1.1.18) A iA Для цифрового ПИФ, коэффициент передачи которого определяется выражением K ф ( z) = 1 +m, zd (1.1.19) где d, m - параметры фильтра, a0 = m, a1 = 1 md, b1 = d и общее уравнение (1.1.16) преобразуется к виду x(k + 2) = (1 + d ) x(k + 1) dx(k ) + (1 d ) н + с (k + 2) (1 + d ) с (k + 1) + d с (k ) A n(k + 1) Sm sin x(k + 1) + + i sin ( x(k + 1) + (k + 1) i + i (k + 1) с (k + 1) ) + A iA A n( k ) + S (md 1) sin x(k ) + + i sin ( x(k ) + i k + i (k ) с (k ) ). A iA (1.1.20) Для цифрового интегратора (ЦИ) с коэффициентом передачи K ф ( z) = 1 + m, z (1.1.21) где m - коэффициент форсирования, a0 = m, a1 = 1 m, b1 = 1, уравнение (1.1.16) преобразуется к виду - 23 x(k + 2) = 2 x(k + 1) x(k ) + с (k + 2) 2 с (k + 1) + с (k ) A n(k + 1) Sm sin x(k + 1) + + i sin ( x(k + 1) + (k + 1) i + i (k + 1) с (k + 1) ) + A iA A n( k ) + S (m 1) sin x(k ) + + i sin ( x(k ) + i k + i (k ) с (k ) ). A iA (1.1.22) В дальнейшем для перехода от стохастических уравнений к марковским моделям будут использованы другие обозначения, а именно:
a 0 = a, a1 = ad, b1 = d. С учетом (1.1.23) общее уравнение (1.1.16) примет вид x(k + 2) = (1 + d ) x(k + 1) dx(k ) + 2 (1 d ) + с (k + 2) (1 + d ) с (k + 1) + d с (k ) K sin x(k + 1) K1 n(k + 1) + Ai sin ( x(k + 1) + (k + 1) i + i (k + 1) с (k + 1) ) + i + Kd sin x(k ) + K1d n(k ) + Ai sin ( x(k ) + i k + i (k ) с (k ) ), i (1.1.24) где K = Aд Aц AK ц a, K1 = K / A. (1.1.25) (1.1.23) Нормированная частотная расстройка определяется выражением = 2 н.
(1.1.26) - 24 Сравнивая (1.1.24) и (1.1.20), можно установить следующее соответствие коэффициентов уравнений (S, m) и (K, ) для СФС с пропорционально - интегрирующим фильтром S (md 1), K= d = md, md 1 Обратная замена выглядит следующим образом (1.1.27) S = Kd ( 1),. m= d ( 1) (1.1.28) Выписывая конкретный вид закона изменения фазы полезного сигнала с(k), а также закона изменения фазы детерминированного паразитного воздействия i(k), и подставляя их в (1.1.18), (1.1.20), (1.1.22), (1.1.24) и используя переходы (1.1.27)Ц(1.1.34) к уравнениям в новых обозначениях параметров фильтра (1.1.28), можно получить вид разностных уравнений для различных входных воздействий и соответственно различных типов фильтров в цепи управления. Для случая, когда полезный сигнал представляет собой гармоническое колебание, т.е. с(k) = 0, а детерминированная помеха отсутствует, т.е. Ai = 0, разностное уравнение бесфильтровой СФС имеет вид x(k + 1) = x(k ) + 2 (1 d ) K sin x(k ) K1n(k + 1). (1.1.31) Для СФС с пропорциональноЦинтегрирующим фильтром уравнение примет вид x(k + 2) = (1 + d ) x(k + 1) dx(k ) + 2 (1 d ) K sin x(k + 1) + Kd sin x(k ) K1 n(k + 1) + K1d n(k ).
(1.1.32) - 25 Уравнение СФС с интегратором x(k + 2) = 2 x(k + 1) x(k ) K sin x(k + 1) + K sin x(k ) K1 n(k + 1) + K1 n(k ).
(1.1.33) Для случая, когда полезный сигнал является ЧМЦколебанием, т.е.
с (k ) = м sin м k, детерминированная помеха отсутствует, разностное уравнение для бесфильтровой СФС имеет вид x(k + 1) = x(k ) + 2 (1 d ) + м [sin(k + 1) м ] K sin x(k ) K 1 n(k + 1), (1.1.34) для СФС с пропорциональноЦинтегрирующим фильтром x(k + 2) = (1 + d ) x(k + 1) dx(k ) + 2 (1 d ) + + м [sin(k + 2) м (1 + d ) sin(k + 1) м + d sin k м ], K sin x(k + 1) + Kd sin x(k ) K1 n(k + 1) + K1dn(k ) для СФС с интегратором x(k + 2) = 2 x(k + 1) x(k ) + + м [sin( k + 2) м 2 sin(k + 1) м + sin k м ] K sin x(k + 1) + K sin x(k ) K1 n(k + 1) + K1n(k ). Пусть на входе системы присутствует аддитивная смесь полезного и паразитного гармонических колебаний. Уравнение бесфильтровой СФС имеет вид x(k + 1) = x(k ) + 2 K sin x(k ) K1 n(k ) K1 A1 sin ( x(k ) + k1 + 1 ), (1.1.35) (1.1.36) (1.1.37) для СФС с пропорциональноЦинтегрирующим фильтром - 26 x(k + 2) = (1 + d ) x(k + 1) dx(k ) + 2 (1 d ) K sin x(k + 1) + Kd sin x(k ) K1 n(k + 1) + K 1d n(k ) K 1 A1 sin ( x(k + 1) + (k + 1) 1 + 1 ) + K 1dA1 sin ( x(k ) + 1k + 1 ) ).
(1.1.38) для СФС с интегратором x(k + 2) = 2 x(k + 1) x(k ) K sin x(k + 1) + K sin x(k ) K1 n(k + 1) + K1 n(k ) K 1 A1 sin ( x(k + 1) + (k + 1) 1 + 1 ) + K 1 A1 sin ( x(k ) + 1 k + 1 ) ).
(1.1.39) Разностные уравнения для более общего случая, когда на входе системы присутствуют полезный ЧМЦсигнал и паразитное ЧМЦвоздействие, т.е.
1 (k ) = м 1 sin ( м 1k + м 1 ) + 1, имеют следующий вид:
для бесфильтровой СФС K1 A1 sin (x(k ) + k1 + м 1 sin (k ) м 1 + м 1 + 1 м sin[(k ) м ]) для СФС с цифровым ПИФ x(k + 2) = (1 + d ) x(k + 1) dx(k ) + 2 (1 d ) + + м [sin(k + 2) м (1 + d ) sin(k + 1) м + d sin k м ] K sin x(k + 1) + Kd sin x(k ) K1 n(k + 1) + K1 d n(k ) x(k + 1) = x(k ) + 2 + м [sin(k + 1) м sin( k ) м ] K sin x(k ) K1 n(k ) [ ] (1.1.40) K1 A1 sin (x(k + 1) + (k + 1) 1 + м 1 sin (k + 1) м 1 + м 1 + 1 м sin[(k + 1) м ]) + + K1 dA1 sin (x(k ) + k 1 + м 1 sin k м 1 + м 1 + 1 м sin[k м ] ) [ [ ] ] (1.1.41) для СФС с интегратором - 27 x(k + 2) = 2 x(k + 1) x(k ) + + м [sin(k + 2) м 2 sin(k + 1) м + 1sin k м ] K sin x(k + 1) + K sin x(k ) K1 n(k + 1) + K1 n(k ) K1 A1 sin (x(k + 1) + (k + 1) 1 + м 1 sin (k + 1) м 1 + м 1 + 1 м sin[(k + 1) м ]) + + K1 A1 sin (x(k ) + k 1 + м 1 sin k м 1 + м 1 + 1 м sin[k м ] ).
[ [ ] ] (1.1.42) По аналогии можно выписать стохастические разностные уравнения и для других типов модуляций полезного сигнала или детерминированной помехи, например, для ФТЦколебаний.
1.2. Модель цифровой СФС с неравномерной дискретизацией Большую популярность в системах слежения получили цифровые СФС, в которых аналогоЦцифровой преобразователь огибающей одновременно выполняет функцию фазового детектора. При этом стробирование в АЦП осуществляется нерегулярными следующими импульсами с выхода синтезатора частоты. Подобные схемы отличаются простотой и достаточно высокими характеристиками слежения. Структурная схема цифровой СФС с неравномерной дискретизацией представлена на рис.1.5. Сигнал sвх (t ), пройдя через полосовой фильтр (ПФ), поступает на аналогоЦцифровой преобразователь, где осуществляется дискретизация тактовыми импульсами uц (k ). Частота импульсов определяется сигналом управления u у (k ), поступающим с выхода цифрового фильтра на вход управления цифрового синтезатора частот (ЦСЧ). Пусть сигнал на входе АЦП имет вид sвх (t ) = s(t ) + n(t ) = A sin( 0t + (t )) + n(t ), (1.2.1.) где (t ) - фаза полезного сигнала, содержащая информацию о передаваемом сообщении, 0 - несущая частота полезного сигнала, n(t ) - ограниченный в - 28 полосе частот гауссовский шум с постоянной спектральной плотностью, полоса шума достаточно велика, чтобы считать отстоящие друг от друга на конечное время отсчеты n(t ) независимыми.
s' вх(t) sвх(t) uд(k) ПФ АЦП uц(k) ЦФНЧ uу(k) ЦСЧ Рис. 1.5. Структурная схема цифровой СФС с неравномерной дискретизацией Обозначим через t (k ) интервал времени, прошедший за k тактов дискретизации, а через T (k ) - временной интервал между (kЦ1)Цм и kЦм моментом дискретизации. Тогда T (k ) = t (k ) t (k 1), сответственно t (k ) = T (i ).
i =1 k (1.2.2) (1.2.3) В этом случае сигнал на выходе АЦП будет иметь вид u д (k ) = A sin[ 0t (k ) + c (t (k ))] + n(t (k )). (1.2.4) Последовательность { u д (k ) } поступает на вход цифрового фильтра, выход которого { Y (k ) } используется для управления периодом цифрового генератора по закону - 29 T (k + 1) = T Y (k ), где T = 2 / 0 - номинальный период цифрового генератора.
(1.2.5) Для вывода общего уравнения обратимся к выражению (1.2.4). Пусть начальный момент времени t0 = 0, тогда согласно (1.2.2) и (1.2.5) имеем t (k ) = T (i ) = kT Y (i ).
i =1 i =0 k k (1.2.6) С учетом (1.2.6) можно переписать (1.2.4) в виде k 1 u д (k ) = A sin (k ) 0 Y (i ) + n(k ). i = (1.2.7) Определим фазовую ошибку x(k) следующим образом x(k ) = (k ) 0 Y (i).
i =0 k (1.2.8) Для кодовой последовательности на выходе цифрового фильтра справедлива следующая символическая запись Y (k ) = K ф ( z )u д (k ). С учетом (1.2.7), (1.2.8) и (1.2.9) приходим к следующему уравнению x(k + 1) x(k ) = (k + 1) (k ) K ф ( z )[ A sin x(k ) + n(k )]. (1.2.10) (1.2.9) Выражение (1.2.10) представляет собой символическое разностное уравнение цифровой СФС с неравномерной дискретизацией. Задавая конкретный вид K ф (z ), можно получить соответствующие стохастические - 30 уравнения для конкретных фильтров системы. Задавая закон изменения входной фазы (k ), можно получить уравнения для конкретных воздействий. Для общего фильтра 1Цго порядка вида (1.1.14) символическое уравнение приводится к виду ( z + b1 )( x(k + 1) x(k )) = ( z + b1 )( (k + 1) (k )) (a0 z + a1 )[ A sin x(k ) + n(k )].
(1.2.11) Если несущая частота входного воздействия не совпадает с частотой 0, то в уравнении (1.2.11) дополнительно появится член, отвечающий за частотную растройку, который можно определить по аналогии с (1.1.5). С учетом данного замечания (1.2.11) преобразуется к виду ( z + b1 )( x(k + 1) x(k )) = ( z + b1 )( н + с (k + 1) с (k )) (a0 z + a1 )[ A sin x(k ) + n(k )].
