Geum.ru

Утверждаю

Вид материалаРабочая программа

Содержание


1. Цели освоения дисциплины
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
Аналитическая, научно-исследовательская деятельность
4. Структура и содержание дисциплины
Формы текущего контроля успеваемости
Формы текущего контроля успеваемости
5. Образовательные технологии
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Подобный материал:
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ


УТВЕРЖДАЮ


Декан ФПМК

__________________А. М. Горцев


"_____"__________________2011 г.


Рабочая программа дисциплины

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ


Направление подготовки

080100 Экономика

Профиль: Математические методы в экономике


Квалификация выпускника

Бакалавр


Форма обучения

очная


Томск

2011

^ 1. Цели освоения дисциплины

Целью курса “Дифференциальные уравнения” является обучение студентов теории и методам дифференциальных уравнений, имеющих фундаментальное теоретическое значение и используемых в качестве основных математических моделей в естествознании, технике и других областях.

^ 2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

Учебная дисциплина "Дифференциальные уравнения” входит в базовую часть математического цикла Б1 и изучается в третьем и четвёртом семестрах.

Дисциплина "Дифференциальные уравнения" базируется на знаниях, полученных в рамках дисциплин "Математический анализ", "Алгебра и геометрия".

Знания, полученные при изучении дисциплины "Дифференциальные уравнения", используются при изучении всех дисциплин, в которых используется аппарат дифференциальных уравнений, таких, как "Теория оптимального управления", "Практикум на ЭВМ (численные методы)", "Теория вероятностей", "Управление в экономических системах".

^ 3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

ОК-6 (способен логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь).

ОК-9 (способен к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства).

ОК-11 (осознаёт социальную значимость своей будущей профессией, обладает высокой мотивацией к выполнению профессиональной деятельности).

^ Аналитическая, научно-исследовательская деятельность

ПК-5 (способен выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчётов и обосновать полученные выводы).

ПК-6 (способен на основе описания экономических процессов и явлений строить стандартные теоретические и эконометрические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты).

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

• знать: основы теории дифференциальных уравнений;

• уметь: логически строго доказывать математические утверждения, классифицировать уравнения и выбирать соответствующие алгоритмы их решения;

• владеть: методами и алгоритмами решения дифференциальных уравнений.


^ 4. Структура и содержание дисциплины

Общая трудоемкость дисциплины составляет 8,5 зачетных единицы, 306 часов.


№
п/п
Раздел
Дисциплины
Семестр
Неделя семестра
Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)
^ Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра)

Форма промежуточной аттестации (по семестрам)

Лек
Практ
СРС




Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
3
1
2
2
2
устный опрос на занятиях


Решение общее, частное. Первый и общий интеграл дифференциального уравнения.

3
2
2
2
2
консультация


Задача Коши и граничная задача.
3
3
2
2
4
устный опрос на занятиях


Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной.

3
4
2
2
4
контрольная работа


Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним. Уравнения в полных дифференциалах.
3
5
2
2
4
устный опрос на занятиях


Теорема существования и единственности решения уравнения .

3
6
2
2
4
консультация


Уравнения, не разрешенные относительно производной. Теорема существования и решения уравнения .

3
7
2
2
4
устный опрос на занятиях


Особые точки, особые решения.
3
8
2
2
4
консультация


Дифференциальные уравнения порядка выше первого

Теорема существования и единственности решения для дифференциального уравнения вида .
3
9
2
2
4
устный опрос на занятиях


Простейшие случаи понижения порядка. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка.

3
10
2
2
4
консультация


Теоремы о решениях линейного уравнения n-го порядка.

3
11
2
2
4
контрольная работа


Линейное уравнение с постоянными коэффициентами (однородное и неоднородное).

3
12
2
2
4
консультация


Уравнения Эйлера.

3
13
2
2
4
контрольная работа


Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов.

3
14
2
2
4
консультация


Метод малого параметра.

3
15
2
2
4
консультация


Решение краевой задачи методом функции Грина.
3
16
2
2
4
экзамен




ИТОГО
32
32
60
32




№
п/п
Раздел
Дисциплины
Семестр
Неделя семестра
Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)
^ Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра)

Форма промежуточной аттестации (по семестрам)

Лек
Практ
СРС




Системы дифференциальных уравнений. Основные понятия. Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем сведения к одному уравнению более высокого порядка.
4
1
2
2
4
устный опрос на занятиях


Нахождение интегрируемых комбинаций. Системы линейных дифференциальных уравнений. Теоремы о решениях системы линейных дифференциальных уравнений.

4
2
2
2
4
консультация


Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
4
3
2
2
4
устный опрос на занятиях


Теория устойчивости. Основные понятия. Простейшие типы точек покоя. Второй метод А. М. Ляпунова.

