Geum.ru

М. В. Ломоносова факультет Вычислительной математики и кибернетики Кафедра «Математических методов прогнозирования» Вопросы к экзамену

Вид материалаВопросы к экзамену
Подобный материал:

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

Факультет Вычислительной математики и кибернетики

Кафедра «Математических методов прогнозирования»

Вопросы к экзамену по дисциплине «Прикладная алгебра»

(7 семестр, группа 417, с 2004/05 уч. года)
  1. Булева алгебра. Алгебры множеств. Изоморфизм булевых алгебр. Теорема Стоуна (с доказательством для конечного случая) и следствия из неё.
  2. Виды отношений. Бинарные отношения (соответствия) и их свойства. Псевдообращение отношения и произведение отношений. Однородные отношения и их основные типы.
  3. Отношение эквивалентности и теорема о классах эквивалентности. Устойчивость отношения эквивалентности. Транзитивное и эквивалентное замыкание отношений. Эквивалентное замыкание совокупности эквивалентностей.
  4. Основные типы соответствий. Отображения и их типы. Теорема Кантора-Бернштейна.
  5. Каноническое отображение. Ядро отображения как эквивалентность. Основное свойство отображений. Теорема о дробных эквивалентностях.
  6. Предпорядки и порядки. Построение порядка из предпорядка. Частично упорядоченные множества. Принцип двойственности. Верхний и нижний конусы ч.у. множества. Точные верхние и нижние грани. Цепи и антицепи.
  7. Порядковые идеалы и фильтры. Связь между анитцепями и порядковыми идеалами конечных ч.у. множеств. Порядковые гомоморфизмы. Изоморфизм ч.у. множеств. Теорема о вложении ч.у. множеств в алгебру множеств. Операции над ч.у. множествами. и связь между ними.
  8. Лемма Куратовского-Цорна и принцип Хаусдорфа. Полная упорядоченность и аксиома о полном упорядочении. Аксиома выбора и её связь с теоретико-множественной аксиоматикой. Теоремы о сравнении вполне упорядоченных множеств и о сравнении множеств.
  9. Полная упорядоченность и аксиома о полном упорядочении. Принцип трансфинитной индукции.
  10. Решётчато упорядоченные множества и решётки. Примеры. Принцип двойственности для решёток. Теорема о связи решётчато упорядоченных множеств и решёток.
  11. Основные свойства решёток. Неравенства полудистрибутивности и полумодулярности. Алгебраические гомоморфизмы решёток и их связь с порядковыми гомоморфизмами. Изоморфизмы решёток.
  12. Изоморфизмы решёток. Теорема об изоморфизмах решёток. Изоморфизм решёток N0 и P0(A). Подрешётки. Произведения решёток.
  13. Решётчатые идеалы и фильтры. Теорема о вложении решёток в булеан некоторого множества.
  14. Модулярные решётки. Примеры. Критерий модулярности решётки.
  15. Дистрибутивные решётки. Примеры. Правило сокращения для дистрибутивных решёток. Теорема о модулярных и дистрибутивных решётках. Критерий дистрибутивности решётки.
  16. Дистрибутивность решётки J(P) порядковых идеалов ч.у. множества P. Построение диаграммы Хассе для решётки порядковых идеалов конечного ч.у. множеств (на примере).
  17. Лемма о представимости ненулевого элемента конечной решётки в виде объединения неразложимых элементов. Лемма об изоморфизме подрешётки неразложимых в объединение элементов J(P) и P.
  18. Теорема Биркгофа о вложимости дистрибутивной решётки в булеан подходящего множества. Следствия из теоремы Биркгофа. Способ вложения конечной дистрибутивной решётки в < N, | >.
  19. Решётки с дополнениями и с единственными дополнениями. Примеры. Единственность дополнения в дистрибутивных решётках. Связь дистрибутивности и наличия единственного дополнения, проблема Хантингтона и теорема Дилуорса.
  20. Булевы алгебры как дистрибутивные решётки с дополнениями. Пример безатомной БА. Критерий для атомных булевых алгебр. Булевы гомоморфизмы и булевы подагебры. Булево кольцо и булева структура.
  21. Булевы идеалы и фильтры. Фильтр Фреше. Теоремы о максимальных булевых идеалах и фильтрах. Построение неглавного ультрафильтра бесконечной булевой алгебры (неформально).
  22. Базовые понятия АС. Редукты и подсистемы. Пересечение подсистем и главная подсистема. Теорема об объединении подсистем.
  23. Согласованность отображений АС с их операциями и отношениями. Типы гомоморфизмов АС. Теорема о сюръективном эндоморфизме конечной АС.
  24. Конгруэнции. Свойство ядра гомоморфизма. Фактор-системы. Определения операций и отношений на фактор-системах.
  25. Теорема о гомоморфизме АС.
  26. Первая теорема об изоморфизме АС.
  27. Вторая теорема об изоморфизме АС.

Литература

Основная
  1. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976.
  2. Гуров С.И. Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс): Учебное пособие. – М.: Издательский отдел ф-та ВМиК МГУ, 2004.
  3. Мальцев А.И. Алгебраические системы.   М.: Наука, 1970.
  4. Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983.


Дополнительная
  1. Богомолов А.М., Салий В.Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. – М.: Наука. Физматлит, 1997.
  2. Владимиров Д.А. Булевы алгебры. – М.: Наука, 1969.
  3. Кон П. Универсальная алгебра. – М.: Мир, 1968.
  4. Курош А.Г. Общая алгебра (лекции 1969 1970 учебного года). – М.: Наука, 1974.
  5. Лидл Р., Пильц Г. Прикладная абстрактная алгебра: Учебное пособие. – Екатеринбург: Изд.-во Урал. ун-та, 1996.
  6. Плоткин Б.И. Универсальная алгебра, алгебраическая логика и базы данных. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.
  7. Салий В.Н. Решётки с единственными дополнениями. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984.
  8. Скорняков Л.А. Элементы теории структур. – М.: Наука, 1970.
  9. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. – М.: Мир, 1990.
  10. Яглом И.М. Булева структура и её модели. – М.: Сов. радио, 1980.