Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | 3 | Физика и техника полупроводников, 2000, том 34, вып. 3 Переменный пространственный заряд и неоднозначность квантовых состояний в двухбарьерных структурах й А.Б. Пашковский Государственное научно-производственное предприятие ФИстокФ, 141120 Фрязино, Россия (Получена 11 сентября 1999 г. Принята к печати 28 сентября 1999 г.) На основе суммирования ряда теории возмущений получено решение нестационарных самосогласованных уравнений Шредингера и Пуассона, описывающих резонансное взаимодействие электронов, туннелирующих через несимметричные двухбарьерные структуры, с высокочастотным электрическим полем. В случае однородного в пределах ширины квазиуровня распределения электронов по энергии решение находится аналитически, а в случае моноэнергетического пучка сводится к нахождению корней алгебраического полинома пятой степени. Показано, что в ряде случаев влияние переменного пространственного заряда приводит к совершенно новому для данных систем эффекту: одной и той же амплитуде высокочастотного напряжения, приложенного к структуре, может соответствовать несколько разных волновых функций электронов и, как следствие, отличающихся в несколько раз значений высокочастотной проводимости, коэффициентов прохождения и отражения. В результате в таких структурах может наблюдаться неустойчивость протекания тока и гестерезис вольт-амперных характеристик. При этом зависимости коэффициентов прохождения, отражения электронов и высокочастотной проводимости от амплитуды напряжения в случае однородного распределения электронов представляют комбинацию N- и S-образных характеристик, а в случае моноэнергетического пучка носят петлеобразный характер.

1. Введение несколько значений тока (обычно это S-образная вольтамперная характеристика) или одному значению тока Интерес к изучению электронного транспорта через несколько напряжений (обычно Ч N-образная характесистемы потенциальных ям и барьеров в высокочастот- ристика) [11Ц13], хотя в ряде случаев зависимости тока ном (ВЧ) электрическом поле [1Ц6] в последние годы от напряжения носят гораздо более сложный характер.

заметно усилился как в связи с созданием и быстрым По существу это означает, что в определенных условиях совершенствованием квантового каскадного лазера ин- режим протекания тока через двухбарьерную структуру фракрасного диапазона на межподзонных переходах [7,8], в слабом ВЧ поле может быть неустойчивым. Надо так и с предсказанием возможности наблюдения в та- отметить, что данный эффект принципиально отличаких структурах ряда квантовых эффектов, не имеющих ется от рассматриваемых ранее в литературе явлений аналогов при статическом транспорте электронов. Так, оптической бистабильности [14,15] как механизмом, так например, даже в очень слабых полях (бесконечно ма- и условиями, в которых он может наблюдаться. Кроме лой амплитуды) при низких концентрациях электронов того, эта задача интересна еще тем, что в ней для и малых по сравнению с проводимостях (здесь структур, которые в принципе могут служить основой Ч частота ВЧ поля, Ч диэлектрическая прони- для нового типа униполярных лазеров инфракрасного цаемость полупроводника) для резонансных переходов диапазона [16], в случае однородного распределения в двухбарьерной структуре учет, даже по отдельности, электронов по энергии удается найти аналитические влияния переменного пространственного заряда (плаз- самосогласованные решения нестационарных уравнений менных колебаний) в малосигнальном приближении [9] Шредингера и Пуассона, описывающих взаимодействие и конечности амплитуды ВЧ поля [10] позволяет об- электронов с высокочастотным электрическим полем наружить новые явления. Как будет показано далее, конечной амплитуды, а в случае моноэнергетического влияние плазменных колебаний даже в слабом ВЧ поле пучка свести задачу к нахождению корней алгебраичеконечной амплитуды может приводить к еще одному ского полинома пятой степени.