4
4
2
2
4
контрольная работа


Исследование на устойчивость по первому приближению. Признаки отрицательности действительных частей всех корней многочлена.

4
5
2
2
4
устный опрос на занятиях


Случай малого коэффициента при производной высшего порядка.

4
6
2
2
4
консультация


Устойчивость при постоянно действующих возмущениях. Теорема Малкина об устойчивости при постоянно действующих возмущениях.
4
7
2
2
4
устный опрос на занятиях


Уравнения в частных производных первого порядка. Основные понятия. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка.

4
8
2
2
4
консультация


Связь с векторным полем. Характеристики. Теорема об общем решении уравнения в частных производных первого порядка.
4
9
2
2
4
устный опрос на занятиях


Вариационные задачи с неподвижными границами. Вариация и ее свойства.

4
10
2
2
4
консультация


Уравнение Эйлера. Функционалы вида .

4
11
2
2
4
контрольная работа


Функционалы вида . Система уравнений Эйлера.

4
12
2
2
4
консультация


Уравнение Эйлера–Пуассона.

4
13
2
2
4
контрольная работа


Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных. Метод вариаций в задачах с подвижными границами
4
14
2
2
4
консультация


Простейшая задача с подвижными границами. Задача с подвижными границами для функционалов вида

4
15
2
2
4
экзамен




ИТОГО
30
30
60
30




ИТОГО
62
62
120
62



^ 5. Образовательные технологии

В процессе обучения для достижения планируемых результатов освоения дисциплины используются следующие методы образовательных технологий:

– работа в команде;

– опережающая самостоятельная работа;

– междисциплинарное обучение;

– обучение на основе опыта.

Для изучения дисциплины предусмотрены следующие формы организации учебного процесса:

– лекции;

– практические занятия;

– самостоятельная работа студентов;

– индивидуальные и групповые консультации.

6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины

Самостоятельная работа студентов является наиболее продуктивной формой образовательной и познавательной деятельности студенты в период обучения. Текущая самостоятельная работа направлена на углубление и закрепление знаний студентов, развитие практических умений. Текущая самостоятельная работа включает в себя:

– работу с лекционным материалом;

– опережающую самостоятельную работу;

– подготовку к зачёту и экзамену

Контроль самостоятельной работы студентов и качество освоения дисциплины осуществляется посредством:

– опроса студентов при проведении практических занятий;

– проведение контрольных работ;

– выполнения студентами самостоятельных домашних работ по вариантам;

– проверки выполнения домашних заданий.

Контрольные вопросы и задания для самостоятельной работы

1. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной.

2. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.

3. Линейные уравнения первого порядка. Метод вариации постоянной.

4. Уравнение Бернулли. Уравнение Риккати.

5. Уравнения в полных дифференциалах. Необходимое и достаточное условие Эйлера. Интегрирующий множитель.

6. Принцип сжатых отображений.

7. Теорема существования и единственности решения уравнения .

8. Теорема о непрерывной зависимости решения от параметра и от начальных условий.

9. Особые точки. Особые решения уравнения .

10. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной. Метод введения параметра для уравнений вида .

11. Уравнение Лагранжа, уравнение Клеро.

12. Теорема существования и единственности решения уравнения .

13. Особые точки и особые решения уравнения .

14. Сведение уравнений n-го порядка к системе n дифференциальных уравнений 1-го порядка. Теорема существования и единственности решения уравнения .

15. Простейшие случаи понижения порядка.

16. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Свойства линейного оператора.

17. Теоремы о решениях линейного однородного уравнения n-го порядка. Фундаментальная система решений.

18. Формула Остроградского–Лиувилля.

19. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Различные случаи корней характеристического уравнения.

20. Уравнения Эйлера. Преобразование уравнения Эйлера в уравнение с постоянными коэффициентами.

21. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Теоремы о решениях линейного неоднородного уравнения.

22. Метод вариации постоянных.

23. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов.

24. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов. Периодические решения дифференциальных уравнений.

25. Метод малого параметра и его применение в теории квазилинейных колебаний.

26. Краевая задача.

27. Решение краевых задач методом функции Грина. Свойства функции Грина. Построение функции Грина.

28. Системы дифференциальных уравнений. Основные понятия. Геометрическая и физическая интерпретация решения системы дифференциальных уравнений.

29. Интегрирование системы путем сведения к одному уравнению более высокого порядка.

30. Нахождение интегрируемых комбинаций.

31. Системы линейных дифференциальных уравнений. Теоремы о решениях системы линейных дифференциальных уравнений.

32. Метод вариации постоянных.

33. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Различные случаи корней характеристического уравнения.

34. Определение устойчивости решения системы дифференциальных уравнений по Ляпунову. Определение асимптотической устойчивости. Точка покоя.