(1.2.12) Отметим, что с точностью до обозначений общие уравнения (1.2.11), (1.2.12) совпали с уравнениями цифровой системы с равномерной дискретизацией. Для бесфильтровой СФС уравнение (1.2.12) примет вид n( k ), x(k + 1) x(k ) = н + с (k + 1) с (k ) S sin x(k ) + A (1.2.13) где S = A. Для СФС с пропорциональноЦинтегрирующим фильтром (ПИФ) x(k + 2) = (1 + d ) x(k + 1) dx(k ) + (1 d ) н + с (k + 2) (1 + d ) с (k + 1) + n(k + 1) n(k ) (1.2.14) + d с (k ) Sm sin x(k + 1) +. + S (md 1) sin x(k ) + A A Для СФС цифровым интегратором - 31 x(k + 2) = 2 x(k + 1) x(k ) + с (k + 2) 2 с (k + 1) + с (k ) n(k + 1) n( k ) Sm sin x(k + 1) +. + S (m 1) sin x(k ) + A A (1.2.15) С учетом замены (1.1.28) уравнения (1.2.14), (1.2.15) преобразуются соответственно к виду x(k + 2) = (1 + d ) x(k + 1) dx(k ) + (1 d ) н + с (k + 2) (1 + d ) с (k + 1) + n(k ) n(k + 1) + d с (k ) K sin x(k + 1) +. + Kd sin x(k ) + A A и x(k + 2) = 2 x(k + 1) x(k ) + с (k + 2) 2 с (k + 1) + с (k ) n(k + 1) n( k ) K sin x(k + 1) +. + Kd sin x(k ) + A A (1.2.16) (1.2.17) При скачке по фазе во входном колебании выполняется условие с(k+1) = с(k), k 0. При этом (1.2.16) и (1.2.17) преобразуется к виду x (k + 2) = (1 + d ) x(k + 1) dx (k ) + (1 d ) н n(k + 1) n( k ) K sin x(k + 1) + + Kd sin x(k ) + A A (1.2.18) и x(k + 2) = 2 x(k + 1) x(k ) n( k ) n(k + 1) K sin x(k + 1) + + Kd sin x(k ) +. A A (1.2.19) Совпадение уравнений цифровых СФС с равномерной и неравномерной дискретизацией позволяет утверждать, что схемы можно свести к единой эквивалентной функциональной схеме и для более общего случая входного воздействия. В свою очередь, это говорит о том, что и для комбинированного - 32 воздействия, представляющего смесь полезного сигнала, детерминированной помехи и шума, уравнения будут схожими. Для доказательства можно рассмотреть входной сигнал в виде sвх (t ) = s (t ) + n(t ) = A sin( 0t + c (t )) + n(t ) + Ai sin ( 0t + i(t ) ), i (1.2.20) где Ai, i(t) - амплитуда и закон изменения фазы iЦой составляющей помехи, и получить выражение на выходе АЦП, выполняющего роль фазового детектора.
n(k)/A н k + c (k ) x(k) Х sin() 1k + 1 ( k ) c ( k ) sin() A1/A Kф(z) Е N k + N (k ) c (k ) sin() AN /A 0/(zЦ1) Рис. 1.6. Эквивалентная функциональная схема цифровой СФС с неравномерной дискретизацией для случая комбинированного входного воздействия Очевидно, что в этом случае u д (k ) = A sin[ 0t (k ) + (t (k ))] + n(t (k )) + Ai sin ( 0t (k ) + i(t (k )) ).
i (1.2.21) С учетом замены (1.2.8) выражение (1.2.21) преобразуется к виду u д (k ) = A sin x(k ) + n(k ) + Ai sin ( x(k ) + k i + i (k ) с (k ) ), i (1.2.22) - 33 где i, i(k) - нормированная частотная расстройка и закон изменения фазы iЦой составляющей помехи. Проделав рассуждения, аналогичные случаю отсутствия детерминированной помехи, с учетом (1.2.22) можно получить стохастическое разностное уравнение, совпадающее с (1.1.24). Анализ выражений (1.2.22) и (1.2.8), а также структурной схемы, приведенной на рис. 1.5, позволяет получить эквивалентную функциональную схему системы с неравномерной дискретизацией в безразмерном времени. Ее вид представлен на рис. 1.6. Сравнение рис. 1.6 и рис. 1.4 позволяет говорить о подобии функциональных схем, полученных для цифровых СФС с равномерной и неравномерной дискретизацией. Соответственно поведение систем в безразмерном времени совпадут. Отличие в поведении двух систем появятся при переходе к размерному времени.
- 14 1.3. Выводы 1. В главе получены математические модели в форме стохастических разностных уравнений для двух классов дискретных систем фазовой синхронизации для случая комбинированных воздействий, представляющих собой аддитивную смесь полезного колебания с угловой модуляцией, детерминированной помехи в виде ряда из N гармонических составляющих с произвольным законом изменения фазы и гауссовского шума. Уравнения написаны в терминах разности полной фазы входного полезного колебания и полной фазы выходного колебания. К первому классу относятся СФС с равномерной дискретизацией, их характерной особенностью является наличие аналогоЦцифрового преобразования на входе кольца, ко второму - системы с неравномерной дискретизацией, для них аналогоЦцифровой преобразователь, как правило, реализуется непосредственно в фазовом детекторе. 2. Для СФС с равномерной дискретизацией получена эквивалентная функциональная схема, согласно которой шумовое воздействие пересчитывается на выход фазового детектора в виде аддитивной широкополосной гауссовской составляющей, учет гармонических составляющих помехи эквивалентен введению параллельно основному N фазовых детекторов, на выходе вычитателей которых дополнительно подсуммируются разности полных фаз полезного колебания и соответствующей составляющей ряда (рис. 1.4). 3. Эквивалентную функциональную схему для СФС с неравномерной дискретизацией в рамках сделанных допущений удалось свести к схеме с равномерной дискретизацией. Это означает, что записанные в безразмерном времени стохастические уравнения двух классов СФС аналогичны с точностью до физического смысла коэффициентов, что в свою очередь позволяет свести исследование двух классов систем к изучению обобщенной математической модели. Отличие в результатах появляется при переходе во временных зависимостях от безразмерного времени к размерному.
- 35 ГЛАВА 2. Статистические характеристики фазового рассогласования дискретной СФС 2Цго порядка в условиях комбинированных воздействий Глава посвящена разработке методики расчета двумерных и одномерных плотностей распределения вероятности и фазовых рассогласований дискретных СФС 2Цго порядка, а также анализу статистических характеристик дискретных СФС с двумя типами фильтров, получивших наибольшее распространение: пропорционально интегрирующим и интегратором с форсированием (астатическим). Необходимость разработки методики вызвана особенностями поведения дискретных систем с периодической нелинейностью на фазовом плоскости и связана с поиском областей с инвариантными движениями. Наличие таких областей позволяет уйти от анализа поведения систем в бесконечных интервалах изменения координатах и корректно свернуть выражения для плотностей вероятности и условных плотностей вероятности перехода к конечному интервалу. В основе поиска областей с подобными движениями лежат результаты исследования нелинейной динамики дискретных СФС 2Цго порядка, изложенные в работах [35, 47, 48]. В [61] автор диссертации апробировал предложенную методику применительно к системам синхронизации для случая воздействия с постоянной частотой. В работе [82] методика была применена для расчета двумерной плотности вероятности фазовой ошибки цифровой СФС для воздействия в виде аддитивной смеси полезного сигнала с постоянной частотой и расстроенной по частоте гармонической помехи. Ниже приводятся основные положения методики для достаточно общего случая входного воздействия и результаты анализа дискретных СФС для различных входных воздействий, включая различные помехи.
- 36 2.1. Построение марковских моделей 2.1.1. Анализ инвариантных движений на фазовой плоскости Особенностью СФС является наличие периодической нелинейности, связанной с характеристикой фазового детектора. Это приводит к тому, что в фазовом пространстве для любой изображающей точки можно указать бесконечное количество других точек, движения из окрестности которых идентичны. Разностное уравнение дискретной СФС 2Цго порядка при наличии на входе полезного гармонического сигнала можно получить из (1.1.32) xk +1 = (1 + d ) xk d xk 1 + d ( d ) K sin xk + Kd sin xk (2.1.1) где = 2 (1 d ) / d ( d ) - величина, связанная с начальной частотной расстройкой, = / 0 - нормированная на частоту дискретизации начальная частотная расстройка.
x Х A N Х Х K Х B ХA x - M Х A Х Х L Х B - Рис. 2.1. Типичные фазовые траектории дискретной СФС 2Цго порядка на фазовой плоскости На рис. 2.1 изображен фрагмент фазовой плоскости и несколько фазовых траекторий системы (1) в координатах (x1, x2), где - 37 x1 (k ) = xk 1, x2 (k ) = xk.
(2.1.2) Переменные состояния (x1, x2) периодичны по 2 в том смысле, что в любой момент времени координаты изображающей точки, начавшей свое движение из A{x10, x20} будут отличаться на 2 от координат изображающей точки, начавшей свое движение из A1{x10+2, x20+2}. Данный факт отмечен на рис. 2.1 похожими траекториями из точек A, A1, A2, отстоящих друг от друга на 2 вверх и вправо. На рисунке также показана фазовая траектория из точки B1{x10+2, x20}. В данном случае отличие от точки A имеется лишь в значении одной из координат, и поэтому траектории в наиболее общем случае будут различными. Безусловно, траектория из B2{x10, x20Ц2} будет также отличаться от траектории из A, т.к. точка B2 отличается от A по одной из координат, однако она будет совпадать с траекторией из B1. Для доказательства идентичности движений из A{ x1, x 2 } и A1{ x1, x 2 }, координаты которых удовлетворяют условию x1 (0) = x1 (0) + 2, x2 (0) = x2 (0) + 2, (2.1.3) достаточно найти разницу между отсчетами в последующие моменты времени. После подстановки (2.1.3) в (2.1.1) можно получить следующее выражение x ( 2) = x ( 2) + 2, (2.1.4) что равносильно x1 (1) = x1 (1) + 2, x2 (1) = x2 (1) + 2.
(2.1.5) Таким образом координаты в следующий момент времени также отличаются на 2. Очевидно, что и в последующие моменты разницы в 2 сохранится.
- 38 Для сравнения траекторий из A{ x1, x 2 } и B1{ x1, x 2 }, нужно провести описанную процедуру для x1(0) = x1 (0) + 2, x2 (0) = x2 (0), что приводит к x( 2) = x( 2) d 2.
(2.1.6) (2.1.7) Таким образом можно сделать вывод, что фазовые траектории из A и B1 не будут подобными. Вышеприведенные рассуждения позволяют провести модификацию бесконечного по обеим координатам фазового пространства системы. Как показано выше, все движения, начинающиеся в точках с координатами x1 = x10 + 2 k x2 = x20 + 2 k, (2.1.8) являются подобными. Физически это означает, что состояния системы, когда текущие значения фазовых ошибок различаются на 2, а текущие частотные расстройки, которые можно определить как разность фазовых ошибок в текущий и предыдущий моменты времени, равны, могут считаться инвариантными. Случай, когда частотные расстройки различаются на 2, не могут считаться инвариантными. Таким образом в качестве фазового пространства может выступать вертикальная или горизонтальная полоса шириной 2 в координатах (x1, x2). На рис. 2.1 первый вариант показан штриховкой. В этом случае вид фазового пространства СФС 2Цго порядка называют цилиндрическим. Анализируя (2.1.7), можно сделать некорректный вывод о том, что в случае астатического фильтра (d = 1) с учетом периодичности фазовой координаты поведение системы из точек A и B1 будет идентичным. Данное утверждение равносильно утверждению идентичности поведения системы из множества точек, удовлетворяющих условию - 39 x1 = x10 + 2 m, x2 = x20 + 2 n.
(2.1.9) Если данное условие считать корректным, то фазовая плоскость сворачивается в квадрат со сторонами 2, обозначенный KLMN на рис. 2.1. С точки зрения динамики величины xk, приведенной к интервалу (Ц, ), движения, начинающиеся из (2.1.9), действительно будут идентичными. Но при этом поведение системы в других точках схемы может быть различным. В частности, на выходе фильтра должны устанавливаться значения, обеспечивающие дополнительные набеги фазы на 2 за период. Поэтому в наиболее общем случае состояния (2.1.9) не могут быть отождествлены.
2.1.2. Вид уравнения КолмогороваЦЧепмена гармонического воздействия для случая Поведение дискретной СФС 2Цго порядка при наличии на входе шума и полезного гармонического колебания описывается следующим стохастическим разностным уравнением, которое можно получить из (1.1.32) xk +1 = (d + 1) xk d xk 1 + d ( d ) K sin xk + + Kd sin xk 1 K1 nk + K1d nk 1, (2.1.10) где K1 равен параметру K, нормированному на амплитуду входного колебания, nk - отсчеты входного шума. Уравнение (2.1.10) с учетом замены (2.1.2) равносильно системе из двух уравнений первого порядка x1 (k + 1) = x2 (k ) x2 (k + 1) = (1 + d ) x2 (k ) d x1 (k ) + d ( d ) K sin x2 (k ) + + Kd sin x (k ) K n + K d n. 1 1 k +1 1 k (2.1.11) - 40 Выражение (2.1.11) содержит шумовые отсчеты в различные моменты времени. Это приводит к зависимости нового состояния системы не только от предыдущего состояния, но и более раннего. Таким образом система уравнений (2.1.11) не описывает марковскую последовательность. Чтобы получить марковскую модель и в дальнейшем использовать эффективные подходы для ее анализа, необходимо выполнить преобразование координат. Перед тем, как получить соответствующие выражения, имеет смысл рассмотреть известные подходы к решению задачи определения ПРВ фазовой ошибки для дискретной СФС 2Цго порядка [17, 38]. В [17] для этого предлагается воспользоваться заменой следующего вида x1 = dy1 y 2 + (2.1.12) x2 = dy 2 + [(1 + d ) y 2 dy1 d + K sin( dy1 y 2 + )] K1 nk.