совершенно новому для данных структур эффекту: в установившемся режиме одной и той же амплитуде 2. Решение самосогласованных высокочастотного напряжения, приложенного к структуре, может соответствовать несколько разных волновых уравнений Шредингера и Пуассона функций электронов, и, таким образом, все наблюдаемые свойства структуры (проводимость, коэффициенты Для определенности рассмотрим поток электронов, прохождения и отражения) становятся неоднозначными. проходящих слева направо через несимметричную двухТаким образом, и в высокочастотном поле может наблю- барьерную резонансно-туннельную структуру толщиной даться хорошо известная в физике полупроводников для a c тонкими (-образными) барьерами [9,10] в отсутстатических полей ситуация, когда одному и тому же ствие постоянного электрического поля. Предполагаетприложенному к структуре напряжению соответствует ся, что к структуре приложен слабый гармонически Переменный пространственный заряд и неоднозначность квантовых состояний в двухбарьерных... изменяющийся потенциал, однородное электрическое в формулах соответствует индекс Ф-Ф, если L > K поле в структуре изменяется во времени по закону (электроны падают на нижний уровень), то верхнему E(t) = E(eit + e-it), а пространственный заряд и уровню в формулах соответствует индекс Ф+Ф, уровень, электрическое поле вне структуры отсутствуют. Столк- на который падают электроны, дополнительного индекса новениями, как и влиянием статического пространствен- не имеет. Там, где вид формул не зависит от того, ного заряда, пренебрегается (можно, например, пред- падают электроны на нижний или на верхний уровень, положить, что последний скомпенсирован зарядом ио- будем писать индекс ФФ. В показателе экспоненты и низованных доноров). Тогда нестационарное уравнение в формулах для обозначений величин индексами ФФ и Шредингера имеет вид ФФ верхний знак соответствует переходам с нижнего уровня на верхний, нижний Ч наоборот.

Решение задачи ищем в предположении, что поле сигi = - + H(x) + H(x, t), (1) t 2m x2 нала, как и поле переменного пространственного заряда, является возмущениями достаточно малой конечной амH(x) = - U[(x) - (x - a)] - U1(x - a) плитуды. Известно, что в двухбарьерных структурах с достаточно мощными барьерами (y = 2m/ k, здесь + (x) + (x - a), k Ч волновой вектор электронов внутри структуры) при резонансных переходах поправки различных порядков к H(x, t) =- qE x[(x) - (x - a)] невозмущенной волновой функции 0 с точностью до малой величины порядка k/y имеют тот же вид, что + a(x - a) (eit + e-it) +q(x, t).

и сама волновая функция основного состояния [10,17], а волновая функция на резонансном уровне в поле коЗдесь q, m Ч заряд и масса электрона, = bb; b, нечной амплитуды (без учета пространственного заряда) b Ч высота и ширина первого барьера, (x) Ч единичная представляется как 0/(1 + z), где z Ч численный функция, Ч численный коэффициент, U и U1 Ч параметр, зависящий от амплитуды поля и параметров величины скачка дна зоны проводимости на барьерах, структуры. Поэтому можно предположить, что внутри q(x, t) Ч изменение потенциальной энергии, связанное структуры и волновая функция данной задачи в первом с пространственным зарядом, причем (x, t) удовлетвослучае имеет вид ряет квазистатическому уравнению Пуассона:

1 [ f (E)]1/2(x, t) Q(x, t) (E+ E) = -, (2) 2iE 1 + z 1 + x y S где Q(x, t) Ч плотность переменного пространственного F sin kx + cos kx e-i(0+)t + 2iE заряда в структуре, Ч диэлектрическая проницаемость k 1 + L полупроводника.

Пусть поток электронов проходит через резонансный y sin kx + cos kx e-i(0+)t, (3) уровень с номером K, энергией E и шириной, а k частота электрического поля соответствует переходам где F и S Ч неизвестные пока комплексные числа;

на резонансный уровень с номером L и шириной L.

k, k Ч соответствующие волновые векторы, f (E) Ч Рассмотрим два случая.