35. Простейшие типы точек покоя.

36. Второй метод Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.

37. Теорема Четаева о неустойчивости.

38. Исследование на устойчивость по первому приближению. Теорема Ляпунова об исследовании по первому приближению.

39. Признаки отрицательности действительных частей всех корней многочлена. Теорема Гурвица.

40. Случай малого коэффициента при производной высшего порядка.

41. Определение устойчивости при постоянно действующих возмущениях. Теорема Малкина.

42. Теорема Ковалевской о существовании и единственности решения уравнения в частных производных.

43. Линейные однородные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка. Характеристики уравнений.

44. Теорема об общем решении уравнения .

45. Однородные и неоднородные уравнения в частных производных от функции n переменных.

46. Вариационное исчисление. Вариация функционала и ее свойства.

47. Основная теорема вариационного исчисления.

49. Основная лемма вариационного исчисления.

50. Простейшая задача вариационного исчисления с неподвижными границами. Уравнение Эйлера.

51. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера.

52. Функционалы вида . Система уравнений Эйлера.

53. Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка —. Уравнение Эйлера–Пуассона.

54. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных — . Уравнение Остроградского.

55. Простейшая задача с подвижными границами. Условие трансверсальности.

56. Задача с подвижными границами для функционалов вида . Условие трансверсальности.

57. Вариационная задача на условный экстремум. Связи вида .

58. Теорема об экстремуме функционала при наличии условий (; ).

59. Изопериметрическая задача.

Темы практических занятий, I семестр

1. Составление дифференциального уравнения семейства кривых. Изоклины.

2. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.

3. Физические и геометрические задачи.

4. Однородные уравнения и приводящиеся к ним путем замены .

5. Линейные уравнения первого порядка.

6. Уравнение Бернулли. Уравнение Риккати.

7. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

8. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Дискриминантная кривая. Особое решение. Чертеж.

9. Метод введения параметра.

10. Уравнения, допускающие понижение порядка вида: 10. Уравнения, допускающие понижение порядка вида: , , .

11. Уравнения, однородные относительно и обобщенно-однородные.

12. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Различные случаи корней характеристического уравнения. Метод вариации постоянных.

13. Метод неопределенных коэффициентов. Уравнение Эйлера.

Темы практических занятий, II семестр

1. Исследование функций на линейную зависимость. Составление однородного дифференциального уравнения, имеющего данные частные решения.

2. Формула Остроградского–Лиувилля для решения линейного уравнения с переменными коэффициентами.

3. Краевая задача. Функция Грина.

4. Приближенное решение дифференциального уравнения с помощью метода малого параметра.

5. Решение уравнения в виде степенного ряда.

6. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Различные случаи корней характеристического уравнения. Метод Эйлера.

7. Метод исключения и метод Даламбера.

8. Матричный метод.

9. Метод неопределенных коэффициентов и метод вариации постоянных интегрирования линейной неоднородной системы с постоянными коэффициентами.

10. Исследование на устойчивость решения уравнения с использованием определения Ляпунова.

11. Исследование на устойчивость нулевого решения системы по первому приближению.

12. Исследование на устойчивость нулевого решения с использованием функции Ляпунова.

13. Уравнения в частных производных первого порядка. Общее решение. Нахождение решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

14. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.

15. Оптимизация функционалов, зависящих от производных высших порядков или нескольких функций.

16. Оптимизация функционалов в классе функций со скользящими концами. Условия трансверсальности.

17. Вариационная задача на условный экстремум. Изопериметрическая задача.

^ 7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

а) основная литература:

1. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Эдиториал УРСС, 2000. — 320 с.

2. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — М.: Изд-во ЛКИ, 2008. — 468 с.

3. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — М.: ЛИБРОКОМ, 2011. — 235 с.

4. Краснов М. Л., Макаренко Г. И., Киселев А. И. Вариационное исчисление. — М.: Едиториал УРСС, 2002. — 166 с.

б) дополнительная литература:

1. Матвеев Н. М. Дифференциальные уравнения. — Л.: Издательство Ленинградского университета, 1963. — 416 с.

2. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — М.: Государственное издательство физико-математический литературы, 1961. — 400 с.

3. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. — М.: Государственное издательство физико-математический литературы, 1961. — 228 с.

4. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976. — 516 с.

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины

В Научной библиотеке ТГУ имеется необходимая научная литература по дисциплине.

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению подготовки 080100 "Экономика", профиль: Математические методы в экономике.

Автор: доцент, к. т. н. Нежельская Л. А.

Рецензент: доцент, к. т. н. Завгородняя М. Е.

Программа одобрена на заседании Учёного совета ФПМК от "24"   февраля   2011 года, протокол № 282 .