После подстановки (2.1.12) в (2.1.11) получается следующая система уравнений y1 (k + 1) = y 2 (k ) y 2 (k + 1) = (1 + d ) y 2 (k ) dy1 (k ) d + K sin (dy1 (k ) y 2 (k ) + ) + (2.1.13) + K 1n k. В случае независимости случайных отсчетов nk и стационарности параметров их распределения выражение (2.1.13) описывает двумерную простую марковскую последовательность. В силу этого двумерная плотность распределения вероятности случайных величин y1(k) и y2(k) удовлетворяет векторному уравнению КолмогороваЦЧепмена (КЧ) [79] wk +1 ( y1, y 2 ) = q( y1, y 2 | z1, z 2 ) wk ( z1, z 2 )dz1dz 2, (2.1.14) где wk(y1, y2) - искомая плотность вероятности на kЦой итерации, q(y1, y2 | z1, z2) - условная плотность вероятности или плотность вероятности перехода системы из состояния (z1, z2) в состояние (y1, y2).
- 41 ПРВ перехода q(y1, y2 | z1, z2) можно получить из (2.1.13), заменив ym(k+1) на ym, а ym(k) на zm y1 z 2 = 0, y 2 (1 + d ) z 2 + dz1 + d K sin (dz1 z 2 + ) = K1nk.
(2.1.15) Анализ (2.1.15) позволяет сделать вывод, что событие, при котором первая координата принимает значение y1, не зависит от события, при котором вторая координата принимает значение y2. Поэтому ПРВ перехода можно записать в виде произведения q ( y1, y 2 | z1, z 2 ) = q1 ( y1 | z1, z 2 ) q 2 ( y 2 | z1, z 2 ).
(2.1.16) Заметим, что q1 ( y1 | z1, z 2 ) = ( y1 z 2 ).
(2.1.17) Плотность вероятности того события, что на следующем шаге вторая координата примет значение y2 при условии нахождения системы в состоянии (z1, z2), равна плотности вероятности того, что величина K1nk примет значение, стоящее слева от знака равенства во втором уравнении выражения (2.1.15). Считая распределение nk белым гауссовским с нулевым математическим ожиданием, можно записать q2 ( y 2 | z1, z 2 ) = 1 2 c (2.1.18) 1 2 exp 2 [ y 2 (1 + d ) z 2 + dz1 + d K sin (dz1 z 2 + )], 2c где c2 - дисперсия величины K1nk, определяемая через дисперсию входного шума n2 следующим образом 2 c 2 = K12 n.
(2.1.19) - 42 Таким образом, ПРВ перехода имеет следующий вид q( y1, y 2 | z1, z 2 ) = 1 2 c ( y1 z 2 ) (2.1.20) 1 2 exp 2 [ y 2 (1 + d ) z 2 + dz1 + d K sin (dz1 z 2 + )]. 2c После подстановки (2.1.20) в (2.1.14) и учета интегрирования Цфункции получаем следующее выражение wk +1 ( y1, y 2 ) = q ( y1, y 2 | z1 ) wk ( z1, y1 )dz1, (2.1.21) где q( y1, y 2 | z1 ) = 1 2 c (2.1.22) 1 2 exp 2 [ y 2 (1 + d ) y1 + dz1 + d K sin (dz1 y1 + )]. 2c Уравнения (2.1.21) и (2.1.22) получены в предположении, что переменные y1 и y2 определены на бесконечности. Для численного расчета (2.1.21) приходится искусственно ограничивать область определения переменных конечными пределами. При этом из рассмотрения исключаются важные движения с нарастанием фазы, например, кратные захваты или предельные циклы 2Цго рода. Кроме того в присутствии шума изображающая точка, находящаяся вблизи состояния синхронизма, имеет ненулевую вероятность перескочить на следующий период, а из него в свою очередь на следующий и т.д. Описанные особенности являются следствием цилиндричности фазового пространства СФС. Чтобы учесть идентичность множества состояний на бесконечной фазовой плоскости и, следовательно, учесть проскальзывания фазы, необходимо модифицировать (2.1.21) и связанные с ним выражения. В [17, 38] предлагается следующий переход - Wk +1 ( y1, y 2 ) = K ( y1, y 2 | z1 )Wk ( z1, y1 )dz1, (2.1.23) где K ( y1, y 2 | z1 ) = 1 2 c [2 n + y 2 (1 + d ) y1 + dz1 + d K sin (dz1 y1 + )]2 exp 2c 2 n = (2.1.24) и Wk ( y1, y 2 ) = m = n = wk ( y1 + 2 n, y2 + 2 m).
(2.1.25) В выражениях (2.1.23)Ц(2.1.25) под y1 и y2 подразумеваются новые фазовые координаты, определенные на отрезке (Ц, ). Выражение (2.1.25) равносильно траекторий, начинающихся в точках y1 = y10 + 2 m, y 2 = y 20 + 2 n.
утверждению об идентичности Таким образом, выражением (2.1.25) бесконечное фазовое пространство преобразуется в квадрат со сторонами (Ц, ), что, как показано в предыдущем параграфе, неверно. Таким образом (2.1.23)Ц(2.1.25) для наиболее общего случая не могут считаться корректными. Детальное изучение преобразования (2.1.12), позволяет указать на более серьезные принципиальные ошибки в (2.1.23)Ц(2.1.25), обусловленные различной геометрией фазовых портретов в переменных (x1, x2) и (y1, y2). На рис. 2.2 представлен фазовый портрет дискретной СФС в координатах (y1, y2), где построены вспомогательные кривые, определяемые выражением x1 = 2 m и x2 = 2 n. Также на рисунке показаны опорные точки K, L, M, N, A, A1, A2, B1, B2, - 44 присутствующие на рис. 2.1. При построении использовано преобразование координат, обратное (2.1.12), которое, как легко убедиться, имеет вид x2 d + K 2 sin x1 x1 ( + d d ) y1 = d (d )(1 ) y = x2 + K sin x1 x1 (1 + d ). 2 (d )(1 ) y A Х (2.1.26) N Х M Х ХA y 2 /( - d ) - B Х KХ A Х 2 /( - d ) 1 2 3 4 5 6 - - - - - - x1 = x1 = x1 = x2 = x2 = x2 = LХ Х B - 0 - - Рис. 2.2. Фрагмент фазовой плоскости СФС 2Цго порядка в координатах (y1, y2) Вследствие особенностей нелинейного преобразования (2.1.12) прямые x1 = const отображаются на плоскость (y1, y2) также в виде прямых. Поэтому полоса - x1 <, из которой реализуются всевозможные фазовые движения, на плоскости (y1, y2) также отображается в полосу. При этом множество инвариантных состояний (2.1.8) в новых координатах будет выглядеть следующим образом 2 y1 = y10 + k d y = y + 2 k. 20 2 d (2.1.27) - 45 Условие (2.1.27) можно получить из (2.1.13), положив y1 равным y1 + C1, а y2 равным y 2 + C y1 (k + 1) + C1 = y 2 (k ) + C 2 y 2 (k + 1) + C 2 = (1 + d ) ( y (k ) + C 2 ) d ( y1 (k ) + C1 ) d + 2 + K sin (d ( y1 (k ) + C1 ) ( y (k ) + C2 ) + ) + K1nk. (2.1.28) Для нахождения C1,2, прибавление которых к y1,2 не изменит характер траекторий, необходимо привести (2.1.28) к виду (2.1.13). При этом из первого уравнения (2.1.28) следует равенство C1 = C2 = C, а из второго dC C = 2 k. Из последнего равенства можно получить период координат y1, Ty1 = Ty2 = Ty = Из (2.1.29) 2. d следует условие (2.1.27). Приведенные (2.1.29) рассуждения доказывают неправомерность использования периода 2 в (2.1.23)Ц(2.1.25). Анализ преобразования (2.1.12) показывает, что множество - x1 отображается на плоскость (y1, y2) в виде наклонной полосы. Это приводит к неудобству и дополнительным вычислительным затратам при выполнении операции свертывания координат и интегрировании при численном решении уравнения КолмогороваЦЧепмена (КЧ). Между тем можно получить преобразование исходных переменных, при использовании которого наклонная полоса, как и в исходных переменных, будет параллельна одной из координатных осей фазовой плоскости. В то же время в новых переменных система уравнений будет описывать марковскую последовательность. Подобный переход к переменным (u1, u2) имеет следующий вид x1 = u 2 (2.1.30) d ( d )( 1) + d d x2 = u1 + u 2 K sin u 2 + d K1 nk. Преобразование, обратное (2.1.30), выглядит следующим образом - 46 x2 d + K 2 sin x1 x1 ( + d d ) + K1 2 nk u1 = d (d )(1 ) u = x. 2 u (2.1.32) L Х Х B K Х Х A u - Х B Х Х M A Х N - 2 /( - d ) Х A Рис. 2.3. Фрагмент фазовой плоскости в координатах (u1, u2) Переменные (u1, u2) связаны простой линейной зависимостью с (y1, y2) u1 = y1 u 2 = dy1 y 2 + , (2.1.33) обратное преобразование имеет вид y1 = u1 du u 2 + y2 = 1. (2.1.34) Используя приведенные преобразования, можно на фазовой плоскости (u1, u2) по аналогии с рис. 2.2 отобразить вспомогательные кривые и точки. Данные геометрические построения показаны на рис. 2.3. Систему уравнений в новых координатах легко получить из (2.1.11) и (2.1.30) - 47 1 d u1 (k + 1) = u1 (k ) u 2 (k ) + d ( d )( 1) + d d u1 (k ) + u 2 (k ) K sin u 2 (k ) + u 2 (k + 1) = + d K1 nk.
(2.1.35) Для получения уравнения КолмогороваЦЧепмена в координатах (u1, u2) необходимо выписать ПРВ перехода. Для этого можно выполнить действия аналогичные (2.1.15)Ц(2.1.22). В результате ПРВ перехода будет иметь вид q (u1, u 2 | v1, v2 ) = 1 exp 2 2 2c (u1 v1 + 2 ) 22 2 c d v d ( d )( 1) d v1 (1 + d )v2 + K sin v2 d u 2, (2.1.36) где c2 определяется по (2.1.19). Соответственно, векторное уравнение КЧ будет иметь вид wk +1 (u1, u 2 ) = q(u1, u 2 | v1, v2 ) wk (v1, v2 )dv1dv2.
(2.1.37) Чтобы проинтегрировать (2.1.37) по одной переменной с учетом - функции, необходимо сделать замену переменных следующего вида v2 d t = u1 v1 + = v, (2.1.38) что равносильно - 48 1 v1 = [ u1 + t ] d v2 =.
После замены переменных получаем следующее уравнение L2 L (2.1.39) wk +1 (u1, u 2 ) = J L1 L q(u1, u 2 | v1[t, ], v2 [t, ])wk (v1[t, ], v2 [t, ])dtd, v2 t. v (2.1.40) где v1 J = t v (2.1.41) Пределы интегрирования, как легко показать, равны t (+,), (,+). Из (2.1.39) и (2.1.41) следует, что J = (2.1.42) d.
(2.1.43) После подстановки (2.1.36), (2.1.42) и (2.1.43) в (2.1.40) с учетом изменения порядка интегрирования по t за счет отрицательного знака в (2.1.43) получается следующее выражение для ПРВ фазовой ошибки wk +1 (u1, u 2 ) = d 1 2 c 2 wk ( d [ u1 + t ], ) (t ) (2.1.44) 1 exp 2 2 2c d ( d )( 1) ( u1 + t ) u 2 (1 + d ) + K sin d dtd.
- 49 Наконец, с учетом Цфункции приходим к следующему уравнению для ПРВ фазовой ошибки wk +1 (u1, u 2 ) = 1 2 c 2 d wk ( d [ u1 + v2 ], v2 ) exp 2c 2 2 [u ( d )( 1)u1 v2 + K sin v2 (1 + d )] dv2.
Нетрудно получить выражение, аналогичное (2.1.45), но с исключенной переменной v2. Важно отметить, что выражение (2.1.45) получено в предположении неограниченности фазовых координат, поэтому необходимо модифицировать его для использования на цилиндрическом фазовом пространстве. Повторяя процедуру расчета периода координат, описанную ранее при выводе выражений для (y1, y2), можно найти такие числа T1 и T2, прибавление которых к u1 и u2 не изменяет поведения системы. Таким образом, множество инвариантных состояний системы (u1, u2), определяется выражением u1 = u10 + T1k u 2 = u 20 + T2 k, } (2.1.45) (2.1.46) где 2 T1 = d T = 2. (2.1.47) Условная плотность перехода из точки Z в точку A на цилиндрическом фазовом пространстве может быть выражена через ПРВ перехода (2.1.36), записанной для неограниченного фазового пространства. Для этого необходимо просуммировать значения ПРВ перехода из точки Z во все инвариантные точки фазовой плоскости. Сказанное демонстрируется на рис. 2.4. Согласно рис. 2.4 справедливо следующее выражение - 50 ~ q Z A = q Z A + q Z A1 + q Z A 2 + q Z A 3 +..., u (2.1.48) A q Z A Х 2 /( - d ) - u Z Х q Z A ХA q Z A Х A Рис. 2.4. Инвариантные точки фазовой плоскости в координатах (u1, u2) ~ где q Z A - условная ПРВ перехода на цилиндрическом фазовом пространстве, q Z A - ПРВ перехода для бесконечного фазового пространства, аналитическое представление которого дается (2.1.36). С учетом (2.1.46) можно переписать (2.1.48) в виде ~ q (u1, u 2 | v1, v2 ) = k = q(u1 + T1k, u2 + T2 k | v1, v2 ).