функция распределения электронов, E Ч отклонение 1. Распределение электронов по энергии в падающем энергии от резонансной, 0 = E/, = E/. Во потоке предполагается однородным по крайней мере при втором случае отклонениях от резонансной энергии порядка ширины основного уровня.

n1/2 y 2. На центр резонансного уровня структуры падает (E) F sin kx + cos kx e-i0t 1 + z k моноэнергетический пучок электронов (а по существу пучок с разбросом по энергии меньше ширины наиболее y + S sin kx + cos kx e-i(0)t. (4) узкого из уровней, между которыми совершаются переk ходы) с концентрацией n (можно, например, предположить, что он создан другой двухбарьерной структурой).

Здесь z и z Ч неизвестные пока функции, уравнения для Известно, что при резонансных переходах в двухба- которых будут получены далее в процессе поиска саморьерных структурах при достаточно малых амплитудах согласованного решения задачи. По аналогии с [17,18] высокочастотного поля [5,9,10] существенны переходы разумно предположить, что z имеет вид только между двумя резонансными уровнями, а переходы z на нерезонансные уровни можно не учитывать. Поэтому z =, (5) 2iE 2iE далее в расчетах рассматриваются волновые функции 1 + 1 + L только на двух уровнях. При этом если K > L (электроны падают на верхний уровень), то нижнему уровню где z Ч значение этой функции в центре уровня.

Физика и техника полупроводников, 2000, том 34, вып. 342 А.Б. Пашковский Волновой функции (3) в интервале энергий dE соот- не вызовет путаницы, эту величину будем использовать ветствует переменный пространственный заряд с плот- далее в формулах), и ностью q2y2FSK2 cos(K - L)k1x Vq+ = qy2 sin kx sin kx k-k3 2(K - L)dQ(E) = 2iE kk|1 + z|2|1 + | cos(K + L)k1x 2KL n - - (12) FSeit FSeit 2(K + L)2 (K2 - L2)2 (1 + z) + f (E)dE. (6) 2iE 2iE 1 - 1 + L L Ч в случае моноэнергетического потока (здесь n ЧконПри малых отклонениях от центра уровня волновые центрация электронов в пучке).

векторы мало изменяются (при расчете заряда для них Но, вообще говоря, волновые функции (3), (4) полуможно брать строго резонансные значения). Поэтому чаются из волновых функций невозмущенной задачи под воздействием периодического возмущения (9). Поэтому интегрирование dQ по энергии (формально от - до решение задачи будем искать в виде ряда теории возму+, а фактически Ч на расстояниях от центра уровня щений по степеням V.

порядка его ширины) дает Возможны три основные ситуации.

qy2 sin kx sin kx 1) Переходы совершаются между уровнями, которые Q(x, t) = лежат выше дна зоны проводимости как левого (на kk(1 + z) входе), так и правого (на выходе) полупроводникового f (E)L материала (рис. 1, a).

FSeit + FSeit. (7) 2( + L) 2) Переходы совершаются на уровень, который лежит ниже дна зоны проводимости левого материала и выше Волновой же функции (4) (z = z) соответствует дна зоны проводимости правого (рис. 1, b).

3) Переходы совершаются с уровня, который лежит qy2 sin kx sin kx ниже дна зоны проводимости правого материала, на Q(x, t) = kk уровень, который лежит над дном зоны проводимости этого материала (рис. 1, c).

n Рассмотрим первую из ситуаций. Волновая функция FSeit + FSeit. (8) (1 + z)невозмущенной задачи имеет вид При достаточно мощных барьерах (y/k 1) пере0(x) =[ f (E)]1/менный пространственный заряд вне структуры мал, его поле на границе равно 0 [5,9], и граничные условия exp ik0x + D0 exp(-ik0x), x < 0, для уравнения Пуассона (2) практически не зависят от A0 sin kx + B0 cos kx, 0 < x < a, (13) свойств структуры за барьерами. Поэтому, решив его для C exp[ik1(x - a)], x > a, (7), (8), оператор возмущения внутри структуры можно где записать как k0 =[2m(E + E)/ ]1/2, V = -qEx(eit + e-it) + Vq+e-it + Vq-eit, (9) k =[2m(E + E + U)/ )]1/2, k1 =[2m(E + E + U1)/ )]1/где Ч волновые векторы электронов. При достаточно мощ q2y2FSK2 - L)k1x cos(K ных барьерах (y k) волновая функция основного Vq+ = k-k3 2(K - L)состояния в интервале 0 < x < a представляется в виде [17,18] cos(K + L)k1x 2KL n r y - -, (10) 0 0 sin kx + cos kx, 0 =, 2(K + L)2 (K2 - L2)2 1 + z 2iE k 1 + Vq- =(Vq+), k1 = k/K = k/L Чволновой вектор на 22kr 0 = [ f (E)]1/2, 0 =[ f (E)]1/2B0. (14) первом уровне, а 2k0 + kВ приближении малого сигнала поправка 1 к волно f (E)L n = (11) вой функции основного состояния [5,10] имеют вид 2( + L) 1 = 1+(x)e-i(0+)t + 1-(x)e-i(0-)t Ч по существу эффективная концентрация электронов, участвующих в переходах в первом случае (там, где это 0 = E/.

Физика и техника полупроводников, 2000, том 34, вып. Переменный пространственный заряд и неоднозначность квантовых состояний в двухбарьерных... Рис. 1. Схематическое изображение зонной диаграммы рассматриваемых двухбарьерных структур.

При y k и величине волнового вектора, соот- Далее, если продолжить процедуру получения поправетствующего резонансному уровню (это выполняется вок более высоких порядков, а затем их просуммировать, при условии tg ka = -(1 + )k/y [18,19]), внутри то коэффициенты волновой функции на каждом из резоструктуры поправка 1-го порядка к волновой функции нансных уровней можно представить в виде постоянного основного состояния (с точностью до малых членов множителя и знакопеременного ряда [10,17]:

порядка k/y, которые не вносят вклада в поправки более высоких порядков, см. подробнее [10,17]) имеет тот же - +()2 - ()3 +... +(-1)n+1()n +..., (21) вид, что и сама волновая функция:

который в области своей сходимости || < 1 предстаy вляет разложение функции 1/(1 + ) по степеням.

1 1 sin ka + cos ka, (15) k Таким образом, для данной задачи волновая функция электронов имеет вид где 1/k = 2m(E + E + U )/, K(x)e-i(0+)t + L(x)e-i(0+)t, (22) 2 k0yгде 1 qE m2 K(x) [ f (E)]1/q2y2a(K2 + L2) n + FS (-1)L+1, 16kkKL 1 + z exp ik0x + D exp(-ik0x), x < 0, (23) ik 2iE A sin kx + B cos kx, 0 < x < a, C exp[ik1(x - a)], (E) = (k1+2k0) 1 + (-1)L+1. (16) x > a, L Сравнивая (15) и (14) для поправки 2-го порядка, легко 0 Aполучить D = D0 -, A =, 1 + 1 + y 2 -0 sin kx + cos kx, 0 < x < a, (17) B0 Ck B =, C =, 1 + 1 + FS FS = z0 1 + 1 +, (18) 1 + z 1 + z L(x) 1 + qE 44yz0 =, m2 (k1 + 2k0)(k1 + 2k0) x < 0, D1 exp(-ikx), qy2a(K2 + L2)n A1 sin kx + B1 cos kx, 0 < x < a, (24) = (19) C exp[ik(x - a)], x > a, 16kkEKL 1 Ч для однородного распределения и y B1 D1 (-1)L+1C1 1, A1 D1.

FS FS k = z0 1 + 1 + (20) (1 + z)2 (1 + z)Аналогичные выражения получаются и для моноэнер Ч для моноэнергетического пучка. При этом связь гетического пучка заменой f (E)dE на n, а на при между и имеет тот же вид, что и между z и z (см. (5)). = 0.

Pages:     | 1 | 2 | 3 |    Книги по разным темам