(2.1.49) С учетом (2.1.49) уравнение КЧ (2.1.37) будет иметь вид Wk +1 (u1, u 2 ) = ~ dv1 dv2 [q (u1, u 2 | v1, v2 )Wk (v1, v2 )], T T (2.1.50) где Wk +1 (u1, u 2 ) - ПРВ фазовой ошибки для цилиндрического фазового пространства. По аналогии с (2.1.37)Ц(2.1.45) можно выписать окончательное выражение для ПРВ фазовой ошибки, определенной на цилиндрическом фазовом пространстве - 51 Wk +1 (u1, u 2 ) = Wk ( d [ {u1 + T1k} + v2 ], v2 ) 22 2 c d k = T T 1 exp 2 2 [u 2 + T2 k ( d )( 1){u1 + T1k} v2 + K sin v2 (2.1.51) 2c (1 + d )] 2 dv2, } где T1 и T2 определяются по (2.1.47). Сравнивая выражение для ПРВ (2.1.51), определенное для цилиндрического фазового пространства, с выражением для бесконечного фазового пространства (2.1.45), можно заметить, что отличия заключаются в суммировании, конечных пределов интегрирования и замене u1 и u2 в правой части выражения (2.1.45) на u1+T1k и u2+T2k в (2.1.51). Необходимо отметить следующий важный момент. В выражении (2.1.51) присутствует операция бесконечного суммирования. Но замена пределов суммирования на конечные не приводит к качественным изменениям получаемого результата, как это имеет место при замене пределов интегрирования в (2.1.21) на конечные, пусть и очень большие по абсолютной величине. Пределы суммирования в (2.1.51) надо выбирать, исходя из оценки вероятности перескока изображающей точки на несколько периодов за одну итерацию. Так как ПРВ перехода (2.1.36) представляет собой экспоненциальную зависимость, вероятность такого события резко уменьшается с ростом дистанции, поэтому ряд (2.1.49) очень быстро сходится. Как показывают расчеты, для типичных параметров входного воздействия и параметров СФС при суммировании можно ограничиться 7Ц11 (k = 3..5) слагаемыми без заметной потери точности результата. При определении W(u1, u2) необходимо ограничить u1. Проще всего выбрать отрезок [ЦT1k, T1k], где T1 - период по координате u1, определяемый по (2.1.47), k - определяет количество слагаемых при суммировании (2.1.49). Перейдем от двумерной плотности вероятности к одномерной, заданной на интервале (Ц, ). Подобный переход зачастую представляет интерес, когда по условию задачи достаточно ограничиться анализом фазового рассогласования. В [17] для перехода от двумерной ПРВ вида (2.1.23) к одномерной предлагается выражение в обобщенной форме, непосредственное - 52 использование которой для вычислений не представляется возможным. Выражение имеет следующий вид:
x + y 2 1 W ( x) = W (, y 2 )dy 2. d d (2.1.52) Вычисление одномерной плотности вероятности по формуле (2.1.52) может привести к неверному результату, если предположить, что двумерная плотность W ( y 1, y2 ) получена путем свертывания по бесконечным координатам внутрь квадрата со сторонами (Ц, ). Формула предполагает, что между координатами y1, y2 существует однозначная линейная зависимость, которая определяется выражением (2.1.12). На самом деле в результате сворачивания координат внутрь квадрата для каждого значения координаты x может появиться несколько линейных отрезков, связывающих координаты y1, y2.
y - x= con s t y - Рис. 2.5. Множество состояния на фазовом пространстве (y1, y2), соответствующее отдельному значению x Рис. 2.5 наглядно поясняет данную ситуацию. В квадрате со стороной 2 построено геометрическое место точек, соответствующее определенному значению x. С учетом периодичности координаты x, это множество представляет собой несколько отрезков прямых. С учетом приведенных замечаний выражение (2.1.52) необходимо дополнить соответствующей операцией суммирования и корректировкой пределов интегрирования. Необходимо заметить, что после такой операции суммирования график - 53 получаемой одномерной ПРВ может иметь заметные неровности. Их причина заключается в неправильном отождествлении фазовых траекторий при выводе выражений (2.1.24), (2.1.25), поэтому устранить подобный эффект путем дополнительных преобразований (2.1.52) невозможно. Исключить операцию суммирования нельзя, иначе будет нарушена нормировка W(x). Необходимо заметить, что установившаяся одномерная ПРВ, полученная по (2.1.23) итерационным способом с последующим преобразованием (2.1.52), при многих параметрах совпадает с хорошей степенью точности с результатами численного моделирования. При этом, конечно, речь не идет о совпадении ПРВ во время переходных процессов, а также при исследовании других движений с проскальзываниями фазы, таких как кратные захваты или предельные циклы второго рода. Объяснением такому совпадению следует считать сосредоточенность установившейся ПРВ в квадрате размером 2 в координатах (y1, y2) и незначительными утечками ПРВ через его границы. Вследствие этого, подход, предложенный в [17, 38] для решения уравнения КЧ для СФС второго порядка, в принципе равнозначен замене бесконечных пределов интегрирования в (2.1.14) конечными. При этом суммирование в выражении (2.1.24) для ПРВ перехода выполняет лишь функцию нормировки результата на единицу. В координатах (u1, u2) выражение для расчета одномерной ПРВ, как следует из (2.1.30), выглядит следующим образом W ( x ) = w(t, x)dt.
(2.1.53) Очевидно, при численном счете пределы интегрирования (2.1.53) будут ограничиваться интервалом по u1, выбранным при вычислении (2.1.51). Для оценки количества слагаемых и интервала u1 при вычислении (2.1.51) имеет смысл рассмотреть координаты кратных захватов. Для расчета можно воспользоваться тем фактом, что координаты кратных захватов в (x1, x2) для системы с астатическим фильтром записываются следующим образом x1L = 0 x2 L = 2 L, (2.1.54) - 54 где L - кратность захвата. Используя преобразование (2.1.32) при d = 1, получаем условие на координаты кратных захватов в координатах (u1, u2) 2 L u1L = ( 1) 2 u = 0. 2L (2.1.55) В качестве оценки числа периодов u1 с учетом кратности LЦго порядка следует взять отношение u1L к T1, из которого получим k= L. (2.1.56) С учетом (2.1.56) число слагаемых при суммировании в (2.1.51) будет равняться 2k+1.
2.1.3. Вид уравнения КолмогороваЦЧепмена для случая комбинированного воздействия Стохастическое разностное уравнение (1.1.24), описывающая поведение дискретной СФС в условиях комбинированного воздействия, с учетом (2.1.2) можно привести к виду x1 (k + 1) = x2 (k ), x2 (k + 1) = (1 + d ) x(k + 1) dx(k ) + d ( d ) + ~ (k ) r K sin x(k + 1) + Kd sin x(k ) K1 [n(k + 1) + + Ai sin ( x(k + 1) + (k + 1) i + i (k + 1) с (k + 1) )] + i + K d n(k ) + A sin ( x(k ) + k + (k ) (k ) ), i i i с 1 i (2.1.57) - 55 где для удобства последующих выкладок введено обозначение для слагаемых, отвечающих за модуляцию полезного сигнала ~ ( k ) = ( k + 2) (1 + d ) (k + 1) + d ( k ). r с с с (2.1.58) Как уже упоминалось ранее, выражения вида (2.1.57) не описывают марковскую последовательность. Для применения математического аппарата марковских последовательностей необходимо выполнить переход к новым переменным состояния системы. Предлагается использовать следующее преобразование x1 (k ) = u 2 (k ), d ( d )( 1) + d d u1 (k ) + u 2 (k ) K sin u 2 (k ) + d x2 (k ) = K1 n(k ) + Ai sin ( x1 (k ) + k i + i (k ) с (k ) ). i С учетом (2.1.59) выражение (2.1.57) можно привести к виду d 1 ~ (k ), r u1 (k + 1) = u1 (k ) u 2 (k ) + + d ( d )( 1) d ( d )( 1) + d d u1 (k ) + u 2 (k ) K sin u 2 (k ) + u 2 (k + 1) = + d K1 n(k ) + Ai sin (u 2 (k ) + k i + i (k ) с (k ) ). i (2.1.59) (2.1.60) Предполагая, что n(k) является белым гауссовым шумом со стационарными статистическими характеристиками, из выражения (2.1.60), легко получить ПРВ перехода из состояния (v1, v2) в новое состояние (u1, u2) q (u1, u 2 | v1, v 2 ) = q1 ( k ) q 2 ( k ), (2.1.61) - 56 где 1 d ~ (k ), q1 (k ) = u1 v1 + v2 r d ( d )( 1) 1 1 [ u2 d ( d )( 1) v1 + d d v2 exp{ q2 (k ) = 2c 2 2 2 c 2 2 d + K sin v2 + K1 Ai sin (v2 + k i + i (k ) с (k ) ) i (2.1.62) ] }.
Подставляя (2.1.61), (2.1.62) в уравнение КЧ, записанное в обобщенном виде (2.1.37), можно получить следующее выражение wk +1 (u1, u 2 ) = 1 2 c 2 d 2 1 ~ (k )], v ) wk ( [ u1 + v2 r 2 d d ( d )( 1) 1 exp 2 2 [ u 2 ( d )( 1)u1 v2 + K sin v2 (1 + d 2c 2 )+ K1 A i sin (v2 + k i + i (k ) с (k ) ) + ~ (k ) ] dv2. r d i (2.1.63) Стоит отметить, что в наиболее общем случае (2.1.63) содержит зависимость от моментов времени k в явном виде. Данный факт означает, что установившаяся ПРВ будет нестационарной. Кроме того, в случае периодического закона изменения ~ (k ) во времени (или отсутствия модуляции r полезного сигнала), а также периодичности по k выражений sin( k i + i (k )) статистические характеристики установившейся ПРВ также будут носить периодический характер во времени. Данные утверждения подтверждаются расчетами. По аналогии с процедурой, описанной при выводе уравнения КолмогороваЦЧепмена для случая гармонического сигнала на входе, можно перейти к новым координатам (u1, u2) на цилиндрическом фазовом пространстве, где u1 принимает произвольные значения, u2 принимает значения - 57 из диапазона [ЦT2, T2]. При этом выражение для ПРВ на цилиндрическом фазовом пространстве Wk(u1, u2) может быть записано в следующем виде:
Wk +1 (u1, u 2 ) = 1 2 c 2 d k = 1 2 r wk ( d [ {u1 + T1k} + v2 d ( d )( 1) ~(k )], v2 ) T T 1 exp 2 2 [ u 2 ( d )( 1){u1 + T1k} v2 + K sin v2 (1 + 2c 2 + d )+ K1 A i sin (v2 + k i + i (k ) с (k ) ) + ~ (k ) ] dv2. r d i (2.1.64) Для численного решения (2.1.64) можно воспользоваться комментариями, приведенными в предыдущем параграфе для случая гармонического колебания на входе. Для вычисления одномерной ПРВ как функции фазовой ошибки x, принимающей значения из диапазона [Ц, ], также можно воспользоваться полученным ранее выражением (2.1.53). Уравнение КолмогороваЦЧепмена (2.1.63) легко переписать для некоторых частных случаев входных воздействий, интересных с практической точки зрения. По аналогии с приведенными ниже выражениями можно получить частные случаи выражений для ПРВ на цилиндрическом фазовом пространстве, описываемые (2.1.64). При отсутствии модуляции входного колебания и при наличии гармонической помехи изменение двумерной ПРВ во времени описывает следующее выражение:
1 wk ( [ u1 + v2 ], v2 ) d 2 c 2 d 2 wk +1 (u1, u 2 ) = 1 exp 2 2 [ u 2 ( d )( 1)u1 v2 + K sin v2 (1 + 2c + d )+ K1 A 1 sin (v2 + k1 + 1 ) (2.1.65) ] 2 }dv2.
- 58 Когда на систему воздействует ЧМЦсигнал и ЧМЦпомеха, уравнение КЧ принимает вид:
wk +1 (u1, u 2 ) = 1 2 c 2 d 2 1 ~ (k )], v ) wk ( [ u1 + v2 rчм 2 d d ( d )( 1) 1 exp 2 2 [ u 2 ( d )( 1)u1 v2 + K sin v2 (1 + d 2c ) + + K1 A 1 sin (v2 + k1 + м 1 sin(k м 1 + м 1 ) + 1 м sin(k м ) ) + + (2.1.66) ~ rчм (k ) d ] 2 dv2, где ~ ( k ) = [sin( k + 2) (1 + d ) sin( k + 1) + d sin k ]. rчм м м м м (2.1.67) 2.1.4. Сравнение методами зависимостей ПРВ, полученных различными Ниже представлен сравнительный анализ результатов расчета плотности распределения вероятности фазовой ошибки при наличии на входе полезного гармонического сигнала и гауссового шума. Для построения зависимостей используются различные подходы, как аналитические, так и численные. К аналитическим методам относятся описанные ранее алгоритмы вычисления ПРВ через решение уравнения КолмогороваЦЧепмена. Под численными алгоритмами подразумевается моделирование системы с помощью разностного уравнения и дальнейший расчет ПРВ путем статистической обработки полученных отсчетов фазовой ошибки. На основе полученных зависимостей делаются выводы о допустимости использования тех или иных методов расчета ПРВ. Как отмечено ранее, зависимости установившейся стационарной ПРВ, построенные по формулам из [17, 38], дают результаты, совпадающие с - 59 результатами численного моделирования для некоторых параметров системы. Один из таких случаев представлен на рис. 2.6, где кривые 1 соответствуют результатам численного моделирования, 2 - результатам, полученных с использованием выражений из [38, 17], 3 - результатам расчета ПРВ по формулам (2.1.51) и (2.1.53), учитывающим проскальзывания фазы.
W(x) 0,8 0,6 0,4 0,2 0 - 0,2 0 - W(x) 0,8 0,6 0,4 - / / x - / / x а) б) Рис. 2.6. Зависимости ПРВ при K = 1;
= 2;
d = 1;
= 0;
= 7 дБ Моделирование (кривая 1) проведено при следующих параметрах: интервал разбиения отрезка (Ц, ) равняется /40, количество обрабатываемых отсчетов 2 млн. Кривая 2 построена при параметрах, рекомендуемых в [17], а именно, число учитываемых слагаемых в выражении для ПРВ перехода равняется 7, шаг дискретизации аргументов /40. При расчете кривой 3 использован шаг /40, интервал по первой координате [Ц7 T1, 7 T1], т.е. 7 периодов. Установившаяся ПРВ вычислялась итерационным методом, число итераций до окончания переходных процессов выбрано равным 100. Из рис. 2.6 видно, что результаты, полученные различными способами практически полностью совпадают. Незначительные отличия аналитических кривых от кривой, полученной численным моделированием, лежат в пределах допустимых ошибок вычислений, и связаны с конечностью интервала разбиения и шага интегрирования. На рис. 2.7 представлены зависимости ПРВ при других параметрах системы, когда в цепи управления используется цифровой ПИФ. Отличия - 60 кривой 2 от результатов численного моделирования более заметны, чем на рис. 1, но в то же время они не настолько существенны, чтобы ни объяснить их ошибками вычислений. Кривая 3, как и прежде, практически совпадает с кривой 1.
W(x) 0,8 0,6 0,4 0,2 0 - W(x) 0,8 0,6 0,4 0,2 0 - - / / x - / / x а) б) Рис. 2.7. Зависимости ПРВ при наличии ПИФ в цепи управления при K = 1;
= 2;
d = 0,6;
= Ц0,15;
= 7 дБ На рис. 2.8 представлен другой случай, когда использование различных аналитических методик приводит к различным результатам. Значительные отличия кривых 1 и 2 на рис. 2.8а указывают, что при выводе выражения для расчета уравнения КЧ в [17] допущены неточности.
W(x) 0,8 0,6 0,4 0,2 0 - W(x) 0,8 0,6 0,4 0,2 0 - - / / x - / / x а) б) Рис. 2.8. Зависимости ПРВ при K = 1;
= 2,5;
d = 0,8;
= Ц0,15;
= 7 дБ - 61 В то же время практически полное совпадение кривых 1 и 3 на рис. 2.8б подтверждает правильность аналитических выкладок при выводе выражений, корректно учитывающих проскальзывания фазы. Кроме этого на кривой 2 рис. 2.8а заметны значительные неровности. Их нельзя объяснить лишь ошибками счета, так как они не исчезают при увеличении точности вычислений. Причиной подобного эффекта является неправильное отождествление фазовых траекторий при выводе выражений в [17], что и приводит к появлению подобных нежелательных эффектов при получении одномерной ПРВ из двумерной. Зависимости ПРВ при значительной начальной частотной расстройке приводятся на рис. 2.9. Как и для случая, приведенного на рис. 2.8 здесь наблюдается практически полное совпадение результатов расчета ПРВ с учетом проскальзывания фазы и результатов моделирования, и в то же время имеются значительные расхождения с результатами расчета уравнения КЧ по формулам из [17], в том числе также имеют место заметные неровности на кривой 2.
W(x) 0,8 0,6 0,4 0,2 0 - W(x) 0,8 0,6 0,4 0,2 0 - - / / x - / / x Рис. 2.9. Зависимости ПРВ при наличии значительной начальной частотной расстройки при K = 1;
= 2,5;
d = 0,8;
= 0,4;
= 7 дБ Кроме установившихся ПРВ большой интерес для исследований представляет изменение ПРВ во времени. Примером одной из таких задач может сложить рассмотрение динамики СФС, работающей в условиях шумового воздействия, если начальные условия системы выбраны в окрестности некоторого цикла. На рис. 2.10 и 2.11 представлено несколько - 62 итераций при выборе начальных условий в точках устойчивого цикла второго рода периода 2. При вычислениях использован шаг интегрирования /50. Зависимости построены при следующих параметры системы: K = 0,7;
= 2;
d = 0,8;
= 0,4;
= 14 дБ. При этом движение системы в отсутствии шума выглядит следующим образом: x(0) = 3,00;
x(1) = 5,83;
x(2) = x(0)+2;
x(3) = x(1)+2 Е Изображающие точки цикла в координатах (x1, x2) выглядят как A(3,00;
5,83) и B(5,83;
9,29). В координатах (y1, y2) координаты точек цикла пересчитываются по приводимым ранее формулам и равны A(2,92;
0,19) и B(0,19;
Ц2,31). Важно отметить, что A и B лежат в интервале (Ц, ), внутри которого ведется расчет по формулам из [17]. Данный факт исключает дополнительные погрешности, обусловленные необходимостью приведения начальных условий в этот интервал. Из рис. 2.10 видно, что формулы из [17] не позволяют наблюдать движения, соответствующие предельному циклу, т.к. уже на первой итерации его структура нарушается. В тоже время рис. 2.11, который соответствует расчетам по формулам, учитывающим проскальзывания фазы, наглядно демонстрирует наличие предельного цикла и изменение двумерной ПРВ во времени.
k = k = y y / 0 - /2 - - - /2 / y / 0 - /2 - - - /2 / y а) k = б) k = y y / 0 - /2 - - - /2 / y / 0 - /2 - - - /2 / y в) г) Рис. 2.10. Зависимости двумерных ПРВ, вычисленные по формулам из [17]. Начальные условия выбраны в точках цикла периода - 63 k =0 k = u u / 0 - /2 - 0 2 4 u / 0 - /2 - 0 2 4 u а) k = б) k = u u / 0 - /2 - 0 2 4 u / 0 - /2 - 0 2 4 u в) г) Рис. 2.11. Зависимости двумерных ПРВ, вычисленные по формулам с корректным учетом проскальзываний фазы. Начальные условия выбраны в точках цикла периода 2 С течением времени за счет наличия шума ПРВ из окрестностей точек цикла перетекает в окрестности других устойчивых движений, преимущественно тех, у которых больше область притяжения [71]. Вследствие этого в установившемся режиме основная доля ПРВ локализуется в окрестности состояния синхронизма. Стоит отметить, что при выбранных параметрах системы установившиеся одномерные ПРВ, рассчитанные обоими способами, практически полностью совпадают с результатами численного моделирования. Обобщая вышеприведенные результаты можно сделать вывод о том, что применение формул из [17] в некоторых случаях позволяет получить зависимости одномерной установившейся ПРВ, количественно совпадающие с результатами численного моделирования. В то же время в ряде случаев они приводят к неверному результату. Кроме того эти выражения не пригодны для изучения динамического поведения системы, например, движений в окрестности предельных циклов. С другой стороны, формулы, полученные автором диссертации, дают корректные результаты при расчете как установившейся ПРВ, так и переходных состояний. Также эти формулы дают верные результаты при вычислении нестационарных установившихся ПРВ, что - 64 имеет место в режиме биений, а также при комбинированных входных воздействиях, представляющих собой аддитивную смесь модулированного полезного колебания, детерминированной помехи и шума.
2.2. Анализ квазипериодических режимов СФС 2Цго порядка при наличии на входе шумовой помехи В разделе обсуждаются результаты расчета ПРВ фазовой ошибки, полученные с помощью предложенной выше методики решения уравнения КолмогороваЦЧепмена для дискретной СФС 2Цго порядка при наличии на входе суммы постоянного по частоте сигнала и широкополосной шумовой помехи. Интерес к подобной задаче связан с отработкой самой методики. С другой стороны динамические режимы дискретных СФС, находящихся под шумовым воздействием, практически не изучены. Речь идет о режимах с несколькими устойчивыми движениями. Например, у системы может быть устойчивое состояние равновесия и одно или несколько устойчивых предельных циклов. При отсутствии шума подобные режимы исследованы во многих работах, посвященных нелинейной динамике дискретных систем, к числу их относятся [37, 48Ц52]. При наличии шумового воздействия сложная динамика исследовалась в ограниченном числе работ, включая работы автора диссертации, где рассмотрены некоторые частные случаи [53, 71]. На рис. 2.12Ц2.19 приведены характерные изменения одномерных и двумерных ПРВ во времени в зависимости от начального распределения фазовой ошибки в системе и дисперсии входного шумового воздействия. Динамика автономной системы во всех случаях выбиралась одной и той же и характеризовалась состоянием синхронизма и двумя устойчивыми предельными циклами 2Цго рода с периодами 2 и 3. Таким образом состояние синхронизма не обладает глобальной устойчивостью. При этом предполагалось, что области притяжения циклов значительно меньше областей притяжения состояния синхронизма.
- 65 W(x) 1,75 1,5 k =0 1,25 3 0,75 0,5 0,25 0 - Ц3/4 Ц/2 Ц/4 / / 3/ x Рис. 2.12. Изменение одномерной ПРВ фазовой ошибки во времени для K = 0,7;
= 2,14;
d = 1;
= 10 дБ при выборе начальных условий вблизи состояния синхронизма (x01=x02= 0.5) W(x) 1,75 1,5 k=0 1,25 1 0,75 0,5 2 0,25 0 - Ц3/4 Ц/2 Ц/4 0 0,25 0 4 3 5 6 1 0,5 4 3 5 1,25 1 0, W(x) 1,75 1,5 k= 7 6 2 / / 3/ x - Ц3/ Ц/ Ц/ / / 3/ x а) б) Рис. 2.13. Изменение одномерной ПРВ фазовой ошибки во времени для K = 0,7;
= 2,14;
d = 1 при выборе начальных условий вдалеке от состояния синхронизма (x01=x02=2) для а) = 10 дБ;
б) = 7 дБ - 66 W W 0 3 8 0 Ц3 - 0 3 8 0 Ц3 - u u u u а) W б) W 0 3 8 0 Ц3 - 0 3 8 0 Ц3 - u u u u в) W г) W 0 3 8 0 Ц3 - 0 3 8 0 Ц3 - u u u u д) е) Рис. 2.14. Изменение двумерной ПРВ во времени для начального распределения вблизи состояния синхронизма (u01 = 0,7;
u02 = 0,5), при K = 0,7;
= 2,14;
d = 1;
= 10 дБ для а) k = 0;
в) k = 2;
д) k = 4;
б) k = 1;
г) k = 3;
е) k = - 67 W W 0 3 8 0 Ц3 - 0 3 8 0 Ц3 - u u u u а) W W б) 0 3 8 0 Ц3 - 0 3 8 0 Ц3 - u u u u в) W W г) 0 3 8 0 Ц3 - 0 3 8 0 Ц3 - u u u u д) е) Рис. 2.15. Изменение двумерной ПРВ во времени для начального распределения вдалеке от состояния синхронизма (u01 = 0,5;
u02 = 2), при K = 0,7;
= 2,14;
d = 1;
= 10 дБ для а) k = 0;
в) k = 2;
д) k = 4;
б) k = 1;
г) k = 3;
е) k = - 68 W W 0 3 8 0 Ц3 - 0 3 8 0 Ц3 - u u u u а) W W б) 0 3 8 0 Ц3 - 0 3 8 0 Ц3 - u u u u в) W W г) 0 3 8 0 Ц3 - 0 3 8 0 Ц3 - u u u u д) е) Рис. 2.16. Изменение двумерной ПРВ во времени для начального распределения вдалеке от состояния синхронизма (u01 = 0,5;
u02 = 2), при K = 0,7;
= 2,14;
d = 1;
= 7 дБ для а) k = 0;
в) k = 2;
д) k = 4;
б) k = 1;
г) k = 3;
е) k = - 69 W W 0 3 8 0 Ц3 - 0 3 8 0 Ц3 - u u а) W u u б) W 0 3 8 0 Ц3 - 0 3 8 0 Ц3 - u2 W u в) W u u г) 0 3 8 0 Ц3 - 0 3 8 0 Ц3 - u2 W u д) W u u е) 0 3 8 0 Ц3 - 0 3 8 0 Ц3 - u u ж) u u з) Рис. 2.17 Изменение двумерной ПРВ во времени для случая начального распределение в точке предельного цикла периода 3, при K = 0,7;
= 2,14;
d = 1;
= 10 дБ для а) k = 0;
б) k = 1;
в) k = 2;
г) k = 3;
д) k = 4;
е) k = 6;
ж) k = 8;
з) k = - 70 W W 0 3 8 0 Ц3 - 0 3 8 0 Ц3 - u u а) W u u б) W 0 3 8 0 Ц3 - 0 3 8 0 Ц3 - u2 W u в) W u u г) 0 3 8 0 Ц3 - 0 3 8 0 Ц3 - u2 W u д) W u u е) 0 3 8 0 Ц3 - 0 3 8 0 Ц3 - u u ж) u u з) Рис. 2.18. Изменение двумерной ПРВ во времени для случая начального распределения в точке предельного цикла периода 3 при K = 0,7;
= 2,14;
d = 1;
= 7 дБ для а) k = 0;
б) k = 1;
в) k = 2;
г) k = 3;
д) k = 4;
е) k = 6;
ж) k = 8;
з) k = - 71 W W 0 3 10 Ц3 Ц5 0 0 3 10 Ц3 Ц5 0 u2 W u а) W u u б) 0 3 10 Ц3 Ц5 0 0 3 10 Ц3 Ц5 0 u2 W u в) W u u г) 0 3 10 Ц3 Ц5 0 0 3 10 Ц3 Ц5 0 u2 W u д) W u u е) 0 3 10 Ц3 Ц5 0 0 3 10 Ц3 Ц5 0 u u ж) u u з) Рис. 2.19. Изменение двумерной ПРВ во времени для случая начального распределения в точке предельного цикла периода 2 при K = 0,7;
= 2,14;
d = 1;
= 10 дБ для а) k = 0;
б) k = 1;
в) k = 2;
г) k = 3;
д) k = 4;
е) k = 5;
ж) k = 15;
з) k = - 72 На рис. 2.12,2.14 приведено изменение одномерной и двумерной ПРВ для начального распределения вблизи состояния синхронизма. Как видно из рисунков, система быстро приходит к установившемуся состоянию. Процесс перехода сопровождается количественным изменением плотности распределения в соответствии с параметрами СФС и интенсивности шумового воздействия. При большой интенсивности шума наблюдается размывание ПРВ около состояния синхронизма, и, наоборот, при малой интенсивности шума распределение с каждой итерацией принимает более локализованный вид. Рассматриваемый случай имеет место, когда основная доля начальной ПРВ сосредоточена в области притяжения состояния синхронизма, причем движения происходят без проскальзывания фазы. На рис. 2.15, 2.16 демонстрируется эволюция двумерных ПРВ фазовой ошибки для случая начальной ПРВ вдалеке от состояния синхронизма. Соответствующие одномерные ПРВ приводятся на рис. 2.13. При этом некоторая часть начальной ПРВ находится в области притяжения состояния синхронизма, откуда движение изображающих точек происходит без проскальзывания фазы, а часть в области, где движение сопровождается переходом фазы на следующий период. Видно, что во время переходного процесса одномерное распределение фазовой ошибки приобретает близкий к равномерному характер, а двумерная ПРВ вытягивается вдоль u2. Данное явление объясняется непрерывностью преобразования ПРВ, что с учетом выбора начальных условий приводит к растягиванию двумерного распределения вдоль одной из координат. Как видно из рис. 2.15, 2.16, время до установившегося режима слабо зависит от интенсивности шумового воздействия на входе, т.е. количество итераций, после которых основная доля ПРВ будет перейдет в окрестность установившегося состояния, будет практически одинаковым. При этом, безусловно, для больших интенсивностей шума установившаяся ПРВ размазана в большей степени. Данный факт можно объяснить случайностью и независимостью шумовых отсчетов, а также значительными размерами области притяжения состояния синхронизма. Поэтому влияние шума сводится лишь к размыванию ПРВ и в среднем не приводит к какомуЦлибо качественному изменению характера движений изображающих точек. На рис. 2.17, 2.18 приведены изменения двумерной ПРВ во времени для случая, когда начальное распределение выбрано в точке предельного цикла 2 - - 73 го рода с периодом 3. Прежде всего отметим, что, несмотря на устойчивость данного цикла, ПРВ по истечению некоторого времени перемещается в окрестность состояния синхронизма. Причина такого поведения заключена в значительно больших размерах области притяжения состояния синхронизма по сравнению с областью притяжения цикла. Поэтому под воздействием шума ПРВ преимущественно перетекает из окрестности цикла в область синхронизма. Очевидно, что разрушение цикла будет происходить быстрее при увеличении интенсивности шума, в чем можно убедиться, сопоставив рис. 2.17 и 2.18. Сравнение результатов рис. 2.15, построенного для произвольно начального распределения, и рис. 2.17, где начальная ПРВ выбрана в окрестности точки цикла, указывает на значительное увеличение времени установления ПРВ в последнем случае. Результаты для начальной ПРВ, взятой в окрестности предельного цикла периода 2, приведены на рис. 2.19. Данный цикл, как и рассматриваемый ранее цикл периода 3, под воздействием шума разрушается. Но в отличие от предыдущего случая время жизни цикла периода 2 значительно больше. Причина состоит в большой области притяжения. Таким образом, шумовое воздействие может эффективно разрушать нежелательные на практике устойчивые циклические движения. Время существования подобных движений уменьшается с ростом интенсивности шума, особенно это характерно для циклов сложной структуры с малой областью притяжения. В то же время существование простейших предельных циклов может значительно затянуть переходные процессы. Можно заметить, что на рис. 2.19 приведена двумерная ПРВ для нескольких периодов по координате u1, откуда видно, что в установившемся режиме ПРВ локализуется не только около состояния синхронизма, но и около состояния кратного захвата. Это связано с тем, что при наличии астатического фильтра в цепи управления движения в окрестности кратных захватов и в окрестности состояния синхронизма отличаются друг от друга лишь дополнительным проскальзыванием фазы на 2 k. Следовательно, при наличии астатического фильтра в цепи управления области притяжения у всех кратных захватов одинаковые. Кроме того точки рассматриваемого цикла периода 2 располагаются симметрично относительно состояния синхронизма и близлежащего кратного захвата. Поэтому выбор начальной ПРВ в окрестности - 74 одной из точек приводит к равновероятному ее перетеканию как в область состояния синхронизма, так в область кратного захвата. Более того, при наличии астатического фильтра в цепи управления даже при локализованном начальном распределении со временем будет наблюдаться постепенное перетекание ПРВ в области кратных захватов. Таким образом в строгом смысле время установления двумерной ПРВ для случая астатического фильтра бесконечно. Но при этом можно говорить о конечном времени установления одномерной ПРВ фазовой ошибки, приведенной к интервалу (Ц, ).
Как показывают расчеты, двумерная ПРВ сравнительно быстро локализуется в окрестностях состояния синхронизма и кратных захватов, расположенных вблизи начального распределения. Полученное распределение определяет одномерную ПРВ, которая уже практически не меняется со временем. Данное явление легко объяснить, учитывая идентичность с позиции значений фазовой ошибки, приведенной к интервалу (Ц, ), движений системы около состояния синхронизма или любого кратного захвата. Следует заметить, что на практике по причине ограниченности значений на выходе астатического фильтра (случай нелинейного фильтра), приводящей к невозможности существования кратных захватов высокого порядка, подобного явления не наблюдается. На рис. 2.20 и 2.21 приведены двумерные ПРВ для случая равномерного начального распределения. Рис. 2.20 соответствует ПИФ в цепи управления, рис. 2.21 - астатическому фильтру. Видно, что установившаяся ПРВ сосредоточивается в окрестности состояния синхронизма и кратных захватов. При этом для случая ПИФ область притяжения ложных захватов уменьшается с ростом их кратности, в связи с чем наблюдается постепенное перетекание ПРВ в окрестности состояния синхронизма и ложного захвата первой кратности, области притяжения которых значительные. В то же время, для случая астатического фильтра области притяжения кратных захватов одинаковые, поэтому наблюдается равновероятное перетекание ПРВ в окрестности каждого кратного захвата.
- 75 W 0, W 0, 0, 0, 0 3 0 8 0 Ц3 - 0 3 0 8 0 Ц3 - u u u u а) W 0, б) W 0, 0, 0, 0 3 0 8 0 Ц3 - 0 3 0 8 0 Ц3 - u u u u в) W 0,4 0,5 0, г) W 0 3 0 8 0 Ц3 - 0 3 0 8 0 Ц3 - u u u u д) е) Рис. 2.20. Изменение двумерной ПРВ во времени для равномерного начального распределения при K = 0,6;
= 4;
d = 0,9;
= 10 дБ для а) k = 1;
в) k = 3;
д) k = 10;
б) k = 2;
г) k = 4;
е) k = - 76 W 0, W 0, 0, 0, 0 3 0 6 0 Ц3 - 0 3 0 6 0 Ц3 - u u u u а) W 0, б) W 0, 0, 0, 0 3 0 6 0 Ц3 - 0 3 0 6 0 Ц3 - u u u u в) W 0, г) W 0, 0, 0, 0 3 0 6 0 Ц3 - 0 3 0 6 0 Ц3 - u u u u д) е) Рис. 2.21. Изменение двумерной ПРВ во времени для равномерного начального распределения при K = 0,6;
= 4;
d = 1;
= 10 дБ для а) k = 1;
в) k = 3;
д) k = 10;
б) k = 2;
г) k = 4;
е) k = - 77 2.3. Статистические характеристики при наличии на входе сигнала постоянной частоты В разделе обсуждаются результаты расчета ПРВ фазовой ошибки дискретной СФС 2Цго порядка, полученные при наличии на входе сигнала постоянной частоты и детерминированных помех. Рассматривается аддитивная гармоническая помеха с нулевой частотной расстройкой относительно полезного сигнала, расстроенная по частоте гармоническая помеха и помеха в виде ряда гармонических составляющих с произвольным соотношением частот. Анализируются статистические характеристики фазового рассогласования в зависимости от частотного рассогласования, интенсивности помехи и шумового воздействия.
W(x) W(x) 1, 1,6 A1 = 0 0, 1,2 A1 = 0 0,8 0,1 0, 1, 0, 0, 0, 0,4 1 Ц2/ Ц/ / 2/ x Ц2/ Ц/ / 2/ x а) б) Рис.2.22. ПРВ фазовой ошибки для гармонической помехи с нулевой расстройкой для различной интенсивности помехи при K = 1;
= 10 дБ;
1 = 0 а) = 2;
б) = 1, - 78 W(x) W(x) 1, 1, 1 = 2/ 1,2 1,2 4/ 1 = 2/ 0, 4/3 0, 0, 0, Ц2/ Ц/ / 2/ x Ц2/ Ц/ / 2/ x а) Рис.2.23. ПРВ фазовой ошибки гармонической помехи с нулевой расстройкой для различных начальных фаз помехи при K = 1;
= 10 дБ;
А1 = 0,5 а) = 2;
б) = 1, 2.3.1. Случай гармонической помехи на частоте входного сигнала На рис. 2.22, 2.23 приведены одномерные ПРВ фазовой ошибки при наличии на входе полезного гармонического сигнала, шума и гармонической помехи, частота которой совпадает с частотой полезного колебания. Рисунки построены, соответственно, при различной интенсивности помехи и различном фазовом сдвиге помехи относительно полезного сигнала для фиксированного отношения сигнал/шум (ОСШ) на входе СФС. С ростом интенсивности помехи (рис. 2.22) наблюдается увеличение дисперсии фазовой ошибки, постепенно приводящее к появлению двумодальности ПРВ. Подобный результат объясняется ростом эквивалентного коэффициента усиления системы, приводящим в конечном итоге к потере устойчивости нулевого состояния и появлению циклического движения 1Цго рода со средним значением периода k = 2. В зависимости от фазового сдвига помехи при нулевой частотной расстройке (рис. 2.23) стационарная ПРВ имеет вид, определяемый эквивалентным входным воздействием, в конечном итоге эквивалентным - 79 коэффициентом усиления системы. Существуют углы ( = 2 / 3 ), при 1 которых достигается минимальная дисперсия фазовой ошибки. Для аналитической оценки дисперсии и среднего значения фазовой ошибки можно воспользоваться линейной моделью. Для этого можно заменить сумму полезного сигнала единичной амплитуды и гармонической помехи на входе на эффективное колебание с амплитудой b = 1 + A12 + 2 A1 cos( 1 ).
(2.3.1) При этом можно перейти к эквивалентной схеме, у которой на входе отсутствует гармоническая помеха. При этом легко показать, что эквивалентный коэффициент усиления увеличивается в b раз, а эквивалентная дисперсия входного шума, пересчитанного на выход фазового детектора, уменьшается в b2 раз. Воспользовавшись известными подходами для расчета характеристик случайного процесса, прошедшего через линейную цепь, можно получить зависимости среднего значения и дисперсии в аналитическом виде [85].
De De 0,9 1, 1, 0,5 0,9 0,3 0,6 0, 0,6 0,7 0,3 0,1 0,9 A1 = 0, 0, A1 = 0, 0,5 0, Ц2/ Ц/ / 2/ Ц2/ Ц/ / 2/ а) б) Рис. 2.24. Зависимость дисперсии фазовой ошибки от начальной фазы помехи, полученная в рамках линейной модели при = 2, = 10 дБ а) K = 1;
б) K = 0, - 80 На рис. 2.24 приводятся зависимости дисперсии фазовой ошибки от начальной фазы помехи, построенные в рамках линейной модели. Можно отметить немонотонный характер изменения дисперсии с изменением 1. В частности при больших коэффициентах усиления системы и значениях 1 около 0 или имеет место максимумы дисперсии, при 1 около 2 / 3 дисперсии принимает минимальное значение. Для малых коэффициентов усиления дисперсия значительно увеличивается при 1 в окрестности, но в то же время в окрестности 1 = 0 резкого роста дисперсии не наблюдается, что объясняется большим запасом устойчивости системы. Немонотонное изменение дисперсии вполне объяснимо из физических соображений. С одной стороны увеличение 1 приводит к уменьшению амплитуды эффективного гармонического сигнала на входе, что в свою очередь уменьшает эффективный коэффициент усиления СФС. Это приводит к уменьшению шумовой полосы системы и, следовательно, к уменьшению дисперсии фазовой ошибки. С другой стороны эффективное входное ОСШ также меняется, причем с увеличением наблюдается увеличение интенсивности эквивалентного пересчитанного на выход детектора шума. Описанные противоположно направленные процессы и приводят к немонотонному изменению дисперсии.
De 0, De 0, 1,2 0,7 0, 1,2 0,7 0, 0,9 0, 0,9 0, 0, 0, A1 = 0, A1 = 0, 0, 0, Ц2/ Ц/ / 2/ Ц2/ Ц/ / 2/ а) Рис. 2.25. Дисперсия, полученная через вычисление ПРВ при K = 1, = 2 а) = 20 дБ;
б) = 30 дБ - 81 На рис. 2.25 представлены зависимости дисперсии в зависимости от начальной фазы помехи при больших входных ОСШ, построенные через вычисление ПРВ с учетом нелинейных свойств системы. Полученные зависимости также имеют немонотонный характер. Сравнивая рис 2.25а,б с рис. 2.24а можно отметить качественное совпадения результатов. Причем с уменьшением интенсивности входного шума наблюдаются и количественные совпадения, что объясняется приближением режима работы системы к линейному. В случае, когда входное отношение сигнал/шум недостаточно велико, количественные отклонения от линейной оценки более существенны, что показано на рис. 2.26б, г. На рис. 2.26а,б приведены зависимости среднего значения, которые также носят немонотонный характер в зависимости от начальной фазы помехи. В окрестности 1 = 0 или 1 = имеет место нулевое среднее значение. При изменении 1 наблюдается симметричное изменение среднего значения. При уменьшении 1 среднее значение фазовой ошибки увеличивается от 0 до некоторого значения, затем снова уменьшается до 0. При увеличении 1 среднее значение уменьшается до некоторого значения, а затем увеличивается до 0.
- 82 me A1 = 0,9 De 0,9 1,2 0,7 0,3 0,1 0, 0, 0,7 0, 0, 0, Ц0, 0, 0,3 Ц0,9 0, A1 = 0, Ц1, Ц2/ Ц/ / 2/ Ц2/ Ц/ / 2/ а) me A1 = 0,9 De A1 = 0, б) 0, 0,7 0, 1, 0, 0,3 0, 0, 0, Ц0, 0, 0,5 Ц0,9 0,3 0,3 0,1 Ц1, Ц2/ Ц/ / 2/ Ц2/ Ц/ / 2/ в) г) Рис.2.26. Зависимости среднего значения me и дисперсии фазовой ошибки De от начальной фазы помехи для случая нулевой частотной расстройки помехи, полученные численно через вычисление ПРВ для = 10 дБ а,б) K = 1;
= 2;
в,г) K = 0,5;
= 2;
д,е) K = 0,5;
= 1, - 83 W(x) W(x) 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, Ц2/ Ц/ / 2/ x Ц2/ Ц/ / 2/ x а) W(x) W(x) б) 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, Ц2/ Ц/ / 2/ x Ц2/ Ц/ / 2/ x в) г) Рис. 2.27. ПРВ фазовой ошибки для гармонической помехи при 1 = 2 /4;
K = 1;
= 2 для а) A1 = 0,5;
= 4 дБ;
б) A1 = 0,5;
= 16 дБ;
в) A1 = 0,2;
= 10 дБ;
г) A1 = 0,8;
= 10 дБ - 84 W(x) W(x) 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, Ц2/ Ц/ / 2/ x Ц2/ Ц/ / 2/ x а) W(x) W(x) б) 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, Ц2/ Ц/ / 2/ x Ц2/ Ц/ / 2/ x в) г) Рис.2.28. ПРВ фазовой ошибки для гармонической помехи при K = 1;
1 = 2 /10;
A1 = 0,5 а) = 2;
= 10 дБ;
б) = 1,3;
= 10 дБ;
в) = 2;
= 4 дБ;
г) = 2;
= 16 дБ - 85 2.3.2. Расстроенная по частоте гармоническая помеха На рис. 2.27 и рис. 2.28 приведены установившиеся нестационарные ПРВ фазовой ошибки для ненулевой частотной расстройки гармонической помехи в различные моменты времени. Нормированная частотная расстройка помехи составляет величину 2 / l, где l - целое число. В этом случае установившаяся картина изменения ПРВ во времени имеет фиксированную структуру с числом кривых, равным l (для рис. 2.27 - l = 4;
для рис. 2.28 - l = 10). Очевидно, что ПРВ в определенный момент времени, соответствующая конкретному фазовому сдвигу помехи, не совпадет с ПРВ, полученной для того же фазового сдвига при нулевой частотной расстройке, т.к. формирование ПРВ на очередном шаге происходит с учетом ПРВ на предыдущем шаге. В тоже время основные качественные результаты, полученные для ПРВ при нулевой частотной расстройке, характерны и для случая ненулевой расстройки с поправкой на динамический характер процессов. На рис. 2.27 приведены графики ПРВ фазовой ошибки при различных интенсивностях шума и гармонической помехи, рис. 2.28 построен для различных параметров системы. Можно видеть, что увеличение интенсивности шума или помехи приводит к размыванию ПРВ и соответственно к увеличению дисперсии фазовой ошибки. Уменьшение полосы пропускания системы приводит к сужению графика ПРВ и, соответственно, к уменьшению дисперсии фазовой ошибки. В случае некратной частотной расстройки помехи периодического изменения графиков ПРВ во времени не наблюдается, таким образом фиксированная структура в распределении ПРВ по фазовым углам не сохраняется. В связи с этим имеет смысл говорить об усредненной ПРВ по времени, дающей более ясное представление о среднем значении и дисперсии фазовой ошибки [17]. Примеры усредненных по времени плотностей распределения вероятностей приведены на рис. 2.29, где демонстрируется зависимость усредненной ПРВ фазовой ошибки от интенсивности и частотной расстройки помехи (рис. 2.29а,б), а также от входного отношения сигнал/шум при фиксированных параметрах помехи (рис. 2.29в). Хорошо видно, что с ростом интенсивности помехи происходит увеличение дисперсии фазовой ошибки (наблюдается расширение ПРВ) и наблюдается усиление несимметричности ПРВ. Несимметричность распределения приводит к - 86 W(x) A1=0 1, W(x) 1, 1= 1,2 1, 0,4 0,8 0,8 0, 0,5 0, 0,4 1, 0, Ц/ / x Ц/ / x а) W(x) б) 1, = 12 дБ 1,2 6 3 0, 0, Ц/ / x в) Рис. 2.29. Зависимость ПРВ от параметров помехи и интенсивности шума при K = 1;
= 2;
d = 1 для а) 1 = 0,1;
= 6 дБ;
б) A1 = 0,8;
= 6 дБ;
в) A1 = 0,3;
1 = 0, - 87 смещенной оценке фазовой ошибки. При некотором достаточно высоком значении мощности гармонической помехи наблюдается срыв слежения, и система переходит в режим биений. ПРВ в этом случае достаточно равномерно распределяется по всему диапазону (Ц, ). Анализ зависимости усредненной ПРВ от частотной расстройки показывает, что по мере уменьшения 1 вплоть до попадания в полосу пропускания системы, наблюдается монотонное расширение ПРВ и соответственно увеличение дисперсии фазовой ошибки. Данная зависимость объясняется фильтрующими свойствами системы. Наблюдается также появление несимметричности ПРВ с приближением к полосе пропускания системы, что приводит к смещение среднего значения фазовой ошибки. Анализ зависимости усредненной ПРВ от входного отношения сигнал/шум показывает, что при высоких входных ОСШ наблюдается эффект двумодальности ПРВ, обусловленный наличием гармонической помехи. При увеличении интенсивности шума данный эффект пропадает за счет сглаживания. Увеличение интенсивности шума также приводит к расширению графика ПРВ, что означает увеличение дисперсии фазовой ошибки. На рис. 2.30а и рис. 2.30б представлены зависимости среднего значения фазовой ошибки и выходного ОСШ от расстройки гармонической помехи соответственно. Анализ графиков показывает, что по мере приближения частотной расстройки помехи к полосе пропускания системы наблюдается постепенное увеличение степени смещенности фазовой ошибки. Большие интенсивности гармонической помехи приводят к более заметным изменениям среднего значения фазовой ошибки. После того, как помеха попадает в полосу пропускания системы, дальнейшее уменьшение частотной расстройки помехи с некоторого значения приводит к обратному эффекту, а именно наблюдается уменьшение фазовой ошибки. В момент равенства частот помехи и полезного колебание, как было показано ранее, смещение фазовой ошибки определяется начальной фазой помехи. Зависимость выходного отношения сигнал/шум от расстройки помехи показано на рис. 2.30б. Из рисунка видно, что до тех пор, пока помеха находится далеко от полосы пропускания системы, выходное ОСШ с уменьшением расстройки помехи ухудшается, но достаточно медленно. При приближении помехи к полосе пропускания системы наблюдается быстрое - 88 me вых, дБ A1 = / A1 = 0, 0, 0, 0, - / 0,8 1, 0, - /4 0 0,6 1,2 1,8 2, 0 0 0,6 1,2 1,8 2, а) б) Рис. 2.30. Зависимость среднего значения фазовой ошибки (а) и выходного ОСШ от расстройки помехи при K = 0,5;
= 1,1;
d = вых, 30 25 20 K =1 15 0,5 10 0,1 5 0 Ц5 Ц10 5 0 Ц5 Ц10 10 15 K =1 0,5 0, дБ дБ вых, 30 25 - вх, дБ - вх, дБ а) б) Рис. 2.31. Пороговые кривые при различных параметрах системы при отсутствии помехи а) = 1,1;
б) = - 89 вы х, дБ 30 25 0,5 20 15 10 5 0 Ц5 Ц10 0,3 A 1 = 0, вы х, дБ 30 25 20 15 10 5 0,5 0 Ц5 Ц10 0,3 A 1 = 0, Ц5 0 5 10 0, вх, д Б - вх, д Б а) вых, дБ 30 б) вых, дБ 30 25 20 15 10 5 0 Ц5 - 0, 0, 20 15 10 5 0 Ц5 - 1 = 0, 0, 1 = 0, - вх, дБ - вх, дБ в) г) Рис. 2.32. Пороговые кривые при различных параметрах системы и помехи для а) = 1,1;
K = 0,5;
1 = 0;
1 = 0;
б) = 2;
K = 0,5;
1 = 0;
1 = 0;
в) = 1,1;
K = 0,5;
A1 = 0,1;
г) = 1,1;
K = 0,5;
A1 = 0,5 ухудшение выходного ОСШ с уменьшением расстройки помехи. Попадание в полосу пропускания достаточно мощной помехи может привести к срыву синхронизации, что подтверждается кривой на рис. 2.30а, построенной для A1 = 1,2. Когда частотные расстройки становятся малыми, дальнейшее уменьшение расстроек приводит к увеличению выходного ОСШ, что связано с уменьшением помеховой составляющей ошибки слежения.
- 90 На рис. 2.31 построены пороговые кривые при отсутствии помехи. Подтверждено существование порогового эффекта, т.е. при некотором значении входного ОСШ ниже некоторого значения наблюдается резкое уменьшение выходного ОСШ. На рис. 2.32 представлены пороговые кривые, представляющие собой зависимости отношения сигнал/шум на выходе системы от отношения сигнал/шум на входе при различных параметрах помехи и системы. Выходное ОСШ определялось как величина, обратная дисперсии фазовой ошибки. При этом учитывалась шумовая и помеховая составляющие фазовой ошибки. Стоит отметить, что помеховая составляющая фазовой ошибки приводит к ограничению выходного ОСШ даже при отсутствии шума на входе. Сравнение зависимостей при наличии помехи с кривыми без помехи из рис. 2.31 указывает на то, что изЦза наличия помехи несколько сглаживается пороговый эффект по сравнению со случаем отсутствия помехи.
2.3.3. Помеха в виде ряда гармонических составляющих На рис. 2.33Ц2.34 представлены графики установившейся нестационарной ПРВ фазовой ошибки для случая действия на входе гармонического колебания, шума и детерминированной помехи, состоящей из двух гармонических составляющих. Можно видеть, что в случае кратного соотношения частоты дискретизации и частотных расстроек помехи, ПРВ имеет периодических характер изменения во времени. Зависимости ПРВ от параметров системы и внешнего воздействия в целом повторяет случай гармонической детерминированной помехи. На рис. 2.35Ц2.36 построены усредненные ПРВ для случая, когда расстройка второй составляющей помехи в два раза больше расстройки первой составляющей. Кроме того амплитуда второй составляющей выбрана меньше амплитуды первой. Выбор параметров связана с попыткой моделирования - 91 W(x) 1,75 1,5 1,25 1 4 0,75 3 0,5 2 0,25 0,25 0 0,5 6 W(x) 1,75 1,5 5 1,25 4 1 3 1 0, Ц2/ Ц/ / 2/ x Ц2/ Ц/ / 2/ x а) б) Рис. 2.33. Мгновенная ПРВ при наличии помехи, состоящей из двух составляющих, при K = 1;
= 10 дБ;
A1 = 0,5;
1 = 2/6;
A2 = 0,1;
2 = 2/3 а) = 2;
W(x) 1,75 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0 W(x) 1,75 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 б) = 1, Ц2/ Ц/ / 2/ x Ц2/ Ц/ / 2/ x Рис. 2.34. Мгновенная ПРВ при наличии помехи, состоящей из двух составляющих, при K = 1;
= 10 дБ;
A1 = 0,5;
1 = 2/6;
A2 = 0,1;
2 = 2/4 а) = 2;
б) = 1, - 92 W(x) 1,75 1,5 1,25 1 1 0,75 0,5 0,25 0,75 0,5 0,25 0 2 W(x) 1,75 1,5 1,25 Ц2/ Ц/ / 2/ x Ц2/ Ц/ / 2/ x а) б) Рис. 2.35. Сравнение усредненной ПРВ при изменении частотной расстройки помехи, состоящей из 1Цой (1) или 2Цх (2) составляющих при = 1,1;
K = 0,4;
= 10 дБ;
A1 = 0,5;
A2 = 0,2;
2 = 21 а) 1 = 0,1;
W(x) 1,75 1,5 1,25 W(x) 1,75 1,5 1,25 б) 1 = 0, 1 = 0, 0,75 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1 = 0, 0, 0, 0, 1, 0,25 Ц2/ Ц/ / 2/ x Ц2/ Ц/ / 2/ x а) б) Рис. 2.36. Усредненная ПРВ при наличии помехи, состоящей из 2Цх составляющих при = 1,3333;
K = 1;
= 10 дБ;
A1 = 0,5;
2 = 21 а) A2 = 0,1;
б) A2 = 0, - 93 негармонического колебания, две составляющие которого попали на вход системы. Рис. 2.35 позволяет сравнить усредненные ПРВ для случая помехи из двух гармонических составляющих со случаем гармонической помехи. Видно, что наличие второй составляющей с указанными параметрами и малой частотной расстройкой не приводит к заметным численным изменениям графика, но в то же время на графике можно отметить появление многомодальности. В случае большой частотной расстройки отличия графиков носят преимущественно количественный характер. При этом при наличии двух составляющих помехи заметно усиление несимметричности графика ПРВ. Рис. 2.36а,б демонстрирует зависимость ПРВ от частотной расстройки при различной интенсивности второй составляющей помехи. Можно отметить усиление несимметричности графиков при увеличении частотной расстройки, что в конечном итоге приводит к смещению среднего значения фазовой ошибки. При больших интенсивностях второй составляющей помехи усиление несимметричности выражено сильнее. Рис. 2.37 содержит зависимости дисперсии и математического ожидания фазовой ошибки от расстройки помехи. Частотная расстройка второй составляющей помехи выбрана в два раза выше частоты первой составляющей. В целом с увеличением расстройки среднее значение фазовой ошибки уменьшается, а дисперсия увеличивается. Но в то же время зависимости ведут себя немонотонно, что подчеркивает сложность процессов, происходящих в системе. Можно отметить следующую особенность зависимостей. Для широкополосной системы (рис. 2.37а) изменение среднего значения при изменении частоты помехи выражено в меньшей степени, чем для системы с более узкой полосой пропускания (рис. 2.37в). В то же время поведение дисперсии носит противоположный характер. Имеет место резкое увеличение дисперсии фазовой ошибки с ростом частоты помехи для широкополосной системы (рис. 2.37б), при этом дисперсия в узкополосной системе (рис. 2.37г) практически не меняется. Описанная закономерность имеет место и при наличии на входе гармонической помехи.
- 94 me - 0,05 - 0,1 - 0,15 - 0,2 - 0,25 - 0,3 - 0,35 - 0,4 De 1, 0, 1, A 2 = 0, 1, 0, 1 0,75 0,5 0,25 0 0, 0, 0, A2 = / / / / 5/ / / / / 5/ а) me - 0,05 - 0,1 - 0,15 - 0,2 - 0,25 - 0,3 - 0,35 - 0,4 0, 0,3 б) De 1,75 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0 0, 0, 0, A 2 = 0, A2 = 0, / / / / 5/ / / / / 5/ в) г) Рис. 2.37. Среднее значение (а,в) и дисперсия (б,г) фазовой ошибки в зависимости от частотной расстройки помехи при K = 1;
= 10 дБ;
A1 = 0,5;
2 = 21 а,б) = 2;
в,г) = 1, 2.4. Статистические характеристики при наличии на входе сигнала с угловой модуляцией В разделе с помощью расчета ПРВ фазовой ошибки исследуются характеристики дискретной СФС при наличии на входе шума и сигналов с угловой модуляцией, включая ФМ, ЧТ и ФТ колебания. Для случая ФМ - сигнала и шума, а также полезного ФМЦсигнала, шума и детерминированной - 95 помехи, представляющей собой гармоническое или ФМЦколебание, строятся и анализируются пороговые кривые. Закон изменения фазы для случая полезного ФМЦсигнала записывается в виде вх ( k ) = м sin м k, соответственно входное воздействие может быть представлено как: sвх (k ) = sin( с k + вх (k )) + A1 sin( с k + 1k + м 1 sin м 1k ), (2.4.1) (2.4.2) где с, м, м - нормированная частота несущей, индекс и частота модуляции полезного сигнала соответственно, A1, 1, м 1, м 1 - амплитуда, частотная расстройка относительно частоты несущей полезного колебания, индекс и частота модуляции детерминированной помехи. Для определения отношения сигнал/шум (ОСШ) на выходе системы используется выражение из [5] Pс P ш 1 = 2, вых e (2.4.3) где e2 - приведенное к средней мощности информационного параметра 2 сигнала среднеквадратическое отклонение (дисперсия) фазовой ошибки e e2. = m[2 ( k )] вх 2 e (2.4.4) Выражение (2.4.3) с учетом (2.4.1) и (2.4.4) принимает вид Pс 2 = м2. P ш вых 2 e (2.4.5) - 96 Следует отметить, что (2.4.5) учитывает флуктуационную составляющую фазовой ошибки, т.е. обусловленную наличием на входе шума, динамическую погрешность работы СФС, возникающую по причине инерционности системы, и помеховую составляющую, возникающую при наличии на входе детерминированной помехи. Дисперсии фазовой ошибки вычисляется через плотность распределения вероятности (ПРВ) фазовой ошибки W(x), определенной на интервале (Ц, ), как = 2 e x W ( x) dx.
(2.4.6) W(x) 1,75 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0 - Ц3/4 Ц/2 Ц/4 W(x) 1,75 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 / / 3/ x - Ц3/ Ц/ Ц/ / / 3/ x а) б) Рис. 2.38. ПРВ фазовой ошибки при действии на входе ФМЦсигнала при K = 0,8;
d = 0,5;
= 1,5;
= 0;
=7дБ;
м = 2/16 а) м = 1;
б) м = 0, - 97 2.4.1. Случай отсутствия помехи С помощью вычисления уравнения КолмогороваЦЧепмена получены нестационарные ПРВ фазовой ошибки в установившемся режиме. Зависимости ПРВ строятся путем итерационного решения уравнения КолмогороваЦЧепмена. При этом интервал разбиения по координате u2 выбирается в пределах 80Ц100, а по координате u1 - от 160 до 300. На рис. 2.38 представлены нестационарные ПРВ фазовой ошибки при наличии на входе шума и ФМЦколебания. Рисунок показывает, что при типичных параметрах ПРВ в отдельные моменты времени отличаются друг от друга в основном средним значением, а дисперсия остается одинаковой. Хотя необходимо заметить, что в ряде случаев, в частности, когда частота модуляции превышает полосу пропускания системы, могут иметь место значительные изменения среднего значения и дисперсии фазовой ошибки на каждом шаге.
W(x) 1,75 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0 - Ц3/4 Ц/2 Ц/4 W(x) 1,75 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 / / 3/ x - Ц3/ Ц/ Ц/ / / 3/ x а) б) Рис. 2.39. ПРВ фазовой ошибки при действии на входе ФТЦсигнала при K = 0,8;
= 2;
= 0,1;
=7дБ;
м = 0,5;
м = 2/16 для а) d = 0,5;
б) d = - 98 W(x) 1,75 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0 - Ц3/4 Ц/2 Ц/4 W(x) 1,75 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 / / 3/ x - Ц3/ Ц/ Ц/ / / 3/ x а) б) Рис. 2.40. ПРВ фазовой ошибки при действии на входе ЧТЦсигнала при K = 0,8;
d = 0,5;
= 0,1;
=7дБ;
дев = 0,5;
м = 2/16 а) = 1,5;
W(x) 1,75 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0 - Ц3/4 Ц/2 Ц/4 б) = W(x) 1,75 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 / / 3/ x - Ц3/ Ц/ Ц/ / / 3/ x а) б) Рис. 2.41. ПРВ фазовой ошибки при действии на входе ЧТЦсигнала при K = 0,8;
d = 1;
=7дБ;
дев = 0,5;
м = 2/16 а) = 1,5;
б) = - 99 На рис. 2.39 приведены нестационарные ПРВ для ФТЦсигнала на входе, а на рис. 2.40 и рис. 2.41 - для случая ЧТЦколебания. ПРВ для случая отсутствия начальной частотной расстройки имеют симметричную структуру, что связано с симметричностью входного воздействия, а также симметричным относительно начальных условий поведением автономной СФС при нулевой начальной расстройке. Наличие расстройки для системы с ПИФ приводит к закономерному смещению среднего значения ПРВ, кроме того возникает явно выраженная несимметричность рисунков. Установившийся режим в СФС с интегратором не зависит от величины начальной расстройки, поэтому зависимости ПРВ для этого случая идентичны зависимостям при отсутствии расстройки. Можно отметить следующую закономерность поведения ПРВ. При возникновении скачка по фазе или частоте СФС пытается его отработать. При этом к концу интервала посылки происходит постепенное приближение ПРВ к некоторому стационарному виду. В большинстве случаев данный процесс сопровождается уменьшением дисперсии. Редкие исключения из этого правило связаны с существенным влиянием нелинейности фазового детектора.
вых, дБ K=1 10 0,8 0, K= 20 вых, дБ 0, 0, - Ц10 0 5 10 20 вх, дБ Ц10 0 10 30 вх, дБ а) а) м= 0,5;
б) м= 0, б) Рис. 2.42. Пороговые кривые для случая ФМЦсигнала при м = 1;
d = 1;
= - 100 вых, дБ вых, дБ = 1, 1, 1,3 1, = 0 - - вх, дБ Ц10 0 10 30 вх, дБ а) а) м= 0,5;
б) м= 0, б) Рис. 2.43. Пороговые кривые для случая ФМЦсигнала при м = 1;
d = 1;
K = 1 Далее рассматриваются пороговые кривые для случая ФМЦсигнала на входе. На рис. 2.42 и 2.43 показаны пороговые кривые для различных параметров системы. Можно указать на следующие особенности полученных кривых. Рост выходного ОСШ вых с ростом входного вх носит ограниченный характер. Данный факт объясняется наличием динамической составляющей ошибки слежения, которая начинает преобладать над шумовой составляющей при больших вх. Анализируя кривые на рис. 2.42, 2.43, можно сделать вывод, что динамическая составляющая ошибки уменьшается при увеличении коэффициента K, а также при увеличении параметра фильтра. Рис. 2.42а и 2.42б, а также рис. 2.43а и 2.43б, построенные для различных частот модуляции, указывают на резкое уменьшение динамической погрешности при уменьшении частоты модуляции. На качественном уровне описанные утверждения можно подтвердить, рассматривая отклик линеаризованной системы на ФМЦвоздействие. Анализируя амплитудноЦчастотные характеристики, можно показать, что амплитуда колебаний фазовой ошибки, а, следовательно, и динамическая погрешность, в большинстве случаев находятся в прямой зависимости от частоты модуляции и обратной для параметров K и, что и подтверждается рис. 2.42,2.43.
Pages: | 1 | 2 | 3 | Книги, научные публикации